人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《特殊的平行四邊形（第7課時(shí)）》示范教學(xué)課件

特殊的平行四邊形（第7課時(shí)）人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

1．矩形的性質(zhì)：（1）角：矩形的四個(gè)角都是直角．（2）對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等．（3）對(duì)稱性：矩形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線是它的對(duì)稱軸，所以一般情況下矩形有兩條對(duì)稱軸．

2．矩形的判定：（1）定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（2）對(duì)角線：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．（3）角：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．

3．菱形的性質(zhì)：（1）邊：菱形的四條邊都相等．（2）對(duì)角線：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．（3）對(duì)稱性：菱形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)角線所在的直線就是它的對(duì)稱軸，所以一般情況下菱形有兩條對(duì)稱軸．

4．菱形的判定：（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．（2）對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．（3）邊：四條邊相等的四邊形是菱形．

5．正方形的性質(zhì)：（1）邊：四條邊相等．（2）角：四個(gè)角都是直角．（3）對(duì)角線：對(duì)角線相等，且互相垂直平分．（4）對(duì)稱性：正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸，分別是對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線以及兩條對(duì)角線所在的直線．

6．正方形的判定：（1）定義法：有一組鄰邊相等，且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形．（2）邊：有一組鄰邊相等的矩形是正方形．（3）角：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．（4）對(duì)角線：對(duì)角線相等的菱形是正方形；對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形．平行四邊形矩形菱形正方形

7．平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系：類型一、矩形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足為E．求證：AE＝CE．F

證明：如圖，過點(diǎn)B

作BF⊥CE

于點(diǎn)F．∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°．∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°．∴∠BCF＝∠D．類型一、矩形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用F在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD，∴△BCF≌△CDE，∴BF＝CE．∵CE⊥AD，BF⊥CE，∴∠AEF＝90°，∠BFE＝90°．又∵∠A＝90°，∴四邊形AEFB是矩形，∴AE＝BF，∴AE＝CE．歸納幾何證明有時(shí)需要綜合應(yīng)用矩形的判定和性質(zhì)，“已知四邊形的邊角關(guān)系，證明四邊形是矩形”是判定；反之，“已知一個(gè)四邊形是矩形，證明線段或角的關(guān)系”是性質(zhì)．解題時(shí)要看清條件，弄清是應(yīng)用矩形的判定還是性質(zhì)．

2．如圖，矩形ABCD

的對(duì)角線AC，BD

相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)，G，H

分別是OA，OB，OC，OD

的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH

是矩形．類型一、矩形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

證明：∵E是OA的中點(diǎn)，G是OC的中點(diǎn)，∴OE＝AO，OG＝CO．∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO．∴OE＝OG．同理可得，OF＝OH．類型一、矩形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵OE＝AO，OG＝OC，∴EG＝OE＋OG＝AC．同理可證，F(xiàn)H＝

BD．∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∴EG＝FH．∴四邊形EFGH是矩形．類型二、菱形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

3．如圖，在平行四邊形ABCD

中，BC＝2AB，將AB

兩端延長，并截取AE＝AB＝BF，CE

交AD

于點(diǎn)G，DF

交BC

于點(diǎn)H．試判斷CG

與DH

的位置關(guān)系，并說明理由．

解：CG與DH

互相垂直．理由如下：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝DC．∴∠EAG＝∠CDG．類型二、菱形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用∵AB＝AE，∴AE＝DC．在△AEG和△DCG中，∠EAG＝∠CDG，∠AGE＝∠DGC，AE＝DC，∴△AEG≌△DCG．∴AG＝DG＝

AD．同理可得，BH＝CH＝

BC．又∵AD＝BC，∴DG＝CH．又∵DG∥CH，∴四邊形CDGH是平行四邊形．又∵BC＝2AB＝2CD，∴CD＝CH．∴平行四邊形CDGH是菱形．∴CG與DH互相垂直．類型二、菱形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用歸納解決此類問題時(shí)，要先利用菱形的判定證明四邊形是菱形，再通過菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解或證明，要注意兩者的聯(lián)系和區(qū)別．

4．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)

為線段BD

的兩個(gè)三等分點(diǎn)，四邊形AECF

是菱形．（1）試判斷四邊形ABCD

的形狀，并加以證明；（2）若菱形AECF

的周長為20，BD＝18，試求四邊形ABCD

的面積．類型二、菱形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

解：（1）四邊形ABCD

為菱形．理由如下：如圖，連接AC

交BD

于點(diǎn)O．∵四邊形AECF

是菱形，∴AC⊥EF，AO＝OC，EO＝OF．又∵點(diǎn)E，F(xiàn)為線段BD

的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴BE＝FD．∴BO＝OD．∵AO＝OC，∴四邊形ABCD

為平行四邊形．∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD

為菱形．類型二、菱形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用O類型二、菱形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用（2）∵四邊形AECF為菱形，且周長為20，∴AE＝5．∵BD＝18，∴EF＝6，OE＝

EF＝×6＝3．由勾股定理，得．∴AC＝2AO＝2×4＝8．∴S四邊形ABCD＝

BD·AC＝×18×8＝72．O類型三、正方形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

5．如圖，在矩形ABCD

中，E

是BC

邊上一點(diǎn)，DE

平分∠ADC，EF∥CD

交AD

邊于點(diǎn)F，連接BD，交EF

于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形FECD

是正方形；（2）若FG＝2，DC＝3，求的值．類型三、正方形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用（1）證明：∵四邊形ABCD

是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°．又∵EF∥CD，∴四邊形FECD

為矩形．∵DE

平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°．∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝45°，∴∠CDE＝∠DEC＝45°，∴CD＝CE．∴四邊形FECD

是正方形．類型三、正方形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用∴在Rt△DFG

中，，（2）解：在正方形FECD

中，∠EFD＝90°，F(xiàn)D＝DC＝CE＝3，∴．歸納判定一個(gè)四邊形為正方形的常用方法（1）根據(jù)定義，先判定其為平行四邊形，再證明它有一組鄰邊相等，且有一個(gè)角是直角；（2）先判定它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；（3）先判定它是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等．類型三、正方形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

6．如圖，菱形ABCD

的對(duì)角線AC，BD

相交于點(diǎn)O，分別延長OA，OC

到點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE＝CF，順次連接B，F(xiàn)，D，E

各點(diǎn)．（1）求證：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC＝50°，∠EBA＝20°，求證：四邊形BFDE

是正方形．類型三、正方形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

證明：（1）∵四邊形ABCD

是菱形，∴AB＝BC．∴∠BAC＝∠BCA．∴∠BAE＝∠BCF．在△BAE與△BCF中，∴△BAE≌△BCF．（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD．又∵AE＝CF，∴OE＝OF．∴四邊形BFDE是平行四邊形．由（1），得△BAE≌△BCF，則∠EBA＝∠FBC＝20°．類型三、正方形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用類型三、正方形性質(zhì)與判定的綜