人教版八年級數(shù)學(xué)下冊數(shù)據(jù)的分析《數(shù)據(jù)的波動程度（第1課時(shí)）》示范教學(xué)課件

數(shù)據(jù)的波動程度（第1課時(shí)）人教版八年級數(shù)學(xué)下冊現(xiàn)有甲、乙兩名射擊選手，他們的測試成績?nèi)缦卤硭荆?

次第

2

次第3

次第4

次第5

次甲的命中環(huán)數(shù)78889乙的命中環(huán)數(shù)1061068由上表可以很容易計(jì)算出他們成績的平均數(shù)都是8．教練需要從中挑選一位成績穩(wěn)定的選手參加全市運(yùn)動會．你能幫助教練選出合適的人選嗎？什么統(tǒng)計(jì)圖可以方便看出波動程度呢？根據(jù)這兩名射擊選手的成績畫出折線統(tǒng)計(jì)圖如下．345成績/環(huán)次數(shù)246810乙甲120從折線圖來看，甲的成績上下浮動較?。ㄏ鄬Ψ€(wěn)定），故選擇甲更合適．農(nóng)科院計(jì)劃為某地選擇合適的甜玉米種子．選擇種子時(shí)，甜玉米的產(chǎn)量和產(chǎn)量的穩(wěn)定性是農(nóng)科院所關(guān)心的問題，為了解甲、乙兩種甜玉米種子的相關(guān)情況，農(nóng)科院各用10塊自然條件相同的試驗(yàn)田進(jìn)行試驗(yàn)，得到各試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量（單位：t）如下表所示．甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49根據(jù)這些數(shù)據(jù)估計(jì)，農(nóng)科院應(yīng)該選擇哪種甜玉米種子呢？＝7.537，＝7.515，上面兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是說明在試驗(yàn)田中，甲、乙兩種甜玉米的平均產(chǎn)量相差不大，由此可以估計(jì)出這個(gè)地區(qū)種植這兩種甜玉米，它們的平均產(chǎn)量相差不大．由樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)．為了直觀地看出甲、乙兩種甜玉米產(chǎn)量的情況，我們把這兩組數(shù)據(jù)畫成下圖．甲種甜玉米的產(chǎn)量乙種甜玉米的產(chǎn)量比較上面兩幅圖可以看出，甲種甜玉米在各試驗(yàn)田的產(chǎn)量波動較大，乙種甜玉米在各試驗(yàn)田的產(chǎn)量比較集中地分布在平均產(chǎn)量附近．

從圖中看出的結(jié)果能否用一個(gè)量來刻畫呢？來衡量這組數(shù)據(jù)波動的大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作s2．為了刻畫一組數(shù)據(jù)波動的大小，可以采用很多方法．統(tǒng)計(jì)中常采用下面的做法：設(shè)有

n

個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)

的差的平方分是，，…，，我們用這些值的平均數(shù)，即用[]簡便來說，即：方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越?。讲羁梢苑从硵?shù)據(jù)的波動程度：方差越大，數(shù)據(jù)越分散（在平均數(shù)附近的波動越大）；方差越小，數(shù)據(jù)越集中（在平均數(shù)附近的波動越?。?、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別是，，顯然，即甲種甜玉米產(chǎn)量的波動較大．

這與我們從前面的兩幅圖中看到的結(jié)果一致．由此可知，在試驗(yàn)田中，乙種甜玉米的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．正如用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)一樣，也可以用樣本的方差估計(jì)總體的方差．因此可以推測，在這個(gè)地區(qū)種植乙種甜玉米的產(chǎn)量比甲種的穩(wěn)定．綜合考慮甲、乙兩個(gè)品種的平均產(chǎn)量和產(chǎn)量的穩(wěn)定性，可以推測這個(gè)地區(qū)比較適合種植乙種甜玉米．例1

一組數(shù)據(jù)3，2，1，2，2

的眾數(shù)、中位數(shù)、方差分別是多少？解：這組數(shù)據(jù)中2

出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)為2；將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處于中間位置的數(shù)為2，則中位數(shù)為2；平均數(shù)為×(3＋2＋1＋2＋2)＝2；方差為×[(3－2)2＋3×(2－2)2＋(1－2)2]＝0.4．求一組數(shù)據(jù)的方差的一般步驟：（1）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）根據(jù)方差公式求這組數(shù)據(jù)的方差．方差為[(x1＋k

－a－k)2＋(x2＋k－a－k)2＋…＋(xn＋k－a－k)2]例2

已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…

，xn

的平均數(shù)為a，方差為b．（1）求一組數(shù)據(jù)x1＋k，x2＋k，…，xn＋k

的平均數(shù)和方差．解：（1）x1＋k，x2＋k，…，xn＋k

的平均數(shù)為

(x1＋x2＋…＋xn＋nk)＝＝a＋k．(x1＋x2＋…＋xn)＋＝

[(x1

－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2]＝b．例2

已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…

，xn

的平均數(shù)為a，方差為b．（2）求一組數(shù)據(jù)kx1，kx2，…，kxn

的平均數(shù)和方差．解：（2）kx1，kx2，…，kxn的平均數(shù)為

方差為[(kx1－ka)2＋(kx2－ka)2＋…＋(kxn－ka)2]＝

[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2

]＝k2b．(kx1＋kx2＋…＋kxn)＝＝ka．(x1＋x2＋…＋xn)方差為[(kx1＋c－ka－c)2＋(kx2＋c－ka－c)2＋…＋(kxn＋c－ka－c)2]＝

[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(xn－a)2]＝k2b．例2

已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…

，xn

的平均數(shù)為a，方差為b．（3）求一組數(shù)據(jù)kx1＋

c，kx2＋c，…，kxn＋c

的平均數(shù)和方差．解：（3）kx1＋c，kx2＋c，…，kxn＋c的平均數(shù)為

(kx1＋kx2＋…＋kxn＋nc)＝＝ka＋c．(x1＋x2＋…＋xn)