2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：似三角形的性質(zhì)與判定

相似三角形的性質(zhì)與判定

1.比例線段的相關(guān)概念:

⑴在四條線段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么這四條線段a,b,c,d叫作成比例線段,簡稱比例線段.

注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一.

⑵比例的性質(zhì)(注意性質(zhì)里的條件：分母不能為0)

a:b=c:d=ad=be;ab=c/ao^^=

ba

(3)比例線段的有關(guān)定理

平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所截得的對應(yīng)線段成比例.

2.相似三角形：

⑴概念：三個(gè)角分別相等，三條邊成比例的三角形，叫作相似三角形.

相似比:相似三角形對應(yīng)邊的比叫作相似比.

⑵相似三角形的性質(zhì)：

相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

相似三角形周長的比等于相似比.

相似三角形面積的比等于相似比的平方.

注意：相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計(jì)算周長、邊長等.

(3)三角形相似的判定：

①平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

②只看角法(AA)：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

③只看邊法：

SSS:三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

HL：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相

似.

④邊角組合法(SAS):兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.

3.射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高的平方是兩直角邊在斜邊上射影的乘積.每一條直角邊的平方是這條直角邊在斜邊上的

射影和斜邊的乘積.

如圖,RtAABC中,ZB4C=90°,AD是斜邊BC上的高,貝UAD2=BD-DC.AB2=BD-BC,AC2=CDBC.

直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似.

4.相似三角形判定的基本模型

(1)“A”形及其變形

(3)雙垂直型

如圖1,ACAPOAPBD.

如圖2、圖3,有以下結(jié)論：(①△CAPO△PBD;;②連接CD,當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，△CAPO△PBDACPD.

圖3

圖4結(jié)論:△ABN<^AMAN^AMCA.

圖5結(jié)論:△ABD^ACAE^ACBA.

K一例題精講

例i閱讀與計(jì)算，請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題.

角平分線分線段成比例定理，如圖1,在^ABC中，AD平分立B4C,則桀=器.下面是這個(gè)定理的部分證明過程.

證明:如圖2,過點(diǎn)C作CE〃DA,交BA的延長線于點(diǎn)E

任務(wù)：

⑴請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

⑵填空:如圖3,已知RtAABC中,AB=3,BC=4,乙48c=90°?AD平分NBAC,則△ABD的周長是___.

圖1圖2圖3

圖1圖2

⑴圖1中共有______對相似三角形，分別為(不需證明)；

(2)已知.AB=10,AC=8,,求出CD的長;

(3)在⑵的情況下，以AB為x軸、CD為y軸、點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系(如圖2),若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒I個(gè)單

位的速度沿線段CB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BA運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)即刻同

時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)B,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△相似?若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由.

舉一反三3已知如圖.在RtAACB中,NC=9(T,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;點(diǎn)Q由

A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(單位:s)(0<t<2),當(dāng)t為何值時(shí)，以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角

形與△ABC相似？

例3從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,

如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫作這個(gè)三角形的完美分割線.

圖1圖2

⑴如圖1,在4ABC中,CD為角平分線/A=4(r,/B=60。,求證:CD是AABC的完美分割線；

(2)如圖2,在八ABC中,AC=2,BC=V2.CD是八ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD

的長.

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NACB=80。,根據(jù)角平分線的定義得到NACD=40。,證明ABCDs^BAC,證明結(jié)論；

⑵根據(jù)△BCDs/XBAG得到器=需設(shè)BD=x,解方程求出x,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理列式計(jì)算即可.

舉一反三4兩對相似的直角三角形按如圖所示的方式擺成矩形ABCD,其中△ADHCo△BAE,AADH三&CBFAABE三&CDG.

若EF:FG=1:2,4B:BC=2:3,則矩形EFGH與矩形ABCD的面積之比為（）

A..4—8

85

6唁

例4如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊BC上，在CD邊上取一點(diǎn)F使AEAF=45°,AE與BD交于點(diǎn)H.AF與BD交于點(diǎn)

⑴求證:加=BG-DH;

⑵求證:CE=V2DG;

(3)求證:EF=V2WG.

備用圖

舉一反三5已知:正方形ABCD,點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在線段BE的延長線上，且乙FCE=乙CBE.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)時(shí)，求證:（CF=2EF-,

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)F位于線段AD的延長線上時(shí)，求證：If=器

BEDF

例5【問題情境】如圖1,R3ABC中,NACB=9(T,CD_LAB我們可以利用△ABC與4ACD相似證明.AC2=AD-AB,,這個(gè)結(jié)論

我們稱之為射影定理，試證明這個(gè)定理.

【結(jié)論運(yùn)用】如圖2,正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)0是對角線AC,BD的交點(diǎn).點(diǎn)E在CD上，過點(diǎn)C作CF_LBE,垂足為F.連接

⑴試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明△BOF^ABED;

⑵若DE=2CE,求OF的長.

舉一反三6一直角三角形的兩直角邊之比為2：3,若斜邊上的高分斜邊為兩線段，則較小的一段與較大的一段之比是—.

舉一反三7如圖，矩形ABCD過點(diǎn)A作AE±BD于點(diǎn)E,AB=4,ZBAE=30°,]!!!]△DEC的面積是

(1)如圖1,如果四周的小路的寬均相等，那么小路四周所圍成的矩形4?CD和矩形ABCD相似嗎?請說明理由.

(2攻口圖2,如果相對著的兩條小路的寬均相等，試問小路的寬x與y的比值為多少時(shí)，能使小路四周所圍成的矩形.

矩形ABCD?請說明理由.

【思路點(diǎn)撥】⑴首先設(shè)四周的小路的寬為x,易得甯力誓，則可判定：小路四周所圍成的矩形.4ECD和矩形ABCD不相

似;⑵由相似多邊形的性質(zhì)可得：當(dāng)誓=甯時(shí)，小路四周所圍成的矩形.4?C'D'和矩形ABCD相似，繼而求得答案.

舉一反三8善于學(xué)習(xí)的小敏查資料知道：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)梯形，叫作相似梯形.他想到“平行于三角形一邊的直

線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個(gè)問題，你能幫助解決嗎？

問題一：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？

（1）從特殊情形入手探究.如圖1,假設(shè)梯形ABCD中，AD\\BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,MN是中位線.根據(jù)相似梯形的定義，請你

說明梯形AMND與梯形ABCD是否相似.

⑵一般結(jié)論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形—（填“相似”“不相似”或“相似性無法確定”，不要求證明）.

問題二：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形是否相似？

（3）從特殊平行線入手探究梯形的中位線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形—（填“相似”“不相似”或“相似性無法確定”，不要求證明）.

（4）從特殊梯形入手探究.同上假設(shè)，如圖2,梯形ABCD中，4D||BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,你能找到與梯形底邊平行的直線P

Q（點(diǎn)P,Q在梯形的兩腰上）,使得梯形APQD與梯形PBCQ相似嗎?請根據(jù)相似梯形的定義說明理由.

⑸一般結(jié)論：對于任意梯形（如圖3）,一定一（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個(gè)小梯形相似.若存

在，則確定這條平行線位置的條件是蕓=一.（不妨設(shè).AD=a,BC=b,AB=c,CD=d.不要求證明）

過關(guān)檢測

基礎(chǔ)夯實(shí)

1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，若BC=3.BD=2.且NBCD=NA,則線段AD的長為（）

2.在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫作格點(diǎn)三角形.如圖ABC是格點(diǎn)三角形，在圖中

的6x6正方形網(wǎng)格中作出格點(diǎn)三角形^ADE（不含△ABC）,使得△ADEs^ABC（同一位置的格點(diǎn)三角形△ADE只算一個(gè)）,這樣的格

點(diǎn)三角形一共有（）

A.4個(gè)B.5個(gè)

C.6個(gè)D.7個(gè)

C

3如圖，在口ABCD中,AC是一條對角線,EF〃:BC.且EF與AB相交于點(diǎn)E,與AC相交于點(diǎn)F,3AE=2EB,連接DF若SAAEF=1,則

SAADF的值為.

4.如圖，在^ABC中,D.E為邊AB的三等分點(diǎn),EF〃DG〃AC,H為AF與DG的交點(diǎn)若AC=6,則DH=

5.如圖，點(diǎn)Pl,Pzp3,P4均在坐標(biāo)軸上，且PlPzXPzP3P2P3-LP3P4，右點(diǎn)Pl,Pz的坐標(biāo)分別為(0,1),(—2,0),則點(diǎn)P4的坐

7.如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿著BC向C點(diǎn)移動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CD向

D點(diǎn)移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，幾秒后由C,P,Q三點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似？這時(shí)線段PQ與AC的位置關(guān)系如何?請說明

理由.

8。)某學(xué)?！爸腔鄯綀@”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目：

如圖1,在AABC中，點(diǎn)O在線段BC±,ZBAO=30°,ZOAC=75°,AO=3V5,BO:CO=1:3,求AB的長.

經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)B作BD〃AC,交AO的延長線于點(diǎn)D,通過構(gòu)造八ABD就可以解決問題(如圖2).

A

4

請回答:NADB=—°,AB=____

⑵請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC±AD,AO=3V3,ZABC=ZACB=75°,BO:OD=1:3,SDC的長.

能力拓展

10如圖,在RtAABC中,NACB=90。，分別以其三邊為邊向外作正方形，過點(diǎn)C作CR1FG于點(diǎn)R,再過點(diǎn)C作PQ1CR分別交

邊DE,BH于點(diǎn)P,Q.若QH=2PE,PQ=15,則CR的長為()

A.14B.15

C.8V3P.6V5

11.如圖,AB〃CD,AD〃CE,F,G分別是AC和FD的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直線依次交AB,AD,CD,CE于