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2024年高二9月起點考試高二數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校:安陸一中命題教師:陳漢榮李治國余華萍審題學(xué)校:安陸一中考試時間:2024年9月5日下午14:30-16:30試卷滿分:150分注意事項:1.答題前,先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上,并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)城均無效.一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.孝感市某高中有學(xué)生1200人,其中高一年級有學(xué)生400人,高二年級有學(xué)生600人,現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取120人進(jìn)行問卷調(diào)查,則被抽到的高二年級學(xué)生人數(shù)比高一年級學(xué)生人數(shù)多()A.20 B.30 C.40 D.50【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意先求抽樣比,進(jìn)而求高一,高二被抽到的學(xué)生生人數(shù)即可求解.【詳解】抽樣比等于,于是,高一被抽到的學(xué)生人數(shù)為,高二被抽到的學(xué)生人數(shù)為,所以高二年級學(xué)生人數(shù)比高一年級學(xué)生人數(shù)多.故選:A.2.已知復(fù)數(shù)滿足:,則復(fù)數(shù)的虛部為()A. B.-2 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法先求出復(fù)數(shù),結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因為,所以,所以所以虛部為2.故選:C3.已知,則在上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用即可得到在上的投影向量.【詳解】在上的投影向量為.故選:B.4.已知圓錐的側(cè)面積為,圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形,則該圓錐的底面圓半徑為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出圓錐底面圓半徑,表示出圓錐母線長,再利用圓錐側(cè)面積公式計算即得.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為,母線長為,則,解得,由圓錐的側(cè)面積為,得,即,所以.故選:A5.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)“第一枚出現(xiàn)小于4的點”,“第二枚出現(xiàn)大于3的點”,則與的關(guān)系為()A.互斥 B.互為對立 C.相互獨(dú)立 D.相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概念進(jìn)行判斷.【詳解】對于該試驗,第一枚骰子與第二枚骰子出現(xiàn)點數(shù)互不影響,故與相互獨(dú)立.故選:C6.在三棱錐中,三個側(cè)面與底面所成的角均相等,頂點在內(nèi)的射影為,則是的()A.垂心 B.重心 C.內(nèi)心 D.外心【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三垂線定理可得平面的夾角,結(jié)合題意得,即可根據(jù)銳角三解函數(shù)得,由內(nèi)心的性質(zhì)即可求解.【詳解】若三個側(cè)面與底面所成的角相等,則分別作三個側(cè)面三角形的斜高,由三垂線定理,得,,,則、、分別是三側(cè)面與底面所成角的平面角,,,,,,是的內(nèi)心.故選:C.7.如圖,一塊礦石晶體的形狀為四棱柱,底面是正方形,,且,則向量的模長為()A B.34 C.52 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性表示可達(dá),即可由模長公式求解.【詳解】,故,故,故,故選:D8.已知單位向量滿足,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意求出的值,進(jìn)而即可求解的最小值.【詳解】由得,兩邊取平方得,即,又為單位向量,所以,即,解得或,因為,所以,即.因,所以,當(dāng)時等號成立,所以的最小值為.故選:B.二?多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.關(guān)于非零向量,下列命題中正確的是()A.若,則. B.若,則.C.若,則. D.若,則.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量模的定義即可求解C,根據(jù)向量共線定義可判斷B,根據(jù)向量相等的定義即可求解AD.【詳解】對于A,不能得到的方向,故A錯誤,對于B,若,則,B正確,對于C,向量不能比較大小,故C錯誤,對于D,若,則,D正確,故選:BD10.如圖,正方體的棱長為1,點在線段上運(yùn)動,則下列選項中正確的是()A.的最小值為.B平面平面.C.若是的中點,則二面角的余弦值為.D.若,則直線與所成角的余弦值為.【答案】ABC【解析】【分析】證明,可判斷A的真假;通過面面垂直的判定定理判斷B的真假;作出二面角并求出其余弦值,判斷C的真假;作出異面直線所稱的角,并求其余弦,判斷D的真假.【詳解】對A:如圖連接,,因為是正方體,所以平面,平面,所以.又點在線段上,所以為直角三角形,所以(當(dāng)點與點重合時取“”).故A正確;對B:因為是正方體,所以平面,又平面,所以:平面平面,故B正確;對C:當(dāng)為線段中點時,因為,,所以即為二面角的平面角.在中,,,,所以,所以.故C正確;對D:如圖:因為,在上取點,使,連接,,則,所以即為異面直線與所成的角.在中,,,.由余弦定理可得:,故D錯誤.故選:ABC11.在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時,收到1的概率為,收到0的概率為;發(fā)送1時,收到0的概率為,收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次,三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時,收到的信號即為譯碼;三次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1).A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到l,0,1的概率為B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為D.當(dāng)時,若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計算判斷AB;利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計算判斷C;求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【詳解】對于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到l,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積,它們相互獨(dú)立,所以所求概率為,A正確;對于B,三次傳輸,發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到l,0,1的事件,是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積,它們相互獨(dú)立,所以所求概率為,B正確;對于C,三次傳輸,發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件和,它們互斥,由選項B知,所以所求的概率為,C錯誤;對于D,由選項C知,三次傳輸,發(fā)送0,則譯碼為0的概率,單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率,而,因此,即,D正確.故選:ABD【點睛】關(guān)鍵點睛:利用概率加法公式及乘法公式求概率,把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和,相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知,若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第______象限.【答案】四【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念求出的值,再確定對應(yīng)的點所在的象限.【詳解】因為是純虛數(shù),且,所以.所以,對應(yīng)的點位于第四象限.故答案為:四13.三棱錐中,平面,則該三棱錐的外接球體積等于______.【答案】【解析】【分析】將三棱錐補(bǔ)成長方體,求長方體外接球的體積即可.【詳解】如圖:將三棱錐補(bǔ)成長方體,則三棱錐的外接球和長方體的外接球是一致的.設(shè)長方體外接球半徑為,則:,所以所以三棱錐的外接球體積為:.故答案為:14.在中,,則中最小角的余弦值為__________.【答案】##【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的幾何意義計算即可.【詳解】因為是直角三角形,且為斜邊,而,,由得,即,即,所以,所以.故答案為:四?解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.如圖,在直三棱柱中,分別是和的中點.(1)求證:平面;(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)12【解析】【分析】(1)取中點,連接.,先證平面,再證,可得平面.(2)通過等積變換可得,求即可.【小問1詳解】取中點,連接.因為是的中點,所以,且.由直棱柱知,,而是的中點,所以且,所以四邊形是平行四邊形.所以.又為中點,,又三棱柱為直三棱柱,所以平面,平面,,又,平面,所以:平面,故平面.【小問2詳解】,由(1)知,平面.所以且.16已知.(1)若,求實數(shù)k的值;(2)求與的夾角的余弦值.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)向量的模長公式可得,即可根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可代入求解,(2)根據(jù)夾角公式即可求解.【小問1詳解】由題意知,,又,所以,由,得,即又,所以,解得.【小問2詳解】設(shè)與的夾角為,則所以與的夾角的余弦值為.17.在中,內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)若,求角的大??;(2)若為銳角三角形,求的取值范圍.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理,把化成,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,消去角,可得角,的關(guān)系,結(jié)合,可求角.(2)根據(jù)(1)中角,的關(guān)系,利用正弦定理,可得,再根據(jù)為銳角三角形,可求角的取值范圍,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得的取值范圍.【小問1詳解】因為,由正弦定理得:又,所以所以,得所以,則或(舍),.【小問2詳解】由題意及(1)得,在中,,由正弦定理得,,為銳角三角形,解得:,的取值范圍為.18.如圖,在四棱錐中,平面為的中點,.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面;(3)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】【分析】(1)構(gòu)造線線平行,證明線面平行.(2)通過證明,,進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證明線面垂直,可證面面垂直.(3)先作出直線與平面所成的角,然后用直角三角形中的邊角關(guān)系求角的正弦值.【小問1詳解】如圖:取的中點,連接,則,且,又且,所以且,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面平面,所以平面.【小問2詳解】因為平面平面,所以,由題設(shè)易知為直角梯形,且,則,,所以,即,因為平面,所以平面,又平面,所以平面平面.【小問3詳解】如圖:取的中點,連接,則,由(2)知平面,則平面,所以為直線與平面所成的角.因為,所以.所以.即直線與平面所成角的正弦值為19.A校和B校是孝感市兩所著名的高中,為了相互學(xué)習(xí)和交流,現(xiàn)隨機(jī)抽取2000名A校學(xué)生和2000名B校學(xué)生參加一場知識問答競賽,得到的競賽成績?nèi)课挥趨^(qū)間中,現(xiàn)分別對兩校學(xué)生的成績作統(tǒng)計分析:對A校學(xué)生的成績經(jīng)分析后發(fā)現(xiàn),可將其分成組距為10,組數(shù)為6,作頻率分布直方圖,且頻率分布直方圖中的滿足函數(shù)關(guān)系(n為組數(shù)序號,);關(guān)于B校學(xué)生成績的頻率分布直方圖如下圖所示(縱軸為),假定每組組內(nèi)數(shù)據(jù)都是均勻分布的.(1)求的值;(2)若B校準(zhǔn)備給前100名的學(xué)生獎勵,應(yīng)該獎勵多少分以上的學(xué)生?(3)現(xiàn)在設(shè)置一個標(biāo)準(zhǔn)來判定某一學(xué)生是屬于A校還是B校,將成績小于的學(xué)生判為B校,大于的學(xué)生判為A校,將A校學(xué)生誤判為B校學(xué)生的概率稱為誤判率A,將B校學(xué)生誤判為A校學(xué)生的概率稱為誤判率B,誤判率A與誤判率B之和稱作總誤判率,
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