2024-2025學年石河子市高二數(shù)學上學期開學考試卷附答案解析

-2025學年石河子市高二數(shù)學上學期開學考試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項選擇題：（本大題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．已知全集，集合，集合，則(CUA)∪B為（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．在ΔABC中，，則角的大小為（

）A． B． C．或 D．4．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，則，B．若，，則C．若，，則D．若，，，則5．現(xiàn)測得某放射性元素的半衰期為1500年（每經(jīng)過1500年，該元素的存品為原來的一半），某生物標本中該放射性元素面初始存量為m，經(jīng)檢測現(xiàn)在的存量，據(jù)此推測該生物距今約為（

）（參考數(shù)據(jù)：)A．2700年B．3100年C．3500年D．3900年6．已知，則（

）A． B． C． D．7．已知ΔABC中，，，AD為BC上的高，垂足為，點為AB上一點，且，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域為R，滿足，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù)D．是奇函數(shù)二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法正確的是（

）A．數(shù)據(jù)1，3，5，7，9，11，13的第60百分位數(shù)為9B．投擲一枚均勻硬幣和一個均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件，“骰子向上的點數(shù)大于4”為事件，則事件，中至少有一個發(fā)生的概率是.C．用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是D．若樣本，，…，的平均數(shù)和方差分別為2和3，則，，…，的平均數(shù)和方差分別為8和2710．下列命題正確的是（

）A．若，且，B．已知正數(shù)、滿足，則的最小值為C．若，則的最大值是D．若，，，則的最小值是11．如圖，在正方體中，為線段的中點，為線段上的動點．則下列結(jié)論正確的是（

）A．若為中點，則平面B．若為中點，則平面C．不存在點，使得D．PQ與平面所成角的正弦值的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若平面向量，，且，則.13．如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，，平面平面ABCD，中BC邊上的高，則該幾何體的體積為．14．在，角，，所對的邊分別為，，，，交AC于點，且，則的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15(13分）．從某學校的800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．(1)求第七組的頻率；(2)估計該校的800名男生的身高的中位數(shù)；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．16．（15分）在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)證明：；(2)若，，求a的值．17（15分）．已知函數(shù)，的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：(2)將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.18．（17分）如圖，在三棱錐中，的中點分別為，點在上，.(1)證明:平面；(2)證明:平面；(3)求PA長,并求直線PA和平面BEF所成角的正弦值。19(17分）．“難度系數(shù)”反映試題的難易程度，難度系數(shù)越大，題目得分率越高，難度也就越小，“難度系數(shù)”的計算公式為，其中L為難度系數(shù)，Y為樣本平均失分，W為試卷總分（一般為100分或150分）．某校高二年級的老師命制了某專題共5套測試卷（總分150分），用于對該校高二年級480名學生進行每周測試，測試前根據(jù)自己對學生的了解，預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù)，如下表所示：試卷序號i12345考前預(yù)估難度系數(shù)0.70.640.60.60.55測試后，隨機抽取了50名學生的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：試卷序號i12345平均分/分10299939387(1)根據(jù)試卷2的預(yù)估難度系數(shù)估計這480名學生第2套試卷的平均分；(2)試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實測難度系數(shù)之間會有偏差，設(shè)為第i套試卷的實測難度系數(shù)，并定義統(tǒng)計量，若，則認為試卷的難度系數(shù)預(yù)估合理，否則認為不合理．以樣本平均分估計總體平均分，試檢驗這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估是否合理．(3)聰聰與明明是學習上的好伙伴，兩人商定以同時解答上述試卷易錯題進行“智力競賽”，規(guī)則如下：雙方輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計0分，先多得2分者為勝方.若在此次競賽中，聰聰選題時聰聰?shù)梅值母怕蕿?，明明選題時聰聰?shù)梅值母怕蕿?，各題的結(jié)果相互獨立，二人約定從0:0計分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率.2024-2025學年石河子市高二數(shù)學上學期開學考試卷一、單項選擇題：（本大題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）一、單選題1．已知全集，集合，集合，則(CUA)∪B為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列舉法表示出集合A，再利用補集、并集的定義求解即得.【詳解】依題意，，而，則，又，所以.故選：B2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的模長公式及除法運算求解復(fù)數(shù)，然后求其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：A3．在ΔABC中，，則角的大小為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】利用正弦定理計算可得.【詳解】因為，由正弦定理，即，所以，又，所以，則.故選：A4．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，則，B．若，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】D【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系，結(jié)合線面平行、垂直的判定性質(zhì)逐項討論即可得答案.【詳解】對于D，由，得，當時，，D正確；對于B，若，則或相交，B錯誤；對于C，若，，則或異面，C錯誤；對于A，若，可以在或內(nèi)，當時，，A錯誤.故選：D5．現(xiàn)測得某放射性元素的半衰期為1500年（每經(jīng)過1500年，該元素的存品為原來的一半），某生物標本中該放射性元素面初始存量為m，經(jīng)檢測現(xiàn)在的存量，據(jù)此推測該生物距今約為（

）（參考數(shù)據(jù)：)A．2700年B．3100年C．3500年D．3900年【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得，兩邊取對數(shù)得.故選：C6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩角和差公式以及倍角公式化簡求值可得答案.【詳解】由題干得所以，故選：B.7．已知ΔABC中，，，AD為BC上的高，垂足為，點為AB上一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性關(guān)系及數(shù)量積的運算律得可得答案.【詳解】如圖所示，由題意可知，，，，故，因為，所以，則.故選：A.8．已知函數(shù)的定義域為R，滿足，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】D【分析】通過對的賦值，結(jié)合奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念逐項判斷額.【詳解】由題意知，在函數(shù)中，2023，當時，，解得，若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則該函數(shù)的圖象必過原點，即有，故B錯誤.當時，，解得，無法得到，故A錯誤.在函數(shù)中，，所以是奇函數(shù)，故C錯誤，D正確.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法正確的是（

）A．數(shù)據(jù)1，3，5，7，9，11，13的第60百分位數(shù)為9B．投擲一枚均勻硬幣和一個均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件，“骰子向上的點數(shù)大于4”為事件，則事件，中至少有一個發(fā)生的概率是.C．用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是D．若樣本，，…，的平均數(shù)和方差分別為2和3，則，，…，的平均數(shù)和方差分別為8和27【答案】AD【分析】對于A，根據(jù)百分位數(shù)的定義計算判斷，對于B，根據(jù)樣本的定義分析判斷，對于C，根據(jù)隨機抽樣的性質(zhì)分析判斷，對于D，根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)分析判斷．【詳解】對于A，因為，所以第60百分位數(shù)為第5個數(shù)是9，所以A正確；對于B，由題意得事件，中至少有一個發(fā)生的對立事件是事件，都不發(fā)生，而事件不發(fā)生的概率為，事件不發(fā)生的概率為，所以事件，都不發(fā)生的概率為，故事件，中至少有一個發(fā)生的概率是。所以B錯誤；對于C，用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是，所以C錯誤；對于D，若樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為2，方差為3，則，，，的平均數(shù)為，方差為,所以D正確．故選：AD．10．下列命題正確的是（

）A．若，且，B．已知正數(shù)、滿足，則的最小值為C．若，則的最大值是D．若，，，則的最小值是【答案】BC【分析】利用基本不等式逐項判斷，注意不等成立的前提條件．【詳解】對于選項，若均為負數(shù)，不等式不成立，所以錯誤；對于選項，，所以，則，所以，，當且僅當，即當時，等號成立，故正確；對于選項，因為，，當且僅當即時，等號成立，所以，故正確；對于選項，因為，所以，所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值是，故錯誤．故選：．11．如圖，在正方體中，為線段的中點，為線段上的動點．則下列結(jié)論正確的是（

）A．若為中點，則平面B．若為中點，則平面C．不存在點，使得D．PQ與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】ABD【分析】利用線面平行的判定定理可判斷A；利用線面垂直的判定定理可判斷B；當Q與B重合時，結(jié)合平面，可證，判讀C；利用線面角的定義求出PQ與平面所成角的正弦值的最值，可判斷D.【詳解】對于A，連接，由于為中點，為線段的中點，故，而平面，平面，故平面，A正確；對于B，在正方體中，連接，則，又平面，平面，故，而平面，故平面，由A的分析可知，故平面，B正確；對于C，在正方體中，為線段的中點，也為為線段的中點，當Q與B重合時，平面，連接，則，又平面，平面，故，而平面，故平面，而平面，故，即即存在點，使得，C錯誤；對于D，不妨設(shè)正方體棱長為2，作，垂足為H，則H為的中點，由于平面平面，平面平面，且平面，故平面，且，則為PQ與平面所成角，當Q與B重合時，取到最大值BH，此時PB即為PQ的最大值，此時PQ與平面所成角的正弦值取到最小值，為，而,故；作，垂足為G，則，，當Q與G重合時，取到最小值即為HG，此時PG長即為PQ的最小值，此時PQ與平面所成角的正弦值取到最大值，為，即PQ與平面所成角的正弦值的取值范圍為，D正確，故選：ABD【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于選項D的判斷，解答時要能根據(jù)線面角的定義，確定角的正弦值取到最值時的點Q的位置，從而解直角三角形求出正弦值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若平面向量，，且，則.【答案】10或2【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可得或，即可根據(jù)模長的坐標公式求解.【詳解】，，且，，即，即，解得或，當時，，，則，；當時，，，則，綜上可知，或2.故答案為：10或213．如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，，平面平面ABCD，中BC邊上的高，則該幾何體的體積為．【答案】【分析】先補全多面體ABCDEF，得到三棱柱，然后求出三棱錐的體積，從而求解．【詳解】在多面體中，由，平面，平面，得平面，延長FE到G，使得，連接DG、AG，如圖：顯然，，幾何體為三棱柱，由平面平面，平面平面，平面，得平面，則三棱柱為直三棱柱，于是三棱錐的體積為：，所以原幾何體的體積為：.故答案為：14．在，角，，所對的邊分別為，，，，交AC于點，且，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)面積公式和，求出，故利用基本不等式“1”的代換求出最值，得到答案.【詳解】，，，，，∴，當且僅當，即時，等號成立，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15(13分）．從某學校的800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．(1)求第七組的頻率；(2)估計該校的800名男生的身高的中位數(shù)；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．【答案】(1)；(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為；(3)．【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)求第七組的頻率；(2)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)；(3)確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率.【詳解】解：(1)第六組的頻率為，∴第七組的頻率為．(2)由直方圖得，身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組的頻率為，身高在第四組的頻率為，由于，，設(shè)這所學校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，由得，所以這所學校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5cm(3)第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d，第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B，則從中隨機抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況，因事件發(fā)生當且僅當隨機抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以．16．（15分）在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)證明：；(2)若，，求a的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得，可得，或，分類討論即可證明；（2）由，求解，利用，求解，結(jié)合正弦定理即可求解.【詳解】（1）由及正弦定理可得，，，即，所以，整理得，即，又，是的內(nèi)角，所以，，所以或（舍去），即．（2）由及可知，．由可知，，．由可得，．在中，由正弦定理可得，，解得，17（15分）．已知函數(shù)，的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：(2)將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)的解析式，接著依據(jù)題意求出，進而求出函數(shù)，再令，接著求解不等式即可得解.（2）先由三角變換規(guī)則結(jié)合（1）得，接著由得，再由正弦函數(shù)圖像性質(zhì)即可求出函數(shù)y=gx在區(qū)間上的值域.【詳解】（1）因為，又由題，所以，所以，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1），故由題意可得，當，，故由正弦函數(shù)圖像性質(zhì)可得，所以即，所以函數(shù)y=gx在區(qū)間上的值域為.18．（17分）如圖，在三棱錐中，的中點分別為，點在上，.(1)證明:平面；(2)證明:平面；(3)求PA長,并求直線PA和平面BEF所成角的正弦值?！敬鸢浮?1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直的判定推理作答.（3）求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，因為，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，

于是，即，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面；（2）因為分別為中點，所以，因為，所以，因為，，，所以，因為，所以，即，因為，所以，又因為平面，所以平面；（3）在中，，在中，，PA=14.AE=142,設(shè)AO與BF相交于點G，則G為重