2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-平面向量

(4)平面向量

——2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)一站式復(fù)習(xí)之講義

【高考考情分析】

平面向量的概念及運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算，在高考中的考查突出向量的基本

運(yùn)算與工具性，命題重點(diǎn)為平面向量的線性運(yùn)算、共線向量定理、平面向量基本定理及平面向

量共線的坐標(biāo)表示，主要以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，難度較低，要注重掌握向量的數(shù)與形

的特征，同時(shí)要掌握用坐標(biāo)法解決向量問題.

平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用是高考命題的熱點(diǎn)，每年必考,主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,

模、夾角問題的求解，平行或垂直問題的求解，有時(shí)也會與平面幾何、三角函數(shù)、不等式、解

析幾何等內(nèi)容綜合考查，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏下，要掌握運(yùn)用數(shù)形

結(jié)合思想和函數(shù)與方程思想解決有關(guān)最值等綜合問題.

【基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)】

1向量加法的法則：三角形法則和平行四邊形法則.

如圖，已知非零向量a,b,在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A,作AB=a，BC=b，則

向量AC叫做a與萬的和，記作a+方，^a+b=AB+BC=AC.

三角形法

C

則

A'--a~

已知兩個(gè)不共線向量a,4作AB=a，=人以A3，AD為令B邊作，ABCD,

平行四邊則對角線上的向量AC=a+b.

形法則

A公

2.對于零向量與任意向量a,有a+0=0+a=a.

3.向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a；

結(jié)合律：a+3+c)=(a+8)+c.

4.向量形式的三角不等式：\a+b\?\a\+\b\,當(dāng)且僅當(dāng)a,方方向相同時(shí)等號成立.

5.相反向量：

①定義：與。長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作一訪并且規(guī)定，零向量

的相反向量仍是零向量.

②性質(zhì)：零向量的相反向量仍是零向量；

a和-a互為相反向量，于是-(-a)=a；

若a，8互為相反向量，則。=—b=—a,a+Z>=0.

6.向量數(shù)乘的定義:規(guī)定實(shí)數(shù)幾與向量0的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作：2a,

它的長度與方向規(guī)定如下：①1而1=1如1。1；②當(dāng)4>0時(shí)，加的方向與。的方向相同；當(dāng)2<0

時(shí)，加的方向與。的方向相反當(dāng)2=0或。=0時(shí)，Aa=0.

7.向量數(shù)乘的運(yùn)算律：設(shè)九〃為任意實(shí)數(shù)，則有：

①=(2/z)a；

(2)(2+/j)a=2a+//a；

③2(a+b)=Aa+Ab.

特另U地，有(一2)a==2(-a)；2(a-b)—Aa-Ab.

8.向量的線性運(yùn)算：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍

是向量.對于任意向量。，)，以及任意實(shí)數(shù)％，〃i，〃2，恒有=

9.向量共線(平行)定理：向量以。/0)與方共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)汨使萬=2a.

10.平面向量基本定理：如果％，e?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任

一向量。，有且只有一對實(shí)數(shù)4，4，使。=461+%202.

11.基底：若生，e?不共線，則把｛%,02｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

12.平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

13.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

設(shè)向量。=(為，％)"=(%，%)，幾eR,則有下表：

運(yùn)算文字描述符號表示

兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向a+b=(x+x,X+%)

加法i2

量相應(yīng)坐標(biāo)的和

兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向a-b=(x-x,%一%)

減法i2

量相應(yīng)坐標(biāo)的差

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)Aa=（丸再，

數(shù)乘

數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)

一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有已知A(%j,yJ,B(x,y),

向量坐標(biāo)公22

向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)

式則AB：?-%，%

14.平面向量共線的坐標(biāo)表示

（1）設(shè)。=（西，必）"=（々，%），其中共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)幾，使。=勸.

（2）如果用坐標(biāo)表示，向量共線的充要條件是百%-々%=0.

15.向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量如圖，。是平面上的任意一點(diǎn)，作。4=a，OB=b，

則ZAOB=6（0轟的兀）叫做向量。與b的夾角.記作＜。，方＞.

JT

當(dāng)。=0時(shí)，向量。，入同向；當(dāng)6=5時(shí)，向量a"垂直，記作0_1_）；當(dāng)。=兀時(shí)，向量a"反

向.

16.平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與方，它們的夾角為。，把數(shù)量|。|傳Icos。叫

做向量a與力的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作al,即a小=|a||b|cos。.

17.投影向量：如圖，設(shè)a"是兩個(gè)非零向量，AB=a，CD=b，過A3的起點(diǎn)A和終點(diǎn)3,

分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為4，耳，得到A4,這種變換稱為向量。向向量力投

影，44叫做向量a在向量b上的投影向量.

H

C4,a,D

18.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)是非零向量，它們的夾角是。，e是與方方向相同的單位向量,

則

(1)ae=ea^a\cos0；

(2)a_L〃oa/=0；

(3)當(dāng)。與方同向時(shí)，。?萬當(dāng)@與方反向時(shí)，ab=-\a\\b\,特別地，或

\a\=4a~a；

(4)由cos。,，1可得，\a-b\?\a\\b\-

19.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(1)交換律：ab=ba；

(2)數(shù)乘結(jié)合律:(而)小=〃“1)=人(勸)；

(3)分配律:(a+b)c=ac+bc.

20.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示:設(shè)向量。=(%，%)"=(>2,%)，則。小=%々+%%.

這就是說，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.

21.向量模的坐標(biāo)表示：

(1)若向量a=(x,y),則|°|=Jx2+y?;

(2)若點(diǎn)4>1，%),8區(qū)，為)，向量AB=(%—X)，則|A8|=J(、一/)2+(%—X)2?

由此可知，向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離的運(yùn)算.

22.向量夾角的坐標(biāo)表示：設(shè)都是非零向量，4=(%,%)"=(>2,%),。是@與方的夾角,

則2品

23.向量垂直的坐標(biāo)表示：設(shè)向量。=(石，%)"=(>2,%)，則?方=00%/+%%=0.

【重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)】

1.向量共線(平行)定理：向量。3,0)與方共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)4,使方=".

2.平面向量基本定理：如果4,02是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任

一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)4,4，使。=4%+402.

3.投影向量：設(shè)是兩個(gè)非零向量，AB=a,CD=b,過A3的起點(diǎn)A和終點(diǎn)3,分別作CD

所在直線的垂線，垂足分別為A，M，得到44,這種變換稱為向量。向向量方投影，A4叫

做向量。在向量方上的投影向量.

4.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a"是非零向量，它們的夾角是，，e是與方方向相同的單位向量，

則

(1)ae=ea^a\cos0?

(2)a_L〃oal=0；

(3)當(dāng)。與方同向時(shí)，ab=\a\\b\-,當(dāng)。與方反向時(shí)，ab^-\a\\b\,特別地，a?a=|a/或

|a|=y/aa；

(4)由cos。,，1可得，\a-b\?\a\\b\;

ab

(5)cos0=

\a\\b\-

【基本方法與技能復(fù)習(xí)】

1.用平面向量基本定理解決問題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將相關(guān)向量表示出來，再通過向量的運(yùn)算來解決.

（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.另外，要熟練運(yùn)用平面幾何

的一些性質(zhì)定理.

2.向量線性運(yùn)算的解題策略

（1）常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，

求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則.

（2）找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或

三角形中求解.

3.已知平面向量的坐標(biāo)求解相關(guān)問題的技巧

（1）利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求

向量的坐標(biāo).

（2）利用相等向量的坐標(biāo)相同以及共線向量的坐標(biāo)表示列方程（組）進(jìn)行求解.

4.求非零向量a,b的數(shù)量積的方法

（1）定義法：已知或可求兩個(gè)向量的模和夾角.

（2）基底法：直接利用定義法求數(shù)量積不可行時(shí)，可選取合適的一組基底（基底中的向量要

已知?；驃A角），利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別表示出來，進(jìn)而根據(jù)數(shù)

量積的運(yùn)算律和定義求解.

（3）坐標(biāo)法：已知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)；已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建

立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積.

5.求模的取值范圍或最值時(shí)常用的技巧

（1）常利用“平方技巧”找到向量的模的表達(dá)式，然后利用函數(shù)思想求最值，有時(shí)也常與三

角函數(shù)知識結(jié)合求最值.

（2）要充分利用平面向量“形”的特征，充分挖掘向量的模所表示的幾何意義，從圖形上觀

察分析出模的最值.

6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題的求法

向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)

先求向量的坐標(biāo).解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則.

7.解決向量在平面幾何中的應(yīng)用問題的方法

(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示出來，這

樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算，從而使問題得到解決.

(2)基底法：選取一組合適的基底，將未知向量用基底表示出來，然后根據(jù)向量的運(yùn)算法則、

運(yùn)算律和性質(zhì)求解.

8.解決向量在物理中的應(yīng)用問題的策略

(1)力、速度、加速度、位移等都是向量，它們的合成與分解就是向量的加、減法，運(yùn)動(dòng)的

疊加亦用到向量的合成；

(2)動(dòng)量mv是數(shù)乘向量；

(3)功W是一個(gè)標(biāo)量，它是力F與位移s的數(shù)量積，即W=F-s=|F||s|cos。(。為F與s

的夾角).

9.平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路

(1)若題中給出的向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，則運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等

得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.

(2)若給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模，則解題思路是通過向量的運(yùn)算，

利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性等解決問題.

10.平面向量中有關(guān)最值(或取值范圍)問題的求解思路

(1)“形化”,即利用平面向量的幾何意義先將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，

然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；

(2)“數(shù)化"，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等

式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.

【典型例題復(fù)習(xí)】

1.【2023年新課標(biāo)I卷】已知向量a=(1,1),1=(1,-1).若(a+勸)_L(a+W)，則()

A.4+〃=1B.2+〃=—1C.2〃=1D.A//=—1

2.【2022年新高考I卷】在△ABC中，點(diǎn)。在邊A3上，5D=2ZM.記CA=m,CD=〃，則CB=

()

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

3.【2022年新高考H卷】已知向量a=(3,4),ft=(1,0),c=a+tb,若〈a,c〉=S,c〉,則■=()

A.-6B.-5C.5D.6

4.【2021年新高考I卷】(多選)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)片(cosa,sina),g(cos⑸-sin夕),

A(cos(a+，),sin(a+〃))，A(l,0),貝(J()

|UUUI|lUUlTi|UUUI||UUU|

閭B.M=|同

UULUUUUUWUUUUULULHUUUUUUU

C.OAOP3=OPlOP2D.OAOP^OP^OR,

5.【2023年新課標(biāo)n卷】已知向量a,8滿足|a-Z>|=G,|a+5|=|2a—川，則|切=.

6.[2021年新高考II卷】已知向量a+6+c=0,|a|=1,|川=|c|=2,貝!Jab+bc+ca=.

答案以及解析

1.答案：D

解析：因?yàn)閍=(1,1)，b=(1,—1),所以a+28=(1+%1-2),a+/ib=(1+//,1—//),因?yàn)?/p>

(a+Ab)±(a+/ab),所以(a+28)+=0,所以(l+4)(l+〃)+(l—2)(1—〃)=0,整理得

"/=-1.故選D.

2.答案：B

解析：法一：因?yàn)锽D=2ZM,所以AB=3AD,所以C3=C4+AB=C4+3AD

=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=—2m+3n.

法二：如圖，利用平行四邊形法則，合成出向量CB,由圖易知C4(即向量用)的系數(shù)為負(fù)

數(shù)，排除A,C,D,故選B.

A

浴

3.答案：C

解析：c=(3+7,4),cos(a,c)=cos(b,c),即9+3/+16=豆_￡,解得彳=5,故選C.

51cl|c|

4.答案：AC

解析：

選項(xiàng)正誤原因

UlmuuulULUttiIULUT?

AN因?yàn)镺Pi=(cosa,sina),OP2=(cos/7,-sin/7),所以=0g=1

uumuuu.

因?yàn)锳PX=(cosa-1,sina),AP2=(cosQ-l,-sin/7),所以

在片=J(cosa-1)2+sin2a=,2-2cosa,

BX

kq=J(cos〃-l)2+(-sin￡)2=j2-2cos〃，由于a與/3的關(guān)系不確

定，所以無法判斷網(wǎng)=浦

UULUUUUUULUUL1

因?yàn)椤?cos(a+B),OP}-OP2=cosacos/?-sinasin(3=cos(a+P),

CqUULUUULUUULUUU

所以040〃=OqOg