2024年河南某中學(xué)中考數(shù)學(xué)四模試卷（附答案解析）

2024年河南師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)四模試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

L（3分）—我的相反數(shù)是（）

1

A.2024B.-2024C--2WD.------

2024

2.（3分）2024年河南春晚從傳統(tǒng)文化中尋找韻腳，在科技賦予的豐富場(chǎng)景中，編織出了一幅璀璨的文化

風(fēng)情圖，獲得業(yè)內(nèi)專家的點(diǎn)贊.截至2024年2月9日12點(diǎn)，全網(wǎng)閱讀量再創(chuàng)新高，突破130億.數(shù)據(jù)

“130億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.O.13X1O10B.1.3X109C.1.3X1O10D.13X109

3.（3分）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.“對(duì)頂角相等”是必然事件

B.“刻舟求劍”是不可能事件

C.“方程，+左=。有實(shí)數(shù)解”是隨機(jī)事件

D.某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是1%,買100張一定會(huì)中獎(jiǎng)

4.（3分）下列各式中，正確的是（）

A.2Q5?3Q2=6Q1°B.(x3)加+2=儼

C.-(加)3=-ab6D.(a-b)(-a-b)=-層-P

5.（3分）某幾何體由8個(gè)相同的小立方體構(gòu)成，它的俯視圖如圖所示，俯視圖中小正方形標(biāo)注的數(shù)字表

示該位置上的小立方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的主視圖是（)

21

T3

俯視圖

A.曲B..B=@cffHD,.耳

6.（3分）不等式組.;二”］的解集在數(shù)軸上表示正確的是，)

A.01

C.01

7.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)加的值可以是（）

第1頁(yè)（共22頁(yè)）

A.-1B.1C.2D.3

8.（3分）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備了4張地鐵標(biāo)志的卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同.把

這4張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片的正面圖案中只有一張是軸對(duì)稱圖形的概

加

12

D.

3

9.（3分）為保障安全，潛水員潛水時(shí)會(huì)佩戴如圖1所示的水壓表和深度表.圖2是深度表的工作原理簡(jiǎn)

化電路圖，其中以（。）的阻值會(huì)隨下潛深度〃（m）的變化而變化，其變化關(guān)系圖象如圖3所示.深

度表由電壓表改裝.已知電壓表示數(shù)。（憶）與電阻Q的關(guān)系式是（/=辭京.則下列說(shuō)法不正確的是

（）

A.隨著潛水深度的增大，Q的阻值不斷減小

B.隨著潛水深度的增大，電壓表數(shù)值不斷減小

C.當(dāng)下潛的深度為10%時(shí)，Ri的阻值為3011

D.當(dāng)下潛的深度為40加時(shí)，電壓表的示數(shù)為3%

10.（3分）如圖1,矩形48CD中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，沿折線4D—DC勻速運(yùn)動(dòng),

到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接/P,PE,設(shè)/尸為x,PE為y,且y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則/尸

的最大值為（）

第2頁(yè)（共22頁(yè)）

A.V17C.V21D.3V3

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.（3分）在函數(shù)＞=寫(xiě)中，自變量x的取值范圍是.

12.（3分）將含30°角的直角三角尺如圖擺放，直線?！?,若/1=65°,則/2的度數(shù)為.

13.（3分）寫(xiě)出一個(gè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,2）且在第一象限內(nèi)〉隨x的增大而減小的函數(shù)解析

式?

14.（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)。，A,B,。均在格點(diǎn)上，以O(shè)為圓心。4

為半徑的弧經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,以。為圓心，。。為半徑的弧交ON于點(diǎn)￡,OD的延長(zhǎng)線交弧于點(diǎn)C,則圖

中陰影部分的面積為_(kāi)___________________.

15.（3分）如圖，等腰三角形/8C中，ZA=45°,N8=NC=2V^,點(diǎn)尸為邊48上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,

點(diǎn)。為點(diǎn)/關(guān)于CP的對(duì)稱點(diǎn)，連接DP,CD,當(dāng)CO垂直于△/2C的一腰時(shí)，NP的長(zhǎng)

為.

三、解答題（本大題8個(gè)小題，共75分）

16.（10分）（1）計(jì)算：2x（-2廠2+7^7+（2024—兀）。；

（2）化簡(jiǎn)：（1+占）.咚1

第3頁(yè)（共22頁(yè)）

17.（9分）某市舉辦中學(xué)生田徑賽，某中學(xué)準(zhǔn)備選派一名立定三級(jí)跳選手參加比賽，對(duì)甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)

行了8次立定三級(jí)跳選拔比賽，他們的原始成績(jī)（單位：加）如表:

學(xué)生/成績(jī)/次數(shù)第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次

甲7.37.17.37.57.27.37.57.2

乙7.37.57.56.76.57.87.57.6

兩名同學(xué)的8次立定三級(jí)跳成績(jī)數(shù)據(jù)分析如下表:

學(xué)生/成績(jī)/名稱平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

（單位：m）（單位：cm）（單位：m）（單位：m2）

甲a7.37.3d

乙7.3bC0.1825

根據(jù)圖表信息回答下列問(wèn)題：

（I）求出。、b、c、"的值；

（2）這兩名同學(xué)中，的成績(jī)更為穩(wěn)定；（填甲或乙）

（3）若預(yù)測(cè)立定三級(jí)跳7.1加就可能獲得冠軍，該校為了獲取跳高比賽冠軍，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪位同學(xué)

參賽，并說(shuō)明理由.

18.（9分）如圖，反比例函數(shù)了=?1>0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（3,4）,《。〃*軸，點(diǎn)2（5,0）,的

平分線交/C于點(diǎn)。，連接3D.

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）判斷四邊形O8D4的形狀，并說(shuō)明理由.

19.（9分）已知船甲從/處向正北方向的C島航行，同時(shí)，船乙在島C正東方向80海里的。處向正東

方向航行，此時(shí)船甲觀察到船乙在北偏東45°方向，1.5小時(shí)后船甲在2處觀察到船乙在北偏東70°

方向的￡處，若船甲的航行速度為20海里/時(shí)，求船乙的速度.（精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)：sin70°

-0.94,cos70°七0.34,tan70°七2.75)

第4頁(yè)（共22頁(yè)）

北

20.（9分）部分手機(jī)生產(chǎn)商以環(huán)保為名銷售手機(jī)時(shí)不再搭配充電器，某電商看準(zhǔn)時(shí)機(jī)，購(gòu)進(jìn)一批慢充充電

器和快充充電器在網(wǎng)上銷售，已知該電商銷售10個(gè)慢充充電器和20個(gè)快充充電器的利潤(rùn)為400元；銷

售20個(gè)慢充充電器和10個(gè)快充充電器的利潤(rùn)為350元.

（1）求每個(gè)慢充充電器和每個(gè)快充充電器的銷售利潤(rùn)；

（2）該電商購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的充電器共200個(gè)，其中快充充電器的進(jìn)貨量不超過(guò)慢充充電器的2倍，設(shè)

購(gòu)進(jìn)慢充充電器x個(gè)，這200個(gè)充電器的銷售總利潤(rùn)為y元.

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②該電商購(gòu)進(jìn)兩種充電器各多少個(gè)，才能使銷售總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

21.（9分）如圖，中，AB,CD為直徑,為。。的切線，點(diǎn)C為切點(diǎn)，連接8C.

（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)。作。垂足為交弦3c于點(diǎn)N,交切線S于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)尸,

連接CF（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）求證：CE=EN；

（3）若。。的半徑為2,CF=1,求的長(zhǎng).

22.（10分）已知拋物線>=以2-2ax+a（aWO）.

（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

（2）當(dāng)-IWxWl時(shí)，y的最大值為8,求拋物線的解析式.

（3）若/（m,yi）,B{m+t,72）是拋物線上兩點(diǎn)，其中f>0,記拋物線在4,3之間的部分為圖象G,

（含/,8兩點(diǎn)），當(dāng)4,3兩點(diǎn)分別在拋物線的對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，當(dāng)m+t=2時(shí)，yi<y2.直接寫(xiě)出/的取

值范圍.

23.（10分）如圖，等腰直角三角形N5C中，NC=90°,AC=BC,平分/48C交/C于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)

M作垂足為N,點(diǎn)P為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊順時(shí)針作/產(chǎn)兒@=135°,交直線

第5頁(yè)（共22頁(yè)）

BC于點(diǎn)Q.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在線段/N上時(shí)，線段MP,M0的數(shù)量關(guān)系為,線段。0,AP,

CM之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在線段NB上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在直線48上運(yùn)動(dòng)時(shí)，tan/CQM=V^,BN=2a+2,直接寫(xiě)出4P的長(zhǎng).

圖1圖2備用圖

第6頁(yè)(共22頁(yè))

2024年河南師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)四模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分）

L（3分）-忐的相反數(shù)是（）

11

A.2024B.-2024C.一品r

2024

【解答】解；的相反數(shù)是心，

2024

故選：D.

2.（3分）2024年河南春晚從傳統(tǒng)文化中尋找韻腳，在科技賦予的豐富場(chǎng)景中，編織出了一幅璀璨的文化

風(fēng)情圖，獲得業(yè)內(nèi)專家的點(diǎn)贊.截至2024年2月9日12點(diǎn)，全網(wǎng)閱讀量再創(chuàng)新高，突破130億.數(shù)據(jù)

“130億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.O.13X1O10B.1.3X109C.1.3X1O10D.13X109

【解答】解：130億1.3X10。

故選：C.

3.（3分）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.“對(duì)頂角相等”是必然事件

B.“刻舟求劍”是不可能事件

C.“方程x?+左=0有實(shí)數(shù)解”是隨機(jī)事件

D.某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是1%,買100張一定會(huì)中獎(jiǎng)

【解答】解：“對(duì)頂角相等”是必然事件，故/不符合題意；

3.“刻舟求劍”是不可能事件，故3不符合題意；

C“方程/+左=0有實(shí)數(shù)解”是隨機(jī)事件，故C不符合題意；

D.某彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是1%,買100張不一定會(huì)中獎(jiǎng)，故D符合題意;

故選：D.

4.（3分）下列各式中，正確的是（

A.2a5?302=6小B.(%3)'"+(丁)2=廿

C.-（°戶）3=-ab6D.(a-b)(-a-b)=-a~-b~

【解答】解：/錯(cuò)誤，應(yīng)為6a7；

B正確；

第7頁(yè)（共22頁(yè)）

。錯(cuò)誤，應(yīng)為-f死

D錯(cuò)誤，應(yīng)為-（次-廬）.

故選：B.

5.（3分）某幾何體由8個(gè)相同的小立方體構(gòu)成，它的俯視圖如圖所示，俯視圖中小正方形標(biāo)注的數(shù)字表

示該位置上的小立方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的主視圖是（）

【解答】解：綜合三視圖，這個(gè)幾何體中，根據(jù)各層小正方體的個(gè)數(shù)可得：主視圖左邊一列有2個(gè)，中

間一列有1個(gè)，右邊一列有3個(gè)，

故選：B.

6.（3分）不等式組卜+1>°的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

【解答】解：由x+1>0,得x>-1,

由2x-32l,得x22,

不等式組的解集是x22,

故選：D.

7.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程/-2丑機(jī)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的值可以是（）

A.-1B.1C.2D.3

【解答】解：根據(jù)題意得△=(-2)2-4加＞0,

解得m<l,

所以m可以取-1.

故選：A.

第8頁(yè)（共22頁(yè)）

8.（3分）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備了4張地鐵標(biāo)志的卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同.把

這4張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片的正面圖案中只有一張是軸對(duì)稱圖形的概

【解答】解：把四張卡片記為：/、B、C、D,

畫(huà)樹(shù)狀圖，如圖：

開(kāi)始

共有12種可能性，這兩張卡片的正面圖案中有一張是軸對(duì)稱圖形的情況有8種，

82

則這兩張卡片的正面圖案中只有一張是軸對(duì)稱圖形的概率是二=

123

故選：D.

9.（3分）為保障安全，潛水員潛水時(shí)會(huì)佩戴如圖1所示的水壓表和深度表.圖2是深度表的工作原理簡(jiǎn)

化電路圖，其中?。≦）的阻值會(huì)隨下潛深度〃（機(jī)）的變化而變化，其變化關(guān)系圖象如圖3所示.深

度表由電壓表改裝.已知電壓表示數(shù)U（憶）與電阻處的關(guān)系式是U=露條.則下列說(shuō)法不正確的是

“1十上3

A.隨著潛水深度的增大，小的阻值不斷減小

B.隨著潛水深度的增大，電壓表數(shù)值不斷減小

C.當(dāng)下潛的深度為10機(jī)時(shí)，M的阻值為30。

D.當(dāng)下潛的深度為40〃?時(shí)，電壓表的示數(shù)為3%

第9頁(yè)（共22頁(yè)）

【解答】解：/、由圖圖象可知隨著潛水深度的增大，處的阻值不斷減小，說(shuō)法正確，不符合題意；

5、隨著潛水深度的增大，電阻K1變小，電壓表數(shù)值不斷增大，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；

C、由圖象可知，當(dāng)下潛的深度為10加時(shí)，舟的阻值為30Q,說(shuō)法正確，不符合題意；

D、由圖象可知，當(dāng)下潛的深度為40%時(shí)，電壓表的示數(shù)為3匕說(shuō)法正確，不符合題意.

故選：B.

10.（3分）如圖1,矩形48CD中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，沿折線4D—DC勻速運(yùn)動(dòng)，

到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接/P,PE,設(shè)/尸為x,PE為y,且y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則/尸

的最大值為（）

【解答】解：由圖2可知，當(dāng)x=0時(shí)，尸2,

即當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)/時(shí)，y=PE=AE=2,

:點(diǎn)￡為48的中點(diǎn)，四邊形48CD為矩形，

：.AB=CD=2AE=4,ZD=90°,

當(dāng)點(diǎn)P在4D上運(yùn)動(dòng)時(shí),PE逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)D時(shí)，從圖2中的拐點(diǎn)可知，此時(shí)>=尸￡=?！?V13,

：.AD=y/DE2-AE2=J（V13）2-22=3,

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，4P最大，

止匕時(shí)4P=4C=y/AD2+CD2=V32+42=5.

故選：B.

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x22且xW4.

【解答】解：根據(jù)題意得

解得x22且xW4,

自變量x的取值范圍是x22且xN4,

第10頁(yè)（共22頁(yè)）

故答案為x22且xW4.

12.（3分）將含30°角的直角三角尺如圖擺放，直線a〃b,若Nl=65°,則/2的度數(shù)為55。

.'.Z1=Z3=65",

VZABC^90°,NN=30°,

AZACB=90°-ZA=60°,

.\Z4=180o-ZACB-Z3=55°,

.,.Z2=Z4=55",

答案為：55°.

13.（3分）寫(xiě)出一個(gè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,2）且在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小的函數(shù)解析式”=：,答案不

唯一.

【解答】解：由于在第一象限內(nèi)〉隨x的增大而減小，

故設(shè)函數(shù)的關(guān)系式為產(chǎn)~

代入（2,2）得：左=4；

則函數(shù)的解析式為：＞=*

故答案為：y=^,答案不唯一.

14.（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)。，A,B,。均在格點(diǎn)上，以。為圓心。/

為半徑的弧經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,以。為圓心，為半徑的弧交CM于點(diǎn)￡,OD的延長(zhǎng)線交弧N8于點(diǎn)C,則圖

中陰影部分的面積為|n-2.

第11頁(yè)（共22頁(yè)）

【解答】解：根據(jù)題意得，AAOC=ZBOC=45°,ZODB=90°,OD=BD=2,OA=

OC=V22+22=2&,

陰=S扇形NOC-S扇形。OE+S扇形BOC-S4OBD,

._45/rx（2夜）245兀X22457rx（2四）213

+2712,

陰—360360~3602Z

故答案為：--2.

15.（3分）如圖，等腰三角形/2C中，N/=45°,48=/。=2應(yīng)，點(diǎn)尸為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,

點(diǎn)。為點(diǎn)N關(guān)于CP的對(duì)稱點(diǎn)，連接。尸，CD,當(dāng)CD垂直于△/8C的一腰時(shí)，4P的長(zhǎng)為_(kāi)4-2魚(yú)

或2

【解答】解：①CDL4B時(shí),

第12頁(yè)（共22頁(yè)）

\ZCEA=ZAED=90°，

VZA=45°,AC=2衣,

AE=AC?cosZ-A=2,

???點(diǎn)D為點(diǎn)A關(guān)于CP的對(duì)稱點(diǎn),

；?DP=AP,ZD=ZA=45°,

設(shè)4尸=%，則DP=x,EP=2-x,

?；EP=DP?sm/D,

?0V2

..2-x=-2~xf

解得：x=4-2近，

②CD_L4c時(shí)，

VZA=45°，

...△/CD是等腰直角三角形,

?sAC，

..AD=------T=4,

cosZ-A

:點(diǎn)。為點(diǎn)/關(guān)于CP的對(duì)稱點(diǎn)，

：.AP=DP,

：.AP=2,

故答案為：4-2夜或2.

三、解答題（本大題8個(gè)小題，共75分）

16.（10分）（1）計(jì)算：2X（-2廠2+/干+（2024-兀）°；

第13頁(yè)（共22頁(yè)）

（2）化簡(jiǎn)：（1+占）.福

【解答】解：(1)2x(-2)-+7^27+(2024-兀)°

1

=2x彳+(-3)+1

4

1-3+1

3

二一2；

⑵（1+占）中

—x-1+1.-(-x---+--l-)--(-~---l-)-

x—1X

X(x+l)(x—1)

x—1X

x+l.

17.（9分）某市舉辦中學(xué)生田徑賽，某中學(xué)準(zhǔn)備選派一名立定三級(jí)跳選手參加比賽，對(duì)甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)

行了8次立定三級(jí)跳選拔比賽，他們的原始成績(jī)（單位：?。┤绫?

學(xué)生/成績(jī)/次數(shù)第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次

甲7.37.17.37.57.27.37.57.2

乙7.37.57.56.76.57.87.57.6

兩名同學(xué)的8次立定三級(jí)跳成績(jī)數(shù)據(jù)分析如下表:

學(xué)生/成績(jī)/名稱平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

（單位：m）（單位：cm）（單位：m）（單位：m2）

甲a7.37.3d

乙7.3bC0.1825

根據(jù)圖表信息回答下列問(wèn)題:

（1）求出Q、b、C、d的值;

（2）這兩名同學(xué)中，甲的成績(jī)更為穩(wěn)定:（填甲或乙）

（3）若預(yù)測(cè)立定三級(jí)跳7.1加就可能獲得冠軍，該校為了獲取跳高比賽冠軍，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪位同學(xué)

參賽，并說(shuō)明理由.

1

【解答】解：⑴由題意得，a氣X(7.3X3+7.1+7.5X2+7.2X2)=7.3；

6=沖=75

第14頁(yè)（共22頁(yè)）

c=7.3；

d=gx[3X(7.3-7.3)2+(7.1-7.3)2+2X(7.5-7.3)2+2X(7.2-7,3)2]=0.0175；

(2):甲的方差比乙小,

，甲的成績(jī)更為穩(wěn)定；

故答案為：甲；

(3)應(yīng)選擇甲，理由如下：

若預(yù)測(cè)立定三級(jí)跳7.1加就可能獲得冠軍，那么成績(jī)?cè)?.1優(yōu)或7.1優(yōu)以上的次數(shù)甲多，則選擇甲.

18.(9分)如圖，反比例函數(shù)(k>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(3,4),/C〃x軸，點(diǎn)8(5,0),的

平分線交/C于點(diǎn)。，連接3D.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)判斷四邊形08LM的形狀，并說(shuō)明理由.

【解答】解：(1):反比例函數(shù)>=[*>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(3,4),

.?"=3X4=12,

???反比例函數(shù)的表達(dá)式是y=~

(2)四邊形03。/是菱形.

理由：'JAC//OB,

：./ADO=/BOD.

?.?/AOD=NBOD,

：.NAOD=/ADO,

?\AD=AO.

VA(3,4),B(5,0),

：.OA=OB=5,

：.AD=OB.

,:AD〃OB,AD=OB,

...四邊形OBDA是平行四邊形.

第15頁(yè)(共22頁(yè))

又；AD=OA,

J.aOBDA是菱形.

19.（9分）已知船甲從/處向正北方向的。島航行，同時(shí)，船乙在島C正東方向80海里的D處向正東

方向航行，此時(shí)船甲觀察到船乙在北偏東45°方向，1.5小時(shí)后船甲在8處觀察到船乙在北偏東70°

方向的￡處，若船甲的航行速度為20海里/時(shí)，求船乙的速度.（精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)：sin70。

仁0.94,cos70°20.34,tan70°仁2.75)

【解答】解：由題意得：^5=1.5X20=30（海里），ACLCE,

在RtZX/CD中，ZCAD=45°,CD=80海里,

rn

："AC=tan45°=8°（海里）'

：.BC=AC-AB=SQ-30=50（海里），

在RtzXBCE中，/CBE=7Q°,

.".C￡=JBC?tan70°^50X2.75=137.5（海里），

：.DE=CE-CD=137.5-80=57.5（海里），

船乙的速度=57.5+1.5-38.3（海里/時(shí)），

答：船乙的速度約為38.3海里/時(shí).

20.（9分）部分手機(jī)生產(chǎn)商以環(huán)保為名銷售手機(jī)時(shí)不再搭配充電器，某電商看準(zhǔn)時(shí)機(jī)，購(gòu)進(jìn)一批慢充充電

器和快充充電器在網(wǎng)上銷售，已知該電商銷售10個(gè)慢充充電器和20個(gè)快充充電器的利潤(rùn)為400元；銷

售20個(gè)慢充充電器和10個(gè)快充充電器的利潤(rùn)為350元.

（1）求每個(gè)慢充充電器和每個(gè)快充充電器的銷售利潤(rùn)；

（2）該電商購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的充電器共200個(gè)，其中快充充電器的進(jìn)貨量不超過(guò)慢充充電器的2倍，設(shè)

購(gòu)進(jìn)慢充充電器x個(gè)，這200個(gè)充電器的銷售總利潤(rùn)為y元.

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②該電商購(gòu)進(jìn)兩種充電器各多少個(gè)，才能使銷售總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)慢充充電器銷售利潤(rùn)為。元，每個(gè)快充充電器的銷售利潤(rùn)為6元，

第16頁(yè)（共22頁(yè)）

根據(jù)題意得：+20^=400

120a+10b=350

解得仁著

答：每個(gè)慢充充電器銷售利潤(rùn)為10元，每個(gè)快充充電器的銷售利潤(rùn)為15元；

(2)①設(shè)購(gòu)進(jìn)慢充充電器x個(gè)，則購(gòu)進(jìn)快充充電器(200-x)個(gè)，

根據(jù)題意得：y=10x+15(200-x)=-5x+3000,

.\y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為>=-5x+3000；

②,?快充充電器的進(jìn)貨量不超過(guò)慢充充電器的2倍，

(200-x)W2x,

解得孚，

又且x為正整數(shù)，

.1.67^x^200(x為正整數(shù))，

:在y=-5x+3000中，-5<0,

隨x的增大而減小，

...當(dāng)x=67時(shí)，y有最大值，最大值為-5X67+3000=2665(元)，

此時(shí)200-67=133(個(gè)),

???當(dāng)購(gòu)買67個(gè)慢充充電器和133個(gè)快充充電器時(shí)，才能使銷售總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2665元.

21.(9分)如圖，OO中，AB,CD為直徑,為O。的切線，點(diǎn)。為切點(diǎn)，連接BC.

(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)。作垂足為M,交弦3C于點(diǎn)N,交切線于點(diǎn)￡,交。。于點(diǎn)凡

連接CF(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；

(2)求證：CE=EN；

(3)若OO的半徑為2,CF=1,求EM的長(zhǎng).

D

【解答】(1)解：如圖所示，即為所求；

(2)證明：；CD是。。的直徑，S為。。的切線,

：.DC±CH,

：.ZECN+ZOCB=9Q°,

第17頁(yè)(共22頁(yè))

?：OB=OC,

：.ZOCB=ZOBC,

U：DM±AB,

:?NBMN=90°,

ZMNB+ZOBC=90°,

.：/CNE=/BNM,

:?NCNE+/OCB=90°,

???ZECN=ZENC,

：.CE=EN；

(3)解：如圖，連接CR

?「CD是。。的直徑，

：.ZCFD=90°,

???CQ=2OC=4,CF=\,

：.DF=VCD2-CF2=V42-I2=V15,

U：DFLAB,

：.DM=FM=^DF=號(hào),

VOC=OD,AB//CF,

：.0M是△CDF的中位線，

11

：.0M=^CF=^,

VZOMD=ZDCE=90°,ZD=ZZ),

???XDMOsXDCE,

CDDM

???—__,

EDCD

ED4

：.ED=1fV15,

；.EM=ED-DM=—孚=

第18頁(yè)（共22頁(yè)）

22.(10分)已知拋物線y=a/-2ax+a(。#0).

(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

(2)當(dāng)-14W1時(shí)，y的最大值為8,求拋物線的解析式.

(3)若/(to,ji),B(加+/,”)是拋物線上兩點(diǎn)，其中40,記拋物線在4,8之間的部分為圖象G,

(含/,2兩點(diǎn))，當(dāng)/,3兩點(diǎn)分別在拋物線的對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，當(dāng)機(jī)+/=2時(shí)，勿<”.直接寫(xiě)出/的取

值范圍.

【解答】解：(1),."y—ax2-2ax+a—a(x-1)2,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

故答案為：(1,0)；

(2)?.?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

對(duì)稱軸為直線x=l,

若a<0,-IWxWl時(shí)，了的最大值為0,不符合題意，舍去；

：.a>Q,拋物線開(kāi)口向上，

?.?當(dāng)xWl時(shí)，y隨x的增大而減小，

...當(dāng)X=-1時(shí)，-2ax+a取最大值8,即拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,8),

把點(diǎn)(-1,8)代入y=a(x-1)2得:4a=8,

解得：a=2,

，拋物線的解析式為y=2(x-1)2；

(3)由(2)得：y=2(x-1)2,

:對(duì)稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

的最小值為0,

,：A,8兩點(diǎn)分別在拋物線的對(duì)稱軸兩側(cè)，即機(jī)<1<加+3

當(dāng)m+t—2時(shí)，yi<y2>

.*.m=2-t,

/.2-V2_t+tj

第19頁(yè)(共22頁(yè))

解得：，＞1.

23.（10分）如圖，等腰直角三角形45c中，ZC=9