2024年高考數(shù)學復習：概率統(tǒng)計(解答+答案)

2024年高考數(shù)學一概率統(tǒng)計(解答+答案)

1.(17全國1理19.(12分))

為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個

零件，并測量其尺寸(單位：cm).依據(jù)長期生產閱歷，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生

產的零件的尺寸聽從正態(tài)分布.

(1)假設生產狀態(tài)正常，記才表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(〃-3。,〃+3。)

之外的零件數(shù)，求P(X21)及X的數(shù)學期望；

(2)一天內抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在(〃—3b,〃+3b)之外的零件，就認為這

條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對當天的生產過程進行檢查.

(i)試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性；

(ii)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116I116/116

經計算得無=記>>,=9.97,5=-￡(%,.-%)2=J—(￡X,2-16X2)2?0.212.

ioV16i=iyio/=i

其中玉為抽取的第i個零件的尺寸，力=L2,…,16.

用樣本平均數(shù)x作為〃的估計值。，用樣本標準差s作為。的估計值3,利用估計值

推斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除(2-36,。+33)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)

估計〃和b(精確到0.01).

附：若隨機變量Z聽從正態(tài)分布N(〃,cf2),則尸(〃—3cr<Z<〃+3b)=0.9974,

0.997416=0.9592，V0.008?0.09.

2.（17全國1文19.（12分））

為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔30min從該生產線上隨機抽

取一個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的

尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116l-i16pj16

經計算得亍=京￡>=9.97,s=之（王一為2（￡七2_16元2）h0212,

1。i=iVloi=iVloz=i

|1616

￡（＞8.5）2土18.439,2（七一初，一8.5）=-2.78,其中無，為抽取的第，個零件的尺寸,

i=l

7=1,2,…,16.

（1）求（x”i）a=1,2,…,16）的相關系數(shù)r,并回答是否可以認為這一天生產的零件尺

寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ魘川＜。.25,則可以認為零件的

尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。?

（2）一天內抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在叵-3s,元+3s）之外的零件，就認為這條

生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對當天的生產過程進行檢

查.

（i）從這一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產過程進行檢查？

（ii）在（了-3s茂+3s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產

線當天生產的零件尺寸的均值與標準差.（精確到0.01）

附：樣本（x“y）（7=1,2,…的相關系數(shù)r=日,

勝（為一如2摩%一》產

Vi=lVi=l

VO.008?0.09.

3.(17全國2理18.(12分))

海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100

個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)某頻率分布直方圖如下：

(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事務''舊養(yǎng)殖法的箱產量低于

50kg,新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50kg”，估計A的概率；

(2)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法

有關：

箱產量＜50kg箱產量N50kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)依據(jù)箱產量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值(精確到

0.01)

P(,K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

4.（17全國3理18.（12分））

某超市支配按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，

未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.依據(jù)往年銷售閱歷,

每天需求量與當天最高氣溫（單位：。C）有關.假如最高氣溫不低于25,需求量

為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶；假如最高氣溫低于

20,需求量為200瓶，為了確定六月份的訂購支配，統(tǒng)計了前三年六月份各天的

最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

i

[10,15）[15,20)[20,25）[25,3。）[30,35）[35,4

左

才

216362574

婁

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元）.當六月份這種酸奶一天

的進貨量（單位：瓶）為多少時，y的數(shù)學期望達到最大值？

5.（17全國3文18.（12分））

某超市支配按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，

未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求

量與當天最高氣溫（單位：。C）有關.假如最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；假如最

高氣溫位于區(qū)間20,25）,需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了

確定六月份的訂購支配，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為F（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進

貨量為450瓶時，寫出V的全部可能值，并估計F大于零的概率.

6.（17北京理（17）（本小題13分））

為了探討一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另

一組不服藥，一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標》和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”

表示服藥者，“+”表示為服藥者.

?指柄;

0L7指梳

（I）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；

（II）從圖中A,B,C,D四人中隨機選出兩人，記自為選出的兩人中指標X的值大

于1.7的人數(shù)，求4的分布列和數(shù)學期望EC）；

（in）試推斷這wo名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的

大小.（只需寫出結論）

7.（17北京文（17）（本小題13分））

某高校藝術專業(yè)400名學生參與某次測評，依據(jù)男女學生人數(shù)比例，運用分層抽樣的方

法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30）,[30,40）,......,

[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率4

組距'

0.04---------------------------------

0.02----------------------------.------------

0.01---------------------------

-----------------1--------iI-----------------------------

。2030405060708090分數(shù)

（I）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；

（II）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50）內的

人數(shù)；

（III）已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)

相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.

8.（17山東理（18）（本小題滿分12分））

在心理學探討中，常采納對比試驗的方法評價不同心理示意對人的影響，詳細方法如下：將

參與試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理示意，另一組接受乙中心理示意,

通過對比這兩組志愿者接受心理示意后的結果來評價兩種心理示意的作用，現(xiàn)有6名

男志愿者A，A，A，4,A，A和4名用,不，口，々從中隨機抽取5人接受甲種心理示

意，另5人接受乙種心理小意。

（I）求接受甲種心理示意的志愿者中包含A但不包含劣的頻率。

（II）用不表示接受乙種心理示意的女志愿者人數(shù)，求才的分布列與數(shù)學期望以

9.（17山東文（16）（本小題滿分12分））

某旅游愛好者支配從3個亞洲國家A,4,A和3個歐洲國家用,鳥,鳥中選擇2個國家

去旅游。

（I）若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；

（II）若從亞洲國家和歐洲國家中個任選1個，求這2個國家包括A但不包括B的

概率。

10.（17天津理16.（本小題滿分13分））

從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅

燈的概率分別為!一.」.

234

（I）設乂表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;

（II）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.

11.（17天津文（16）（本小題滿分13分））

某電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，須要播放廣告.已知每次播放甲、

乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：

連續(xù)劇播放時長（分鐘）廣告播放時長（分鐘）收視人次（萬）

甲70560

乙60525

已知電視臺每周支配甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不

少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用，尤,y表示每

周支配播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).

（I）用列出滿意題目條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；

（H）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？

12.((本小題滿分10))

已知一個口袋有m個白球，n個黑球(m,ne,n>2),這些球除顏色外全部相同。

現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3,……，m+n的抽屜內，

其中第k次取球放入編號為k的抽屜(k=l,2,3,....,m+n).

123..........m+n

(1)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p;

(2)隨機變量x表示最終一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(x)是x的數(shù)學期望，證

T1

明：E(X)<------------

(m+〃)(〃-1)

參考答案：

1.解：(1)抽取的一個零件的尺寸在(〃-3b,〃+3司)之內的概率為0.9974,從而零件的尺

寸在(〃—3b,〃+3司)之外的概率為0.0026,故乂~5(16,0.0026),因此

P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.997416x0,0408

X的數(shù)學期望為EX=16x0.0026=0.0416

(2)(i)假如生產狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(〃-3b,〃+3。)之外的概率只有0.0026,

一天內抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(〃-3b,〃+3。)之外的零件的概率只有

0.0408,發(fā)生的概率很小。因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認為這條生產線在

這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上

述監(jiān)控生產過程的方法是合理的。

(ii)由元=9.97/^0.212,得〃的估計值為。=9.97,。的估計值為3=0.212,

由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(A-33,A+33)之外，因此需對當天

的生產過程進行檢查。

剔除(A-33,。+33)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

^(16x9.97-9.22)=10.02

因此〃的估計值為10.02

16

=16x0.2122+16x9.972?1591.134

i=l

剔除(A-3d,"+3d)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為

卷(1591.134-9.222-15x10.022)?0.008

因此b的估計值為,0.008工0.09

2.解：⑴由樣本數(shù)據(jù)得(%，)?=1,2,.,16)的相關系數(shù)為

X(%-君(，-8.5)

Q

i=l-------y—0.18

0.212x^6X18.439

由于|川＜0.25,因此可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地

變大或變小。

(2)(i)由于元=9.97,5^0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在

(x-3s,x+3s)以外，因此需對當天的生產過程進行檢查。

(ii)剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

^(16x9.97-9.92)=10.02

這條生產線當天生產的零件尺寸的均值的估計值為10.02

16

22%,2=16x0.2122+16x9.972?1591.134,

i=l

剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為

^(1591.134-9.222-15xl0.022)?0.008

這條生產線當天生產的零件尺寸的標準差的估計值為血(麗土0.09

3.解：(1)記8表示事務“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50依”，。表示事務“新養(yǎng)殖法的

箱產量不低于50立”.

由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C)

舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50注的頻率為

(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)x5=0.62,

故P(B)的估計值為0.62

新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50kg的頻率為

(0.068+0.046+0.010+0.008)x5=0.66,

故P(C)的估計值為0.66

因此，事務A的概率估計值為0.62x0.66=0.4092

(2)依據(jù)箱產量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表

箱產量<50kg箱產量250kg

舊養(yǎng)殖法6238

新養(yǎng)殖法3466

%=200x(62x66-34x38)2句5.7。5

100x100x96x104

由于15.705>6.635,故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關。

(3)因為新養(yǎng)殖法的箱產量頻率分布直方圖中，箱產量低于50依的直方圖面積為

(0.004+0.020+0.044)x5=0.34<0.5,

箱產量低于55版的直方圖面積為

(0.004+0.020+0.044+0.068)x5=0.68>0.5,

故新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值為

0.5-0.34

50+a52.35(總)

0.068

4.解：(1)由題意知，X全部可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知

P(X=200)=^|酒=0.2,P(X=300)=||=0.4,尸(X=500)=至亮出=0.4.

因此X的分布列為：

X200300500

P0.20.40.4

(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮

2024<ra<00

當3OOM/W5OO時，

若最高氣溫不低于25,則丫=6〃-4"=2〃；

若最高氣溫位于區(qū)間［20,25),則V=6x300+2("—300)—47?=1200—2〃；

若最高氣溫低于20,貝?。軾=6x200+2(〃-200)—4"=800-2〃

因此EY=2nx0.4+(1200-2ri)x0.4+(800-2ri)x0.2=640-0.47?

當200〈〃<300時，

若最高氣溫不低于20,則F=6〃-4"=2?z；

若最高氣溫低于20,則Y=6x200+2(?-200)-4n=800-2?

因此EV=2/x(0.4+0.4)+(800—2”)x0.2=160+1.2”

所以”=300時，y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元。

5.解：(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25,由表格數(shù)據(jù)

知，最高氣溫低于25的頻率為2+16.36=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300

90

瓶的概率的估計值為0.6

(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，

若最高氣溫不低于25,則F=6x450-4x450=900；

若最高氣溫位于區(qū)間［20,25),則丫=6x300+2(450-300)-4x450=300；

若最高氣溫低于20,則丫=6*200+2(450-200)-4x450=-100

所以，丫的全部可能值為900,300,-100

F大于零當且僅當最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為

36+25+7+4=08,因此卜大于零的概率的估計值為o.8

90

6.解：(I)由圖知：在50名服藥患者中，有15名患者指標y的值小于60,則從服藥的

153

50名患者中隨機選出一人，此人指標小于60的概率為：P=—=—

5010

(II)由圖知：A、C兩人指標x的值大于1.7,而B、D兩人則小于1.7,可知在私人中隨

機選出的2人中指標x的值大于1.7的人數(shù)占的可能取值為0,1,2.

^=o)=4=

36

廠廠

%=1)=當=—2

C：3

-2)=5

56

所以，4的分布列如下:

&012

121

P

636

E(^)=0x-+lx-+2x-=l

636

(III)由圖知100名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差大。

7.解：(I)由頻率分布直方圖知，分數(shù)小于70的頻率為1—(04+02)=0.4

(II)設樣本中分數(shù)在區(qū)間［40,50)內的人數(shù)為X,則由頻率和為1得

X5

——+——+0.1+02+0.4+0.2=1

100100

解得x=5

(III)因為樣本中分數(shù)不小于70的人數(shù)共有(0.4+0.2)x100=60(人)

所以，分數(shù)不小于70的人中男女各占30人

所以，樣本中男生人數(shù)為30+30=60人，女生人數(shù)為100-60=40人

所以，總體中男生和女生的比例為歿=3

402

8.解：(I)記接受甲種心理示意的志愿者中包含A但不包含"的事務為M,則

(II)由題意知X可取的值為：0,1,2,3,4.則

5

P(X=O)=WC=—1

Q5o42

C4cl5

p(x=i)=-^p=—,

C；o21

c3c210

P(X=2)=々舁=

c521

Ho八

C2C35

P(X=3)=憐=1,

cio

4

p(X=4)=c9'c^=—1,

q5o42

因此X的分布列為

X01234

151051

p

4221212142

X的數(shù)學期望是

￡X=0xP(X=0)+lxP(X=l)+2xP(X=2)+3xP(X=3)+4xP(X=4)

c1,5c10c5“1

=Ox----i-lxi-2x----i-3x---i-4x—

4221212142

=2

9.解：(1)由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結果組成的基本領件有:

{4,4},{4,43},{4,4},{4,4},{4,32},{4，4},{4，耳},{4,52},{4,4},

{4,4},{4,32},{4,4},{綜刊},{綜。},{32，。},共15個

所選兩個國家都是亞洲國家的事務所包含的基本領件有:

{A，4},{A，A},{4，&},共3個,

31

則所求事務的概率為：P=—=—

155

2

解法二：p=^C=±3=l1

C：155

(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結果組成的基本領件有:

{4，耳},{4,32},{4,33},{4，即,{4，昆},{4,33},{4,4},{4,32},{4,33},共

9個

包括A但不包括B1的事務所包含的基本領件有:

■?■AW｝，共2個,

2

則所求事務的概率為P=—

9

ll

解法二：P=^cPcv=2

9

10.(I)解：隨機變量X的全部可能取值為0,1,2,3.

P(X=0)=(l-1)x(l-1)x(l-1)=|,

P(X=1)=—x(l--)x(1--)+(1-—)x—x(l--)+(l--)x(l--)x—=—,

23423423424

P(X=2)=(l--)x-x-+-x(l--)x-+-x-x(l--)=-,

2342342344

…c、1111

P(X=3)=—x—x—=—.

23424

所以，隨機變量X的分布列為

X0123

P￡11￡1

424424

隨機變量X的數(shù)學期望石（X）=0XL+1XU+2><L+3XL=Y.

42442412

（n）解：設y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，z表示其次輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求

事務的概率為

p(y+z=i)=p(y=o,z=i)+p(y=i,z=o)

=p（y=o）p（z=i）+p（y=I）P（Z=o）

iiiiiiii

—__y______I______x___—____

42424448,

所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為

48

11.（I）解：由己知，滿意的數(shù)學關系式為

70x+60y<600,lx+6y<60,

5%+5y>30,x+y>6,

x<2y,即,x-2y<Q,