3.3冪函數(shù)課件高一上學期數(shù)學人教A版

第三章函數(shù)的概念與性質3.3冪函數(shù)1.通過具體實例,了解冪函數(shù)的概念,會求冪函數(shù)的解析式.2.結合冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的圖象,理解它們的變化規(guī)律.3.能利用冪函數(shù)的基本性質解決相關的實際問題.課程標準基礎落實·必備知識一遍過知識點1

冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)

叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).

α可取任意實數(shù),但現(xiàn)在只研究α為有理數(shù)的情形名師點睛冪函數(shù)的特征(1)xα的系數(shù)為1;(2)xα的底數(shù)是自變量x,指數(shù)α為常數(shù);(3)項數(shù)只有一項.符合以上三個特征的函數(shù)才是冪函數(shù).y=xα思考辨析函數(shù)f(x)=x0是冪函數(shù)嗎?它的奇偶性是怎樣的?提示

函數(shù)f(x)=x0是冪函數(shù),定義域為{x|x≠0},f(-x)=f(x)=1,是偶函數(shù).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數(shù)f(x)=x2與函數(shù)f(x)=-x2都是冪函數(shù).(

)(2)所有二次函數(shù)都是冪函數(shù).(

)2.下列所給的函數(shù)中是冪函數(shù)的為(

)A.y=2x5 B.y=x3+1C.y=x-3

D.y=3x×C×知識點2

冪函數(shù)的性質與圖象1.在同一平面直角坐標系中,冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的圖象如下圖所示.2.冪函數(shù)的性質

冪函數(shù)y=xy=x2y=x3y=y=x-1定義域RRR

(-∞,0)∪(0,+∞)值域R

R

(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性

奇函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)

單調性在R上單調遞增在[0,+∞)上單調遞增,在(-∞,0]上單調遞減在R上單調遞增在[0,+∞)上單調遞增在(0,+∞)上單調遞減,在(-∞,0)上單調遞減公共點(1,1)[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)奇函數(shù)

偶函數(shù)

奇函數(shù)

思考辨析1.通過對知識點2中5個冪函數(shù)圖象的觀察,哪個象限一定有冪函數(shù)的圖象?哪個象限一定沒有冪函數(shù)的圖象?2.設函數(shù)f(x)=x2,g(x)=x3,若0<a<1,f(a)與g(a)的大小關系是怎樣的?體現(xiàn)在函數(shù)圖象上具有怎樣的特征?提示

第一象限一定有冪函數(shù)的圖象,第四象限一定沒有冪函數(shù)的圖象.提示

當0<a<1時,f(a)-g(a)=a2(1-a)>0,即f(a)>g(a),體現(xiàn)在圖象上,即在區(qū)間(0,1)上f(x)=x2的圖象在g(x)=x3圖象的上方.自主診斷1.如圖所示,圖中的曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象,已知n取±2,±四個值,則曲線C1,C2,C3,C4對應的n依次為(

)B解析

根據(jù)冪函數(shù)y=xn的性質,在第一象限內的圖象,當n>0時,n越大,y=xn遞增速度越快,2.3.17-1與3.71-1的大小關系為

.

3.17-1>3.71-1重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一冪函數(shù)的概念【例1】

(1)[2024陜西咸陽高一月考]現(xiàn)有下列函數(shù):①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x,其中冪函數(shù)的個數(shù)為(

)A.4 B.3

C.2

D.1C解析

由于冪函數(shù)的一般表達式為y=xα(α≠0).逐一對比可知冪函數(shù)有①y=x3;⑤y=x共兩個.故選C.(2)函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,試確定m的值.解

根據(jù)冪函數(shù)的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當m=3時,f(x)=x2在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增;當m=-2時,f(x)=x-3在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減,不符合要求.故m=3.規(guī)律方法冪函數(shù)的判斷方法判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=xα(α為常數(shù))的形式,即:(1)系數(shù)為1;(2)指數(shù)為常數(shù);(3)后面不加任何項.反之,若一個函數(shù)為冪函數(shù),則該函數(shù)必是這種形式.C(2)如果冪函數(shù)y=(m2-3m+3)的圖象不過原點,求實數(shù)m的取值.解

由冪函數(shù)的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;當m=1時,m2-m-2=-2,函數(shù)為y=x-2,其圖象不過原點,滿足條件;當m=2時,m2-m-2=0,函數(shù)為y=x0,

其圖象不過原點,滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.探究點二冪函數(shù)的圖象【例2】

下列關于函數(shù)y=xα與y=αx的圖象正確的是(

)C解析

函數(shù)y=xα是冪函數(shù),而y=αx是一次函數(shù).選項A,直線對應函數(shù)為y=x,曲線對應函數(shù)為y=x-1;選項B,直線對應函數(shù)為y=2x,曲線對應函數(shù)為y=

;選項C,直線對應函數(shù)為y=2x,曲線對應函數(shù)為y=x2;選項D,直線對應函數(shù)為y=-x,曲線對應函數(shù)為y=x3,故C正確.規(guī)律方法函數(shù)y=xα(α為常數(shù))的圖象特點(1)恒過點(1,1),且不過第四象限.(2)當x∈(0,1)時,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);當x∈(1,+∞)時,指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).(3)由冪函數(shù)的圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關系,即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或y=,y=x3)來判斷.(4)當α>0時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上都上升;當α<0時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上都下降.變式訓練2如圖的曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限內的圖象,已知n分別取±1,,2四個值,相應的曲線C1,C2,C3,C4對應的n依次為(

)B解析

函數(shù)y=x-1在第一象限內單調遞減,對應的圖象為C4;y=x對應的圖象為一條過原點的直線,對應的圖象為C2;y=x2對應的圖象為拋物線,對應的圖象應為C1;探究點三利用冪函數(shù)的單調性比較大小【例3】

比較下列各組中兩個數(shù)的大小:規(guī)律方法1.比較冪大小的三種常用方法

2.利用冪函數(shù)單調性比較大小時要注意的問題比較大小的兩個實數(shù)必須在同一個函數(shù)的同一個單調區(qū)間內,否則無法比較大小.變式訓練3比較下列各組數(shù)的大小:(2)(-3)3與(-π)3.解

∵y=x3在定義域R上為增函數(shù),又-3>-π,∴(-3)3>(-π)3.探究點四冪函數(shù)性質的綜合應用【例4】

已知冪函數(shù)f(x)=(-2<m<2,m∈Z)滿足:①f(x)在(0,+∞)上單調遞增;②對?x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.求同時滿足①②的冪函數(shù)f(x)的解析式,并求出x∈[1,4]時,f(x)的值域.解

因為f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,所以-m2-2m+3>0,解得-3<m<1,又-2<m<2,m∈Z,所以m=-1或m=0.又因為f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù),所以-m2-2m+3為偶數(shù).當m=-1時,-m2-2m+3=4滿足題意;當m=0時,-m2-2m+3=3不滿足題意,所以f(x)=x4,又因為f(x)=x4在區(qū)間[1,4]上單調遞增,所以f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(4)=256,故x∈[1,4]時,f(x)的值域是[1,256].規(guī)律方法冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上的單調性與α的關系:當α>0時,冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調遞增;當α<0時,冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調遞減.變式訓練4已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(2,4).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)設函數(shù)h(x)=2f(x)-kx-1在區(qū)間[-1,1]上是單調函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍.解

(1)因為冪函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(2,4),代入解析式有4=2a,解得a=2.所以函數(shù)f(x)=x2.學以致用·隨堂檢測促達標12341.已知冪函數(shù)y=(k-1)xα的圖象過點(2,4),則k+α等于(

)D解析

∵冪函數(shù)y=(k-1)xα的圖象過點(2,4),∴k-1=1,2α=4,∴k=2,α=2.∴k+α=4,故選D.5123452.[2024湖南衡陽高二開學檢測]冪函數(shù)y=x-2的大致圖象是(

)C12345所以y=f(x)=x-2為偶函數(shù),函數(shù)圖象關于y軸對稱,又當x∈(0,+∞)時,y=f(x)=x-2單調遞減,則y=f(x)=x-2在區(qū)間(-∞,0)上單調遞增,故符合題意的只有C,故選C.12345123454.函數(shù)y=xα-2(α為常數(shù))的圖象過定點

.

(1,-1)

解析

當x=1時,y=1α-2=-1,所以圖象所過定點為(1,-1).

512345.已知冪函數(shù)f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)為偶函數(shù).