2025年高考數(shù)學(xué)大題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：分組法和并項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和（原卷）

第03講分組法和并項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和

考法呈現(xiàn)

弘考法一：分組法求數(shù)列前n項(xiàng)和

例題分析

［例1］已知數(shù)列5｝滿足四+||+…+9冶(neN*).

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)在｛an｝相鄰兩項(xiàng)中間插入這兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，求所得新數(shù)列｛6n｝的前2〃項(xiàng)和72n.

滿分秘籍

若數(shù)列｛溯的通項(xiàng)公式為G=為土切，且｛aj,｛4｝為等差或等比數(shù)列，可

采用分組分別求和法求數(shù)列｛cj的前A項(xiàng)和.

變式訓(xùn)練

【變式1-1］已知正項(xiàng)數(shù)列｛aj的前律項(xiàng)和為Sn，滿足an=2/3-1.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若bn=ancos等，求數(shù)列｛%｝的前3n+1項(xiàng)和也什〉

【變式1-2】在等比數(shù)列｛冊(cè)｝中，已知a2=4,a5=32.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)%=(-1)".log2an,求數(shù)列｛垢｝的前n項(xiàng)和Sn.

【變式1-3］在等比數(shù)列｛an｝中,a7=8a4,S^a2,a3-4,。4-式成等差數(shù)列.

(1)求｛%J的通項(xiàng)公式；

n

(2)設(shè)"=(-l)log2an,數(shù)列｛⑥｝的前n項(xiàng)和為〃，求滿足1底1=20的人的值.

【變式1-41S.為數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和，已知6Sn=碎+3an-4,且a“>0.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式期；

2345678910

(2)數(shù)列出?｝依次為：的,3,a2,3,3,a3,3,3,3,a4,3,3,3,3-,規(guī)律是在為和必+i中間插入k(keN*)

項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列仍”｝的前100項(xiàng)的和.

弘考法二：并項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和

f忠,例題分析

【例2］已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=(n+l)an,且即=1.

(1)求的通項(xiàng)公式；

(2)若肩=(-1,哈求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和7n.

滿分秘籍

“并項(xiàng)求和”一般包括兩類問題：①同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)(三項(xiàng)或多項(xiàng))

并成“大項(xiàng)”之后，各個(gè)“大項(xiàng)”又呈現(xiàn)出有規(guī)律特征，進(jìn)而通過“大項(xiàng)”的

求和得出結(jié)果.②兩個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和(差)并成“大項(xiàng)”，通過求“大項(xiàng)”的

和得出結(jié)果.

1變式訓(xùn)練

【變式2?1］已知九｝是等差數(shù)列，的=1,dWO,且的,a2,。4成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)令0=Qn(n+1)，記%=—瓦+82一力3+…+(-1)"九，求Sn.

【變式2-2］記5建為數(shù)列｛%｝的前71項(xiàng)和,已知的=1,且滿足71azi+1=(n+1)0n+1.

(1)證明：數(shù)列｛冊(cè)｝為等差數(shù)列；

(2)設(shè)"=*iicosn兀，求數(shù)列｛0｝的前2n-1項(xiàng)和

【變式2-3］已知｛aj是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，Sn為卬薪｝的前〃項(xiàng)和，且可，Sn,冊(cè)-2成等差數(shù)列.

(1)求｛%J的通項(xiàng)公式；

n

(2)已知“=(-l)an,求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和7rl.

【變式2-4】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為刖=2,公比為q(q為正整數(shù))，且滿足3a3是8al與的等差中項(xiàng)；

數(shù)列｛%｝￥兩足2層—(t+6n)n+—bn=0(t￡7?,nGN*).

(1)求數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式；

(2)試確定t的值，使得數(shù)列｛bj為等差數(shù)列；

(3)當(dāng)電｝為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)匕在以與a—之間插入久個(gè)2,得到一個(gè)新數(shù)列&｝.設(shè)〃是數(shù)列&｝

的前幾項(xiàng)和，試求Tioo.

國(guó)真題專練

1.已知｛端為等差數(shù)列，%=-6'”為奇?，記Sn，7n分別為數(shù)歹K%｝,也｝的前〃項(xiàng)和,S4=32,%=16.

(20n，九為偶數(shù)

(1)求｛%J的通項(xiàng)公式；

(2)證明：當(dāng)71>5時(shí)，Tn>Sn.

2.2知數(shù)列｛冊(cè)｝和仍租滿足:%=1,an+bn=an+1,0n-"=A(2為常數(shù),且4。1).

(1)證明：數(shù)列｛勾｝是等比數(shù)列；

(2)若當(dāng)九=3和九=4時(shí)，數(shù)列｛a九｝的前n項(xiàng)和S九取得最大值，求S九的表達(dá)式.

3.已知數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為S“，滿足%=2(冊(cè)一1).等差數(shù)列｛bn｝滿足力=a2,bs=a3.

(1)求｛an｝,｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)將數(shù)列｛與｝滿足(在①②中任選一個(gè)條件)的第爪項(xiàng)取出，并按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列｛4｝,

求｛%｝的前20項(xiàng)和720.①log4am=瓦，弧=3瓦+1，其中keN*.

4.已知數(shù)列｛an｝的前？1項(xiàng)和為%,為=l,a2=2,(2n+3)Sn+1=(n+2)Sn+(n+l)Sn+2(n￡N*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)歹gog2箸｝的前n項(xiàng)和為7”金=[TJ(取整函數(shù)因表示不超過x的整數(shù)，如[2.1]=2),求數(shù)列｛%｝

的前100項(xiàng)的和Mi。。.

5.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛%｝滿足的=1,其前"項(xiàng)和記為S”，且全亞1=2n2,neN*,n>2,數(shù)列｛“｝

an

湎足與=CLn+。n+1'，71GN.

(1)求。2,Si。？；

(2)求數(shù)列｛(1+3九)〃｝的前n項(xiàng)和T九.

6.設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和Sn滿足S九=2an-且%,a2-1,的一3成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)《垢+冊(cè)｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式與前幾項(xiàng)和7V

7.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%J滿足a1=1,碎+i-底=8n.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)記“=an?sin修，兀)，求數(shù)列｛4J的前2023項(xiàng)的和.

8.已知等比數(shù)列｛冊(cè)｝的公比q>1,前〃項(xiàng)和為Sn,滿足：S3=13,或=3即.

(1)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勾=黑數(shù)'求數(shù)歹/｝的前射項(xiàng)和加

9.已知等差數(shù)列｛%｝與等比數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和分別為:Sn，〃,且滿足:%=3,等=竺萼，與包=2一層_

71+24

71—1

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝,｛%｝的通項(xiàng)公式;

yfb^,ri為奇數(shù)

(2)若。?=求數(shù)列｛c“｝的前2n項(xiàng)的和U2.

2m為偶數(shù)n

10.已知｛%｝為等差數(shù)列，｛%｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=b1=2,a2=2b1-l,b3=2a2+2.

(1)求｛%J和的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)&｝滿足…％十；,；鼠廣(分)

記｛cn｝的前幾項(xiàng)和為Sn,求$64.

11.已知數(shù)列｛冊(cè)上ar=1,nan+1-(n+1)0n=1.

⑴求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列也｝滿足“=sin停冊(cè)+J+cos(7can),求數(shù)列也｝的前2九項(xiàng)和7^

12.已知數(shù)列｛an｝滿足的=1,a九+i二上藝,九EN*.

an

(1)證明｛署｝是等比數(shù)列;

(2)若0=三，求｛%｝的前幾項(xiàng)和％.

13.已知等差數(shù)列｛a“｝滿足＜23=10,a5-2a2=6.

(1)求an；

2-1,71為奇數(shù)

(2)數(shù)歹K*｝滿足%=1%便將，〃為數(shù)列｛⑥｝的前n項(xiàng)和，求72廣

飆T，n為偶數(shù)

14.設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知a?+i=Sn+l,nGN*.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)設(shè)"=(-l)(an+n),求數(shù)列｛%｝的前2n項(xiàng)和72公

15.已知列｛a九｝和｛b九｝》兩足a1—3,b]=2,Q九+1—CLn+2/)n,^n+i=2a九+bn.

(1)證明：｛a九+bn｝和｛a九一%｝都是等比數(shù)列；

(2)求｛冊(cè)"｝的前幾項(xiàng)和S九.

16.已知數(shù)列｛冊(cè)｝是公差不為0的等差數(shù)列，。2=3,且。3，。5，。8成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勾=ancos等，求數(shù)列｛bn｝的前2023項(xiàng)和.

17.記又是公差不為0的等差數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和，若a4=憂，54=3S2.

(1)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)(bn+b?+1)Sn=2,求數(shù)列｛6n｝的前2n+l項(xiàng)的和72n+i.

18.已知數(shù)列｛時(shí)｝的首項(xiàng)的=2,其前〃項(xiàng)和為％,且滿足￡+5-1=Oi+l)(n+2)(n22).

⑴求S21；

(2)設(shè)％=等，求數(shù)列｛cn｝的最大項(xiàng).

3兀

19.已知公差不為零的等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為1,且為,。2，￡15是一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)，記數(shù)列｛冊(cè)｝的前n

項(xiàng)和為治.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)求數(shù)列｛(-l)Sn｝的前20項(xiàng)的和.

20.已知正項(xiàng)數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn,且4Sn=確+2an-3(neN*).

⑴求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)將數(shù)列｛%｝和數(shù)列｛2與中所有的項(xiàng)，按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列｛6n｝,求｛6n｝的前100項(xiàng)和.

n+1

21.已知數(shù)列｛an｝滿足：an+2+(-l)an=2,ax=1,a2-2

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

⑵記數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為%,求52023.

22.設(shè)Sn為公差不為0的等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和，若的,。4，的3成等比數(shù)列，S6—S3=33.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)“=2即+In%i,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和

an

23.已知｛%｝,｛bn｝分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列，且即=1,b1=2,a3=3,b2=4.

(1)求｛%｝,｛bn｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛a2n+3b2n_i｝的前n項(xiàng)和S”.

n

24.已知等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)的和為4n,且%+a?=3,&=15,數(shù)列｛%｝滿足%=an-[l+(-l)n](nG

N*).

⑴求數(shù)列4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為％，集合P=仙mW100且為W100,neN*｝,求P中所有元素的和S.

25.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和%=嚶,等比數(shù)列出n｝滿足尻=。2,b3=a3+l.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝和｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵若"『比，求數(shù)歹皿｝的前如項(xiàng)和密

26.已知數(shù)列｛時(shí)｝為非零數(shù)列，且滿足+J…(1+J=2T.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公