遼寧省遼陽市2023-2024學年高二數(shù)學上學期1月期末考試試題（含解析）

高二考試數(shù)學試卷

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版選擇性必修第一、二冊。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.直線3%-丁+6=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積為（）

A.4B.8C.6D.12

2.某地氣象局天氣預報的準確率為3士，則4次預報中恰有3次準確的概率是（）

4

2727927

A.---B.—C.—D.—

128641632

3.已知拋物線爐=20；（〃>0）的焦點為分，點p（如4）在C上，|FP卜5,則直線7的斜率為（）

3243

A.±-B.±-C.±-D.±-

2334

4.同一個宿舍的8名同學被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，丙同學不去，其他

人根據(jù)個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（）

A.32種B.128種C.64種D.256種

5.某市高三年級男生的身高1（單位：cm）近似服從正態(tài)分布N（171,16）,現(xiàn)在該市隨機選擇一名高三男生，

則他的身高位于［171,179)內(nèi)的概率(結果保留三位有效數(shù)字)是()

參考數(shù)據(jù)：X<+0.683,P"-2crWX<4+2b)a0.954,

P(/Z-3CT<X<XZ+3b)x0.997.

A.0.477B.0.478C.0.479D.0.480

6.如圖，在三棱柱ABC—AgG中，"為AC1的中點，設=BB、=b,BM=c,則CA=()

1

B.ci+2b—2cC.2a+b—2cD.a-2b+2c

2

7.小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為一，記小明射擊2次的得

3

分為X則o(x)=()

8絲

1-620一

9-B.99D.9

8.已知直線y=x+1與圓心在x軸上的圓"相切，圓〃與圓兒（兄―2）+/=1外切，則圓"的半徑為（）

A.后-1或4后+4B.272-2

C.40+4D.20-2或40+4

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全選對

的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.若2x-展開式的二項式系數(shù)之和為64,則下列結論正確的是（）

A.該展開式中共有6項B.各項系數(shù)之和為1

C.常數(shù)項為-60D.只有第4項的二項式系數(shù)最大

10.某班星期一上午要安排語文、數(shù)學、英語、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結論正確的是（）

A.若數(shù)學課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法

B.若語文課和數(shù)學課必須相鄰，且語文課排在數(shù)學課前面，則有6種不同的安排方法

C.若語文課和數(shù)學課不能相鄰，則有12種不同的安排方法

D.若語文課、數(shù)學課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法

11.如圖，在正方體ABCD-A4CQ中，戶為的中點，AQ=tABx,Ze[0,1],則下列說法正確的是

2

41

A.PQ±AXB

B.當/=；時，PQ〃平面BCG4

c.當。=工時，匐與切所成角的余弦值為巫

311

D.當/=；時，平面PA百

了22

12.已知橢圓C：—+^-=1,直線Mx+y-3=0與C交于,N（X2，%）兩點，若王=2%2，則

實數(shù)2的取值可以為（）

1

A.B.C.3D.4

56

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某產(chǎn)品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

廣告費用X/萬元1.82.235

銷售額0萬元t71416

根據(jù)上表數(shù)據(jù)得到y(tǒng)與x的回歸直線方程為j=3.75%-1.25,則t=

14.在一個布袋中裝有除顏色外完全相同的3個白球和7個黑球，從中隨機摸取1個球，有放回地摸取3次,

o

記摸取白球的個數(shù)為X若E（X）="則相=,P（X=2）=

15.有6道不同的數(shù)學題，其中有4道函數(shù)題，2道概率題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回.在

第一次抽到函數(shù)題的條件下，第二次還是抽到函數(shù)題的概率是.

16.已知某人每次投籃的命中率為"（0＜夕＜1）,投進一球得1分，投不進得0分，記投籃一次的得分為X,

則嘴呆的最大值為

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

某高?！毒€性代數(shù)》課程的老師隨機調(diào)查了該課程學生的專業(yè)情況，調(diào)查數(shù)據(jù)如下：

單位：人

數(shù)學專業(yè)非數(shù)學專業(yè)總計

男生ef120

女生60g80

總計160h200

（1）求e,f,g,方的值，并估計男生中是非數(shù)學專業(yè)的概率;

（2）能否有90%的把握認為選數(shù)學專業(yè)與性別有關？

附：/2=________,

'(a+b)(c+d)(a+c)伍+d)

a=P(#2之女)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

18.（12分）

已知直線/：kx—y—k=0,左eR,圓G+（>-=1,/過定點4/與圓C相交于點弘N,

且________.

仄①ACLCN；②△0W為等邊三角形；③|AM|+|AN|=3這三個條件中任選一個填入題中的橫線上，并解

答問題.

（1）求"的值；

（2）求△<W的面積.

19.（12分）

已知拋物線C：J=4x,過點尸（4,0）的直線）交，于48兩點.

（1）若線段"的中點為Q（5,1）,求/的斜率；

（2）證明：以線段/夕為直徑的圓過坐標原點。.

20.（12分）

為了推動足球運動的發(fā)展，某足球比賽允許不同俱樂部的運動員參加.現(xiàn)有來自甲俱樂部的運動員4名，其中

知名選手2名；乙俱樂部的運動員5名，其中知名選手3名.從這9名運動員選擇5名參加比賽.

（1）求選出的5人中恰有2人是知名選手，且這2名知名選手來自同一俱樂部的概率；

（2）設隨機變量才為選出的5人中知名選手的人數(shù)，求才的分布列與數(shù)學期望.

21.（12分）

如圖，在四棱臺ABC?！?4G2中，底面46繆是菱形，A3=2A&=24與=2,ZABC=60°,A&L

平面ABCD.

4

（1）證明：BD1CCX.

（2）棱AC上是否存在一點￡,使得二面角E-A"-。的余弦值為：？若存在，求線段位的長；若不存在,

請說明理由.

22.（12分）

22

已知雙曲線C：與一與=1（。＞0,。＞0）的右頂點為4左焦點為凡過點尸且斜率為1的直線與C的

ab

一條漸近線垂直，垂足為小且=

（1）求c的方程.

（2）過點M（-2,0）的直線交C于P（x，x）,兩點，直線/戶，四分別交y軸于點G，H,試問在x

軸上是否存在定點7,使得TGL7H?若存在，求點7的坐標；若不存在，請說明理由.

5

高二考試數(shù)學試卷參考答案

1.c

直線與y軸交于點（。,6）,與X軸交于點（—2,0）,所以圍成的三角形的面積為gx6x2=6.

2.B

<3Y127

由題意可知，4次預報中恰有3次準確的概率尸二C：x?x—=

4⑷464

3.D

因為|萬|=5,所以4+q=5,解得p=2,則/（0,1）,P（±4,4）,所以直線〃的斜率為土：.

4.C

若甲、乙都去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有25種去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每個人

都可以選擇去或不去，有種去法.故一共有25+25=64種去法.

5.A

由題意可知，〃=171,a=4,所以尸（171?X<179）=P（〃WX<〃+2b）a0.954+2=0.477.

6.A

連接BC］（圖略）.易知。］=2cM=2（3M—8C）.因為++所

以BC=2BM—BA—BB「所以8=—23加+2"+234=2a+2Z?—2c.

7.B

224111

由題意可知，力的取值可能為-2,0,2.因為P（X=2）=—x—=一，p（X=—2）=—x—二一,

v733917339

7144149

P(X=0)=C；x—x—二—所以5(X)=§x2+(—2)x§+§x0=1.故

v72339

D。)

8.D

如圖，過點〃作直線y=x+l的垂線，垂足為戶，設圓〃的半徑為r.易知直線y=x+l的傾斜角為45

點4的坐標為（一1,0）.

6

若點〃在點”左側，則有J51PMi+|〃叫=3,即「+1+血—=3,解得廠=——=20—2；若點〃(記

V2+1

為M')在點"右側，A/P垂直于y=x+l,則J5PM[―陽叫=3,即后一—1=3,解得

=40+4.

V2-1

9.BD

因為二項式系數(shù)之和為64,所以“=6,則該展開式中共有7項，A錯誤；令x=l,得該展開式的各項系數(shù)

之和為1,B正確；通項1+1=C>(2X)6-1—十)=(—1)、C>26T?:一5:令6_|廠=0,得廠=4,

(=(—1)4XC：X22=60,C錯誤；二項式系數(shù)最大的是C：,它是第4項的二項式系數(shù)，D正確.

10.ABC

對于A,有C；A；=18種排法，故A正確；對于B,采用捆綁法，有A；=6種排法，故B正確；對于C,采用

A4

插空法，有A：A；=12種排法，故C正確；對于D,有*=4種排法，故D錯誤.

11.ABC

建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1,則所以QP=

45=(1,0,-1),所以QP?A3=0,所以A正確.

當/=；時，QP=1o,g,o[=；8C,所以PQ〃BC,從而PQ〃平面BCG耳，B正確.

當"g時，QP=[H]，℃=。，0，°)，所以夕。與必所成角的余弦值為cos0c的=*，C正

確.

當/=；時，A.QAB,=Q,0,-||-(l,0,l)^0,所以4Q不垂直于A耳，所以AQ不垂直于平面以與，D

7

錯誤.

由%=4%2，得X=3+4（%-3）.因為點"（%,斗）在橢圓，上，

2

(2X2)+3-3X)2

-------------1----------------------------

1,(2%+3-32)~-fi外,

所以《94消去馬得

224

2+五=1,

194

1Q0_C132-5

解得/”又應＜2,所以<2,顯然Xwl,解得(1,5).

62

13.3

Z+37/+37

因為釬18+2.2+3+5=3,上乙，所以匕H=3.75x3—1.25,解得1=3.

444

27

14.1；——

64

339

易知X~B\3,二一.因為石(x)=—,所以3x——=—,解得m=1,所以

vm+3'74m+34

P(X=2)=W=||

15.|

4x3242

設事件A="第一次抽到函數(shù)題"，3="第二次抽到函數(shù)題”，則P（AB）=——=—,P（A）=-=-,所

6x5563

以腳力常!

8

16.2-2^3

由題意可知，不服從兩點分布，可得E（X）=p,0<p<l,

D(X)=(l-p)p.

4D(X)-3_4/?(l-/?)-3=2—2/?——=2—2p+<2-22p-^—=2—2^/3,當且僅當

2E(X)—2p2P〔"2pJN'2P

2p=—,即/?=1時，----（/）、一取得最大值2—2.

2p22E（X）

17.解:（1）由題意可知，e=160—60=100,……1分

/=120-100=20,……2分

^=80-60=20,……3分

/?=200—160=40.……4分

201

故男生中是非數(shù)學專業(yè)的概率P=上匕=土.……5分

1206

?「2200x(100x20-60x20)25

(2)由題意可知/2=------\----------------------L=—?2.083.8分

160x40x120x8012

又因為1—90%=10%,而且查表可得P（/>2.706）=0.1,

由于2.083<2.706,所以沒有90%的把握認為選數(shù)學專業(yè)與性別有關.……10分

18.解：直線/：y=左（九一1）過定點A（l,0）.2分

選①.（1）因為ACLCN,所以CN〃x軸.……3分

設N（x,6），則（x—1『+（6—若『=1，解得x=0或無=2,……5分

所以直線/的斜率左=走二。=一百或左=走二9=百.……6分

0-12-1

9

整理得2y2—36y+3=0，yN-yM=^.又%=G所以加……10分

因為。V〃x軸，|OV|=1,所以S^〃Nc=gxlxG—孚］=曰.……12分

選②.（1）因為△口〃為等邊三角形，所以圓心。到直線/的距離d=lxsinP=Y3,……3分

32

5分

解得左=土石.……6分

8分

整理得2y2—3道y+3=0,解得y=退或y=#.……10分

不妨設點”的縱坐標為JL則CN〃X軸，|CN|=1,所以％MNC=94鳳］:宇.12分

注：或直接求工他叫=gxl2xsin1=q?

10

3

選③.（1）因為|AA1|+|AN|=3,所以點力到弦睇的中點￡的距離為5,3分

3

此時cosNC4E=^=孝，所以NC4E=3O°,

5分

所以直線/的傾斜角為60°或120。，則左=土石.6分

/

（2）聯(lián)立方程組《消去X得士8分

整理得2y2—3道y+3=0,解得y=退或y=#

10分

不妨設點"的縱坐標為四，則。V〃x軸，|OV|=1,所以S^MNC=LX1XV3-

12分

一彳

19.解：設直線，的方程為了=切+4,B（x2,y2）.1分

x=my+4,1

聯(lián)立方程組消去x^y-Amy-16=0,3分

『4羽

所以％+%=4根，%%=一16.4分

（1）因為線段47的中點為所以％+%=4根=2,解得加=g,……5分

所以/的斜率為2.……6分

（2）證明：因為。4=（外,%）,08=（九2,%），所以。4-OS=^x2+yry2.8分

22

又XX=&?近=16,所以。4?。8=16—16=0,……10分

44

所以NAOB=90°,故以線段46為直徑的圓過坐標原點。.……12分

20.解：（1）設“選出的5人中恰有2人是知名選手且這2名知名選手來自同一俱樂部”為事件4……1分

5分

則.”弋戶1

（2）由題意可知，才的取值可能為1,2,3,4,5.

clc45

P(x=i)6分

年126

11

P（X=2）=^=|2,……7分

c903

p（X=3）=*=3,……8分

P（X=4）=^=竺，……9分

''段63

「51

P（X=5）=—1-=，10分

\）Cg126

所以隨機變量才的分布列為

12345

52010101

P

126632163126

……11分

A/s15c20010/10<125

E(X)=lx-----F2Xi-3xF4XF5X=—.12分

'71266321631269

21.(1)證明：如圖，連接〃?，AC.

因為ABCD—44G2為棱臺，所以44，G-。四點共面.

又因為四邊形26切為菱形，所以3。，AC.……2分

因為44,_1平面/及/,5￡>u平面/及/,所以44]3D.

又因為A&AC=A且AArACu平面ACC]A，所以50,平面ACGA.……4分

因為CQu平面ACCiA，所以5DLCG.……6分

(2)解：取寬的中點0,連接第.

因為底面"優(yōu)》是菱形，且NABC=60°,所以△力6c是正三角形，所以AQL8C,

即AQLAD.

又44,，平面/況》,所以以/為原點，AQ,AD,A4所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標系，則A(O,0,0),4(。，。/)，〃(。/，1)，e(Ao,o).

12

假設點￡存在，設點￡的坐標為（、后,尢0）,-1<2<1,可得AE=（g,40）,AD1=（0,1,1）.

/、n?AE=A/3X+Ay-0,

設平面ARE1的法向量為〃=（x,y,z）,則v

n-ADX=y+z=0.

取x=/l,可得y=-0，z=g,所以〃=（/,—6,6）.又平面ADD］的一個法向量為AQ=（6,o,o1

所以cos（AQ〃）=產(chǎn)兇=L解得幾=±巫.……9分

'/也用荷45

由于二面角E—A“—。為銳角，則點￡在線段宓上，所以4=巫，即。e=1—巫.

155

故比