考研數(shù)學二（填空題）模擬試卷4（共195題）

考研數(shù)學二（填空題）模擬試卷4（共9套）（共195題）考研數(shù)學二（填空題）模擬試卷第1套一、填空題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、極限＝_______．標準答案：2；知識點解析：暫無解析2、標準答案：知識點解析：暫無解析3、y=，則y’=________標準答案：lntanx-知識點解析：暫無解析4、曲線處的法線方程是___________．標準答案：y=一1知識點解析：5、求=________.標準答案：知識點解析：6、由曲線χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)(擺線)及χ軸圍成平面圖形的面積5＝_______．標準答案：3πa2知識點解析：當t∈[0，π]時，曲線與χ軸的交點是χ＝0，2πa(相應(yīng)于t＝0，2，π)，曲線在χ軸上方，見圖3．26．于是圖形的面積S＝∫02πay(χ)dχ∫02πa(1－cost)[a(t－sint)]′dt＝∫02πa2(1－cos)dt＝a2∫02π(1－2cost＋cos2t)dt＝3πa2．7、＝_______．標準答案：知識點解析：8、(Ⅰ)下列可表示由雙紐線(x2+y2)2=x2－y2圍成平面區(qū)域的面積的是________．(Ⅱ)由曲線x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(擺線)及x軸圍成平面圖形的面積S=________．標準答案：A；3πa2知識點解析：(Ⅰ)雙紐線的極坐標方程是：r4=r2(cos20θ－sin2θ)即r2=cos2θ．當θ∈[－π，π]時，僅當時才有r≥0(圖3．25)．由于曲線關(guān)于極軸與y軸均對稱，如圖3．25，只需考慮θ∈部分．由對稱性及廣義扇形面積計算公式得故應(yīng)選A．(Ⅱ)當t∈[0，2π]時，曲線與x軸的交點是x=0，2πa(相應(yīng)于t=0，2π)，曲線在x軸上方，見圖3．26．于是圖形的面積9、=_______標準答案：知識點解析：10、設(shè)函數(shù)=__________.標準答案：(1+2ln2)dx+(一1—2ln2)dy知識點解析：11、已知n階矩陣，則r(A2一A)=______。標準答案：1知識點解析：因為A2一A=A(A—E)，且矩陣A=可逆，所以r(A2一A)=r(A—E)，而r(A—E)=1，所以r(A2一A)=1。12、設(shè)A2-BA=E，其中A=，則B=________．標準答案：知識點解析：由于BA=A2-E，又A可逆，則有B=(A2-E)A-1=A-A-1．故13、設(shè)A為三階非零矩陣，B＝，且AB＝0，則Aχ＝0的通解是_______．標準答案：c1(1，4，3)T＋c2(－2，3，1)T，c1，c2任意．知識點解析：由AB＝0得r(A)＋r(B)≤3．顯然r(B)≥2，r(A)＞0，因而r(A)＝1，n－r(A)＝2．又AB＝0說明B的每個到向量都是AX＝0的解，取它的1，3兩列作為基礎(chǔ)解系，得AX＝0的通解c1(1，4，3)T＋c2(－2，3，1)T，c1，c2任意．14、設(shè)三階方陣A的特征值是1，2，3，它們所對應(yīng)的特征向量依次為α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，則P—1AP=______。標準答案：知識點解析：因為3α3，α1，2α2分別為A的對應(yīng)特征值3，1，2的特征向量，所以P—1AP=。15、=______標準答案：知識點解析：16、=__________標準答案：知識點解析：因為17、設(shè)η為非零向量，A=，η為方程組AX=0的解，則a=________，方程組的通解為_______標準答案：3,k(-3，1，2)T．知識點解析：AX=0有非零解，所以｜A｜=0，解得a=3，于是A=方程組AX=0的通解為k(-3，1，2)T．18、設(shè)A為四階可逆方陣，將A第3列乘3倍再與第1列交換位置，得到矩陣B，則B-1A＝_______．標準答案：知識點解析：由B＝＝AE3(3)E13得B-1A＝E13-1E3-1(3)A-1A＝E13E3()19、為奇函數(shù)且在x=0處可導(dǎo)，則f’(0)=__________。標準答案：2g’(0)知識點解析：由g(x)在x=0處可導(dǎo)可知，g(x)在x=0處連續(xù)。又因為g(x)是奇函數(shù)，所以g(0)=0。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得20、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)可導(dǎo)，y(0)＝2，令△y＝y(tǒng)(χ＋△χ)－y(χ)，且△y＝△χ＋α，其中α是當△χ→0時的高階無窮小量，則y(χ)＝_______．標準答案：2知識點解析：由△y＝△χ＋α，得y′＝，或者y′－＝0，解得y＝，再由y(0)＝2，得C＝2，所以y＝2．考研數(shù)學二（填空題）模擬試卷第2套一、填空題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、=______標準答案：知識點解析：由ln(1+x)=2、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)由方程ln(χ2＋y2)＝y(tǒng)sinχ＋χ所確定，則＝_______．標準答案：1知識點解析：暫無解析3、=_____________．標準答案：e6知識點解析：4、＝_______．標準答案：1知識點解析：暫無解析5、設(shè)兩曲線y=x2+ax+b與-2y=-1+xy3在點(-1，1)處相切，則a=_______，b=______.標準答案：2，3知識點解析：因為兩曲線過點(-1，1)，所以b-a=0，又由y=x2+ax+b得=a-2，再由-2y=-1+xy3得，且兩曲線在點(-1，1)處相切，則a-2=1，解得a-b=3．6、求正常數(shù)a＝_______；b＝_______，使＝1．標準答案：a＝2，b＝1知識點解析：暫無解析7、設(shè)f(u)可導(dǎo)，y=f(x2)在x0=-1處取得增量△x=0．05時，函數(shù)增量△y的線性部分為0．15，則f’(1)=_______．標準答案：知識點解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=-1=-2f’(1)×0．05=-0．1f’(1)，因為△y的線性部分為dy，由-0．1f’(1)=0．15得f’(1)=8、設(shè)三階方陣A，B滿足A-1BA=6A+BA，且則B=____________。標準答案：知識點解析：將A一1BA=6A+BA變形可得(A一1一E)BA=6A，即B=6(A一1一E)一1。又因為所以9、二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極小值為________。標準答案：知識點解析：由題干可知，fx’=2x(2+y2)，fy’=2x2y+lny+1。由。又所以B2一AC=一2e(2+)＜0，則A＞0。故f(0，)是f(x，y)的極小值，且。10、設(shè)f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=x+yf(μ，ν)dμdν，其中D是由y=，x=1，y=2所圍成的區(qū)域，則f(x，y)=________。標準答案：x+y知識點解析：首先令A(yù)=f(μ，ν)dμdν，則A為常數(shù)，此時f(x，y)=x+Ay。11、(｜x｜+x2y)dxdy=_______標準答案：知識點解析：其中D1={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1-x}，12、的通解為_______．標準答案：知識點解析：13、設(shè)，則這三個積分的大小順序是________＜________＜________．標準答案：I3；I1；I2知識點解析：比較I1與I2，被積函數(shù)是相同的連續(xù)非負函數(shù)，積分區(qū)域圓域(x2+y2≤1)包含在正方形區(qū)域(｜x｜≤1，｜y｜≤1)中=>I1＜I2．比較I1與I3，積分區(qū)域相同，被積函數(shù)均是連續(xù)的，比較它們知x4+y42x2y2I1＞I3．因此I3＜I1＜I2．14、微分方程y"一2y’=x2+e2x+1的待定系數(shù)法確定的特解形式(不必求出系數(shù))是______．標準答案：y*=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x知識點解析：特征方程為r2—2r=0特征根r1=0，r2=2．對f1=x2+1，λ1=0是特征根，所以y1*=x(Ax2+Bx+C)．對f2=e2x，λ2=2也是特征根，故有y2*=Dxe2x．從而y*如上．15、設(shè)α1，α2，α3，α4，α5，它們的下列部分組中，是最大無關(guān)組的有________?(1)α1，α2，α3．(2)α1，α2，α4．(3)α1，α2，α5．(4)α1，α3，α4．標準答案：(2)和(4)是．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，則φ’(1)=______標準答案：47知識點解析：因為φ’(x)=f’x[x，f(x，2x)]+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[1，f(1，2)]+fy[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)]=3+4×(3+8)=47．17、設(shè)f(x，y)在區(qū)域D：x2+y2≤t2上連續(xù)且f(0，0)=4，則=_______標準答案：8π知識點解析：18、=_____________.標準答案：0知識點解析：因為且aretanx為有界函數(shù)，即19、曲線的斜漸近線方程為__________。標準答案：知識點解析：設(shè)所求斜漸近線為y=ax+b，因為20、∫e2χcosχdχ＝_______．標準答案：(sinχ＋2cosχ)＋C知識點解析：I＝∫e2χcosχdχ＝∫e2χd(sinχ)＝e2χsinχ－2∫e2χsinχdχ＝e2χsinχ＋2∫e2χd(cosχ)＝e2χsinχ＋2e2χcosχ－4I，則∫e2χcosχdχ＝(sinχ＋2cosχ)＋C．考研數(shù)學二（填空題）模擬試卷第3套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、求一個正交變換，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3為標準形．標準答案：f=9y32知識點解析：暫無解析2、若a＞0，b＞0均為常數(shù)，則＝_______．標準答案：；知識點解析：暫無解析3、若a1，a2，a3，β1，β2都是4維列向量，且4階行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，則4階行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=標準答案：n-m知識點解析：暫無解析4、=______標準答案：2知識點解析：5、已知A，B，C都是行列式值為2的3階矩陣，則=___________?標準答案：知識點解析：根據(jù)行列式按行(列)展開法則，得6、設(shè)，其f(χ)可導(dǎo)且f′≠0，則＝_______．標準答案：3知識點解析：暫無解析7、由曲線y=lnx與兩直線y=(e+1)一x及y=0所圍成平面圖形的面積為_______．標準答案：知識點解析：暫無解析8、已知向量組α1=(1，2，—1，1)T，α2=(2，0，t，0)T，α3=(0，—4，5，t)T線性無關(guān)，則t的取值為_________。標準答案：(—∞，+∞)知識點解析：由于向量的個數(shù)與維數(shù)不一樣，因此不能用行列式去分析，而要用齊次方程組只有零解，或矩陣的秩等于n來分析向量組的無關(guān)性。A=(α1，α2，α2)=由于對任意的t，R(A)=3恒成立，所以向量組α1，α2，α3必線性無關(guān)，因此t∈(—∞，+∞)。9、設(shè)曲線y=lnx與y=相切，則公共切線為______標準答案：知識點解析：設(shè)當x=a時，兩條曲線相切，由得a=e2．兩條曲線的公共切線為y-lne2=10、設(shè)α=(1，一1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩陣A的特征值，則矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量是_________。標準答案：k(1，一1，1)T。k≠0知識點解析：令B=αβT，則矩陣B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩陣B的特征值為a+1，0，0。那么A=E+B的特征值為a+2，1，1。因為λ=3是矩陣A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是βα=(αβT)α=α(βTα)=2α，即α=(1，一1，1)T是矩陣B屬于特征值λ=2的特征向量，也是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。11、落在平靜水面的石頭，產(chǎn)生同心波紋，若最外一圈波半徑的增大率總是6m／s，問在2s末擾動水面面積的增大率為___________m2／s．標準答案：144π知識點解析：設(shè)在t時刻最外圈波的半徑為r(t)，擾動水面面積為s(t)，則s(t)=πr2(t)，故s’(t)=2πr(t)r’(t)，由題知r’(t)=6，r(t)=6t，所以s’(2)=2πr(2)．6=144π(m2／s)．12、若曲線y=x3+ax2+bx+1有拐點(一1，0)，則b=___________.標準答案：3知識點解析：本題考查已知拐點坐標確定曲線方程中的一個參數(shù)．y=x3+ax2+bx+1，y’=3x2+2ax+b，y’’=bx+2a．又因為曲線過點(一1，0)，代入曲線方程，得b=3．13、設(shè)χ→0時，lncosaχ～－2χb(a＞0)，則a＝_______，b＝_______．標準答案：2；2．知識點解析：lncosaχ＝ln[1＋(cosaχ－1)]～cosaχ－1～－χ2，則－＝－2，b＝2，解得a＝2，b＝2。14、設(shè)A，B為3階矩陣，且｜A｜=3，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，則｜A+B-1｜=_____________.標準答案：3知識點解析：暫無解析15、已知，則k=____________．標準答案：一2知識點解析：已知要求極限存在，所以k＜0．那么所以k=一2．16、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≤1}，則=_____________．標準答案：知識點解析：17、設(shè)α為三維列向量，且ααT=，則αTα=______。標準答案：2知識點解析：αTα等于矩陣ααT的對角線元素之和，即αTα=1+4—3=2。18、微分方程(2x+3)y’’=4y’的通解為______標準答案：C1x3+6C1x2+9C1x+C2．知識點解析：令y’=p，則，兩邊積分得lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y’=C1(2x+3)2，于是y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2．19、交換二次積分次序：標準答案：知識點解析：由已知有，所求積分區(qū)域為所圍成的區(qū)域，所以20、設(shè)B≠O為三階矩陣，且矩陣B的每個列向量為方程組的解，則k=_______，｜B｜=_______．標準答案：1，0知識點解析：令A(yù)=，因為B的列向量為方程組的解且B≠O，所以AB=O且方程組有非零解，故｜A｜=0，解得k=1．因為AB=O，所以r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2<3，故｜B｜=0．21、已知方程組總有解，則λ應(yīng)滿足_______．標準答案：λ≠1且λ≠－．知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(1)=1，則=________標準答案：知識點解析：23、的通解為_______．標準答案：χ＝知識點解析：由得－2χ＝y(tǒng)2，則24、設(shè)a>0，f(x)=g(x)=而D表示整個平面，則=_______標準答案：a2知識點解析：25、設(shè)f(x，y，z)=exyz2其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則f’x(0，1，-1)=________標準答案：1知識點解析：f’x=exyz2+x+y+z+xyz=0兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)得將x=0，y=1，z=-1代入得，故f’x(0，1，-1)=1．考研數(shù)學二（填空題）模擬試卷第4套一、填空題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、＝_______．標準答案：3．知識點解析：原式＝＝3＋0＝3．2、設(shè)＝_______．標準答案：；知識點解析：暫無解析3、=______標準答案：1知識點解析：4、=_______標準答案：知識點解析：5、若f(χ)＝在χ＝0處連續(xù)，則a＝_______．標準答案：2知識點解析：因為f(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以1＋＝a，故a＝2．6、求函數(shù)z＝3aχy－χ3－y3(a＞0)的極值______．標準答案：(0，0)點取得極大值a3．知識點解析：暫無解析7、設(shè)f〞(χ)連續(xù)，f′(χ)≠0，則＝_______．標準答案：知識點解析：8、=______。標準答案：secx一tanx+x+C知識點解析：=∫tanxsecxdx一∫(sec2x一1)dx=secx一tanx+x+C。9、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)由方程eχ＋y＋cos(χy)＝0確定，則＝_______．標準答案：知識點解析：方程兩邊對χ求導(dǎo)，得解得10、設(shè)兩曲線y=f(x)與y=∫0arctanxdt在點(0，0)處有相同的切線，則=___________．標準答案：2知識點解析：11、∫0πtsintdt=___________．標準答案：π知識點解析：∫0πtsintdt=一∫0πtd(cost)=一tcost｜0π+∫0πcostdt=π．12、交換積分次序∫－10dy∫21－yf(x，y)dx=________。標準答案：∫12dx∫01－xf(x，y)dy知識點解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D(如圖1—4—11)：一1≤y≤0，1一y≤x≤2。則有∫－10dy∫1－y2f(x，y)dx=f(x，y)dxdy。交換積分次序∫－10dy∫21－yf(x，y)dx=一∫－10dy∫1－y2f(x，y)dx=一∫12dx∫1－x0f(x，y)dy=∫12dx∫01－xf(x，y)dy。13、微分方程xy’+2y=sinx滿足條件的特解為____________．標準答案：知識點解析：將已知方程變形整理得，14、以y=C1e-2x+C2ex+cosx為通解的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為______標準答案：-sinx-3cosx，y’’+y’-2y=-sinx-3cosx．知識點解析：特征值為λ1=-2，λ2=1，特征方程為λ2+λ-2=0，設(shè)所求的微分方程為y’’+y’-2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程為y’’+y’-2y=-sinx-3cosx．15、設(shè)線性方程組有解，則方程組右端標準答案：k1，k2，k3為任意常數(shù)知識點解析：使方程組有解，即當其中k1，k2，k3是任意常數(shù)，方程組有解．或是方程組左端系數(shù)矩陣的列向量的線性組合時，方程組有解．16、設(shè)f(x，y)在區(qū)域D：x2+y2≤t2上連續(xù)且f(0，0)=4，則=_______標準答案：8π知識點解析：17、設(shè)=_______標準答案：知識點解析：在D1={(x，y)｜-∞2：0≤x+y≤1上，f(x+y)=x+y，則在D1∩D2={(x，y)｜-y≤x≤1-y，0≤y≤1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以18、設(shè)f(x)==______標準答案：2知識點解析：19、為奇函數(shù)且在x=0處可導(dǎo)，則f’(0)=__________。標準答案：2g’(0)知識點解析：由g(x)在x=0處可導(dǎo)可知，g(x)在x=0處連續(xù)。又因為g(x)是奇函數(shù)，所以g(0)=0。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得20、=________.標準答案：x4知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（填空題）模擬試卷第5套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、設(shè)f(x)是奇函數(shù)，且對一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a為常數(shù)，n為整數(shù)，則f(n)=_____________．標準答案：na知識點解析：令x=一1，則f(1)=f(一1)+f(2)，因f(x)是奇函數(shù)，得到f(2)=f(1)一f(一1)=2f(1)=2a．再令x=1，則f(3)=f(1)+f(2)+f(1)=3a，現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明．f(n)=na．當n=1，2，3時，已知或者已證．假設(shè)n=k時，有f(k)=ka．當n=k+1時，f(k+1)=f(k一1)+f(2)=(k一1)a+2a一(k+1)a，故對一切正整數(shù)n，有f(n)=na，令x=0，則f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0．a(chǎn)，又f(x)是奇函數(shù)，故對一切負整數(shù)n有f(n=一f(一n)=一(一na)=na．所以對一切整數(shù)n，均有f(n)=na．2、設(shè)∫χ(χ)dχ＝ln(1＋χ)＋C，則＝_______．標準答案：(3χ＋χ3)＋C知識點解析：暫無解析3、設(shè)A是4×3矩陣，且A的秩r(A)=2，而則r(AB)=_________?標準答案：2知識點解析：因為所以矩陣B可逆，因此r(AB)=r(A)=2．4、設(shè)A是秩為3的5×4矩陣，α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個不同的解，如果α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，則方程組AX=b的通解是________。標準答案：(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T，k為任意常數(shù)知識點解析：由于r(A)=3，所以齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只含有4一r(A)=1個解向量。又因為(α1+α2+2α3)一(3α1+α2)=2(α3一α1)=(0，一4，一6，一8)T是Ax=0的解，所以其基礎(chǔ)解系為(0，2，3，4)T，由A(α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，可知(α1+α2+2α3)是方程組Ax=b的一個解，根據(jù)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)可知，其通解是(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T。5、設(shè)矩陣A滿足A2+A-4層=0，其中E為單位矩陣，則(A-E)-1=________.標準答案：1/2(A+2E)知識點解析：暫無解析6、設(shè)，A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是___________．標準答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T知識點解析：A是一個3階矩陣，由已知得｜A｜=0，且r(A)=2，因此r(A*)=1，那么可知n—r(A*)=3一1=2，因此A*x=0有兩個基礎(chǔ)解系，其通解形式為k1η1+k2η2．又因為A*A=｜A｜E=0，因此矩陣A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T．7、函數(shù)F(x)=(x＞0)的遞減區(qū)間為_______．標準答案：[e2，+∞)知識點解析：需要考慮F(x)的導(dǎo)函數(shù)F’(x)=．令F’(x)≤0，即得x≥e2．8、設(shè)平面區(qū)域D由直線y=x，圓x2+y2=2y及y軸所圍成，則二重積分=______。標準答案：知識點解析：通過直角坐標變換求解，已知直線和圓的交點為(1，1)，上半圓周的方程為因此直角坐標區(qū)域為所以可得9、當x→0時，tan(tanx)一sin(sinx)是x的______階無窮小量．標準答案：3．知識點解析：因為從而于是取k=3時，有故應(yīng)填3．10、設(shè)A為n階矩陣，且｜A｜=a≠0，則｜(kA)*｜=______．標準答案：kn(n-1)an-1知識點解析：因為(kA)*=k-1A*，且｜A*｜=｜A｜n-1，所以｜(kA)*｜=｜kn-1A*｜=kn(n-1)｜A｜n-1=kn(n-1)an-1．11、設(shè)A＝(aij)3×3是實正交矩陣，且a11＝1，b＝(1，0，0)T，則線性方程組Ax＝b的解是________．標準答案：(1，0，0)T；知識點解析：暫無解析12、＝_______．標準答案：知識點解析：13、微分方程y’’+2y’+5y=0的通解為______。標準答案：y=e—x(C1cos2x+C2sin2x)知識點解析：由題干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程為λ2+2λ+5=0。解得則原方程的通解為y=e—x(C1cos2x+C2sin2x)。14、設(shè)I=f(x，y)dy，交換積分次序后則I=____________．標準答案：知識點解析：積分域D為：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲線y=e2x，y=ex與直線x=1的交點分別為(1，e2)與(1，e)．故15、＝_______．標準答案：知識點解析：16、微分方程y’+ytanx=cosx的通解為y=____________．標準答案：(x+C)cosx，其中C為任意常數(shù)知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(χ，y)在點(0，0)的鄰域內(nèi)連續(xù)，F(xiàn)(f)＝f(χ，y)dσ，則＝_______．標準答案：2πf(0，0)知識點解析：F(t)＝f(χ，y)dσ＝f(ξ，η).πt2，其中(ξ，η)∈D，D：χ2＋y2≤t2．故＝2πf(0，0)．18、設(shè)A、B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣，已知AB=2A+3B，A=，則(B一2E)－1=________。標準答案：知識點解析：利用已知條件AB=2A+3B，通過移、添加項構(gòu)造出B一2E，于是有AB一2A一3B+6E=6E，則有(A一3E)(B一2E)=6E。從而(B一2E)－1=。19、設(shè)A為n階矩陣，A的各行元素之和為0且r(A)=n-1，則方程組AX=0的通解為_______標準答案：(其中k為任意常數(shù))知識點解析：k(1，1，…，1)T，其中k為任意常數(shù)．因為A的各行元素之和為零，所以，又因為r(A)=n-1，所以為方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，從而通解為(其中k為任意常數(shù))．20、設(shè)A為三階矩陣，A的各行元素之和為4，則A有特征值_______，對應(yīng)的特征向量為_______標準答案：4，知識點解析：因為A的各行元素之和為4，所以，于是A有特征值4，對應(yīng)的特征向量為21、＝_______．標準答案：知識點解析：22、設(shè)則(A-1)*=________．標準答案：知識點解析：(A-1)(A-1)*=|A-1|E,(A-1)*=|A-1|A=23、設(shè)n維向量α1，α2，α3滿足2α1一α2+3α3=0，對于任意的n維向量β，向量組l1β+α1，l2β+α2，l3β+α3都線性相關(guān)，則參數(shù)l1，l2，l3應(yīng)滿足關(guān)系_______．標準答案：2l1一l2+3l3=0知識點解析：因l1β+α1，l2β+α2，l3β+α3線性相關(guān),存在不全為零的k1，k2，k3，使得k1(l1β+α1)+k2(l2β+α2)+k3(l3β+α3)=0，即(k1l1+k2l2+k3l3)β+k1α1+k2α2+k3α3=0．因β是任意向量，α1，α2，α3滿足2α1一α2+3α3=0，故令2l1一l2+333=0時上式成立，故l1，l2，l3應(yīng)滿足2l1—l2+3l3=0．24、已知A=可對角化，a=______，作可逆矩陣P=_______，使得P-1AP，為對角矩陣．標準答案：0；知識點解析：A的特征值為6，6，-2．η1=(1，2，0)T，η2=(0，0，1)T都是屬于6的特征向量；η3=(1，-2，0)T是屬于-2的特征向量．令P=(η1，η2，η3)，則P-1AP=25、若齊次線性方程組存在非零解，則a=______．標準答案：2知識點解析：由條件知方程組系數(shù)矩陣A的秩小于3，而由A的初等變換：考研數(shù)學二（填空題）模擬試卷第6套一、填空題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取2件，已知2件中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為__________．標準答案：知識點解析：本題考查條件概率的識別和計算，由于事件發(fā)生有先后順序，因此是條件概率．關(guān)鍵是要清楚先發(fā)生的事件的內(nèi)涵，即“任取2件產(chǎn)品，已知2件中有一件是不合格品”是指“所取2件產(chǎn)品至少有一件是不合格品”．設(shè)A表示事件“2件產(chǎn)品中有一件是不合格品”，B表示“另一件也是不合格品”，則所求概率為2、=__________。標準答案：知識點解析：3、已知向量組α1=(1，2，3，4)，α2=(2，3，4，5)，α3=(3，4，5，6)，α4=(4，5，6，7)，則該向量組的秩是_________．標準答案：2知識點解析：本題主要考查用矩陣的初等變換求向量組的秩．要求考生掌握矩陣的秩等于其行(列)向量組的秩，而矩陣進行初等變換后其秩不變．令A(yù)=(α1T,α2T,α3T,α4T)，對A施以初等行變換：由行階梯型矩陣的非零行有2行，所以r(A)=2，從而向量組α1,α2,α3,α4的秩為2．4、＝_______．標準答案：知識點解析：5、求∫xarctan=_______.標準答案：知識點解析：6、=______。標準答案：知識點解析：7、設(shè)A為2階矩陣，α1，α2為線性無關(guān)的2維列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，則A的非零特征值為_________.標準答案：1知識點解析：本題考查矩陣特征值與特征向量的概念，相似矩陣的概念，矩陣與列向量組的關(guān)系．由于A(α1，α2)=(Aα1，Aα2)=(02α1+α2)令則有AP=PB，由于α1，α2線性無關(guān)，從而P=(α1，α2)可逆，于是P一1AP=B，再由得λ=0，1，故A的非零特征值為1．8、設(shè)則=______。標準答案：知識點解析：令x一1=t，則有9、設(shè)f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且F(x)=∫0x(x2-t2)f’(t)dt，若當x→0時F’(x)與x2為等價無窮小，則f’(0)=_________．標準答案：知識點解析：由于F(x)=∫0x(x2-t2)f’(t)dt=x2∫0xf’(t)dt-∫0xt2f’(t)dt，所以F’(x)=2x∫0xf’(t)dt+x2f’(x)-x2f’(x)=2x∫0xf’(t)dt．又依題設(shè)，當x→0時F’(x)與x2為等價無窮小，從而10、∫1＋∞=__________。標準答案：ln2知識點解析：11、曲線y＝(χ2－7)(－∞＜χ＜＋∞)的拐點是______．標準答案：(0，0)知識點解析：這里y(χ)在(－∞，＋∞)連續(xù)，(y′(0)，y〞(0)均不)，y(χ)在χ＝0兩側(cè)凹凸性相反，(0，0)是拐點．12、定積分x2(sinx+1)dx=___________．標準答案：知識點解析：x2sinx是奇函數(shù)，13、＝_______．標準答案：＋C知識點解析：14、設(shè)，B=(E+A)—1(E—A)，則(E+B)—1=______。標準答案：知識點解析：B+E=(E+A)—1(E—A)+E=(E+A)—1(E—A)+(E+A)—1(E+A)=(E+A)—1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)—1，可得(E+B)—1=(E+A)。已知，因此(E+B)—1=。15、設(shè)z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)且f一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則＝_______．標準答案：知識點解析：z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)兩邊對χ求偏導(dǎo)得16、設(shè)y=y(x)可導(dǎo)，y(0)=2，令△y=y(x+△x)=y(x)，且△y=△x+a，其中α是當△x→0時的無窮小量，則y(x)=________標準答案：知識點解析：由△y=17、微分方程y2dx+(x2-xy)dy=0的通解為______標準答案：知識點解析：令，兩邊積分得u-lnu-lnx-lnC=0，解得y=18、已知A＝，矩陣X滿足A*X＝A-1＋2X，其中A*是A的伴隨矩陣，則X＝_______．標準答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)=f(y)f(x+y)dxdy=_______標準答案：知識點解析：在D1={(x，y)｜-∞＜x＜+∞，0≤y≤1}上，f(y)=y；在D2：0≤x+y≤1上，f(x+y)=x+y，則在D0=D1∩D2={(x，y)｜-y≤x≤1-y，0≤y≤1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以20、設(shè)y=y(x)是由方程2y3一2y2+2xy一x2=1確定的，則y=y(x)的極值點是___________。標準答案：x=1知識點解析：方程兩邊對x求導(dǎo)，可得y’(3y2一2y+x)=x一y1(*)令y’=0，有x=y，代入2y3一2y2+2xy一x2=1中，可得(x一1)(2x2+x+1)=0，那么x=1是唯一的駐點。下面判斷x=1是否是極值點：對(*)式求導(dǎo)得y’’(3y2—2y+x)+y’(3y2一2y+x)x’=1一y’。把x=y=1，y’(1)=0代入上式，得。故y(x)只有極值點為x=1，且它是極小值點。考研數(shù)學二（填空題）模擬試卷第7套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、設(shè)a＞0，且＝1，則a＝_______，b＝_______．標準答案：4；1．知識點解析：由＝1得b＝1，則＝1，故a＝4．2、=_______.標準答案：知識點解析：因為當x→0時，所以由于又于是原式=3、設(shè)隨機變量X在區(qū)間[a，b](a＞0)上服從均勻分布，且P{0＜x＜3}=，則P{-1＜X＜5}=__________。標準答案：知識點解析：4、設(shè)4階矩陣A與B相似，A的特征值為，則行列式｜B-1-E｜=_______．標準答案：24知識點解析：B的特征值為，B-1的特征值為2，3，4，5，B-1-E的特征值為1，2，3，4，由特征值的性質(zhì)得｜B-1-E｜=1.2.3.4=24．5、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3經(jīng)正交變換化成了標準形f=y12+2y22，其中P為正交矩陣，則α=_____，β=________．標準答案：0；0知識點解析：α=β=0，A=的秩=f的秩=2，｜A｜=0，α=β，又0=｜E-A｜=-2α2，α=β=0．6、如果f(x)在[a，b]上連續(xù)，無零點，但有使f(x)取正值的點，則f(x)在[a，b]上的取值符號為___________．標準答案：正知識點解析：利用反證法，假設(shè)存在點x1∈[a，b]，使得f(x1)＜0．又由題意知存在點x2∈[a，b]，x2≠x1，使得f(x2)＞0．由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點ξ介于x1和x2之間，使得f(ξ)=0，顯然ξ∈[a，b]，這與已知條件矛盾．7、若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則f(x)的原函數(shù)是________．標準答案：－sinx+C1x+C2知識點解析：f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，那么f(x)應(yīng)具有形式－cosx+C1，所以f(x)的原函數(shù)應(yīng)為－sinx+C1x+C2，其中C1，C2為任意常數(shù)．8、求=________.標準答案：知識點解析：9、已知Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中αi=(1，2，2)T，α2=(2，一2，1)T，α3=(一2，一1，2)T，則A=_________。標準答案：知識點解析：由Aαi=iαi(i=1，2，3)可知A的特征值為1，2，3。令P=(α1，α2，α3)=，則P－1AP=，所以10、設(shè)A，B均為n階矩陣，｜A｜=2，｜B｜=-3，則｜2A*B-1｜=_______．標準答案：-22n-1/3知識點解析：暫無解析11、微分方程的通解為__________。標準答案：y=x.eCx+1知識點解析：令y=xu，代入原方程，則有zu’+u=ulnu，即兩邊求積分，即得ln｜lnu一1｜=ln｜x｜+C，去掉對數(shù)符號與絕對值符號得y=xeCx+1，C為任意常數(shù)。12、(n≠0)＝_______．標準答案：(χn－ln｜1＋χn｜)＋C知識點解析：原式＝13、設(shè)且A，B，X滿足(E一B-1A)TBTX=E，則X-1=__________。標準答案：知識點解析：由(E—B一1A)TBTX=E，得[B(E—B一1A)]TX=E，即P(B—A)TX=E，因此14、已知ABC=D，其中，則B*=__________.標準答案：知識點解析：｜A｜=1，｜C｜=一1，｜D｜=6，即矩陣A，B，D均可逆。由ABC=D可得B=A一1DC一1，且｜B｜=｜A一1｜｜D｜｜D一1｜=一60于是B*=｜B｜B一1=一6(A一1DC一1)一1=一6(C一1A)15、微分方程y’’一4y=e2x的通解為y=_____________．標準答案：知識點解析：對應(yīng)齊次微分方程的特征方程為r2一4=0，解得r1=2，r2=一2．故y’’一4y=0的通解為y1=C1e-2x+C2e2x，其中C1，C2為任意常數(shù)．由于非齊次項為f(x)=e2x，α=2為特征方程的單根，因此原方程的特解可設(shè)為y*=Axe2x，代入原方程可求出故所求通解為16、計算=_______標準答案：1-sin1知識點解析：改變積分次序得17、設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)=，則f(x)=_______．標準答案：2e2x-ex知識點解析：=2∫0xf(t)dt，則f(x)=+ex可化為f(x)=2∫0xf(t)dt+ex，兩邊求導(dǎo)數(shù)得f’(x)-2f(x)=ex，解得f(x)=f[∫ex．e∫-2dxdx+C]e-∫-2dx=(-e-x+C)e2x=Ce2x-ex，因為f(0)=1，所以f(0)=C-1=1，C=2，于是f(x)=2e2x-ex．18、已知矩陣有兩個線性無關(guān)的特征向量，則a=_________。標準答案：一1知識點解析：A的特征多項式為所以矩陣A的特征值是一1，且為三重特征值，但是A只有兩個線性無關(guān)的特征向量，故r(一E—A)=1，因此a=一1。19、設(shè)f(x)=，則x2項的系數(shù)為_____標準答案：23知識點解析：按行列式的定義，f(x)的3次項和2次項都產(chǎn)生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且該項帶正號，所以x2項的系數(shù)為23．20、設(shè)α，β均為三維列向量，βT是β的轉(zhuǎn)置矩陣，如果αβT=，則αTβ=_________。標準答案：5知識點解析：設(shè)α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，則αβT=，而αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出αTβ就是矩陣αβT的主對角線元素的和，所以αTβ=1+6+(一2)=5。21、＝_______(其中a為常數(shù))．標準答案：知識點解析：22、設(shè)，且α，β，γ兩兩正交，則a=_______，b=_______．標準答案：-4，-13知識點解析：因為α，β，γ正交，所以，解得a=-4，b=-13．23、A，B均為n階矩陣，|A|=一2，|B|=3，則||B|A-1|=____________．標準答案：知識點解析：因|A|=一2，|B|=3，故24、標準答案：知識點解析：25、二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1－2χ2)2＋4χ2χ3的矩陣為_______．標準答案：知識點解析：因為f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22－4χ1χ2＋4χ2χ3，所以A＝考研數(shù)學二（填空題）模擬試卷第8套一、填空題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)f(x)=，則f(x+1)—f(x)=________。標準答案：6x2知識點解析：2、設(shè)y=y(x)是由方程確定的隱函數(shù)，則y’’=______。標準答案：知識點解析：在方程兩邊對x求導(dǎo)得即有化簡可得，進而可得3、設(shè)f(x)在x=1處一階連續(xù)可導(dǎo)，且f’(1)=-2，則=______.標準答案：1知識點解析：由得4、若曲線y=x3+ax2+bx+1有拐點(一1，0)，則b=______。標準答案：3知識點解析：根據(jù)題意y’=3x2+2ax+b，y’’=6x+2a。令y’’=0，得x==一1，所以a=3。又因為曲線過點(一1，0)，代入曲線方程，得b=3。5、若函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)存在，則極限=________．標準答案：9f’(1)知識點解析：按導(dǎo)數(shù)定義，將原式改寫成6、求=__________.標準答案：5π知識點解析：7、設(shè)在點(0，0)處連續(xù)，則a=______。標準答案：0知識點解析：因為利用夾逼定理知。又知f(0，0)=a，則a=0。8、=___________．標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：9、當x→0時，tan(tanx)一sin(sinx)是x的______階無窮小量．標準答案：3．知識點解析：因為從而于是取k=3時，有故應(yīng)填3．10、＝_______．標準答案：2arctan＋C知識點解析：11、設(shè)f(x)連續(xù)，且為常數(shù)，則標準答案：a知識點解析：f(x)是抽象函數(shù)，不能具體地計算積分，要用積分中值定理．然后再計算極限．所以12、設(shè)z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所確定，則dz=________。標準答案：(y2dx+2xydy)知識點解析：13、設(shè)則Bn=__________．標準答案：知識點解析：因故Bn=(αTα)n=(αTα)(αTα)…(αTα)=αT(ααT)…(ααT)α=14n-1B．14、已知ξ1=(-3，2，0)T，ξ2=(-1，0，-2)T是方程組的兩個解，則此方程組的通解是_______．標準答案：(-3，2，0)T+k(-1，1，1)T知識點解析：由于矩陣A中有2階子式不為0，故秩r(A)≥2．又ξ1-ξ2是Ax=0的非零解，知r(A)＜3．故必有r(A)=2．于是n-r(A)=1．所以方程組通解是：(-3，2，0)T+k(-1，1，1)T．15、=__________標準答案：知識點解析：16、已知F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，且f(x)=則f(x)=________標準答案：知識點解析：由f(x)=，兩邊積分得17、向量組α1=[0，4，2-k]，α2=[2，3-k，1]，α3=[1-k，2，3]線性相關(guān)，則實數(shù)k=________標準答案：6知識點解析：由=0得k=6．18、級數(shù)標準答案：1．知識點解析：19、=_____________.標準答案：知識點解析：20、設(shè)A是m階矩陣，B是n階矩陣，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，則＝_______．標準答案：(－1)mnab知識點解析：將B的第一行元素分別與A的行對調(diào)m次，然后將B的第二行分別與A的行對調(diào)m次，如此下去直到B的最后一行與A的行對調(diào)m次，則＝(－1)mnab考研數(shù)學二（填空題）模擬試卷第9套一、填空題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、=_______