2022-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)章末質(zhì)量檢測(cè)三新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE9-章末質(zhì)量檢測(cè)(三)立體幾何初步一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的)1．以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，那么此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線(xiàn)都是母線(xiàn)解析：A錯(cuò)誤．如圖1所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．B錯(cuò)誤．如圖2，假設(shè)△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線(xiàn)，所得的幾何體都不是圓錐．C錯(cuò)誤．假設(shè)六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，那么底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，假設(shè)以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．D正確．答案：D2．關(guān)于直觀圖畫(huà)法的說(shuō)法中，不正確的選項(xiàng)是()A．原圖形中平行于x軸的線(xiàn)段，其對(duì)應(yīng)線(xiàn)段仍平行于x′軸，其長(zhǎng)度不變B．原圖形中平行于y軸的線(xiàn)段，其對(duì)應(yīng)線(xiàn)段仍平行于y′軸，其長(zhǎng)度不變C．畫(huà)與坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′時(shí)，∠x(chóng)′O′y′可畫(huà)成135°D．作直觀圖時(shí)，由于選軸不同，所畫(huà)直觀圖可能不同解析：根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)那么可知B不正確．答案：B3．假設(shè)圓柱的軸截面是一個(gè)正方形，其面積為4S，那么它的一個(gè)底面面積是()A．4SB．4πSC．πSD．2πS解析：由題意知圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為底面圓的直徑2R，那么2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面積為πR2＝πS.答案：C4．如果一個(gè)正四面體(各個(gè)面都是正三角形)的體積為9cm3，那么其外表積為()A．18eq\r(3)cm2B．18cm2C．12eq\r(3)cm2D．12cm2解析：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為acm，那么底面積為eq\f(\r(3),4)a2cm2，易求得高為eq\f(\r(6),3)acm，那么體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(2),12)a3＝9，解得a＝3eq\r(2)，所以其外表積為4×eq\f(\r(3),4)a2＝18eq\r(3)(cm2)．答案：A5．一個(gè)四面體共一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱兩兩互相垂直，其長(zhǎng)分別為1，eq\r(6)，3，其四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，那么這個(gè)球的外表積為()A．16πB．32πC．36πD．64π解析：將四面體可補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，此長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)即為球的直徑，而長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為eq\r(12＋\r(6)2＋32)＝4，即球的半徑為2，故這個(gè)球的外表積為4πr2＝16π.答案：A6．假設(shè)平面α∥平面β，直線(xiàn)a∥平面α，點(diǎn)B在平面β內(nèi)，那么在平面β內(nèi)且過(guò)點(diǎn)B的所有直線(xiàn)中()A．不一定存在與a平行的直線(xiàn)B．只有兩條與a平行的直線(xiàn)C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線(xiàn)D．存在唯一與a平行的直線(xiàn)解析：當(dāng)直線(xiàn)a?平面β，且點(diǎn)B在直線(xiàn)a上時(shí)，在平面β內(nèi)且過(guò)點(diǎn)B的所有直線(xiàn)中不存在與a平行的直線(xiàn)．應(yīng)選A.答案：A7．假設(shè)α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β內(nèi)的射影長(zhǎng)分別為9和5，那么AB、CD的長(zhǎng)分別為()A．16和12B．15和13C．17和11D．18和10解析：如圖，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分別為M、N，設(shè)AB＝x，那么CD＝28－x，BM＝9，ND＝5，∴x2－81＝(28－x)2－25，∴x＝15,28－x＝13.答案：B8.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1＝eq\f(1,4)A1B1，那么多面體P－BCC1B1的體積為()A.eq\f(8,3)B.eq\f(16,3)C．4D．5解析：V多面體P－BCC1B1＝eq\f(1,3)S正方形BCC1B1·PB1＝eq\f(1,3)×42×1＝eq\f(16,3).答案：B9．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為A1B1的中點(diǎn)，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2eq\r(5)，那么異面直線(xiàn)BD與AC所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連接BE，DE，那么AC∥A1C1∥DE，那么∠BDE即為異面直線(xiàn)BD與AC所成的角(或其補(bǔ)角)．由條件可知BD＝DE＝EB＝eq\r(5)，所以∠BDE＝60°，應(yīng)選C.答案：C10．如圖，在三棱錐P－ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因?yàn)锳P⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因?yàn)槠矫鍮CP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出AP⊥BC，應(yīng)選B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M為AC的中點(diǎn)，沿BM把它折成二面角，折后A與C的距離為1，那么二面角C－BM－A的大小為()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：如下圖，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝eq\r(2).∵M(jìn)為A′C的中點(diǎn)，∴MC＝AM＝eq\f(\r(2),2)，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA為二面角C－BM－A的平面角．∵AC＝1，MC＝AM＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CMA＝90°.答案：C12．在矩形ABCD中，假設(shè)AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，那么點(diǎn)P到對(duì)角線(xiàn)BD的距離為()A.eq\f(\r(29),2)B.eq\f(13,5)C.eq\f(17,5)D.eq\f(\r(119),5)解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于E，連接PE.∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥PE.∵AE＝eq\f(AB·AD,BD)＝eq\f(12,5)，PA＝1，∴PE＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))2)＝eq\f(13,5).答案：B二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線(xiàn)上)13．正方形ABCD繞對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得組合體的結(jié)構(gòu)特征是________．解析：由圓錐的定義知是兩個(gè)同底的圓錐形成的組合體．答案：兩個(gè)同底的圓錐組合體14．假設(shè)某空間幾何體的直觀圖如下圖，那么該幾何體的外表積是________．解析：根據(jù)直觀圖可知該幾何體是橫著放的直三棱柱，所以S側(cè)＝(1＋eq\r(2)＋eq\r(3))×eq\r(2)＝2＋eq\r(2)＋eq\r(6)，S底＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)，故S表＝2＋eq\r(2)＋eq\r(6)＋2×eq\f(\r(2),2)＝2＋2eq\r(2)＋eq\r(6).答案：2＋2eq\r(2)＋eq\r(6)15．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．假設(shè)EF∥平面AB1C，那么線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度等于________．解析：∵EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F為DC中點(diǎn)．故EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)16．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，那么PC與平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠PCA＝30°.答案：30°三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)如圖是由正方形ABCE和正三角形CDE所組成的平面圖形，試畫(huà)出其水平放置的直觀圖．解析：(1)以AB所在的直線(xiàn)為x軸，AB的中垂線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖(1)，再建立坐標(biāo)系x′O′y′，使兩軸的夾角為45°，如圖(2)．(2)以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上截取A′B′＝AB，分別過(guò)A′，B′作y′軸的平行線(xiàn)，截取A′E′＝eq\f(1,2)AE，B′C′＝eq\f(1,2)BC.在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD.(3)連接E′D′，E′C′，C′D′，并擦去作為輔助線(xiàn)的坐標(biāo)軸，就得到所求的直觀圖，如圖(3)．18．(12分)如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個(gè)三棱錐．求：(1)三棱錐A′－BC′D的外表積與正方體外表積的比值；(2)三棱錐A′－BC′D的體積．解析：(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方體，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴三棱錐A′－BC′D的外表積為4×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a＝2eq\r(3)a2.而正方體的外表積為6a2，故三棱錐A′－BC′D的外表積與正方體外表積的比值為eq\f(2\r(3)a2,6a2)＝eq\f(\r(3),3).(2)三棱錐A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一樣的．故V三棱錐A′－BC′D＝V正方體－4V三棱錐A′－ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(a3,3).19．(12分)如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明：(1)設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O，連接AE，那么AE必過(guò)點(diǎn)O，且O為AE的中點(diǎn)，連接MO，那么MO為△ABE的中位線(xiàn)，所以BE∥MO.因?yàn)锽E?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為AD，EF的中點(diǎn)，四邊形ADEF為平行四邊形，所以DE∥GN.因?yàn)镈E?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線(xiàn)，所以BD∥MN.因?yàn)锽D?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG.因?yàn)镈E∩BD＝D，BD，DE?平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.20．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn)．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)假設(shè)AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明：(1)如下圖，取AB的中點(diǎn)E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB為等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，那么BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.21．(12分)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．(1)求證：OE∥平面BCC1B1；(2)假設(shè)AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC.證明：(1)連接BC1，因?yàn)閭?cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，所以O(shè)為AC1的中點(diǎn)，又因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥BC1，因?yàn)镺E?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以O(shè)E∥平面BCC1B1.(2)因?yàn)閭?cè)面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因?yàn)锳C1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因?yàn)锽C?平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如下圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E為D1C1的中點(diǎn)，連接ED，EC，EB和DB.(1)求證：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)證明：在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E為D1C1的中點(diǎn)．所以△DD1E為等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在長(zhǎng)方