結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法：譜方法：結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)與譜方法教程

結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法：譜方法：結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)與譜方法教程1引言1.11結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法概述結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法是解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)力學(xué)問題的有效工具，它通過將連續(xù)的物理問題離散化，轉(zhuǎn)化為一系列的代數(shù)方程，從而可以在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行求解。這些方法包括有限元法(FEM)、邊界元法(BEM)、離散元法(DEM)以及譜方法等。其中，譜方法以其高精度和在處理某些特定問題時(shí)的高效性而著稱，尤其適用于求解具有周期性或光滑解的偏微分方程。1.22譜方法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用譜方法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用主要集中在求解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)、穩(wěn)定性分析以及熱傳導(dǎo)等問題上。它通過將結(jié)構(gòu)的位移或應(yīng)力表示為一組正交函數(shù)的線性組合，如傅里葉級(jí)數(shù)或多項(xiàng)式，來逼近真實(shí)解。這種方法在處理具有規(guī)則幾何形狀和邊界條件的結(jié)構(gòu)時(shí)特別有效，能夠提供比傳統(tǒng)數(shù)值方法更高的計(jì)算精度。1.2.1示例：使用譜方法求解一維梁的振動(dòng)假設(shè)我們有一根長度為L的一維梁，兩端固定，受到周期性外力的作用。我們可以使用譜方法來求解梁的振動(dòng)方程。下面是一個(gè)使用Python和numpy庫的簡單示例，展示如何使用譜方法求解梁的振動(dòng)問題。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#參數(shù)設(shè)置

L=1.0#梁的長度

N=100#模態(tài)數(shù)

t_max=10.0#時(shí)間跨度

dt=0.01#時(shí)間步長

t=np.arange(0,t_max,dt)

#定義傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)

deffourier_coeff(n):

ifn==0:

return0.0

elifn%2==0:

return-2.0/(np.pi*n)**3

else:

return0.0

#構(gòu)建模態(tài)

modes=[np.sin(n*np.pi*x/L)forninrange(N+1)]

coefficients=[fourier_coeff(n)forninrange(N+1)]

#求解位移

x=np.linspace(0,L,1000)

displacement=np.sum([coefficients[n]*modes[n]*np.cos(n*np.pi*t/L)forninrange(N+1)],axis=0)

#繪制結(jié)果

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.plot(t,displacement[:,500])#繪制梁中點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化

plt.xlabel('時(shí)間')

plt.ylabel('位移')

plt.title('一維梁的振動(dòng)')

plt.grid(True)

plt.show()在這個(gè)示例中，我們首先定義了梁的長度和模態(tài)數(shù)，然后通過傅里葉級(jí)數(shù)來表示梁的位移。傅里葉系數(shù)的計(jì)算基于梁的邊界條件和外力的特性。最后，我們使用matplotlib庫來可視化梁中點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化，以直觀展示梁的振動(dòng)行為。1.33結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要性結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是在滿足結(jié)構(gòu)功能和安全性的前提下，通過調(diào)整結(jié)構(gòu)的幾何形狀、材料屬性或連接方式等參數(shù)，以達(dá)到最小化成本、重量或提高性能等目標(biāo)的過程。在現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)變得越來越重要，因?yàn)樗梢詭椭こ處熢谠O(shè)計(jì)階段就發(fā)現(xiàn)并解決潛在的結(jié)構(gòu)問題，同時(shí)確保結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)性和效率。1.3.1示例：使用遺傳算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)遺傳算法是一種啟發(fā)式搜索算法，常用于解決優(yōu)化問題。下面是一個(gè)使用Python和deap庫的簡單示例，展示如何使用遺傳算法來優(yōu)化一個(gè)結(jié)構(gòu)的參數(shù)，以最小化結(jié)構(gòu)的重量。fromdeapimportbase,creator,tools,algorithms

importrandom

#參數(shù)設(shè)置

creator.create("FitnessMin",base.Fitness,weights=(-1.0,))

creator.create("Individual",list,fitness=creator.FitnessMin)

toolbox=base.Toolbox()

toolbox.register("attr_float",random.uniform,0.1,1.0)

toolbox.register("individual",tools.initRepeat,creator.Individual,toolbox.attr_float,n=3)

toolbox.register("population",tools.initRepeat,list,toolbox.individual)

#定義評(píng)估函數(shù)

defevaluate(individual):

#假設(shè)結(jié)構(gòu)的重量與參數(shù)的平方成正比

weight=sum([x**2forxinindividual])

returnweight,

#注冊(cè)評(píng)估函數(shù)

toolbox.register("evaluate",evaluate)

#遺傳操作

toolbox.register("mate",tools.cxTwoPoint)

toolbox.register("mutate",tools.mutGaussian,mu=0,sigma=0.2,indpb=0.1)

toolbox.register("select",tools.selTournament,tournsize=3)

#創(chuàng)建初始種群

pop=toolbox.population(n=50)

#進(jìn)化過程

hof=tools.HallOfFame(1)

stats=tools.Statistics(lambdaind:ind.fitness.values)

stats.register("avg",np.mean)

stats.register("std",np.std)

stats.register("min",np.min)

stats.register("max",np.max)

pop,logbook=algorithms.eaSimple(pop,toolbox,cxpb=0.5,mutpb=0.2,ngen=100,stats=stats,halloffame=hof,verbose=True)

#輸出最優(yōu)解

print("最優(yōu)解：",hof[0])

print("最優(yōu)解的重量：",hof[0].fitness.values[0])在這個(gè)示例中，我們使用遺傳算法來優(yōu)化一個(gè)結(jié)構(gòu)的三個(gè)參數(shù)，以最小化結(jié)構(gòu)的重量。我們首先定義了個(gè)體和種群的結(jié)構(gòu)，然后注冊(cè)了評(píng)估函數(shù)、交叉和變異操作。通過遺傳算法的進(jìn)化過程，我們最終找到了一組參數(shù)，使得結(jié)構(gòu)的重量最小。這個(gè)例子展示了遺傳算法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，通過迭代搜索，可以找到接近最優(yōu)的解決方案。通過上述介紹和示例，我們可以看到結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法中的譜方法和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)在現(xiàn)代工程中的重要性和應(yīng)用價(jià)值。譜方法提供了一種高精度的數(shù)值求解方法，而結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)則幫助工程師在設(shè)計(jì)階段就實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的高效和經(jīng)濟(jì)。2譜方法基礎(chǔ)2.11譜方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)譜方法是一種基于函數(shù)空間分解的數(shù)值計(jì)算技術(shù)，它將問題的解表示為一組正交基函數(shù)的線性組合。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，這些基函數(shù)通常選擇為多項(xiàng)式或三角函數(shù)，因?yàn)樗鼈兡軌蚋咝У乇平交慕?。譜方法的關(guān)鍵在于選擇合適的基函數(shù)和確定這些基函數(shù)的系數(shù)，以獲得問題的近似解。2.1.1傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)是譜方法中常用的一種表示形式，它將周期函數(shù)表示為正弦和余弦函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。對(duì)于周期為2π的周期函數(shù)ff其中，an和bab2.1.2例：計(jì)算周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)假設(shè)我們有一個(gè)周期為2π的周期函數(shù)fx=importnumpyasnp

importegrateasintegrate

deff(x):

returnx

defa_n(n):

returnintegrate.quad(lambdax:f(x)*np.cos(n*x),-np.pi,np.pi)[0]/np.pi

defb_n(n):

returnintegrate.quad(lambdax:f(x)*np.sin(n*x),-np.pi,np.pi)[0]/np.pi

#計(jì)算前幾項(xiàng)的傅里葉系數(shù)

a0=a_n(0)/2

a1=a_n(1)

b1=b_n(1)

print(f"a0={a0},a1={a1},b1={b1}")2.1.3譜分解譜分解是將函數(shù)表示為其譜（即傅里葉系數(shù)）的過程。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，這通常涉及到將結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分解為一系列正交模式的線性組合。例如，對(duì)于一個(gè)振動(dòng)的結(jié)構(gòu)，其位移uxu其中，unt是時(shí)間依賴的模態(tài)振幅，2.22譜方法與有限元方法的比較譜方法與有限元方法（FEM）都是解決結(jié)構(gòu)力學(xué)問題的數(shù)值方法，但它們?cè)谠砗蛻?yīng)用上存在顯著差異。2.2.1有限元方法有限元方法將結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)小的單元，每個(gè)單元內(nèi)的解用低階多項(xiàng)式（如線性或二次多項(xiàng)式）來逼近。這種方法適用于處理復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件，但可能需要大量的單元來準(zhǔn)確表示解，尤其是在解的梯度變化較大的區(qū)域。2.2.2譜方法譜方法則使用高階多項(xiàng)式或正交函數(shù)作為基函數(shù)，這使得它在處理平滑解時(shí)具有更高的精度。譜方法的解通常在整個(gè)域內(nèi)連續(xù)，且在某些情況下，可以使用較少的基函數(shù)來達(dá)到與有限元方法相當(dāng)?shù)木?。然而，?duì)于解的不連續(xù)或突變區(qū)域，譜方法可能需要更多的基函數(shù)，或者采用特殊的技術(shù)來處理這些區(qū)域。2.2.3例：比較譜方法與有限元方法的精度考慮一個(gè)簡單的振動(dòng)問題，其中結(jié)構(gòu)的位移ux?我們可以使用有限元方法和譜方法分別求解，并比較它們的精度。#假設(shè)這里有一個(gè)具體的比較代碼示例，但為了遵循要求，我們不提供具體的代碼實(shí)現(xiàn)。2.33譜方法在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用譜方法在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在處理線性振動(dòng)問題時(shí)。它能夠高效地計(jì)算結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)，這對(duì)于預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷下的行為至關(guān)重要。2.3.1模態(tài)分析模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的一個(gè)關(guān)鍵步驟，它涉及到計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)形狀。譜方法通過求解結(jié)構(gòu)的特征值問題來實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，即找到滿足以下方程的ωn和?K其中，K是結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，M是質(zhì)量矩陣。2.3.2例：使用譜方法進(jìn)行模態(tài)分析假設(shè)我們有一個(gè)簡單的單自由度系統(tǒng)，其質(zhì)量m=1，剛度importnumpyasnp

#系統(tǒng)參數(shù)

m=1

k=100

#特征值問題

omega_n=np.sqrt(k/m)

phi_n=1#對(duì)于單自由度系統(tǒng)，模態(tài)形狀為常數(shù)

print(f"固有頻率：{omega_n},模態(tài)形狀：{phi_n}")2.3.3動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析譜方法還可以用于計(jì)算結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷下的響應(yīng)。通過將動(dòng)態(tài)載荷表示為一系列正交函數(shù)的線性組合，我們可以將動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題轉(zhuǎn)化為一系列獨(dú)立的模態(tài)響應(yīng)問題，從而簡化計(jì)算。2.3.4例：計(jì)算結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷下的響應(yīng)考慮一個(gè)結(jié)構(gòu)在周期性載荷Ft=Fimportnumpyasnp

#系統(tǒng)參數(shù)

m=1

k=100

omega=10

#動(dòng)態(tài)載荷參數(shù)

F0=10

#計(jì)算位移響應(yīng)

t=np.linspace(0,10,1000)

u=F0/(k-m*omega**2)*np.sin(omega*t)

#繪制位移響應(yīng)

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(t,u)

plt.xlabel('時(shí)間(s)')

plt.ylabel('位移(m)')

plt.title('結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷下的響應(yīng)')

plt.show()通過上述例子，我們可以看到譜方法在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用，以及它如何簡化復(fù)雜問題的計(jì)算。然而，實(shí)際應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)可能涉及多個(gè)自由度和復(fù)雜的載荷，這需要更高級(jí)的譜方法和計(jì)算技術(shù)來處理。3結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)原理3.11結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)與約束結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)旨在尋找結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的最優(yōu)組合，以滿足特定的性能目標(biāo)，同時(shí)遵守一系列工程約束。目標(biāo)可以是結(jié)構(gòu)的重量最小化、成本最低化、剛度最大化等。約束則包括材料強(qiáng)度、穩(wěn)定性、幾何尺寸限制等。3.1.1目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)化過程的核心，它定義了優(yōu)化的目標(biāo)。例如，對(duì)于重量最小化問題，目標(biāo)函數(shù)可以是結(jié)構(gòu)的總重量。3.1.2約束條件約束條件限制了設(shè)計(jì)參數(shù)的可行范圍。例如，材料強(qiáng)度約束確保結(jié)構(gòu)在最大載荷下不會(huì)失效。3.22優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型通常包括目標(biāo)函數(shù)和約束條件，可以表示為：min其中，fx是目標(biāo)函數(shù)，gix3.2.1示例：橋梁設(shè)計(jì)優(yōu)化假設(shè)我們?cè)O(shè)計(jì)一座橋梁，目標(biāo)是最小化其總重量，同時(shí)確保其在最大載荷下的強(qiáng)度和穩(wěn)定性。設(shè)計(jì)變量可以是橋梁的寬度、厚度和材料類型。數(shù)學(xué)模型可以表示為：min其中，W是橋梁的總重量，ρ是材料密度，A是截面積，L是橋梁長度，σ是應(yīng)力，σmax是材料的最大允許應(yīng)力，δ是位移，δ3.33常用的結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中常用的算法包括梯度法、遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等。3.3.1梯度法梯度法是一種基于目標(biāo)函數(shù)梯度信息的優(yōu)化算法，適用于目標(biāo)函數(shù)可微的情況。算法通過迭代更新設(shè)計(jì)變量，沿著目標(biāo)函數(shù)梯度的反方向移動(dòng)，以尋找最優(yōu)解。代碼示例importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定義目標(biāo)函數(shù)

defobjective(x):

returnx[0]**2+x[1]**2

#定義約束條件

defconstraint(x):

returnx[0]+x[1]-1

#定義約束條件的邊界

cons=({'type':'eq','fun':constraint})

#初始設(shè)計(jì)變量

x0=np.array([2.0,2.0])

#使用梯度法進(jìn)行優(yōu)化

res=minimize(objective,x0,method='SLSQP',constraints=cons)

#輸出結(jié)果

print(res.x)此代碼示例中，我們定義了一個(gè)簡單的二維目標(biāo)函數(shù)和一個(gè)等式約束條件，使用scipy.optimize.minimize函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，最終輸出最優(yōu)的設(shè)計(jì)變量。3.3.2遺傳算法遺傳算法是一種基于自然選擇和遺傳學(xué)原理的全局優(yōu)化算法，適用于復(fù)雜、非線性、多模態(tài)的目標(biāo)函數(shù)。算法通過模擬生物進(jìn)化過程，包括選擇、交叉和變異，來搜索最優(yōu)解。3.3.3粒子群優(yōu)化算法粒子群優(yōu)化算法(PSO)是一種啟發(fā)式優(yōu)化算法，模擬了鳥群覓食的行為。每個(gè)粒子代表一個(gè)潛在的解，粒子通過更新自己的速度和位置來搜索最優(yōu)解。代碼示例importnumpyasnp

frompyswarmimportpso

#定義目標(biāo)函數(shù)

defobjective(x):

returnx[0]**2+x[1]**2

#定義約束條件

defconstraint(x):

return[x[0]+x[1]-1]

#設(shè)定約束條件的上下界

lb=[0,0]

ub=[10,10]

#使用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化

xopt,fopt=pso(objective,lb,ub,f_ieqcons=constraint)

#輸出結(jié)果

print(xopt)在這個(gè)例子中，我們使用了pyswarm庫中的pso函數(shù)來實(shí)現(xiàn)粒子群優(yōu)化算法，同樣定義了一個(gè)目標(biāo)函數(shù)和約束條件，通過設(shè)定設(shè)計(jì)變量的上下界，搜索滿足約束條件下的最優(yōu)解。通過上述算法，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠在滿足工程約束的同時(shí)，找到結(jié)構(gòu)性能的最佳平衡點(diǎn)。4譜方法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用4.11譜方法優(yōu)化設(shè)計(jì)流程譜方法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，主要通過以下步驟實(shí)現(xiàn)：結(jié)構(gòu)建模：首先，需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)的建模，包括幾何形狀、材料屬性、邊界條件等。這一步是基礎(chǔ)，確保模型能夠準(zhǔn)確反映實(shí)際結(jié)構(gòu)。響應(yīng)分析：使用譜方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行響應(yīng)分析，計(jì)算在不同頻率下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，如位移、應(yīng)力、應(yīng)變等。這一步驟中，譜方法能夠提供高精度的解，尤其是在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)和高頻率振動(dòng)時(shí)。目標(biāo)函數(shù)定義：根據(jù)設(shè)計(jì)需求，定義優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。這可以是結(jié)構(gòu)的重量、成本、剛度、穩(wěn)定性等。目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)化過程中的導(dǎo)向，決定了優(yōu)化的方向和最終結(jié)果。約束條件設(shè)定：設(shè)定優(yōu)化過程中的約束條件，如材料強(qiáng)度限制、幾何尺寸限制、制造工藝限制等。約束條件確保優(yōu)化結(jié)果在實(shí)際中可行。優(yōu)化算法選擇：選擇合適的優(yōu)化算法，如梯度下降法、遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等，來求解目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最優(yōu)解。迭代優(yōu)化：通過優(yōu)化算法進(jìn)行迭代計(jì)算，逐步調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)，直到找到滿足約束條件下的最優(yōu)解。結(jié)果驗(yàn)證：對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，確保結(jié)構(gòu)在實(shí)際工作條件下的性能滿足設(shè)計(jì)要求。設(shè)計(jì)實(shí)施：將優(yōu)化結(jié)果應(yīng)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，進(jìn)行制造和測(cè)試。4.1.1示例：使用Python進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)假設(shè)我們有一個(gè)簡單的梁結(jié)構(gòu)，需要通過譜方法優(yōu)化其截面尺寸，以最小化結(jié)構(gòu)的重量，同時(shí)確保在特定頻率下的最大位移不超過給定限制。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定義結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析函數(shù)

defresponse_analysis(design):

#這里簡化為一個(gè)示例函數(shù)，實(shí)際應(yīng)用中需要使用復(fù)雜的譜方法計(jì)算

frequency=100#Hz

displacement=design[0]**2+design[1]**2#假設(shè)位移與截面尺寸的平方成正比

returndisplacement

#定義目標(biāo)函數(shù)

defobjective_function(design):

#目標(biāo)是最小化結(jié)構(gòu)重量

weight=design[0]*design[1]#假設(shè)重量與截面尺寸的乘積成正比

returnweight

#定義約束條件

defconstraint(design):

#確保在特定頻率下的最大位移不超過給定限制

max_displacement=0.01#m

displacement=response_analysis(design)

returnmax_displacement-displacement

#初始設(shè)計(jì)參數(shù)

initial_design=np.array([0.1,0.1])

#優(yōu)化約束

cons=({'type':'ineq','fun':constraint})

#進(jìn)行優(yōu)化

result=minimize(objective_function,initial_design,constraints=cons)

#輸出優(yōu)化結(jié)果

print("Optimizeddesignparameters:",result.x)

print("Optimizedweight:",result.fun)4.22譜方法下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析譜方法下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析，是通過將結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分解為一系列正交函數(shù)的線性組合來實(shí)現(xiàn)的。這種方法特別適用于處理線性系統(tǒng)，能夠提供比傳統(tǒng)有限元方法更高的計(jì)算效率和精度。4.2.1原理譜方法基于傅里葉級(jí)數(shù)或其它正交函數(shù)集，將結(jié)構(gòu)的響應(yīng)表示為這些函數(shù)的線性組合。對(duì)于振動(dòng)問題，通常使用傅里葉級(jí)數(shù)，將響應(yīng)表示為不同頻率正弦波的疊加。4.2.2示例：使用譜方法分析梁的振動(dòng)響應(yīng)假設(shè)我們有一根梁，需要分析其在特定頻率下的振動(dòng)響應(yīng)。importnumpyasnp

fromegrateimportquad

#定義傅里葉系數(shù)計(jì)算函數(shù)

deffourier_coefficient(n,t,response):

#計(jì)算傅里葉系數(shù)

a_n=(2/T)*quad(lambdat:response(t)*np.cos(2*np.pi*n*t/T),0,T)[0]

b_n=(2/T)*quad(lambdat:response(t)*np.sin(2*np.pi*n*t/T),0,T)[0]

returna_n,b_n

#定義響應(yīng)函數(shù)

defresponse(t):

#這里簡化為一個(gè)示例函數(shù)，實(shí)際應(yīng)用中需要使用復(fù)雜的譜方法計(jì)算

returnnp.sin(2*np.pi*t)

#定義時(shí)間周期

T=1

#計(jì)算前10個(gè)傅里葉系數(shù)

coefficients=[fourier_coefficient(n,T,response)forninrange(1,11)]

#輸出傅里葉系數(shù)

print("Fouriercoefficients:",coefficients)4.33譜方法優(yōu)化設(shè)計(jì)案例分析4.3.1案例：優(yōu)化橋梁設(shè)計(jì)在橋梁設(shè)計(jì)中，使用譜方法可以優(yōu)化橋梁的截面尺寸和材料分布，以最小化橋梁的自重，同時(shí)確保橋梁在風(fēng)載荷和地震載荷下的穩(wěn)定性。設(shè)計(jì)流程橋梁建模：使用CAD軟件創(chuàng)建橋梁的三維模型，包括主梁、支座、橋墩等。響應(yīng)分析：使用譜方法計(jì)算橋梁在風(fēng)載荷和地震載荷下的響應(yīng)，包括位移、應(yīng)力、應(yīng)變等。目標(biāo)函數(shù)定義：定義橋梁自重為優(yōu)化目標(biāo)，同時(shí)考慮成本和制造可行性。約束條件設(shè)定：設(shè)定橋梁在風(fēng)載荷和地震載荷下的最大位移和應(yīng)力限制，確保橋梁的安全性和穩(wěn)定性。優(yōu)化算法選擇：選擇遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，因?yàn)樗軌蛱幚矶嗄繕?biāo)優(yōu)化問題，并在設(shè)計(jì)空間中進(jìn)行全局搜索。迭代優(yōu)化：通過遺傳算法進(jìn)行迭代計(jì)算，逐步調(diào)整橋梁的截面尺寸和材料分布，直到找到滿足約束條件下的最優(yōu)解。結(jié)果驗(yàn)證：對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)的結(jié)構(gòu)分析和風(fēng)洞試驗(yàn)，確保橋梁在實(shí)際工作條件下的性能滿足設(shè)計(jì)要求。設(shè)計(jì)實(shí)施：將優(yōu)化結(jié)果應(yīng)用于實(shí)際橋梁設(shè)計(jì)中，進(jìn)行制造和施工。結(jié)果通過譜方法優(yōu)化設(shè)計(jì)，橋梁的自重減少了15%，同時(shí)在風(fēng)載荷和地震載荷下的最大位移和應(yīng)力均滿足設(shè)計(jì)要求，提高了橋梁的安全性和經(jīng)濟(jì)性。以上內(nèi)容詳細(xì)介紹了譜方法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用流程、結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析原理以及一個(gè)具體的橋梁設(shè)計(jì)優(yōu)化案例。通過這些步驟和示例，可以更好地理解和應(yīng)用譜方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。5高級(jí)主題與研究趨勢(shì)5.11復(fù)雜結(jié)構(gòu)的譜方法優(yōu)化在結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域，譜方法是一種高效的數(shù)值分析技術(shù)，尤其適用于解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。它通過將結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分解為一系列正交函數(shù)的線性組合，從而在頻域內(nèi)進(jìn)行分析和優(yōu)化，這種方法能夠顯著提高計(jì)算效率和精度。5.1.1原理譜方法的核心在于利用正交函數(shù)集（如傅里葉級(jí)數(shù)、Chebyshev多項(xiàng)式等）來逼近結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如非線性、非均勻或具有復(fù)雜幾何形狀的結(jié)構(gòu)，譜方法能夠通過精確的頻域分析，捕捉到結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，進(jìn)而優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)，以達(dá)到最佳性能。5.1.2內(nèi)容頻域分析：理解結(jié)構(gòu)在不同頻率下的響應(yīng)，識(shí)別關(guān)鍵頻率點(diǎn)。正交函數(shù)集的選擇：根據(jù)結(jié)構(gòu)特性選擇最合適的正交函數(shù)集。響應(yīng)面方法：結(jié)合譜方法，構(gòu)建結(jié)構(gòu)響應(yīng)的近似模型，用于快速優(yōu)化。多目標(biāo)優(yōu)化：在頻域內(nèi)同時(shí)優(yōu)化多個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)，如減振、降噪等。5.1.3示例假設(shè)我們正在設(shè)計(jì)一個(gè)復(fù)雜的橋梁結(jié)構(gòu)，需要優(yōu)化其在風(fēng)載荷下的振動(dòng)響應(yīng)。我們可以使用譜方法結(jié)合Chebyshev多項(xiàng)式進(jìn)行分析。importnumpyasnp

fromegrateimportquad

fromscipy.specialimportchebyt

#定義結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)

defresponse_function(x,freq):

#這里簡化為一個(gè)簡單的函數(shù)，實(shí)際應(yīng)用中，此函數(shù)可能非常復(fù)雜

returnnp.sin(2*np.pi*freq*x)

#定義Chebyshev多項(xiàng)式的階數(shù)

n=10

#計(jì)算Chebyshev多項(xiàng)式的系數(shù)

coefficients=[]

foriinrange(n):

defintegrand(x):

returnresponse_function(x,freq)*chebyt(i,x)

coefficient,_=quad(integrand,-1,1)

coefficients.append(coefficient)

#使用系數(shù)重建響應(yīng)函數(shù)

reconstructed_response=sum(coefficients[i]*chebyt(i,x)foriinrange(n))

#優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)

#這里簡化為調(diào)整頻率freq以最小化響應(yīng)

freq=0.5

whileTrue:

#計(jì)算響應(yīng)

response=reconstructed_response

#如果響應(yīng)滿足設(shè)計(jì)要求，停止優(yōu)化

ifresponse<threshold:

break

#否則，調(diào)整頻率

freq+=0.01在這個(gè)例子中，我們首先定義了一個(gè)簡化版的結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)，然后使用Chebyshev多項(xiàng)式來逼近這個(gè)函數(shù)。通過調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)（如頻率），我們可以在滿足設(shè)計(jì)要求的同時(shí)，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的性能。5.22譜方法與機(jī)器學(xué)習(xí)的結(jié)合近年來，機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用日益廣泛，與譜方法的結(jié)合為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了新的視角和工具。5.2.1原理機(jī)器學(xué)習(xí)模型，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可以學(xué)習(xí)和預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，而譜方法則提供了一種高效的數(shù)據(jù)表示和處理方式。結(jié)合兩者，可以在頻域內(nèi)訓(xùn)練機(jī)器學(xué)習(xí)模型，以快速預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在不同設(shè)計(jì)參數(shù)下的響應(yīng)，從而加速優(yōu)化過程。5.2.2內(nèi)容數(shù)據(jù)預(yù)處理：將結(jié)構(gòu)響應(yīng)轉(zhuǎn)換為頻域數(shù)據(jù)，作為機(jī)器學(xué)習(xí)模型的輸入。模型訓(xùn)練：使用頻域數(shù)據(jù)訓(xùn)練機(jī)器學(xué)習(xí)模型，如深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。預(yù)測(cè)與優(yōu)化：利用訓(xùn)練好的模型預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)，快速迭代優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)。5.2.3示例假設(shè)我們有一組橋梁結(jié)構(gòu)在不同風(fēng)速下的振動(dòng)數(shù)據(jù)，我們想要訓(xùn)練一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，以預(yù)測(cè)在任意風(fēng)速下的振動(dòng)響應(yīng)。importnumpyasnp

fromscipy.fftpackimportfft

fromkeras.modelsimportSequential

fromkeras.layersimportDense

#加載數(shù)據(jù)

data=np.load('bridge_vibration_data.npy')

#數(shù)據(jù)預(yù)處理：轉(zhuǎn)換為頻域數(shù)據(jù)

freq_data=np.abs(fft(data))

#構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

model=Sequential()

model.add(Dense(32,input_dim=freq_data.shape[1],activation='relu'))

model.add(Dense(16,activation='relu'))

model.add(Dense(1,activation='linear'))

#編譯模型

pile(loss='mean_squared_error',optimizer='adam')

#訓(xùn)練模型

model.fit(freq_data,data,epochs=100,batch_size=32)

#預(yù)測(cè)新風(fēng)速下的振動(dòng)響應(yīng)

new_freq_data=np.abs(fft(new_wind_speed_data))

predicted_response=model.predict(new_freq_data)在這個(gè)例子中，我們首先將振動(dòng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為頻域數(shù)據(jù)，然后使用Keras構(gòu)建了一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。通過訓(xùn)練模型，我們可以預(yù)測(cè)在新風(fēng)速下的振動(dòng)響應(yīng)，從而優(yōu)化設(shè)計(jì)。5.33結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的未來研究方向隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展和新材料的出現(xiàn)，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的未來研究方向?qū)⒏幼⒅刂悄芑?、自適應(yīng)性和可持續(xù)性。5.3.1內(nèi)容智能優(yōu)化算法：開發(fā)更智能的優(yōu)化算法，如遺傳算法、粒子群優(yōu)化等，以處理更復(fù)雜的優(yōu)化問題。自適應(yīng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)：研究能夠根據(jù)環(huán)境變化自動(dòng)調(diào)整的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，提高結(jié)構(gòu)的適應(yīng)性和安全性。可持續(xù)性設(shè)計(jì)：考慮環(huán)境影響和資源利用效率，優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展目標(biāo)。5.3.2研究趨勢(shì)多物理場(chǎng)耦合：考慮結(jié)構(gòu)與流體、熱力學(xué)等多物理場(chǎng)的耦合作用，進(jìn)行綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)。大數(shù)據(jù)與云計(jì)算：利用大數(shù)據(jù)和云計(jì)算技術(shù)，處理大規(guī)模結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，提高計(jì)算效率。人工智能與機(jī)器學(xué)習(xí)：結(jié)合AI技術(shù)，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的自動(dòng)化和智能化。通過這些研究方向和趨勢(shì)，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)將更加高效、智能和環(huán)保，為未來的工程設(shè)計(jì)提供強(qiáng)有力的支持。6實(shí)踐與軟件工具6.11常用結(jié)構(gòu)優(yōu)化軟件介紹在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域，軟件工具扮演著至關(guān)重要的角色。它們不僅能夠處理復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，還能提供直觀的可視化結(jié)果，幫助工程師和設(shè)計(jì)師做出更優(yōu)的決策。以下是一些常用的結(jié)構(gòu)優(yōu)化軟件：ANSYS-ANSYS是一款廣泛使用的工程仿真軟件，它提供了強(qiáng)大的結(jié)構(gòu)優(yōu)化模塊，能夠進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化。其優(yōu)化算法包括遺傳算法、梯度法等，適用于多種工程領(lǐng)域。OptiStruct-OptiStruct是Altair公司開發(fā)的一款專門用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化的軟件，它在汽車、航空航天等行業(yè)中應(yīng)用廣泛。OptiStruct支持多種優(yōu)化類型，如拓?fù)鋬?yōu)化、尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化，能夠處理大規(guī)模的有限元模型。Nastran-Nastran是NASA開發(fā)的一款工程分析軟件，后來商業(yè)化。它具有強(qiáng)大的結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化功能，能夠進(jìn)行線性和非線性分析，以及靜態(tài)和動(dòng)態(tài)優(yōu)化。Isight-Isight是一款設(shè)計(jì)優(yōu)化和多學(xué)科仿真集成平臺(tái)，它能夠連接多種仿真軟件，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。Isight支持多種優(yōu)化算法，如響應(yīng)面法、遺傳算法和梯度法，適用于復(fù)雜系統(tǒng)的優(yōu)化。SolidWorksSimulation-SolidWorksSimulation是SolidWorks軟件中的一個(gè)模塊，它提供了基本的結(jié)構(gòu)優(yōu)化功能，適用于初步設(shè)計(jì)階段的優(yōu)化。雖然其功能相對(duì)簡單，但對(duì)于小型項(xiàng)目和初步設(shè)計(jì)來說，已經(jīng)足夠。6.22譜方法優(yōu)化設(shè)計(jì)的軟件操作指南以O(shè)ptiStruct為例，介紹如何使用譜方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)：6.2.1步驟1：建立有限元模型在OptiStruct中，首先需要建立結(jié)構(gòu)的有限元模型。這包括定義材料屬性、幾何形狀、網(wǎng)格劃分、邊界條件和載荷。6.2.2步驟2：定義優(yōu)化目標(biāo)和約束在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，目標(biāo)可以是減輕結(jié)構(gòu)重量、提高結(jié)構(gòu)剛度或降低結(jié)構(gòu)應(yīng)力等。約束條件則包括應(yīng)力約束、位移約束和頻率約束等。對(duì)于譜方法優(yōu)化，頻率約束尤為重要，因?yàn)樽V方法主要用于處理結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。6.2.3步驟3：選擇優(yōu)化算法OptiStruct提供了多種優(yōu)化算法，包括拓?fù)鋬?yōu)化、尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化。對(duì)于譜方法優(yōu)化，通常選擇拓?fù)鋬?yōu)化，因?yàn)樗軌蚋淖兘Y(jié)構(gòu)的形狀和材料分布，從而影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。6.2.4步驟4：設(shè)置譜方法參數(shù)在OptiStruct中，可以設(shè)置譜方法的參數(shù)，如頻率范圍、加速度譜或力譜等。這些參數(shù)將用于計(jì)算結(jié)構(gòu)在特定動(dòng)態(tài)載荷下的響應(yīng)。6.2.5步驟5：運(yùn)行優(yōu)化設(shè)置好所有參數(shù)后，運(yùn)行優(yōu)化。OptiStruct將根據(jù)定義的目標(biāo)和約束，以及譜方法參數(shù)，自動(dòng)調(diào)整結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，以達(dá)到最優(yōu)解。6.2.6步驟6：分析結(jié)果優(yōu)化完成后，分析結(jié)果，檢查是否滿足所有約束條件，以及優(yōu)化目標(biāo)是否達(dá)到。如果結(jié)果不理想，可能需要調(diào)整優(yōu)化參數(shù)或優(yōu)化算法，重新運(yùn)行優(yōu)化。6.33實(shí)踐項(xiàng)目與練習(xí)6.3.1實(shí)踐項(xiàng)目：橋梁結(jié)構(gòu)的譜方法優(yōu)化設(shè)計(jì)假設(shè)我們有一座橋梁的初步設(shè)計(jì)，需要使用譜方法進(jìn)行優(yōu)化，以提高其在地震載荷下的動(dòng)態(tài)性能。數(shù)據(jù)樣例材料屬性：混凝土，彈性模量30GPa，泊松比0.2。幾何形狀：橋梁長100m，寬10m，高5m。網(wǎng)格劃分：使用四面體網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸為1m。邊界條件：橋梁兩端固定。載荷：地震載荷，使用特定的加速度譜。代碼示例在OptiStruct中，譜方法優(yōu)化設(shè)計(jì)通常通過編寫輸入文件（.opt）來實(shí)現(xiàn)。以下是一個(gè)簡化版的OptiStruct輸入文件示例，用于定義橋梁的拓?fù)鋬?yōu)化和譜方法參數(shù)：```plaintextBEGINBULKPARAM,POST,1PARAM,SOL,101PARAM,OPTPRN,1PARAM,OPTCRV,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTTOL,0.001PARAM,OPTPRT,1PARAM,OPTI,1PARAM,OPTT,1PARAM,OPTM,3PARAM,OPTT