2025年中考物理一輪復(fù)習(xí)：杠桿

第一講杠桿

思維導(dǎo)圖

r概念:一根在力的作用下能繞固定點轉(zhuǎn)動的硬棒

‘支點

動力

五要素〈阻力

動力臂

杠I阻力臂

制［省力杠桿

杠桿類型4等臂杠桿

〔費力杠桿

經(jīng)驗公式

平衡條件及應(yīng)用

桿秤問題

動態(tài)杠桿｛杠桿旋轉(zhuǎn)力的變化

重心偏移問題

知識梳理

一、杠桿

1.定義：一根在力的作用下能繞固定點轉(zhuǎn)動的硬棒。

一根硬棒能成為杠桿要具備兩個條件：①有力的作用；②能繞某固定點轉(zhuǎn)動。

兩個條件缺一不可，杠桿的形狀可以是直的，也可以是彎的，但必須是硬的，支點可以在杠桿的一端，也可以

在杠桿上的其他位置處。

2.杠桿的五要素

①支點：杠桿繞著固定轉(zhuǎn)動的點，用字母“0”表示。

②動力：促使杠桿轉(zhuǎn)動的力，常用字母“Fi”表示。

③阻力：阻礙杠桿轉(zhuǎn)動的力，常用字母旺2”表示。

④動力臂：支點到動力作用線的距離，常用字母“J”表示。

⑤阻力臂：支點到阻力作用線的距離，常用字母“2”表示。

二、杠桿分類

杠桿力臂力特點應(yīng)用舉例

省力杠桿Li>L2Fi<F2省力費距離撬棒

費力杠桿LI<L2Fi>F2費力省距離船槳

等臂杠桿不省力也不費距離

LI=L2FI=F2天平

三、杠桿的平衡條件

1.杠桿的平衡條件是指杠桿靜止不動或勻速轉(zhuǎn)動。

2.杠桿的平衡條件又稱杠桿原理，其表達(dá)式為：動力義動力臂=阻力義阻力臂，F(xiàn)ix人=FzxG

3.從杠桿的平衡可知，力和力臂的大小成反比，即力臂越長，力就越小，計算時，單位要統(tǒng)一，即動力和阻力

的單位要統(tǒng)一，動力臂和阻力臂的單位也要統(tǒng)一。

精講精練

一、畫“最小力”，找最長力臂

方法：找到支點（檢驗過程）,連結(jié)支點與桿上最遠(yuǎn)一點，作垂線。

［例題1］如圖所示，要使杠桿處于平衡狀態(tài)，在A點分別作用的四個力中，最小的是（）

［例題2］如圖所示，一半徑為30cm,高為80cm,重為500N的圓柱體豎放在地面上，如用力使圓柱體底部A

點稍微離開地面，則所用力F的最小值是多少？

4^--------

【變式訓(xùn)練1】在圖中，畫出使輕質(zhì)杠桿保持平衡的最小的力F的示意圖。（要求保留作圖痕跡）

□

【變式訓(xùn)練2】在電視劇《三國》中，有這樣一個情景：一群士兵用力拉動一個杠桿，會將石塊拋向敵方陣營.

它是一個杠桿。要把石塊拋出去，圖中作用在A點的力沿（填“a”“b”或"c”）方向最小。

二、動力的變化

A.杠桿旋轉(zhuǎn)力的變化

方法：&=尸2?多通常F2（物重）不變,LI、Lz一變大一變小則容易判斷；同大同小，則通常Fi保持不變（由

L1

幾何方法可推）。

【例題1】某人將一根木頭的一端緩慢抬起，另一端支在地上，在抬起的過程中，該人所用的力的方向始終豎

直向上，則所用力的大小)

A.逐漸減小B.逐漸變大

C保持不變D.先減小后增大

【例題2】如圖所示用一個可以繞。點轉(zhuǎn)動的硬桿提升重物，若在提升重物的過程中動力F始終沿水平方向，

則在如圖所示的過程中，動力F（硬桿重力忽略不計）

A.由小變大B.由大變小

C.先變大后變小D.保持不變

【變式訓(xùn)練1］如圖所示，0為杠桿的支點，為了提升重物A,用一個跟杠桿始終保持垂直的力F，使杠桿由

豎直位置旋轉(zhuǎn)到水平位置，在這個過程中（）

A.杠桿始終是省力的

B.杠桿始終是費力的

C.杠桿先是省力的后是費力的

D.杠桿先是費力的后是省力的

【變式訓(xùn)練2】如圖所示杠桿，力F方向始終豎直向上，當(dāng)此杠桿在動力F作用下，將一個由細(xì)繩系的物體

由圖中位置逆時針勻速轉(zhuǎn)動到水平位置時，則（）

A.F大小始終不變

B.F先變大后變小

C.F先變小后變大

D.無法判斷F大小的變化

B.杠桿不動，旋轉(zhuǎn)力的變化（阻力、阻力臂不變）

方法：作出最小力（垂直）。

【例題】如圖所示，桿0B的0端用錢鏈（可自由轉(zhuǎn)動）固定在豎直壁上,桿的中點掛一重物G,桿的B點受

水平拉力F而平衡，若拉力F沿逆時針方向逐漸轉(zhuǎn)向豎直方向，而保持0B在原位置平衡，則在此過程中F將

()

A.大小保持不變B.逐漸變大

C.逐漸變小D.先變小后變大

【變式訓(xùn)練】如圖所示，杠桿AB可繞。轉(zhuǎn)動，繩AD連在以A為圓心的弧形槽MN上，D球可以在MN

上自由滑動，在D球從N向M滑動過程中杠桿仍能保持平衡，則繩AD對杠桿的拉力變化情況是（）

A.變大B.變小

C.先變大后變小D.先變小后變大

三、平衡杠桿同加同減

A.無浮力

方法：比較力臂后，無視原有平衡，只考慮新“加減”。

【例題1］一根輕質(zhì)杠桿，在左、右兩端分別掛上200N和300N的重物時，杠桿恰好平衡。若將兩邊物重同

時減少50N,則杠桿（）

A.左端下沉B.右端下沉

C.仍然平衡D.無法確定

【例題2】一根均勻直尺可繞中點。自由轉(zhuǎn)動，直尺上有三只垂直而立蠟燭A、B、C,它們粗細(xì)和材料都相同

但長度不相同，匕=M=夕。如圖所示，那么點燃過程中直尺將（）

△

A.逆時針轉(zhuǎn)動B.順時針轉(zhuǎn)動

C.始終平衡D.無法判斷

【變式訓(xùn)練1］如圖（a）所示的杠桿是平衡的，在此杠桿支點兩側(cè)的物體下方分別加掛一個同樣物體，如圖（b）

所示，那么，以下說法中正確的是)

（a）（b）

A.杠桿仍然平衡

B.杠桿可能平衡

C.杠桿一定不能平衡

D.杠桿是否平衡與加掛物體的質(zhì)量多少無關(guān)

【變式訓(xùn)練2】不等臂直杠桿在動力和阻力作用下，已處于平衡狀態(tài)，采用下列辦法不能使杠桿平衡的是

（）

A.在杠桿上施加一個力，使這個力的作用線通過杠桿的中點，但不通過支點

B.在杠桿上再施加一個力，使這個力的作用線通過支點

C.使動力和阻力同時減小到原來I

D.使動力臂和阻力臂同時變?yōu)樵瓉淼?倍

B.有浮力

方法:由GL=G2G和F浮r-Li與F浮2L2關(guān)系求解。

【例題1］乒乓球、保齡球等表面都是光滑的，為什么高爾夫球的表面上布滿小坑呢?經(jīng)有關(guān)科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：

兩個等大的球，一個表面布滿小坑，另一個光滑，在空中高速飛行時，表面布滿小坑的球受到的空氣阻力較小?，F(xiàn)

將質(zhì)量與體積均相等的兩個小球A（表面布滿小坑）與B（表面光滑）分別利用細(xì)繩懸掛在等臂杠桿的兩端，使杠桿水平

平衡，如圖所示。當(dāng)從兩球正下方同時以相同速度（足夠大）的風(fēng)對準(zhǔn)它們豎直向上吹時，則以下的說法中正確的是

（）左T.

A.杠桿左端下降4@OB

\IZ-、，，?

B.杠桿右端下降00

C.杠桿仍然在水平方向處于平衡狀態(tài)

D.無法判斷杠桿的轉(zhuǎn)動情況

【例題2】如圖，輕質(zhì)杠桿兩端懸掛同種材料制成的大小不同的金屬球時，杠桿平衡。把它們同時浸沒在水中，

杠桿仍然平衡，則)

A.兩球都是實心的

B.大球?qū)嵭模∏蚩招?/p>

C.大球空心，小球?qū)嵭?/p>

D.兩球都空心，且空心部分體積相同

【例題3】如圖所示，將體積相同的物體Gi、G2分別掛在杠桿的兩端，杠桿處于平衡狀態(tài)。若將兩個物體G

1sG2同時浸沒在水中，則）

A.杠桿仍能保持平衡

B.杠桿不能平衡，A端下沉

C.杠桿不能平衡，B端下沉

D.無法確定杠桿的狀態(tài)

【變式訓(xùn)練1］如圖所示，兩杠桿均處于平衡狀態(tài)，甲杠桿上平衡的是兩個同種密度但體積不同的物體，乙杠

桿上平衡的是兩個體積相同但密度不同的物體，如果將它們都浸沒在水中，則兩杠桿將）

△

□□□□

（甲）（乙）

A.仍保持平衡

B.都失去平衡

C.甲仍保持平衡，乙失去平衡

D.甲失去平衡，乙仍保持平衡

【變式訓(xùn)練2】如圖所示，將物塊甲和乙分別掛在輕質(zhì)杠桿的兩端，O是杠桿的支點，杠桿在水平位置平衡時

發(fā)現(xiàn)OA：OB=1：2；再將物塊甲浸沒到水中，如圖所示，杠桿平衡時發(fā)現(xiàn)OA:OC=1：lo則下列說法正確的是

A0B,0

甲溫i.tir

A.甲乙的質(zhì)量之比是1：2

B.甲乙的質(zhì)量之比是3：1

C.甲的密度是1.5p水

D.甲的密度是2P水

四、重心問題

我們可以利用力矩和為零的平衡條件來求物體的重心位置。如圖由重量分別為Gi、G2的兩均勻圓球和重量為

G3的均勻桿連成的系統(tǒng)，設(shè)立如圖坐標(biāo)系，原點取在A球最左側(cè)點，兩球與桿的重心的坐標(biāo)分別為X1、X2、X3,

系統(tǒng)重心在P點，我們現(xiàn)在求其坐標(biāo)X。設(shè)想在P處給一支持力R,令R=G1+G2+G3,,達(dá)到平衡時有：2M

=G1x1+G2X2+G3X3—Rx=0

X—G1%I+G2%2+G3%3—GI'I+G2%2+GB%3

RG1+G2+G3

［例題1］如圖所示，A、B原為兩個相同的均質(zhì)實心球，半徑為R,重量為G,A、B球分別挖去半徑為R2

和的小球，均質(zhì)桿重量?G,長度1=4R,點C桿的中點，試求系統(tǒng)的重心位置。

464

【例題2】如圖是一均勻薄板，半徑R=30cm,現(xiàn)從圓形板上挖出一個半徑r=15cm的內(nèi)切圓板，試求剩余的

薄板的重心C與大圓圓心0的距離。

【變式訓(xùn)練1］一個六角螺帽如圖所示，螺帽的中心點0到邊的距離為ho由于加工時的誤差，使孔中心。偏

離螺帽的幾何中心。的距離為d,內(nèi)部圓半徑為R,由于這一偏離引起螺帽中心C偏離0多遠(yuǎn)?

【變式訓(xùn)練2］如圖所示是一塊厚度相同、質(zhì)量分布均勻的正方形板，它的邊長為L。如果在板上截去陰影部

分B,剩余部分的板的重心距A點為多少?

【變式訓(xùn)練3】一塊厚度相同、質(zhì)量分布均勻的正方形板，它的邊長為L。如果在板上再黏上同樣厚度的一個

小正方形，如圖陰影部分B所示。此時板的重心距A點多遠(yuǎn)?

【變式訓(xùn)練4］如圖所示，有一串珍珠，每顆間距均為a,共n顆，其質(zhì)量依次為m、2m、3m.............mm,求其

重心離懸掛點的距離。(提示：112+22+32+???+/=n(nl)(2nl)

+O+)

2I成F———

°

」一

rtmi

【變式訓(xùn)練5］如圖所示，將邊長為a的正六邊形均勻木板由中心0點沿徑向向外挖除一塊后，用一根細(xì)線系

住該多邊形A點，將其豎直懸掛。當(dāng)多邊形處于平衡狀態(tài)時，豎直線與AB的夾角為仇則tanO為荽美罰~

A

B

五、杠桿平衡條件的應(yīng)用

A.摩擦力因素

［例題1］如圖所示，地面是粗糙的，豎直墻壁是光滑的，人沿著梯子勻速向上爬的過程中，分析地面對梯子

的摩擦力、地面對梯子的彈力和墻壁對梯子的作用力的變化。

【例題2】如圖所示，桿OA長為0.5m,重500N,0端用錢鏈較于豎直墻面，桿中B處有一制動閘，重400

N,OB為0.2m,閘厚d為0.04m,輪子C的半徑R為0.2m,閘與輪間動摩擦因數(shù)M為0.5。

(1)飛輪順時針轉(zhuǎn)動時，要對輪施加力矩(力x力臂)1000N-m才能使輪減速而制動，則在桿的A端需加垂直于

桿的力Fi為多大？

(2)飛輪逆時針轉(zhuǎn)動時，要對輪施加同樣大小的力矩使輪減速而制動，則在桿的A端需加垂直于桿的力F2為

多大?

【變式訓(xùn)練1］如圖所示是一種手控制動器，a是一個轉(zhuǎn)動著的輪子，b是摩擦制動片，c是杠桿，O是其固定

轉(zhuǎn)動軸，手在A點施加一個作用力F時，b將壓緊輪子，使輪子制動。若使輪子制動所需的力矩是一定我邛II下

列說法正確的是（）°

A.輪a逆時針轉(zhuǎn)動時，所需的力F較小

B.輪a順時針轉(zhuǎn)動時，所需的力F較小

C.無論a逆時針還是順時針轉(zhuǎn)動，所需的力F相同

D.無法比較F的大小

【變式訓(xùn)練2】半徑為R的勻質(zhì)半球體放置于水平面上其重心C離球心O點的距離OC=2R,半球質(zhì)量為m。

O

在半球的平面上放一質(zhì)量為m/8的物體，它與半球平面間的靜摩擦因數(shù)為0.2。則在保持平衡狀態(tài)的條件下，物體

離球心的最大距離為O

B.壓力因素

【例題11有三塊密度均勻、完全相同的磚，長為H,采用如圖所示的方法，疊放在水平桌面上，使每一塊磚

壓著下面的磚并伸出一部分，求磚能伸出桌面的最大長度L為多少。?——3~I

~77777777777777777777777

［例題2］如圖所示，兩不相接桌面間由三塊密度均勻、質(zhì)量和形狀完全相同的長方體木塊搭成梁，每個長方

體長12cm,求木板伸出桌面的最長距離xo

【變式訓(xùn)練1］如圖所示，七塊完全一樣的磚塊按照圖示的方式疊放起來，每塊磚的長度均為L,為保證磚塊

不倒下，6號磚塊與7號磚塊之間的距離s將不超過（）

.31L

A.—

15

5L

L.——

2

【變式訓(xùn)練2］一個600N重的成年人和一個小孩都過一道5m寬的水渠。成人從左岸到右岸，而小孩從水

渠右岸到左岸，兩岸各有一塊4m長的堅實木板，請你想出一種方式過渠。并分析在忽略木板自身重量和木板疊

交的距離情況下，要使成年人和小孩都能平安過渠，小孩的體重不能輕于多少牛?

C循環(huán)型杠桿問題

【例題】有四條完全相同的剛性長條薄片ABi(i=l,2,3,4),其兩端下方各有一個小突起，薄片及突起的重力均

不計?，F(xiàn)將四薄片架在一只水平的碗口上，使每條薄片一端的小突起B(yǎng)；搭在碗口上，另一小突起Ai位于其下方

薄片的正中，由正上方俯視如圖所示?，F(xiàn)將一個質(zhì)量為m的小物體放在薄片A4B4上的一點，這一點與A3、A4

的距離相等，則薄片A&B4中點受A3的壓力是

【變式訓(xùn)練】有6個完全相同的剛性長條薄片AiBi(i=l,2..)其兩端下方各有一個小突起，薄片及突起的質(zhì)

量均不計，現(xiàn)將此6個薄片架在一只水平的碗口上，使每個薄片一端的小突起B(yǎng)；恰在碗口上，另一端小突起Ai

位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將質(zhì)量為m的質(zhì)點放在薄片A6B6上一點，這一點與此薄片

中點的距離等于它與小突起A。的距離，則薄片A6B6中點所受的(由另一薄片的小突起AI所施的)壓力

D.經(jīng)驗公式

【例題1］有一架不準(zhǔn)確的天平，主要是由于它橫梁左右兩臂不等長.為減小實驗誤差，常用“交換法”來測定物

體質(zhì)量，即先將被測物體放在左盤中，當(dāng)天平平衡時，右盤中祛碼總質(zhì)量為mi；再把被測物體放在右盤中，當(dāng)天

平平衡時，左盤中祛碼總質(zhì)量為U12,則被測物體質(zhì)量的真實值為()

B.y/mr+m2

【例題2】如圖，用測力計將長桿一端A微微抬離地面，測力計示數(shù)是F］；同理，用測力計將長桿的另一端

B微微抬離地面，測力計示數(shù)是F2,則長桿的重力是（測力計保持豎直向上）

B.F]+尸2

D.Fix尸2

【變式訓(xùn)練1］用不等臂天平稱質(zhì)量為4g的藥品，先放在左盤中稱，再放入右盤中稱，記下兩次結(jié)果，其記

錄數(shù)據(jù)可能是下列的哪一組

A.2g、6gB.4g、lg

C.10gs6gD.2g、8g

【變式訓(xùn)練2】有一特殊材料制成的質(zhì)量為30g的泥塊，現(xiàn)把它切開為大、小兩塊，將較大泥塊放在一架不等

臂天平的左盤中，稱得質(zhì)量為27g；又將較小泥塊放在該天平的右盤中，稱得質(zhì)量為8g。若只考慮該天平的臂長

不等，共他因素忽略不計，請你依據(jù)杠桿的平衡原理，求出較大泥塊和較小泥塊的質(zhì)量。

六、桿秤問題

［例題1］如圖所示是一把小販賣瓜子用的桿秤，A掛托盤處，B為零刻度點，O為提紐處，C為桿秤的重心。

若不誠實的小販把桿秤秤蛇換成質(zhì)量小一些的，那么他稱出的瓜子的質(zhì)量數(shù)為（）

4BD'加CEE'

A.讀數(shù)都比實際數(shù)多

B.讀數(shù)都比實際數(shù)少

C.買得少時讀數(shù)比實際數(shù)少

D.買得多時讀數(shù)比實際數(shù)少

【例題2】在菜市場內(nèi)個別商販會違反公平交易的原則，使用桿秤時通過不正當(dāng)方式侵犯消費者的合法權(quán)益，

例如某標(biāo)準(zhǔn)桿秤的秤由質(zhì)量為1千克，秤和秤盤的總質(zhì)量為0.5千克，O點為提鈕懸點，A點為零刻度點，OA=3

厘米，OB=9厘米，如圖所示。如換一個質(zhì)量為0.7千克的秤坨,售削M舉的物品^消費者得到的物品實際質(zhì)量

為()

A.2.0千克B.2.3千克

C.2.5千克D.2.8千克

【變式訓(xùn)練1】為保證市場的公平交易，我國已有不少地區(qū)禁止在市場中使用桿秤。桿秤確實容易為不法商販

坑騙顧客提供可乘之機。請看下例。

秤由質(zhì)量為1千克，秤桿和秤盤總質(zhì)量為0.5千克，定盤星到提紐的距離為2厘米，秤盤到提紐的距離為10

厘米。若有人換了一個質(zhì)量為。.8千克的秤曲，售出2.5千克的物品，物品的實際質(zhì)量是多少？

【變式訓(xùn)練2】如圖所示，c為桿秤秤桿系統(tǒng)的重心，a為桿稱的定盤星，證明：無論稱桿的粗細(xì)如何變化，桿

秤的刻度沿桿軸線的方向總是均勻分布的。

0

0

【變式訓(xùn)練3】圖(A)所示的是一把桿秤的示意圖，O是秤桿的懸點，使用該秤最多能稱量5千克的重物。小王

用一個相同的秤曲系在原來的秤由下面，采用“雙秤獨法”去稱量7千克的重物時，秤上的示數(shù)為3千克，如圖（B）

所示。那么當(dāng)只掛一個秤雨時，該秤零刻度線的位置應(yīng)該在________（選填“0點”“0點的右側(cè)”或“0點的左側(cè)

若采用“雙秤由法”，則利用該秤最多能稱量________千克的重物。

七、浮力與杠桿

【例題1】如圖可以估測一支蠟燭的密度。用手提著蠟燭的引線，使蠟燭穩(wěn)定在水中，測出蠟燭在水中的長度

Lx與蠟燭全長L,請計算蠟燭的密度。

【例題2】漂浮在水面的物體，浮力與重力二力平衡。如圖甲所示的沉船浮力與重力是否二力平衡取決于具體

情況。如果該船船頭觸及水底，我們把它簡化成一根下端擱在水底的粗細(xì)均勻棒狀物。假設(shè)棒狀物的四分之一露出

水面，上一半質(zhì)量很小，下一半質(zhì)量分布均勻，如圖所示。請你計算棒狀物下一半的密度。（寫出必要的解題過程）

【變式訓(xùn)練1］如圖所示，密度分布均勻的圓柱形棒的一端懸掛一個小鐵塊并一起浸入水中，平衡時棒浮出水

面的長度是浸在水中長度的n倍,若水的密度為p,則棒的密度為。

【變式訓(xùn)練2］如圖1,一根長為20cm,橫截面積為lOcnf的均勻木桿用細(xì)線和彈簧測力計豎直懸掛起來，

置于燒杯內(nèi)水平面上方?，F(xiàn)將燒杯豎直緩緩提升，木桿逐漸浸入水中，已知木桿的密度為Pi=0.8xKPkg/nP,水的

33

密度為Po=1-0x10kg/mo

⑴當(dāng)彈簧測力計讀數(shù)為1.2N時，求木桿浸入水中的長度。

⑵繼續(xù)緩慢提升燒杯，當(dāng)木桿浸入水中一定深度時，開始出現(xiàn)傾斜，當(dāng)木桿再次靜止時，木桿與豎直方向成3

0。角，如圖2所示，求木桿浸入水中的長度。（忽略木桿橫截面積的影響）

圖1圖2

第一講杠桿

【例題精講】

一、畫“最小力”，找最長力臂

［例題1］C

【解析】根據(jù)杠桿平衡中力的方向和最長力臂，選C。［例題2］解：找出最長力臂為BD,根據(jù)杠桿平衡公

式：

1

F,BD=G--AB

2

則:尸團(tuán)閏=150N

【變式訓(xùn)練11

□

【變式訓(xùn)練2］費力c

二、動力的變化

A、杠桿旋轉(zhuǎn)力的變化

[例題1]C

[例題2]A

【變式訓(xùn)練1]C

【變式訓(xùn)練2】A

B、杠桿不動，旋轉(zhuǎn)力的變化(阻力、阻力臂不變)

【例題】D

【變式訓(xùn)練】D

三、平衡杠桿同加同減

A、無浮力

[例題1]B

[例題2]A

【變式訓(xùn)練1]C

【變式訓(xùn)練21A

B、有浮力

[例題1]A

[例題2]A

[例題3]C

【變式訓(xùn)練1]C

【變式訓(xùn)練2】D

四、重心問題

【例題1】解：將挖去部分的重力，用等值、反向的力取代，Ga'^^Gb'=^-G

o64

設(shè)重心位置為O,則根據(jù)力矩平衡，有G(3R-OC)+^G(OC+3R+9=“3R——

64\4/o\Z/64

OC+G(3R+OC)

解得:OC=0.53R

【例題2］解：由題可得大圓面積是小圓面積的4倍，因此挖去小圓后的部分面積是小圓的3倍，由于厚薄均勻，

質(zhì)量因此也是3倍關(guān)系。

根據(jù)杠桿平衡：

Gi-OC=G2-00'

OC=5cm

【變式訓(xùn)練1】解：構(gòu)建杠桿平衡模式：圓面積和正六邊形面積之比等于質(zhì)量之比，可認(rèn)為原正六邊形不挖去圓，

等效為在0'處施加一個大小等于圓部分重力的力F,則有：

F,CO'=GyCO

忠

吸'總圓)

G-d

萬八吸RR27

CO=--------=L、-------7

G八2同jRZ

【變式訓(xùn)練2］解：截取陰影部分可等效于不截取陰影部分而在該部分重心上施神一個大小等3G的F,設(shè)重心

離0點距離為x,根據(jù)杠桿平衡，有：

-G?QL+%)—G,x

解得：%=§則重心離A點距離為：

LL_7

29-18L

【變式訓(xùn)練3］解：設(shè)重心與0點距離為x,根據(jù)杠桿平衡，有：

解得：x=口

DO

重心到A點的距離為：^-L+h=^L

36236

【變式訓(xùn)練4】解：令最終的重心據(jù)天花板距離為x,則有：

(722Q+G23Q+,?,+GfiYlCL2九+1

X——Cl

Gi+Gz+G?"!----3

【變式訓(xùn)練5］解：由圖可知，0點為原來正六邊形木板的質(zhì)心，取0點為坐標(biāo)系的原點，所挖掉的三角形的質(zhì)心

位置坐標(biāo)為(胃a，-9,設(shè)挖掉一邊的六邊形的新的質(zhì)心C的位置為(X,y),由對稱性可知，C點應(yīng)該在/AOD

的角平分線上，利用力矩平衡可得:

5%+a-0(5)

5y-|a=0②

1

聯(lián)立兩式得:x=-----ci.y=—CL

30/10

當(dāng)木板處于平衡狀態(tài)時，AC成豎直線，所

叵r

以有：land=氣=—?0.064

27

五、杠桿平衡條件的應(yīng)用

A.摩擦力因素

【例題1】把人和梯看成一個整體，則N=G始終不變。以梯子與地面接觸點為支點，人向上爬的高度增加時，墻壁

對梯子作用力F變大，根據(jù)水平方向力的平衡，則f也變大。

[例題2]

解：（1）根據(jù)飛輪的制動力矩：M=f,r

則飛輪所受的摩擦力為：/=7=5000/V

則飛輪所受的壓力為：N=匚=10000W

根據(jù)杠桿平衡條件有:

Fi-L+G1-Lr+G2-L2^NL2+f-d

-

NL2+fci=3:9907V

Fi=L

=3190N

【變式訓(xùn)練1】【解析】輪子制動需要的力矩是一定的，所以b對輪子的壓力大小是一定的，所以無論輪子a逆時

針轉(zhuǎn)動還是順時針轉(zhuǎn)動，制動所需的摩擦力f大小相同；

選取0點為轉(zhuǎn)軸，A向后拉時的力矩沿順時針方向；輪子順時針轉(zhuǎn)動時，輪子對b的摩擦力方向向下，對轉(zhuǎn)軸

O產(chǎn)生逆時針方向的力矩；輪子逆時針轉(zhuǎn)動時，輪子對b的摩擦力方向向上，對轉(zhuǎn)軸O產(chǎn)生順時針方向的力矩；

a對b的支持力產(chǎn)生的力矩始終沿逆時針方向。

輪子順時針轉(zhuǎn)動時，MF=MN+Mf

輪子逆時針轉(zhuǎn)動時，MF+Mf=MN

比較以上兩式，可得在輪子制動需要的力矩MN是一定的條件下，輪子逆時針轉(zhuǎn)動時，制動所需的力矩小，所

以制動所需的力F也小。故A正確，B、C、D錯誤。

【答案】A

【變式訓(xùn)練2】

【解析】解：物體離O點放得越遠(yuǎn)，由力矩平衡條件可知，半球體轉(zhuǎn)過的角度。越大，但物體在球體斜面上保

持相對靜止時，0有限度。

設(shè)物體距球心為x時恰好無滑動，對整體以半球體和地面接觸點為軸：

由力矩平衡條件得：5sin0=~■xcosd

OO

解得:x=3Rtan0,可見,x隨。增大而增大，臨界情況對應(yīng)物體所受摩擦力為最大靜摩擦力，貝：tanOm=邢=0.2

所以,x=3|1R=O.6R

【答案】0.6R

B.壓力因素

【例題1】解：甲磚的重心在距磚的右端H2處，甲磚放在乙磚上面，乙磚的右端是甲磚的支點，當(dāng)甲磚伸出的長

度。時，甲磚的重心恰好在支點上，甲磚恰能衡，如果磚伸出的長度大于H2,磚將翻倒，不會平衡，因此甲

磚伸出的最大長度是磚長I

同理：甲、乙兩塊磚組成的整體重心在它們的幾何中心，丙磚的右端是它們的支點，它們重心距第1塊磚最右

端的距離24H,甲與乙2塊磚組成的整體心距支點的距離為：”三=則乙磚伸出的最大長度是磚長；

44244

因此丙伸出桌面印6,總伸出的長度為：

【例題2］解：對左邊木塊受力分析后，利用力矩平衡：

G■(6cm—x)=|G'x

解得:x=4cm

【變式訓(xùn)練11A【解析】先分析磚塊“2”平衡時的極限，再分析磚塊“4”“6”平衡時的極限。

【變式訓(xùn)練2】解：小孩站在B處讓成年人先從木板上過水渠，待成年人站在原小孩處，再讓小孩過水渠。把AB

木板視為杠桿，A為支點，成年人對木板壓力視為阻力，A*tB的支持力視為動力，那么阻力臂總小于動力臂，

所以，人在A，時，A，對B的支持力最大，最大值為600N,把AE視為杠桿，O為支點，成年人對AE壓力視

為阻力Fi,小孩對木板的壓力視為動力F2。則:FiXA'O=F2XOB'

而。4=Im,OB'=3m,=600NF2=200N即小孩體重不能輕于200N。

C循環(huán)型杠桿問題

【例題】【解析】解：設(shè)A3對A&B4的壓力為F,根據(jù)杠桿平衡的原理和力的作用是相互的，A2對A3B3的

壓力為2FA對A2B2的壓力為4F,A4對AiBx的壓力為8F,那么A、Bx對A4B4的壓力為8F以B4為支點,

根據(jù)杠桿平衡的條件可得：8Fx4=mgx3+Fx2,

得F=O.lmg。

【答案】0.1mg

【變式訓(xùn)練】解：設(shè)另一薄片的小突起Ai所施的壓力

為F,則以Bi為支點，有：F2=2F

25

同理，F(xiàn)3=2F2=2F,---F6=2F

以B6為支點研究A6B6棒力矩平衡：

F-^+mg-^L=25F-L

解得：F=--mg

D.經(jīng)驗公式

【例題1］【解析】解：當(dāng)物體放在天平的左盤時，由杠桿平衡得到①式，當(dāng)物體放在天平的右盤時，由杠桿平衡

得到②式，

m-L2=m1-L］①

m2-L2=m-L1@)

由①:②

mm-i/日,-----

—=一得m=

m2m

【答案】D

【例題2］【解析】在杠桿的右端豎直抬起時，B是支點，根據(jù)杠桿平衡條件得，F(xiàn)ixAB=GxOB①

在杠桿的左端豎直抬起時，A是支點，根據(jù)杠桿平衡條件得，F(xiàn)2XAB=GXOA②

①+②得，F(xiàn)1+F2=G

【答案】B

【變式訓(xùn)練11解：先設(shè)不等臂天平的左邊力臂為L,右邊的力臂為I；

第一次把4g的物體放左盤，怯碼放右盤，硅碼質(zhì)量為M,根據(jù)平衡定理可得4L=M-1①；

第二次把4g的物體放右盤，祛碼放左盤，質(zhì)量為m,根據(jù)平衡定理可得:m-L=4J②；

①+②得4+m=M+4,得16=Mm

【答案】D

【變式訓(xùn)練2］解：設(shè)較大泥塊的質(zhì)量為x克，則較小泥塊的質(zhì)量為(30-x)克，若天平左、右臂長分別為acm,bc

m,由題意得：

ax=27b①

8a=b(30-x)②

兩式相除，解得.=18,%2=12

經(jīng)檢驗都是原方程的解，根據(jù)題意x=12應(yīng)該舍去，當(dāng)x=18時,30-x=12,

,較大的泥塊的質(zhì)量為18克，較小的泥塊的質(zhì)量為12克。

六、桿秤問題

【例題1］【解析】設(shè)桿秤的質(zhì)量為m,桿秤原配秤蛇質(zhì)量為mi,換用較輕的秤曲質(zhì)量為m2。

若買的瓜子質(zhì)量M較少，桿秤平衡時，秤蛇在B點到。點之間，由杠桿平衡條件可得使用秤曲mi時，Mg.A

O+mig-DO=mg-OC;

使用秤曲m2時，Mg-AO+m2g-D'O=mg-0Co因為mi>m2，所以DO<D'O

即D點較D點更靠近零刻度線B處，則顧客買得少時，讀數(shù)小于瓜子實際質(zhì)量。

若買的瓜子質(zhì)量M，較大，桿秤平衡時，秤蛇在0點的右邊，由杠桿平衡條件可得

使用秤曲mi時，M'g-AO=mg-0C+m-^g-OE;使用秤由m2時，M'g-AO=mg-OC+m2g-OE'c因為

7nl>m2,所以,OE<OE'

即E點較E點更遠(yuǎn)離零刻度B處，所以顧客買得多，讀數(shù)大于瓜子的實際質(zhì)量。

【答案】C

【例題2]【解析】桿秤的原理就是杠桿原理。在無重物的情況下，若秤蛇放在A處，桿秤處于平衡狀態(tài)，通常標(biāo)

準(zhǔn)桿秤就采用這種方法。設(shè)秤的重心處于O點左邊C的位置處，則

即=6cm

又設(shè)3.0千克刻度線距。點距離為OD,并設(shè)秤盤中放入3.0千克的重物，則

即再設(shè)秤蛇放在3.0千克刻度處，而用的是0.7千克的秤坨時，秤盤中的重物為mx,

則:m

即mx義9+0.5x6=0.7x30,m,=2kg。

【答案】A

【變式訓(xùn)練1]解：設(shè)秤桿和秤盤的重心為C,當(dāng)杠桿平衡時秤蛇放在A點，G壟XOC=GsX0A,

即:m秤gxOC=mxgxOA,

0.5kgxOC=1kgx2cm,

OC=4cm,

使用1kg秤由（正常情況下）,設(shè)秤曲到O點的距離L,

'/m物gxOB+m秤gxOC=m而它gxL

SP：2.5kgxgxl0cm+0.5kgxgx4cm=lkgxgxL,

解得:L=27cm,

當(dāng)使用0.8kg秤曲時，秤曲到。點的距離不變，：m'gXOB+m*gXOC=m'gxL,

即：

m物'gxlOcm+O.5kgxgx4cm=0.8kgxgx27cm，解得：m'=1.96kgo

悌

物品的實際質(zhì)量是1.96kg0

答：物品的實際質(zhì)量是1.96kgo

【變式訓(xùn)練2】

證明：當(dāng)秤鉤不掛重物時，設(shè)秤由重力為Gx,桿秤自重為G2,則G1xoa=G2xoc①

設(shè)掛物重為G時，

GiX(J+oa)=G2Xoc+Gxod②

將①式代入②式，得：GixG=Gxod

則“=等=rxG,因為od、G是定值，所以Lx與所掛物體重力成正比。即L,是均勻變化。

【變式訓(xùn)練3】

【解析】

CB

J』-.CIo

M?

M□Wo

3kg

⑴假設(shè)秤(含秤物)的重心在C(見圖(1))，質(zhì)量為M，零刻度線在A處，秤蛇的質(zhì)量是m0,那么單曲稱(見圖(2)):

mrOD=MOC+moOB,

雙蛇稱(見圖(3)):

m2OD=MOC+2moOB,

—

可解得0C=27711—m.202x37OD<0

MMo

說明c在。點的左邊，零刻度線A在。點右側(cè)。

⑵因為==M=2m1—m2=-L將四=5kg代入,

可得m2=llkgo

【答案】O點右側(cè)11

七、浮力與杠桿

【例題1】解：設(shè)蠟燭橫截面積為S，蠟燭與水平面的夾角為0,如圖：

則根據(jù)題意知，蠟燭穩(wěn)定在水中受重力、浮力和拉力作用。

以蠟燭的引線點為支點，設(shè)重力的力臂為:Leosa則浮力的力臂為（L-jocose,

根據(jù)杠桿的平衡條件：

F（L--Li）cos0=G--Lcosd,

丙:22

即：p型SL、.（L一之乙1）cos。=p*gSL.

iT八

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