平面向量的概念及線性運(yùn)算-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第六章平面向量、復(fù)數(shù)

第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)

1.通過對(duì)力、速度、位移等的平面向量的2022新高考卷

分析，了解平面向量的實(shí)際背有關(guān)概念I(lǐng)T3

景，理解平面向量的意義和兩2022新IWJ考卷

個(gè)向量相等的含義.IT3；2020全

平面向量的本講命題熱點(diǎn)為平面向

2.理解平面向量的幾何表示和國卷TH4；

線性運(yùn)算量的線性運(yùn)算、共線向

基本要素.2020新高考卷

量定理的應(yīng)用，一般以

3.借助實(shí)例和平面向量的幾何IIT3

選擇題、填空題的形式

表示，掌握平面向量加、減運(yùn)

出現(xiàn)，難度不大.預(yù)計(jì)

算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意

2025年高考命題穩(wěn)定，

義.

備考時(shí)注意對(duì)向量的幾

4.掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)共線向量定

何意義的理解和應(yīng)用.

算規(guī)則，理解其幾何意義.理理的應(yīng)用

解兩個(gè)平面向量共線的含義.

5.了解平面向量的線性運(yùn)算性

質(zhì)及其幾何意義.

■學(xué)生用書P112

1.平面向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有①大小又有②方向的

向量量；向量的大小叫做向量的長度平面向量是自由向量.

（或③模）.

零向量記作0,其方向是⑷任意

零向量長度為0的向量.

的.

與非零向量a共線的單位向量為⑤—

單位向量長度等于1個(gè)單位長度的向量.

和⑥一/一

1a1la1

平行向量（共方向⑦相同或相反的非零向量.0與任意向量平行（共線）.

線向量)

長度⑧相等且方向⑨相同相等向量一定是平行向量，平行向量

相等向量

的向量.不一定是相等向量.

若小〃互為相反向量，則〃=—力.

相反向量長度相等且方向相反的兩個(gè)向量.

0的相反向量為0.

注意(1)0是一個(gè)向量，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，101=0.

(2)兩個(gè)向量不能比較大小，只能判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小.

2.平面向量的線性運(yùn)算

向量

定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

運(yùn)算

(1)a+b=b+a.

求兩個(gè)向量和

加法/V(2)(a+b)+c=a+(b

的運(yùn)算.

三角形法則平行四邊形法則+c).

求〃與方的相

反向量一〃的XV

減法a(——8)?

和的運(yùn)算叫做

三角形法則

〃與〃的差.

(1)12a1=I2Ilai.

(1)2([ia)=入=

求實(shí)數(shù)力與向(2)當(dāng)丸〉0時(shí)，而與a的方向

〃(筋).

數(shù)乘量a的積的運(yùn)⑩相同；當(dāng)人＜0時(shí)，%與〃

(2)(7+〃)a—Xa-\-[ia.

算.的方向?相反；當(dāng)7=0時(shí)，

(3)2(〃+力)=ka~\~kb.

筋=0.

注意利用三角形法則時(shí)，兩向量要首尾相連；利用平行四邊形法則時(shí)，兩向量要有相同

的起點(diǎn).

常用結(jié)論

向量運(yùn)算的常用結(jié)論

(1)若P為線段的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則而=3(,OA+OB).

(2)對(duì)于任意兩個(gè)向量a,b,都有：①I|〃|一|〃|I<I。土bI<IaI+I6I;

②Ia+bI2+Ia-bI2=2(IaI2+I6I2).

注意當(dāng)a,A不共線時(shí)：①式的幾何意義是三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的

絕對(duì)值小于第三邊；②式的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長與兩對(duì)角線的長之間的關(guān)

系.

3.共線向量定理

向量a（今0）與b共線的充要條件：存在唯——個(gè)實(shí)數(shù)九使?b—a.

注意（1）只有非零向量才能表示與之共線的其他向量.（2）兩向量共線包含同向共線和

反向共線兩種情況.

1.下列說法正確的是（D）

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.單位向量都相等

C.a與分同向，且則a>b

D.兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件

2.［新高考卷H］若。為△/BC的邊的中點(diǎn)，則荏=（A）

A.2CD-CAB.2C1-CD

C.2CD+G4D.2CA+CD

解析解法一因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以方=24，所以而=刀+四=方+2而=石？

+2（CD-CA）=2CD~CA,故選A.

解法二因?yàn)椤Ｊ?8的中點(diǎn)，所以而=1（刀+而），即2加=刀+而，所以而=2而

-CA,故選A.

3.已知向量”，6,若IaI=2,IbI=4,則Ia-bI的取值范圍是「2,6］.

解析由Ila|—IblI<Ia—bI<IaI+I6I,得2sla-bI<6.

4.已知“與6是兩個(gè)不共線的向量，且向量a+肪與一（/>—3?）共線，則］=一’.

4——k,

（k解得二

ri學(xué)生用書P113

命題點(diǎn)1平面向量的有關(guān)概念

例1（1）下列說法正確的是（B）

A.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同

B.若/,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，且力=尻，則四邊形A8CA為平行四邊形

C.a=6的充要條件是IaI=IZ>I且。〃6

D.已知九〃為實(shí)數(shù)，若入a="b,則a與分共線

解析A錯(cuò)誤，兩個(gè)向量是否相等只與模及方向有關(guān)，與位置無關(guān)；B正確，因?yàn)檐?

DC,所以I荏I=I反I且荏〃反，又/,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形

488為平行四邊形；C錯(cuò)誤，當(dāng)a〃b且IaI=I/>I時(shí)還可能是。=一。，所以“IaI

=I6|且a〃"‘是的必要不充分條件；D錯(cuò)誤，當(dāng)%=〃=0時(shí)，”與6可以為任意向

量，滿足貓=〃仇但。與〃不一定共線.故選B.

（2）設(shè)a,分都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使一成立的充分條件是（C）

IaIIbI

A.〃=一〃B.a//b

C.a=2bD.a//bS.\a\=\b\

解析因?yàn)橄蛄慷的方向與向量a的方向相同，向量下也的方向與向量8的方向相同，

IaIIbI

且一^=不”，所以向量a與向量8的方向相同，故可排除選項(xiàng)A,B,D.當(dāng)a=28時(shí)，

IaIIbI

T^=4r=T）T，故a=2）是丁彳=丁，不成立的充分條件.

IaII2bIIbIIaIIbI

方法技巧

向量有關(guān)概念的關(guān)注點(diǎn)

（1）向量定義的關(guān)鍵是方向和長度.

（2）非零向量的平行具有傳遞性.

（3）平行向量即共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制.

（4）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.

（5）向量/了是與向量"同方向的單位向量.

訓(xùn)練1下列說法正確的是（B）

A.相反向量就是方向相反的向量

B.a,b,c為非零向量，若“〃6,b//c,貝！Ja〃c

C.若。與5共線，則a=b或。=—b

D.若。為平面內(nèi)的某個(gè)向量，ao為單位向量，則a=IaIao

解析對(duì)于A,相反向量是方向相反，長度相等的兩個(gè)向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C,若向量

。與6共線，則。與6的方向相同或相反，但長度不一定相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,a與

lalao的模相等，但方向不一定相同，故D錯(cuò)誤；易知B正確.故選B.

命題點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算

角度1向量加、減法的幾何意義

例2(1)［多選是△N8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足IPB-PCI-IPB+PC-2PAI=

0,則△48C不可能是(AD)

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

解析設(shè)。為邊3c的中點(diǎn)，則而+而=2而，由已知有I麗I=I2PD-2PA|=

2\AD\,所以△45C為直角三角形，故選AD.

(2)［全國卷I］設(shè)a,分為單位向量，且Ia+bI=1,貝"a-bI=V3.

解析解法一如圖，四邊形O4C2為平行四邊形，設(shè)立?=。，OB=b,

利用平行四邊形法則得況=a+6,IaI=II=Ia+b1=1,'

...△CMC為正三角形，：.\BA\=\a-bI=2xyx|aI=V3.

解法二,'a,b為單位向量，且Ia+bI—1,(a+A)2—1,.*.1+1+2aA=1,

"-ab=-pIa—bI2=a2+62-2ab=1+1—2x(—=3,Ia—bI=V3.

方法技巧

利用向量加、減法的幾何意義解決問題的思路

(1)根據(jù)兩個(gè)向量的和與差，構(gòu)造相應(yīng)的平行四邊形或三角形，再結(jié)合其他知識(shí)求解；

(2)平面幾何中，如果出現(xiàn)平行四邊形或可能構(gòu)造出平行四邊形或三角形的問題，那么可

考慮利用向量知識(shí)來求解.

角度2向量的線性運(yùn)算

例3［2022新高考卷I］在△48C中，點(diǎn)。在邊上，BD=2DA.\SXA=m,CD=n,則荏

=(B)

A.37n-2MB.-2〃？+3”

C.3〃？+2〃D.2，"+3"

解析因?yàn)?0=2。/,所以屈=3而，所以荏=刀+卷=刀+34=石?+3(.CD-

CA')=一2萬+3麗=—2膽+3".故選8.

方法技巧

向量的線性運(yùn)算問題的求解策略

(1)利用三角形法則或平行四邊形法則求解；

(2)利用相等向量、相反向量、共線向量以及三角形中位線等，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知

向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解.

角度3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)

例4在△48C中，點(diǎn)。在線段8C上，且詼=2反，點(diǎn)。在線段CD上(與點(diǎn)C,。不重

合).^AO=xAB+(1-x)AC,則x的取值范圍是(C)

A.(0,1)B.(-,1)C.(0,-)D.-)

3333

解析設(shè)前=屜,(|,1),則而=荏+麗=四+4玩=(1-/1)AB+AAC=xAB

+(1—x)AC,則x=l一丸￡(0,1).故選C.

方法技巧

求參數(shù)問題可以通過向量的線性運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，構(gòu)造方程(組)求解.

訓(xùn)練2(1)［多選］在梯形/BCD中，AB//CD,AB=2CD,/C與8。相交于點(diǎn)O,則下列

結(jié)論正確的是(ABD)

Ajc-AD=^ABB.IOA+2OCI=0

----->9----->1----->----->----->----->----->

C.OA=-CD+-CBD.AB+BC+CD+DA=0

33

解析對(duì)于A,AC-AD=~DC=-AB,故A正確.對(duì)于B,由題知竺="=工，所以函+2沆

2AOAB2

=0,故IOA+2OCI=0,故B正確.對(duì)于C,雨=|刀=|(CB-AB)=|(CB+2CD)

=|CB+^CD,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,AB+BC+CD+DA^AC+CA^O,故D正確.故選ABD.

(2)在△ABC中，AB=2,BC=3?N/2C=30。，AD為邊上的高.若而=2萬+

/J.AC,貝！U—“=..

解析如圖，?.【￡)為8c邊上的高，：.AD±BC,'：AB=2,ZABC=30°,

：.BD=V3=-BC,：.AD^AB+BD^AB+-BC^AB+-(AC-AB}=-AB

3333、A

+-AC.

3

又前=2荏+〃就，/z=1,故丸一

命題點(diǎn)3共線向量定理的應(yīng)用

例5(1)已知。為△43C內(nèi)一點(diǎn)，且而=［(痂+反)，AD=tAC,若B,O,。三點(diǎn)共

線，貝卜=(B)

A」11B.i1C.：2D4

4323

解析設(shè)￡是5。邊的中點(diǎn)，則;COB+OC)=0Ef由題意得而=麗，所以而=［荏=

-CAB+AC)=-AB+-AD,又因?yàn)?,0,。三點(diǎn)共線，所以工+工=1,解得，=士故選B.

444t44t3

(2)［全國卷II］設(shè)向量。，。不平行，向量為+b與a+2b平行，則實(shí)數(shù);1=,.

解析因?yàn)榻?〃與〃+25平行，所以存在"￡R,使得筋+〃=〃(a+2〃)，即(丸一〃)a

+(1—2//)〃=0.因?yàn)橄蛄砍觥ú黄叫?，所?—〃=0,1—2//=0,解得丸=〃得

方法技巧

利用共線向量定理解題的策略

(1)利用〃〃力=〃=勸(與第)求解.

(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即/,B,C三點(diǎn)共線0近，而共

線.

(3)若a與6不共線且急1=〃6,貝版=〃=0.

(4)O2=/lOB+/zOC(/,〃為實(shí)數(shù))，若4B,C三點(diǎn)共線，貝!U+〃=l.

注意力［=%。豆+〃爐中的三個(gè)向量的起點(diǎn)相同時(shí)，才有/,B,。三點(diǎn)共線ud+〃=l.

訓(xùn)練3(1)已知ei,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，OA=-3ei+2e2,OB=4ei+ke2,0C=

5ei—4e2,若4,B,C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)左的值為(A)

A.-lB.OC.lD.2

解析解法一因?yàn)橥?=3ei+2e2,礪=4e+&2,OC=5ei-4e2,所以前=加一市=

(4ei+后e2)—(3ei+2e?)=ei+(k—2)ei,AC=OC—0A=(5ei—4e2)—(3ei+2e2)

=2ei—6e2,又/,B,。三點(diǎn)共線，所以存在唯一的實(shí)數(shù);l,使得荏=%而，即幻+(左一

、/、?(2/1=1,k=-l

2)氏=/1(2為一6及),所以1解得故選A.

I—6A=k—2,

解法二根據(jù)題意，設(shè)瓦5=x3§+(1-X)0C,則3ei+2e2=[4x+5(l—x)]ei+[fcv-

4%+5(1—x)—3

得

{kx~4(1—%)=2,

尸2,故選人.

［k=-l.

(2)［2023湖北天門中學(xué)、仙桃中學(xué)等校5月聯(lián)考］如圖，在△/BC中，AD

/1\

為邊上的中線，G為△48C的重心，M,N分別為線段/瓦NC上的動(dòng)

點(diǎn)，且跖N,G三點(diǎn)共線，^AM^AAB(￥0),麗=國(〃和)，貝!U'■------tr-

+4〃的最小值為(B)

39

A.1B.3C.2D.-

24

解析由題意得前=2前=幺工(AB+AC)=-(,AB+AC)=-C-AM+-AN),由于

332334〃

N,G三點(diǎn)共線,故廿或=1.故計(jì)4〃=U+4/z)號(hào)+或)=|+等+金|+2*|1=3,

當(dāng)且僅當(dāng)詈=高，即2=1,時(shí)等號(hào)成立，故九+4"的最小值為3,故選B.

6學(xué)生用書P115

等和線的應(yīng)用

例6［全國卷HI］在矩形A8CD中，4B=1,40=2,動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)C為圓心且與相切的

圓上.若Q3同+〃而，貝!U+〃的最大值為(A)

A.3B.2V2C.V5D.2

解析解法一如圖，過點(diǎn)C作CE〃8￡＞交直線N8于點(diǎn)E,因?yàn)?=/1同

+〃而，則由等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€/與圓相切時(shí)，2+〃最大，設(shè)此時(shí)/

與直線48交于點(diǎn)尸，則易知4B=BE=EF,此時(shí)力+〃=絲="土眄土變=空

「ABABAB

=3.

解法二以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,4。所在直線分別為％軸、＞軸建立如圖所示的

平面直角坐標(biāo)系，則4(0,0),5(1,0),C(1,2),D(0,2).可得直

22

線BD的方程為2x+y—2=0,點(diǎn)。到直線5。的距離d=所以圓C

的方程為(X—1)2+(y-2)2=也因?yàn)辄c(diǎn)P在圓。上，所以可設(shè)p(1+

^cos<9,2+Wsin<9).易知荏=(1,0),AD=(0,2),AP=XAB+fiAD=Q,

1H----COSO=AfZr/r

2〃），所以，r所以7+〃=2+ycose+^sin6=2+sin（8+9）<3,其中

、2+淳也6=2〃，‘°

夕滿足tan夕=2.所以的最大值為3.

方法技巧

等和線定理：如圖，對(duì)于平面內(nèi)一組基底瓦?，礪及任一向量而，OP==J'

MA+ftOBa,〃GR）,若點(diǎn)尸在直線上或在平行于N5的直線481

???I.1

上，貝!U+〃=A（定值）且I4I=黑=黑（F為OP與AB的交點(diǎn)），

UrUDUA

反之也成立.我們把直線AB以及與直線48平行的直線4耳稱為等和線.

推導(dǎo)：由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和線定理，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若方=x02+y旗（x,

ydR）,則x+y=l,由△0/2與△CMiS相似，必存在一個(gè)常數(shù)左（左GR）,使得加=

kOF,則演=的團(tuán)]+刈萬艮又。？=4萬?+〃而a,〃GR）,所以;1+〃=左（x+y）

=上反之也成立.

訓(xùn)練4在扇形/。8中，。為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，//。8=60。.若方=而2+了/,則x+

3y的取值范圍是「1,31.

解析解法一如圖1,在。8上取一點(diǎn)。，使OB=3OD,連接與0c交于點(diǎn)￡,過

C作CF〃4D,交03于點(diǎn)尸，則而礪=x3X+3y赤，所以x+3y="=絲.當(dāng)

C,/重合時(shí)，*最小，為1；當(dāng)C,2重合時(shí)，*最大，為3,所以x+3y的取值范圍是

口，3],

圖1圖2

解法二（坐標(biāo)法）設(shè)扇形/O3的半徑為1,以。為原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐

標(biāo)系，則5(1,0),A(1,爭,設(shè)NBOC=e,04噴,則C(cos<9,sin9),

0C=(cos0,sin。)=x(1,/)+y(1,0),

；2V3sin0

cos3=-+y,X=--------

27

即.解得?3

.八V3八V3sin0

sin。=-x,=cos3--------

273

所以x+3y=2^in-+3cos61-V3sin0=3cos0—ysin0.

令g(0)=3cos。一fsin?(0<0<^),易知g(0)在[0,g上單調(diào)遞減，所以

g0)=1。⑻<g(0)=3,

所以x+3y的取值范圍是[1,3].

解法三(構(gòu)造函數(shù)法)設(shè)扇形/。8的半徑為r,

因?yàn)榉降Z，

所以前2=(xQA+yOB^2=x2OA2+2xyIOAIIOBI-cos60°+y2OB2,即"=爐產(chǎn)+

孫川+)2r2,

整理得關(guān)于y的方程產(chǎn)+期+N—1=0.

易知》,?￡[0,1],A=4-3X2>0,

—x+4-3x2

所以y=--------+---------,

-3x4-34-3X2134~3x2

所以x+3y=x+----------=—尹+工^——?

134~3x2

令/(x)=——(xG[0,I]),易知/(X)在[0,1]上單調(diào)遞減，所以/(I)=

l<f(x)<f(0)=3,

所以x+3y的取值范圍是［1,3］.

1.［命題點(diǎn)1］設(shè)mb為非零向量，則“o〃b”是“與6方向相同”的（B）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析因?yàn)閍,b為非零向量，所以當(dāng)a〃萬時(shí)，a與方方向相同或相反，因此"a〃6"是"a

與方方向相同”的必要不充分條件.

2.［命題點(diǎn)3］在△48C中，點(diǎn)P滿足鉀=2而，過點(diǎn)P的直線與/瓦NC所在直線分別交于

有、M,N,若宿=加彳^,AN=nAC（m>0,〃>0）,則，力+2〃的最小值為（A）

pin

A.3B.4C.7D芳

33

解析如圖，連接ZP,易知於=荏+前=荏+|（AC-AB}=^AB

MeW.

o---->i---->2---->12

+±力。=」-4用+上力乂因?yàn)椤?，P,N三點(diǎn)共線，所以「-+―=1,因?yàn)榧?gt;0,n>0,所以

33m3n3m3n

-17e

m-\~2n=（冽+2幾）（—+一）=一+

3m3n3

曳+網(wǎng)>三+2也.等=3,當(dāng)且僅當(dāng)生=網(wǎng)，即.=〃=1時(shí)等號(hào)成立.

3m3n~3y］3m3n3m3n

3.［命題點(diǎn)3/2023河南省重點(diǎn)中學(xué)測(cè)試］已知。，E分別是△NBC的邊N2,/C上的點(diǎn)，且滿

足前=1與，荏=］肅下為直線與直線3c的交點(diǎn).若赤=2同+〃前Q,〃為實(shí)

數(shù)），貝以一如勺值為（C）

D.-

A.lB.--3C.3-2

解析由題意，得力=詬+9=］屈+而.因?yàn)?。，E,尸三點(diǎn)共線，所以而=應(yīng)范=

k（,DA+AE）=k,左為實(shí)數(shù)，所以赤=1四+4=

（卜共）四十引才乙因?yàn)?,C,尸三點(diǎn)共線，所以《一夫）+|左=1，即左=2,所以而=

一：通+1尼.又赤=垢后十〃前，所以％=一：,林=三,所以〃一?%=,.

（---------------------------，練習(xí)幫!練透好題精準(zhǔn)分層--------------------------

a學(xué)生用書?練習(xí)幫P316

“2024云南文山州月考］已知平面向量mb不共線，AB=4a+6b,BC=~a+3b,CD=

a+3b,貝!］（D）

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.A,B,C三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D./,C,。三點(diǎn)共線

解析BD=BC+CD=6b,得不出說=%前，：.AB,前不共線，：.A,B,。三點(diǎn)不共

線，A錯(cuò)誤；由已知得不出四=%說，：.AB,就不共線，：.A,B,C三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)

誤；由已知得不出麗=入而，：.BC,而不共線，：.B,C,。三點(diǎn)不共線，C錯(cuò)誤；前=

AB+BC=3a+9b=3CD,：.AC,而共線，：.A,C,。三點(diǎn)共線，D正確.故選D.

2.［2024河南濟(jì)源市第六中學(xué)月考］設(shè)a,5是兩個(gè)非零向量，則下列說法正確的是

（C）

A.若Ia+b\=\a\—\b\f則a_L/>

B.若aA.b,則I〃+力I=I〃I—IAI

C.若Ia+bI=IaI-I6I,則存在實(shí)數(shù)九使得a=Xb

D.若存在實(shí)數(shù)九使得a=%，貝!!|a+bI=IaI—I6I

解析Ia+Z>I=I?I—IbI成立的充要條件是向量a,b方向相反，且|a|>|b|,

易知C正確.

3.如圖，尸是線段。瓦的延長線所圍成的陰影區(qū)域(含邊界)內(nèi)任意一點(diǎn)，且灰=

xOA+y^OB,則(C)\JJ

A.x+yWlB.x+y<l

C.x+y>lD.X+J>1

解析設(shè)赤與線段的延長線交于點(diǎn)E,則屈=4瓦?+(1-2)0B,設(shè)赤=/南，根據(jù)

題意易知加紀(jì)，當(dāng)且僅當(dāng)尸，￡重合時(shí)加=1.所以加1+%(1-/)OB=xOA+

yOB,所以x=?d,y—m(1—4),x+y=?jNl.故選C.

4.已知平面向量a,b滿足IbI=2,I2a—6I=1,則IaI的取值范圍為(C)

2C,12

A.[1)1]B.(1,3)C.[j,汕.(2,4)

解析因?yàn)閨2a—bI=1,所以I〃I—I2a—bI<2IaI<II+I2a—bI,所以

1<2IaI<3,可得IaIe[|,|],故選C.

512023武漢市調(diào)研]在正六邊形/3CDE廠中，用尼和版表示而，則而=(B)

A.號(hào)m+5荏B-,前十|版

7-->2-->

C,--AC+-AED.*市+g荏

解析解法一如圖，記正六邊形的中心為。，連接3E,交/C于點(diǎn)

G,則點(diǎn)。在上，G為/C的中點(diǎn)，且G為08的中點(diǎn)，所以同=

-AC,CD^-GE^-(AE-AG')=-(AE--AC^^~-AC+-AE,故選

2333233

B.

解法二如圖，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,NE所在直線分別為x軸，y軸建

立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正六邊形NBCAE尸的邊長為2,則/(0,

0),C(3,V3),n(2,2V3),E(0,2V3),所以標(biāo)=(3,

V3),荏=(0,2V3),而=(-1,V3).設(shè)方=了前+了荏，則

(-1,V3)=x(3,V3)+y(0,2V3)=(3x,岳+2旬)，得

3%=-1,?皿3

?百x+2by=g,解付,所以方=一工前荏，故選B.

433

6.［2024四川資陽模擬］在平行四邊形45CZ)中，￡是4g的中點(diǎn)，尸是線段?！晟系狞c(diǎn)，且

F^=-AB+-AD,貝!J(D)

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A.麗=2而B.而=2萬

CTD=3EFD.EF=3FD

解析解法一由四邊形N5CZ)是平行四邊形可知荏=比，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以

-->-->-->-->-->7-->1-->-->1-->1-->1-->1-->1-->..-->

AB^IAE,FD=FC+CD=；4B+2AD+CD=FAD-/aB=FAD-；力E=；ED,所以EF=

3FD.故選D.

解法二設(shè)麗=廊,Ae［O,1］,因?yàn)榍?前一荏=前一［而，所以定=而+反=

AED+AB=A(AD-^AB)+AB=(1一夕)AB+AAD,又說=[荏+加,所以義=[,所

以方=工前，即麗=3萬.故選D.

4

7J2024河南信陽部分學(xué)校聯(lián)考］已知向量。=(6,2),則與。方向相反的單位向量b的坐

標(biāo)為」f

解析解法一Q一土=(一騫，—噂),

解法二設(shè)力=筋=(6A,22)，4V0,則(62)2+(2A)2=1,得丸=一嚶，故〃=

z_3V10一包)

ioJio'.

8.［2024天津四中月考］在等腰直角三角形ABC中，P是斜邊BC上一點(diǎn)，若獲=^?+

dy,則△ABC的面積為—

IAC>IN.

解析方=羋7+不絲一=占7四尼?由題可知2，P，。三點(diǎn)共線，所以

\AB\\AC\\AB\IACI''J\AB\

蒲=1.又因?yàn)镮屈I=