2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之計數(shù)原理

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之計數(shù)原理

選擇題（共10小題）

1.已知（％+771）4=Q4%4+的/+g/+的％+劭，若QO+QI+“2+43+〃4=81,則小的取值可以為（）

A.2B.1C.-1D.-2

2.（/-1）6的展開式中常數(shù)項為（）

A.-240B.-160C.240D.160

3.為積極落實(shí)“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動，某校成立了手工藝社團(tuán)，并開設(shè)了陶藝、剪紙等6

門課程.該校甲、乙2名同學(xué)報名參加手工藝社團(tuán)，每人僅報2門課程，其中甲不報陶藝、乙不報剪紙，

且甲、乙兩人所報課程均不相同，則甲、乙報名課程的方案種數(shù)為（）

A.18B.24C.36D.42

4.將5本不同的書（2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書）分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書，

每本書只能分給一人，其中體育書只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配方法數(shù)為（）

A.78B.92C.100D.122

5.截至2024年2月25日，2024年春節(jié)檔4部影片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《第二十條》《熊出沒?逆

轉(zhuǎn)時空》合計票房已經(jīng)突破100億.某影城為了家庭中的大人和孩子觀影便利，對影片播放順序做出如

下要求：《熱辣滾燙》不排第一場，《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時空》不排最后一場，《第二十條》和《熊出沒?逆轉(zhuǎn)

時空》必須連續(xù)安排，則不同的安排方式有（）

A.12種B.10種C.9種D.7種

6.某學(xué)校舉辦運(yùn)動會，徑賽類共設(shè)100米、200米、400米、800米、1500米5個項目，田賽類共設(shè)鉛球、

跳高、跳遠(yuǎn)、三級跳遠(yuǎn)4個項目.現(xiàn)甲、乙兩名同學(xué)均選擇一個徑賽類項目和一個田賽類項目參賽，則

甲、乙的參賽項目有且只有一個相同的方法種數(shù)等于（）

A.70B.140C.252D.504

7.某班聯(lián)歡會原定5個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個節(jié)目，現(xiàn)將這2個新節(jié)目插入節(jié)目單

中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，則不同的插入方法種數(shù)為（）

A.12B.18C.20D.60

8.某校5名同學(xué)到A、8、C三家公司實(shí)習(xí)，每名同學(xué)只能去1家公司，每家公司至多接收2名同學(xué).若

同學(xué)甲去A公司，則不同的安排方法共有（）

A.18種B.30種C.42種D.60種

9.用0,1,2,3,4能組成沒有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（）個.

A.212B.213C.224D.225

10.第33屆夏季奧運(yùn)會預(yù)計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會將新增2個競賽

項目和3個表演項目.現(xiàn)有三個場地A,B,C分別承擔(dān)這5個新增項目的比賽，且每個場地至少承辦

其中一個項目，則不同的安排方法有()

A.150種B.300種C.720種D.1008種

二.填空題(共5小題)

11.在(1+X)+(1+X)2+(1+尤)3+-+(1+X)1°的展開式中，尤3的系數(shù)為.(用數(shù)字回答)

12.兩位老師和四位同學(xué)站成一排，如果兩位老師不相鄰且不站兩端，則共有種不同的站

法.(用數(shù)字作答)

13.若(代-1)4的展開式中X的系數(shù)與7的系數(shù)之和為.

14.已知ai,ai,。3,?4G{1,2,3,4},N(ai,ai,。3,04)為m,az,ai,。4中不同數(shù)字的種類，如N

(1,1,4,3)=3,N(2,4,4,2)=2,(1,2,2,1)與(1,2,1,2)視為不同的排列，則(m,

al,123,04)的不同排列有個(用數(shù)字作答)；所有的排列所得N(tn,O1,<23,674)的平均

值為.

15.己知(j+專廣的二項展開式中各項系數(shù)和為1024,則展開式中常數(shù)項的值為.

三.解答題(共5小題)

16.在①只有第6項的二項式系數(shù)最大；②第4項與第8項的二項式系數(shù)相等；③所有二項式系數(shù)的和為

210,這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面(橫線處)問題中，解決下面兩個問題.

n123n

已知(2x-1)—ao+aix+tz2r+cz3x+,?,+anx(〃eN+),若(2x-1)”的展開式中，.

(1)求”的值；

(2)求小的系數(shù)；

(3)求|。1|+陵|+|。3|+…+|珈|的值.

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

17.5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列約束條件下，有多少種站法？

(1)女生不站在兩端；

(2)女生相鄰；

(3)女生不相鄰.

nn-12n2

18.已知數(shù)列{斯}的首項為1,記F(x,n)=GiCnCl-x)+a2C?x(l-x)+a3C?x(l-x)~4--F

-1n-11n

anC^x(l-x)+an+1C^x.

(1)若數(shù)列｛0”｝是公比為3的等比數(shù)列，求E(-1,2020)的值；

(2)若數(shù)列｛而｝是公差為2的等差數(shù)列，

①求證：kCn=nC^~l；

②求證：F(x,2020)是關(guān)于x的一次多項式.

19.設(shè)(2尤+1)8的第〃項系數(shù)為利.

(1)求斯的最大值.

(2)若印表示x的整數(shù)部分，S=^=°^2i+1,求S-[5]的值.

20.(1)學(xué)校開設(shè)了7門選修課，要求每個學(xué)生從中選學(xué)4門，共有多少種不同的選法？

(2)從參加羽毛球團(tuán)體比賽的6名運(yùn)動員中選出3名，并按排定的順序出場比賽，有多少種不同的選

法？

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之計數(shù)原理

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.已知（％+771）4=+的爐++%%+。0，若QO+〃I+Q2+Q3+〃4=81,則小的取值可以為（）

A.2B.1C.-1D.-2

【考點(diǎn)】二項式系數(shù)的性質(zhì).

【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】借助賦值法計算即可得.

【解答】解：令X=l,有（1+rn）4=。4+〃3+。2+〃1+〃0=81,

解得m=2或m=-4.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.（/—|）6的展開式中常數(shù)項為（）

A.-240B.-160C.240D.160

【考點(diǎn)】二項展開式的通項與項的系數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x的募指數(shù)等于0,求得r的值，即可求得展開式中的

常數(shù)項的值.

【解答】解：由于（--1）6的展開式中，通項公式為7；+1=冬?（-2）

再令12-3r=0,求得r=4,可得展開式的常數(shù)項為盤?16=240,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.為積極落實(shí)“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動，某校成立了手工藝社團(tuán)，并開設(shè)了陶藝、剪紙等6

門課程.該校甲、乙2名同學(xué)報名參加手工藝社團(tuán)，每人僅報2門課程，其中甲不報陶藝、乙不報剪紙，

且甲、乙兩人所報課程均不相同，則甲、乙報名課程的方案種數(shù)為（）

A.18B.24C.36D.42

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】分甲報剪紙和甲不報剪紙兩種情況，再結(jié)合排列組合知識和計數(shù)原理求解.

【解答】解：按甲報的課程分為兩類：①若甲報剪紙，則從除了陶藝的其他4門課程中再選1門，有口

種結(jié)果，

乙再從剩余4門課程中選2門，有廢種結(jié)果，

所以有C）服=24種，

②若甲不報剪紙，則從除了陶藝、剪紙的其他4門課程中選2門，有盤種結(jié)果，

乙再從剩余除剪紙外的3門課程中選2門，有廢種結(jié)果，

所以有廢廢=18種，

綜上所述，共有24+18=42種方案.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎(chǔ)題.

4.將5本不同的書（2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書）分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書，

每本書只能分給一人，其中體育書只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配方法數(shù)為（）

A.78B.92C.100D.122

【考點(diǎn)】人員及物品分配問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】分體育書分給甲和乙兩種情況求解.

【解答】解:若將體育書分給甲，當(dāng)剩余4本書恰好分給乙、丙時,此時的分配方法有盤?盤?膨+弓學(xué).

屬=14種，

當(dāng)剩余4本書恰好分給甲、乙、丙三人時，此時的分配方法有盤?周=36種，

綜上，將體育書分給甲，不同的分配方法數(shù)是14+36=50,

同理，將體育書分給乙，不同的分配方法數(shù)也是50,

故不同的分配方法數(shù)是50+50=100.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎(chǔ)題.

5.截至2024年2月25日，2024年春節(jié)檔4部影片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《第二十條》《熊出沒?逆

轉(zhuǎn)時空》合計票房已經(jīng)突破100億.某影城為了家庭中的大人和孩子觀影便利，對影片播放順序做出如

下要求：《熱辣滾燙》不排第一場，《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時空》不排最后一場，《第二十條》和《熊出沒?逆轉(zhuǎn)

時空》必須連續(xù)安排，則不同的安排方式有（）

A.12種B.10種C.9種D.7種

【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時空》不排最后一場，則《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時空》可以排在第一、第二、

第三場，由此分3種情況討論，由加法原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時空》不排最后一場，則《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時空》只能排在第一、

第二、第三場，

分3種情況討論：

①《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時空》排在第一場，《第二十條》必須安排在第二場，剩下2場電影任意安排，有2

種情況，此時有2種不同的安排方式，

②《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時空》排在第二場，

若《第二十條》排在第一場，剩下2場電影任意安排，有2種情況，

若《第二十條》排在第三場，《熱辣滾燙》只能排在第四場，《飛馳人生2》排在第四場，有1種情況,

則此時有2+1=3種不同的安排方式；

③《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時空》排在第三場，

若《第二十條》排在第二場，《熱辣滾燙》只能排在第四場，《飛馳人生2》排在第一場，有1種情況,

若《第二十條》排在第四場，《熱辣滾燙》只能排在第二場，《飛馳人生2》排在第一場，有1種情況,

此時有2種不同的安排方式；

綜合：一共有2+3+2=7種不同的安排方式.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.某學(xué)校舉辦運(yùn)動會，徑賽類共設(shè)100米、200米、400米、800米、1500米5個項目，田賽類共設(shè)鉛球、

跳高、跳遠(yuǎn)、三級跳遠(yuǎn)4個項目.現(xiàn)甲、乙兩名同學(xué)均選擇一個徑賽類項目和一個田賽類項目參賽，則

甲、乙的參賽項目有且只有一個相同的方法種數(shù)等于（）

A.70B.140C.252D.504

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】計算題；分類討論；分析法；排列組合；邏輯推理.

【答案】B

【分析】由分類加法、分步乘法計數(shù)原理以及排列組合的計算即可得解.

【解答】解：由題意若甲、乙的相同的參賽項目為徑賽類項目，則有廢=5種選法，

他們再分別從田賽類項目中各選一個（互不相同）即可，這時候有幽=4x3=12種選法，

所以此時滿足題意的選法有程題=5x12=60,

由題意若甲、乙的相同的參賽項目為田賽類項目，則有盤=4種選法，

他們再分別從徑賽類項目中各選一個（互不相同）即可，這時候有正=20種選法，

所以此時滿足題意的選法有瑪程=4x20=80,

綜上所述，甲、乙的參賽項目有且只有一個相同的方法種數(shù)等于60+80=140種.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查兩個計數(shù)原理的應(yīng)用，以及排列組合的知識，屬于中檔題.

7.某班聯(lián)歡會原定5個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個節(jié)目，現(xiàn)將這2個新節(jié)目插入節(jié)目單

中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，則不同的插入方法種數(shù)為（）

A.12B.18C.20D.60

【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】5個節(jié)目排好的節(jié)目單中間有4個空，第一個節(jié)目插入到這4個空中，有4種方法，這時6個

節(jié)目排好的節(jié)目單中間有5個空，第二個節(jié)目插入到這5個空中，有5種方法，由乘法計數(shù)原理得不同

的插入方法種數(shù).

【解答】解：5個節(jié)目排好的節(jié)目單中間有4個空，

第一個節(jié)目插入到這4個空中，有4種方法，

這時6個節(jié)目排好的節(jié)目單中間有5個空，

第二個節(jié)目插入到這5個空中，有5種方法，

由乘法計數(shù)原理得不同的插入方法種數(shù)為4X5=20.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查分步計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.某校5名同學(xué)到A、3、C三家公司實(shí)習(xí)，每名同學(xué)只能去1家公司，每家公司至多接收2名同學(xué).若

同學(xué)甲去A公司，則不同的安排方法共有（

A.18種B.30種C.42種D.60種

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】綜合題；整體思想；綜合法；排列組合；邏輯推理.

【答案】B

【分析】由于每家公司最多接收兩名同學(xué)，因此在甲同學(xué)去A公司的情況下，其余四名同學(xué)去三家公

司的人數(shù)只能為112、121及022,因此可以對三種情況分別討論即可得到答案.

【解答】解：當(dāng)同學(xué)甲取A公司時，其余四名同學(xué)可以去三家公司的人數(shù)可以分別為112、121、022

三種.

當(dāng)其余四名同學(xué)可以去三家公司的人數(shù)為112時，共有心?廢?戲=4x3x1=12種情況；

當(dāng)其余四名同學(xué)可以去三家公司的人數(shù)為121時，共有盤?C"盤=4X3X1=12種情況；

當(dāng)其余四名同學(xué)可以去三家公司的人數(shù)為022時，共有或?戲=6x1=6種情況；

因此不同的安排方法共有12+12+6=30種.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.用0,1,2,3,4能組成沒有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（）個.

A.212B.213C.224D.225

【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】先對數(shù)字位數(shù)分類討論，在對五位數(shù)的首位數(shù)字進(jìn)行分類討論：①首位為1,2；②首位為3.然

后分析千位數(shù)的選取，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.

【解答】解：分?jǐn)?shù)字位數(shù)討論：

一位數(shù)4個，

兩位數(shù)有4X4=16個，

三位數(shù)有4X4X3=48個，

四位數(shù)有4X4X3X2=96個，

五位數(shù)分以下兩種情況討論：

①首位數(shù)字為1或2,此時共有2題=2X24=48個，

②首位數(shù)字為3,則千位數(shù)從0或1中選擇一個，其余三個數(shù)位任意排列，

此時共有2題=12個，

綜上所述，共有4+16+48+96+48+12=224個比32000小的數(shù).

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了排列組合知識，考查了分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.第33屆夏季奧運(yùn)會預(yù)計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會將新增2個競賽

項目和3個表演項目.現(xiàn)有三個場地A,B,C分別承擔(dān)這5個新增項目的比賽，且每個場地至少承辦

其中一個項目，則不同的安排方法有（）

A.150種B.300種C.720種D.1008種

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5個新增項目的比賽項目分為3組，②將分好的3組安排到

A,B,C三個場地，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析:

①將5個新增項目的比賽項目分為3組，有警史+零」=25種分組方法,

人2人2

②將分好的3組安排到A,B,C三個場地，有a=6種安排方法,

則有25X6=150種安排方法.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共5小題）

11.在（1+尤）+（1+無）2+（1+x）3+-+（1+x）1°的展開式中，X3的系數(shù)為330.（用數(shù)字回答）

【考點(diǎn)】二項式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】330.

【分析】利用二項式定理求得了3的系數(shù)，結(jié)合組合公式C記+C鏟t=%式0<加<切即可得解.

【解答】解：因?yàn)椋?+無）”的展開通項公式為耳+1=品"，

所以（1+x）+（1+x）~+（1+x）,+…+（1+無）1°的展開式中無3的系數(shù)為廢+值+…+C：o，

因?yàn)閮?yōu)+C/T=密式0<m<n）,

所以優(yōu)+C%+俏+…+Cfo=C4+C4+C5+…+C『o=Cg+C5+…+C；o

???=CA=330.

故答案為:330.

【點(diǎn)評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.兩位老師和四位同學(xué)站成一排，如果兩位老師不相鄰且不站兩端，則共有144種不同的站法.(用

數(shù)字作答)

【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問題.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】144.

【分析】先將四位同學(xué)進(jìn)行排列，再將兩位老師插入四位同學(xué)之間，可得結(jié)果.

【解答】解：先將四位同學(xué)進(jìn)行排列，有短種排法，再將兩位老師插入四位同學(xué)之間，有掰種排法，

故共有窗的=144種不同的站法.

故答案為：144.

【點(diǎn)評】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.若(正-1)4的展開式中X的系數(shù)與/的系數(shù)之和為5.

【考點(diǎn)】二項式定理.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】5.

【分析】直接利用二項式的展開式和組合數(shù)求出結(jié)果.

_4-T

【解答】解：根據(jù)(?—1)4的展開式=C>(一1廠一丁(r=0,1,2,3,4),

當(dāng)r=2時，x的系數(shù)為底?(-1)2=6,

當(dāng)r=0時，x2的系數(shù)的系數(shù)為Cf-(-1)°=1,

故x的系數(shù)與x2的系數(shù)之和4+1=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項式的展開式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知口,02,13,a4G{1,2,3,4},N(ai,12,13,04)為ai,<22,13,。4中不同數(shù)字的種類，如N

(1,1,4,3)=3,N(2,4,4,2)=2,(1,2,2,1)與(1,2,1,2)視為不同的排列，則(①，

a2,<73,。4)的不同排列有256個(用數(shù)字作答)；所有的排列所得N(41,。2,473,6/4)的平均值

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用；用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù).

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】256；-

【分析】本題首先可以確定N(41,42,。3,44)的所有可能取值分別為1、2、3、4,然后分別計算

出每一種取值所對應(yīng)的排列個數(shù)，進(jìn)而得到每一種取值所對應(yīng)的概率，最后根據(jù)每一種取值所對應(yīng)的概

率即可計算出N(〃l,。2,Q3,44)的平均值.

【解答】解：由題意可知，(〃1,ai,〃3,”4)的不同排列有4X4X4X4=256個，

/11

當(dāng)N(〃1,=1時，n

ai,〃3,44)PI=4X^4=64;

6x(C：+C；+C：)8421

當(dāng)N(m,42,〃3,44)=2時,4256=回

七一4—

4x3(6+34-3)1449

當(dāng)N(Q1,〃2,〃3：44)=3時，;

也-44-256-16

p__24_3

當(dāng)N(41,42,〃3,44)=4時，r4-74-256-32-

1

綜上所述，所有的256個(〃1：。2：43,44)的排列所得的N(41,42,〃3,〃4)的平均值為：1、瓦+2X

21,9—3175

64+3nX16+4X32=-6￥-

175

故答案為：256；-

64

【點(diǎn)評】本題主要考查了排列組合知識，考查了平均值的計算，屬于中檔題.

15.已知+5產(chǎn)的二項展開式中各項系數(shù)和為1024,則展開式中常數(shù)項的值為210.

【考點(diǎn)】二項展開式的通項與項的系數(shù).

【專題】方程思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】210.

【分析】依題意，可求得”=10,再利用(一+5)】。的二項展開式的通項公式可求得答案.

【解答】解：：(爐+加的二項展開式中各項系數(shù)和為1024,

即(1+1)"=1024,

故"=10.

設(shè)(一+抄°的二項展開式的通項為Tr+1,則4+1=碼，2""0"=C"",

令30-5r=0,得廠=6,

故展開式中常數(shù)項的值為比0=置0=駿償;=210.

故答案為：210.

【點(diǎn)評】本題考查二項式定理的應(yīng)用，求得w=10是關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

三.解答題(共5小題)

16.在①只有第6項的二項式系數(shù)最大；②第4項與第8項的二項式系數(shù)相等；③所有二項式系數(shù)的和為

210,這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面(橫線處)問題中，解決下面兩個問題.

已知(2x-1)n=ao+flix1+tz2x2+tz3x3+,,,(M￡N+),若(2x7)”的展開式中，①或②或③.

(1)求〃的值；

(2)求/的系數(shù)；

(3)求同+|<72|+|。3|+…+|。"|的值.

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

【考點(diǎn)】二項式系數(shù)與二項式系數(shù)的和.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)10；

(2)180；

(3)59048.

【分析】(1)根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)算出w的值；

(2)利用二項式展開式的通項公式列式，算出，的系數(shù)；

(3)利用賦值法，取x=0算出ao的值，然后取x=-l代入計算，求得團(tuán)|+婕|+|。3|+…+|而|的值.

【解答】解：(1)若選①，只有第6項的二項式系數(shù)最大，則展開式中有11項，即w=10,

若選②，第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，即戰(zhàn)=髭，可得”=3+7=10,

若選③，所有二項式系數(shù)的和為2?即2〃=21°,可得”=10.

綜上所述，不論取三個條件中哪個條件，w的值都為10;

(2)根據(jù)題意，可得(2尤-1)"=(2x-l)lo=ao+aix1+a2x2+a3x3+-"+fliax10,

設(shè)第什1項為4+1=/?(2為1。-『?(T)『,其中r=0,1,10,

取r=8,得73=Cfo?(2久)2?(-1)8=180/,故/的系數(shù)及=180；

(3)由題意得(2x-1)lo=ao+aix1+a2x2+a3x3H---i-aiox10,

其中偶次方項系數(shù)為正數(shù)，奇次方項系數(shù)為負(fù)數(shù)，令x=0,可得砒=1,

再令X=-1,可得31°=。0-。1+。2-。3+…+a10=1+|。1|+|。2|+|。3|+…

10

因此，|。1|+陵|+|。3|+…+|斯|=|?1|+\a2\+|a3|+—F|a10|=3—1=59048.

【點(diǎn)評】本題主要考查了二項式系數(shù)的性質(zhì)、賦值法求多項式的系數(shù)和及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列約束條件下，有多少種站法?

(1)女生不站在兩端；

(2)女生相鄰；

(3)女生不相鄰.

【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)2400；

(2)1440；

(3)3600.

【分析】(1)先在5個男生中選出2人，安排在兩端，剩下5人安排在中間，由分步計數(shù)原理計算可得

答案；

(2)先把兩名女生捆綁在一起看作一個整體，再和另外的5名男生全排，由分步計數(shù)原理計算可得答

案；

(3)利用插空法，把2名女生插入到5名男生所形成的6個空中的2個，由分步計數(shù)原理計算可得答

案.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，女生不站在兩端，即男生在兩端，

在5個男生中選出2人，安排在兩端，剩下5人安排在中間，

有正式=2400種排法；

(2)兩名女生要相鄰，先把兩名女生捆綁在一起看作一個整體，

再和另外的5名男生全排，故有段跳=1440種排法；

(3)利用插空法，把2名女生插入到5名男生所形成的6個空中的2個，用短=3600種.

【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

nn-12n2

18.已知數(shù)列｛如｝的首項為1,記F(久，n)=diC°(l—x)+a2C?x(l—x)+a3CnX(l—x)~+■■■+

1n

anC獷ix"T(l-x)+an+1CJix.

(1)若數(shù)列｛?！ǎ枪葹?的等比數(shù)列，求P(-l,2020)的值；

(2)若數(shù)列｛而｝是公差為2的等差數(shù)列，

①求證：kCn=nCn~l;

②求證：F(x,2020)是關(guān)于x的一次多項式.

【考點(diǎn)】二項式定理.

【專題】計算題；證明題；轉(zhuǎn)化思想；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)等比數(shù)列結(jié)合二項式定理可解決該問題;

(2)①利用組合數(shù)公式解決;

②利用二項式定理和①結(jié)論解決.

【解答】解：(1)由題意即=3"]；.尸(x,n)=CR(1-尤)"+禺(3x)(1-%)"7+喋(3x)2(1

-x)n~-+-+C^(3x)"=(1+2無)n,

：.F(-1,2020)=(1-2)2020=1；

711(71—1)1

(2)①證明：k*=名許=〃而而F="制工；

②證明：：數(shù)列｛癡｝是公差為2的等差數(shù)列，.,.z=2”-1.則

nnl1tlx,

F(x,〃)=?1C°(1-x)+a2C^x(1-x)+---+anCn~x(1-x)+an+i*x"

=C'(1-x)"+(1+2)C?x(1-x)n'+(1+4量/(1-x)n~+—I-(l+2w)C^xn

=2(1-x)"+礙無(1-彳)”-1+喘/(1-無)"2+…+印/]+[2C"(1-x)n-1+2?(l-x)"-2+…+儲/]

由二項式定理知，c°(1-X)"+C^X(1-X)"7+C裊2(1-X)"-2+...+例/=[(1-x)+X]"=1.

又；k#=nCfCnx(1-x)n1+C^x1(1-x)…+…+n黑N

n122

=〃C?TX(1-x)+/?C^_1x(1-x)H---卜nCk;x"

n1n

—nx[C°_1(1-x)+C^-iX(1-x)---FC仁

=nx[(1-x)+x]nl=nx,

所以尸(x,")=l+2?x,：.F(x,2020)=1+4040尤是關(guān)于x的一次多項式.

【點(diǎn)評】本題考查二項式定理、等差等比數(shù)列、組合數(shù)公式、一次函數(shù)、轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

及推理能力，屬于難題.

19.設(shè)(2x+l)8的第"項系數(shù)為斯.

(1)求斯的最大值.

(2)若印表示x的整數(shù)部分，S=$2*1,求$-同的值.

【考點(diǎn)】二項式定理.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

1

【答案】(1)1792；(2)

【分析】(1)直接利用系數(shù)的最大項建立不等式組，進(jìn)一步求出最大值;

(2)直接利用二項式的展開式和整除問題求出結(jié)果.

【解答】解：(1)由題可知，Tk+i=驍(2x)8f=鹿28fx8-k,

則最大項滿足1c128i；c3+】29i,解得k=5或6.

所以最大項系數(shù)為。7=睹28-2=1792,

(2)二項式(2X+1)"的第〃象通項滿足〃=睹-1?29f.9-n,所以廝=?29-W,

所以￡乎=0(^2i+i=a】+(Z3+cig+CZ7+cig=2，+Cg2^+Cg2^+Cg22+C魯2°,

7

■=02a2i+i=2+f225+C423+C62I+T，

所以[豳產(chǎn)+1]=小2叫1-1,即[S]=S-|,

故S-[S]=1.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：系數(shù)的最大項，二項式的展開式，整除問題，主要考查學(xué)生的理解能力

和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.(1)學(xué)校開設(shè)了7門選修課，要求每個學(xué)生從中選學(xué)4門，共有多少種不同的選法？

(2)從參加羽毛球團(tuán)體比賽的6名運(yùn)動員中選出3名，并按排定的順序出場比賽，有多少種不同的選

法？

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】計算題；方程思想；定義法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)35,(2)120.

【分析】(1)根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計算可得答案；

(2)根據(jù)題意，由排列數(shù)公式計算可得答案.

【解答】解：(1)學(xué)校開設(shè)了7門選修課，要求每個學(xué)生從中選學(xué)4門，共有C74=35種不同選法；

(2)從參加羽毛球團(tuán)體比賽的6名運(yùn)動員中選出3名，并按排定的順序出場比賽，共有463=120種.

【點(diǎn)評】本題考查排列組合數(shù)公式的應(yīng)用，注意排列、組合的不同，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)卡片

1.用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)

的應(yīng)用最為廣泛.

(1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))

叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即元=：。1+*2+?“+%!)?

2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)

特征數(shù)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分

集中點(diǎn)信息無法客觀反映總體特征

中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響不受少數(shù)極端值的影響

平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)有關(guān)，更受少數(shù)極端值的影響較大，使其在

能反映全體的信息.估計總體時的可靠性降低.

【解題方法點(diǎn)撥】

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的選?。?/p>

(1)平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況；

(2)中位數(shù)不受極端值影響，有時用它代表全體數(shù)據(jù)的中等水平(或一般水平);

(3)眾數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的集中情況(即多數(shù)水平).

根據(jù)頻率分布直方圖估算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：

(1)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是眾數(shù).

(2)中位數(shù)：在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù)，因此，

在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計中位數(shù)的值.

(3)平均數(shù)：是頻率分布直方圖的“重心”，是直方圖的平衡點(diǎn).平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小矩

形的面積(即落在該組中的頻率)乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)(組中值)之和.

2.部分位置的元素有限制的排列問題

部分位置的元素有限制的排列問題

3.部分元素不相鄰的排列問題

部分元素不相鄰的排列問題

4.人員及物品分配問題

人員及物品分配問題

5.排列組合的綜合應(yīng)用

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1、排列組合問題的一些解題技巧：

①特殊元素優(yōu)先安排；

②合理分類與準(zhǔn)確分步；

③排列、組合混合問題先選后排；

④相鄰問題捆綁處理；

⑤不相鄰問題插空處理；

⑥定序問題除法處理；

⑦分排問題直排處理；

⑧“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；

⑨構(gòu)造模型；

⑩正難則反、等價轉(zhuǎn)化.

對于無限制條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時間發(fā)生的過程進(jìn)行分

步.對于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個途徑考慮：

①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；

②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；

③先不考慮限制條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù).

2、排列、組合問題幾大解題方法:

(1)直接法；

(2)排除法；

(3)捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們

“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”；

(4)插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元

素不相鄰問題”；

(5)占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置

的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解

題原則；

(6)調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時，可用此法；

「n「nn