2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時檢測55函數(shù)y＝Asinωx＋φ圖象與性質(zhì)的應(yīng)用習(xí)題課含解析新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE8函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用(習(xí)題課) [A級基礎(chǔ)鞏固]1．設(shè)點P是函數(shù)f(x)＝sinωx的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸的距離的最小值為eq\f(π,4)，則f(x)的最小正周期為()A．2π B．πC.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)解析：選B函數(shù)f(x)＝sinωx與f(x)＝sinx的圖象形態(tài)相同，視察圖象可知對稱中心與對稱軸最近距離為eq\f(1,4)T.由題意得eq\f(1,4)T＝eq\f(π,4)，所以T＝π.2．(多選)已知函數(shù)f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)與g(x)＝eq\f(A,2)cosωx的部分圖象如圖所示，則()A．A＝1 B．A＝2C．ω＝eq\f(π,3) D．ω＝eq\f(3,π)解析：選BC由題圖可得過點(0，1)的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)＝eq\f(A,2)cosωx，即eq\f(A,2)＝1，A＝2.過原點的圖象對應(yīng)函數(shù)f(x)＝Asinωx.由f(x)的圖象可知，T＝eq\f(2π,ω)＝1.5×4，可得ω＝eq\f(π,3).3．若函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)對隨意x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，則有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))等于()A．3或0 B．－3或0C．0 D．－3或3解析：選D由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))知，x＝eq\f(π,6)是函數(shù)的對稱軸，解得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝－3或3.故選D.4．函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于原點對稱，則φ等于()A.eq\f(π,6) B．－eq\f(π,6)C.eq\f(π,3) D．－eq\f(π,3)解析：選D函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度后，得到函數(shù)y＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖象．由于平移后的圖象關(guān)于原點對稱，∴eq\f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，由|φ|<eq\f(π,2)得φ＝－eq\f(π,3).5.為了探討鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標系，設(shè)秒針指向位置P(x，y)，若初始位置為P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，秒針從P0(注：此時t＝0)起先沿順時針方向走動，同點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)關(guān)系為()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t＋\f(π,6))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,60)t－\f(π,6)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t＋\f(π,6))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t－\f(π,6)))解析：選C∵秒針是順時針旋轉(zhuǎn)，∴角速度ω<0.又由每60秒轉(zhuǎn)一周，∴ω＝－eq\f(2π,60)＝－eq\f(π,30)(弧度/秒)，由P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，得cosφ＝eq\f(\r(3),2)，sinφ＝eq\f(1,2).解得φ＝eq\f(π,6).∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t＋\f(π,6)))，故選C.6．已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，則φ的值為________．解析：由題意可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝±1，解得eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，即φ＝－eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)．因為－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以k＝0，φ＝－eq\f(π,6).答案：－eq\f(π,6)7．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的對稱軸方程是________．解析：對于函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，令2x－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)．答案：x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)8．某同學(xué)利用描點法畫函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中0<A≤2，0<ω<2，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的圖象，列出的部分數(shù)據(jù)如表：x01234y101－1－2經(jīng)檢查，發(fā)覺表格中恰有一組數(shù)據(jù)計算錯誤，請你依據(jù)上述信息推斷函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式應(yīng)是________．解析：在平面直角坐標系中描出這五個點，如圖所示．依據(jù)函數(shù)圖象的大致走勢，可知點(1，0)不符合題意；又∵0<A≤2，函數(shù)圖象過(4，－2)，∴A＝2.∵函數(shù)圖象過(0，1)，∴2sinφ＝1，又∵－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，由(0，1)，(2，1)關(guān)于直線x＝1對稱，知x＝1時函數(shù)取得最大值2，因此函數(shù)的最小正周期為6.∴ω＝eq\f(π,3).故y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,6))).答案：y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))9．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)圖象上的一個最低點為Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－2))，且f(x)的圖象與x軸的兩個相鄰交點之間的距離為2π.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)將函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,6)個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的eq\f(1,3)，縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上的值域．解：(1)由題意知A＝2，eq\f(T,2)＝2π，故T＝4π＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(1,2)，又函數(shù)f(x)的圖象過點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－2))，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＝－2，∴eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，即φ＝2kπ＋eq\f(5π,4)，k∈Z，又－π<φ<0，∴φ＝－eq\f(3π,4).則f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(3π,4))).(2)將函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(3π,4)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度后，得到函數(shù)y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－\f(3π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(2π,3)))的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的eq\f(1,3)，縱坐標不變，可得到函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－\f(2π,3)))的圖象，∴g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－\f(2π,3))).若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，則eq\f(3,2)x－eq\f(2π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(π,3)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－\f(2π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),2)))，則g(x)的值域為[－2，eq\r(3))．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(5,4).(1)求f(x)的圖象的對稱軸方程和對稱中心；(2)求f(x)的最小值及取得最小值時x的取值集合．解：(1)令2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，則x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)，所以對稱軸方程為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)；令2x＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，則x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)，所以對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，0))(k∈Z)．(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝－1，即2x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，x＝－eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)時，f(x)取得最小值為eq\f(3,4)，此時x的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(π,3)＋kπ，k∈Z)))).[B級綜合運用]11．(多選)對于函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx－\f(π,3)))，下列選項正確的是()A．y＝f(x)的圖象是由f(x)＝cosπx的圖象向右平移eq\f(π,3)個單位長度而得到的B．y＝f(x)的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2)))C．y＝f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，0))對稱D．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(2,3)對稱解析：選CDf(x)＝cosπx的圖象向右平移eq\f(π,3)個單位長度，所得函數(shù)的解析式為f(x)＝cosπeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx－\f(π2,3)))，故選項A錯誤；當x＝1時，f(1)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)，故選項B錯誤；當x＝eq\f(5,6)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(π,3)))＝0，y＝f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，0))對稱，故選項C正確；當x＝－eq\f(2,3)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)－\f(π,3)))＝－1，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(2,3)對稱，故選項D正確．綜上，正確的選項為C、D.12．(多選)已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,6)個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，關(guān)于函數(shù)g(x)，下列說法不正確的是()A．函數(shù)g(x)是奇函數(shù)B．函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(π,4)對稱C．當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))時，函數(shù)g(x)的值域是[－1，2]D．函數(shù)g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是增函數(shù)解析：選ABD依題意得g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x.g(x)是偶函數(shù)，A錯誤；又geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝0≠±2，B錯誤；由0≤x≤eq\f(π,3)得0≤2x≤eq\f(2π,3)，從而－1≤2cos2x≤2，C正確；由eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,2)得eq\f(π,2)≤2x≤π，因此g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，故D錯誤．故選A、B、D.13．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)圖象的對稱中心的坐標可以為________．解析：由題圖可知A＝eq\f(3＋1,2)＝2，B＝eq\f(3－1,2)＝1，T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π，所以ω＝2.故f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.由eq\f(π,12)×2＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，且|φ|<eq\f(π,2)，得φ＝eq\f(π,3)，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1.令2x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)(k∈Z)，當k＝0時，x＝－eq\f(π,6).所以函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心的坐標可以為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，1))(答案不唯一)14．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．(1)若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)，求φ的值；(2)若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)關(guān)于x＝eq\f(π,8)對稱，求出φ的值及f(x)的對稱軸方程及對稱中心．解：(1)因為f(x)為偶函數(shù)，所以φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ＝eq\f(π,2).(2)因為f(x)＝sin(2x＋φ)關(guān)于x＝eq\f(π,8)對稱，所以f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，即sinφ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝cosφ，所以tanφ＝1，φ＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．又φ∈(0，π)，所以φ＝eq\f(π,4)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).由2x＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)(k∈Z)，由2x＋eq\f(π,4)＝kπ，得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,8)(k∈Z)，所以f(x)的對稱軸