2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：立體幾何小題拔高練（解析版）

2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)立體幾何小題拔高練

（解析版）

立體幾何小題拔高練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）

一、單選題

1.（2023?湖南岳陽(yáng)?統(tǒng)考二模）已知直線/，加和平面d若月且￡口￡=/,

則“/_L加”是“/，夕”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023?浙江?永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體48co-4用GA的棱長(zhǎng)為1,P

是線段用口上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P-45。的體積為（）

1111

A.—B.—C.—D.—

8654

3.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知三棱錐尸-4BC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，

PB=PC=25AB=AC=4,PA=BC=2,則球。的表面積為（）

316匕79—158-79

A.JiB.—7iC.兀D.—兀

151555

-----1—■

4.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體力-BCD,AM=QMC,前N為線

段3C的中點(diǎn)，則直線與平面BCD所成角的正切值是（）

A25/14口3V14?4舊「5V14

7777

5.（2023?山東?沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱中，

NACB=],NC=M=1,BC=2,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段42上一動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)。在平面上移動(dòng)，則P,。兩點(diǎn)之間距離的最小值為（）

A.2B.gC.1D.1

323

6.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》卷五《商功》中描述幾何體“陽(yáng)馬”為“底

面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”，現(xiàn)有陽(yáng)馬尸-48CD（如圖），尸工,平面

ABCD,PA=1,AB=2,AD=3,點(diǎn)E,b分別在力民3。上，當(dāng)空間四邊形尸EFD的周長(zhǎng)

A.9兀B.11兀C.12兀D.16兀

7.（2023?湖南長(zhǎng)沙糊南師大附中?？家荒＃┤鐖D，已知正四棱臺(tái)中，

AB=6,4月=4,84=2,點(diǎn)MN分別為/百，的中點(diǎn)，則下列平面中與8月垂

直的平面是（）

A.平面4aoB.平面加WC.平面/GVMD.平面

8.（2023?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形

狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通

過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱(chēng)為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上

下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細(xì)沙全部在上部，其高度為圓錐高度

的;（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.0201?的沙，則該沙漏的一個(gè)沙時(shí)

9.（2023?廣東湛江?統(tǒng)考一模）元宵節(jié)是春節(jié)之后的第一個(gè)重要節(jié)日，元宵節(jié)又稱(chēng)燈節(jié),

很多地區(qū)家家戶戶都掛花燈.下圖是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈，該花燈由上面的正六

棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為40cm和20cm,

正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為10cm和60cm,則該花燈的體積為（）

A.46000^3cm3B.480005/3cm3

C.5000073cm3D.52000百cm，

10.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）在《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三

棱柱，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉席為四個(gè)面都為直角三角形

的三棱錐，如圖，在塹堵NBC-44G中，ACLBC,AA,=2,鱉席耳-4。出的外接球

的體積為?1兀，則陽(yáng)馬5-/CCW體積的最大值為（）

3

248

A.-B.—C.—D.4

333

二、多選題

11.（2023?浙江金華?浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正方體A5CD-4片GA

中，/5=1,點(diǎn)尸在側(cè)面3CG4及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持8口，則下列結(jié)論

正確的是（）

B.點(diǎn)P在線段4c上

c.町J.平面4Go

D.直線/P與側(cè)面BCG4所成角的正弦值的范圍為^-,1

.7

12.（2023?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正方體力BCD-44GA中，點(diǎn)尸滿足

率=2西（0V2V1）,貝!］（）

JT1

A.若4=1,則/尸與8。所成角為7B.若AP工BD,貝!M=5

C.平面3CQD.AC1AP

13.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）折扇在我國(guó)已有三四千年的歷史，“扇”與“善”

諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它以字畫(huà)的形式集中體現(xiàn)了我國(guó)文化的方方面面，是

運(yùn)籌帷幄，決勝千里，大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇

形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3,且/N8C=120。，則該圓

C.體積為四1

D.上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為

81

1:9:24

14.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）正方體48（力-44。14的棱長(zhǎng)為3,E,尸分別是棱4G，

G2上的動(dòng)點(diǎn)，滿足2尸=。聲，貝I］（）

A.3尸與DE■垂直

B.B尸與。E一定是異面直線

C.存在點(diǎn)E,F,使得三棱錐尸-4BE的體積為二

D.當(dāng)E,尸分別是耳G,G2的中點(diǎn)時(shí)，平面/所截正方體所得截面的周長(zhǎng)為3屈+^^

15.（2023?江蘇?二模）已知/-BCD是棱長(zhǎng)均為1的三棱錐，則（）

A.直線48與CD所成的角90°

B.直線3C與平面ZCD所成的角為60。

c.點(diǎn)c到平面力勖的距離為好

3

D.能容納三棱錐/-BCD的最小的球的半徑為如

4

16.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體ABCD-A^D,棱長(zhǎng)為2,P是直線4。

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

B.PA+PC的最小值為2-尬

C.三棱錐片-/CP的體積不變

D.以點(diǎn)5為球心，0為半徑的球面與面的交線長(zhǎng)辿兀

3

17.（2023?湖北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E,F,

G分別為棱NO,AB,8c的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段2尸上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.兩條異面直線2c和2G所成的角為45。

B.存在點(diǎn)尸，使得GG〃平面跳才

C.對(duì)任意點(diǎn)尸，平面尸CG，平面BE尸

D.點(diǎn)可到直線的距離為4

18.（2023?湖北武漢?華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在已知直四棱柱

4BCD-4B￡R中,四邊形/BCD為平行四邊形，E,M,N,尸分別是3C,BB{,AtD,

的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）

A.若5c=1,他=也,則。尸「BCX

B.MN//CD

C.MN〃平面

D.若AB=BC,則平面//CC，平面45D

19.（2023?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2及，E,尸分別

是PC,的中點(diǎn)，M為棱尸3上異于P,B的一動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）

JT

A.異面直線斯、尸。所成角的大小為g

B.直線所與平面力5s所成角的正弦值為"

6

C.A￡〃F周長(zhǎng)的最小值為痛+2血

D.存在點(diǎn)M使得可，平面〃跖

20.（2023?湖南?湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體/BCD-Z'B'C'D'的棱長(zhǎng)

為3,點(diǎn)河是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)尸在棱CC上，且忸C[=l,則

下列結(jié)論正確的有（）

A.沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短路程為2而

B.保持尸M與8。垂直時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為2夜

C.若保持1PMi=屈，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為：兀

99

D.當(dāng)M在。，點(diǎn)時(shí)，三棱錐3'-M4尸的外接球表面積為下兀

21.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考一模）如圖，在正方體MCD-43GA中，點(diǎn)M是棱。2上

A.過(guò)點(diǎn)M有且僅有一條直線與Bg都垂直

B.有且僅有一個(gè)點(diǎn)M到/瓦Eg的距離相等

C.過(guò)點(diǎn)M有且僅有一條直線與NG，8耳都相交

D.有且僅有一個(gè)點(diǎn)M滿足平面腿4G，平面

22.（2023?廣東湛江?統(tǒng)考一模）在棱長(zhǎng)為2的正方體"CD-44G。中，點(diǎn)￡,尸分

別為棱3C與2G的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（）

A./網(wǎng)/平面/EG

B.E尸與8G所成的角為30°

C.平面8/C

D.平面/EG截正方體的截面面積為2面

23.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）在四棱錐S-/&CD中，SD_L平面/BCD,四邊形Z8CL?是

正方形，若SD=4D,貝1］（）

A.ACVSD

B.4c與SB所成角為60°

C.AD與平面SCO所成角為45°

D.8。與平面SZ8所成角的正切值為立

3

24.（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖,在直三棱柱ABC-44G中，AB=BB、=BC=2,

E,F,N分別為/C,CG和2C的中點(diǎn)，。為棱44上的一動(dòng)點(diǎn)，且8尸，44，則

下列說(shuō)法正確的是（）

A.BFLDE

B.三棱錐b-。EN的體積為定值

C.苗瑟=3

D.異面直線4c與4N所成角的余弦值為巫

5

25.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體48co-4用GA，若點(diǎn)"在線段BQ上運(yùn)動(dòng),

B.直線。M與平面BCC4所成角的最大值為g

c.AM1A{D

D.點(diǎn)M到平面?與到平面/CD的距離之和為定值

26.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2,M,N

分別為48,CG的中點(diǎn)，且兒W與正方體的內(nèi)切球。（O為球心）交于E,尸兩點(diǎn)，

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.線段E尸的長(zhǎng)為g

B.過(guò)O,M,N三點(diǎn)的平面截正方體4G所得的截面面積為3百

C.三棱錐。-。所的體積為3

6

7T

D.設(shè)P為球。上任意一點(diǎn)，則力尸與4。所成角的范圍是0,-

三、填空題

27.（2023?浙江?校聯(lián)考三模）將兩個(gè)形狀完全相同的正三棱錐底面重合得到一個(gè)六面

體，若六面體存在外接球，且正三棱錐的體積為1,則六面體外接球的體積為

28.（2023,江蘇南通,二模）已知一扇矩形窗戶與地面垂直，高為1.5m,下邊長(zhǎng)為1m,

且下邊距地面1m.若某人觀察到窗戶在平行光線的照射下，留在地面上的影子恰好為

矩形，其面積為L(zhǎng)5m2,則窗戶與地面影子之間光線所形成的幾何體的體積為n?.

29.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在表面積為64%球面上，正

三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為.

30.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考三模）已知三棱錐尸-/3C的棱長(zhǎng)均為4,先在三棱錐尸-48C

內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球0,然后再放入一個(gè)球使得球。2與球。?及三棱錐尸-"8C的

三個(gè)側(cè)面都相切，則球5的表面積為

立體幾何小題拔高練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）

一、單選題

1.（2023?湖南岳陽(yáng)?統(tǒng)考二模）已知直線/，加和平面d若月且￡口￡=/,

則“/J■加”是“八力”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】由面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的定義結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.

【詳解】當(dāng)機(jī)時(shí)，由且aC6=俏，得”;

當(dāng)/1￡時(shí)，因?yàn)?機(jī)，所以加u〃，所以/_L/M.

即“小加”是“八夕”的充要條件.

故選：C

2.（2023?浙江?永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體48co-44GA的棱長(zhǎng)為1,p

是線段瓦A上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐2-/不。的體積為（）

1111

A.—B.—C.—D.一

8654

【答案】B

【分析】先由線面平行的判定定理證得片2〃面49，從而得到

[BD=—BD=七一4g，再結(jié)合錐體的體積公式即可得解.

【詳解】因?yàn)樵谡襟wABCD-45c夕1中，BBJ/DD,,BBX=DD,,

所以四邊形劭是平行四邊形，故BQJIBD,

又2.江面450,BDu面4BD,所以為D"/面4即，

因?yàn)槭蔷€段4。上的動(dòng)點(diǎn)，所以P到面ABD的距離與2到面A.BD的距離相等，

所以％4加=&3。=%4皿=gx；xlxlxl=：

故選：B.

3.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知三棱錐尸-4BC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，

PB=PC=25AB=AC=4,PA=BC=2,則球。的表面積為（）

31679-158-79

A.------71B.—71C.71D.—71

151555

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，證明尸平面再確定球心。的位置，求出球半徑作答.

【詳解】在三棱錐P-ABC中，如圖，N"+pAi=20=PB-，則R4，NB,同理尸/，/C,

而48ClNC=/,48,/Cu平面ABC,因此尸N_L平面ABC,

在等腰中，AB=AC=4,BC=2,貝U_5_],

CO////11.,——

AB4

sinZABC=dl-cos1NABC=—

A

令“BC的外接圓圓心為a,則。平面NBC,°I=YsinZABC~^15

有。。"/尸N,取P4中點(diǎn)D,連接OD,則有OD_LP4,又。/u平面ABC,即O,A1PA,

從而O///OD,四邊形為平行四邊形，OQ=NO=1,又00403,

因此球。的半徑R2=。/=。/2+GO?=4后）2+12=—

所以球。的表面積S=4兀甯=二7九

故選：A

——?1——?

4.（2。23?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體“-3。,/.二女,點(diǎn)N為線

段BC的中點(diǎn)，則直線MN與平面BCD所成角的正切值是（）

口3V14「4舊「5幅

A,現(xiàn)

7777

【答案】C

【分析】作出圖形，找出直線九W與平面BCD所成角的平面角，在三角形內(nèi)即可求解.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A向底面作垂線，垂足為O,連接AN,ON,OC,MN,

過(guò)點(diǎn)M作MG_LOC于G,連接NG,

2

由題意可知：MGI/AO且MG=—AO,

3

因?yàn)?0_L平面BCD,所以MG_L平面BCD,

則NMNG即為直線與平面BCD所成角的平面角，

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,則NN=6，ON=-xy/3=—,

33

所以AOZAN?-ON?二位,貝I]MG=2ZO=短，

339

在AACVC中，由余弦定理可得：MN-yjNC2+MC2-2NC-MCcos60°=—,

3

22

在RtATWG中，NG=yjMN-MG=AI—--=—,

\9279

4V|

所以tanNMVG=妁=-^=勺好，

GN叵7

~9~

所以直線MN與平面58所成角的正切值是生但，

7

故選：C.

5.（2023?山東?沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱4G中，

2CB=3,/C=/4=l,8c=2,點(diǎn)河是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段4B上一動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)。在平面/MG上移動(dòng)，則P，。兩點(diǎn)之間距離的最小值為（）

A.-B.|C.|D.1

323

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可證：48〃平面NMG，可得P,。兩點(diǎn)之間距離的最小值為d,

利用等體積法求d,即可得結(jié)果.

【詳解】連接4c交/。于點(diǎn)。，連接0W,

?1,O,M分別為4C8C的中點(diǎn)，則OMIIA\B,

且（Wu平面/"G，/出《平面/可。］，

：.4B〃平面/MG，

則點(diǎn)P到平面/"G的距離相等，設(shè)為"，貝?。輕,。兩點(diǎn)之間距離的最小值為d,

即點(diǎn)4到平面/"G的距離為，，

：4C的中點(diǎn)。在上，則點(diǎn)C到平面AMC.的距離為d,

由題意可得為AC=CM=C1M=1,4cl=AM=MC、=4i,

1

由^C-AMCX=Vc「ACM，貝J’xdxLx拒xV^x、xlxLlxl，解得

322323

故尸，。兩點(diǎn)之間距離的最小值為d=@.

3

故選：A.

6.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》卷五《商功》中描述幾何體“陽(yáng)馬”為“底

面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”，現(xiàn)有陽(yáng)馬尸-/BCD（如圖），尸/，平面

ABCD,PA=1,AB=2,AD=3,點(diǎn)E,b分別在力民上，當(dāng)空間四邊形尸成辦的周長(zhǎng)

最小時(shí)，三棱錐尸-4。尸外接球的表面積為（）

A.9兀B.11兀C.12KD.16K

【答案】B

【分析】把/尸，尸3剪開(kāi)，使得AP/3與矩形/5CD在同一個(gè)平面內(nèi).延長(zhǎng)DC到使

得CM=DC,則四點(diǎn)P,E,F,M在同一條直線上時(shí)，PE+EF+FD取得最小值，即空

間四邊形PEFD的周長(zhǎng)取得最小值.可得CF=；PD=2,：.BF=\.：.點(diǎn)、E為AB的中點(diǎn).

AF

設(shè)△“陽(yáng)的外心為?！竿饨訄A的半徑為，，則”訴，利用勾股定理進(jìn)而得出結(jié)

論.

【詳解】如圖所示，把/P,可剪開(kāi)，使得AP/8與矩形/BCD在同一個(gè)平面內(nèi).

延長(zhǎng)。C到〃，使得CM=DC,則四點(diǎn)P,E,F,M在同一條直線上時(shí)，PE+EF+FD

取得最小值，即空間四邊形尸EED的周長(zhǎng)取得最小值.可得B尸。=2,，臺(tái)尸=1..?.點(diǎn)

E為N8的中點(diǎn).

如圖所示，設(shè)△語(yǔ)的外心為?！竿饨訄A的半徑為，，則”許AF二血I—.

設(shè)三棱錐尸-疝力'外接球的半徑為七球心為。，連接。。1,則。。1=3尸4=g,

則R2=2???三棱錐尸-/世外接球的表面積=4兀旌

故選：B.

7.（2023?湖南長(zhǎng)沙?湖南師大附中?？家荒＃┤鐖D，已知正四棱臺(tái)N3CD-4片G。中,

AB=6,44=4,24=2,點(diǎn)分別為44，4G的中點(diǎn)，則下列平面中與2片垂

直的平面是（）

A.平面4cB.平面加WC.平面NCNMD.平面

【答案】C

【分析】延長(zhǎng)四,3片,。弓，">1交于一點(diǎn)尸，取尸8中點(diǎn)。，連接/?C。，根據(jù)三角形

相似及長(zhǎng)度關(guān)系可得為等邊三角形，即可得“0，尸B,CQYPB,由長(zhǎng)度關(guān)系及

平行可證明△。耳工QB、N~AQBC,即可證明M在/。上，N在C0上，

再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.

【詳解】解：延長(zhǎng)河,34，CG，DA交于一點(diǎn)尸，取心中點(diǎn)。，連接工。<0,如圖所

因?yàn)檎睦馀_(tái)/BCD-43c夕1，所以P-/由GQ為正四棱錐，

因?yàn)?8=6,4片=4,BBi=2,且△尸4瓦~△尸48,

所以察=能即2贏，解得股=牝

所以PB=PA=AB=6,即△PAB為等邊三角形，

因?yàn)?。為心中點(diǎn)，所以心，且3=3,同理可得C0,依,

因?yàn)?4=2,所以。與=1,即碧=：,

因?yàn)楸O(jiān)N為4昂中點(diǎn)，所以4=2,

QBXJ_zQB空△/

“又MB[2-AB，NB12-CB'

因?yàn)閆QB\M=ZQBA,ZQB、N=AQBC,

所以AQB\M~^QBA,叢QB\N~AQBC,

所以ZQMB、=ZQAB,ZQNB,=ZQCB,

因?yàn)镹B.//CB,

所以M在/。上，N在C。上，

因?yàn)镃QLPB,所以/M_LPB,CN1PB,

即CN1BB},因?yàn)?Mu平面4WCN,CNu平面ZMCN,

AM^CN^Q,所以A81，平面NMCN.

故選：C

8.（2023?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形

狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通

過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱(chēng)為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上

下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細(xì)沙全部在上部，其高度為圓錐高度

的9（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下O.OZcn?的沙，則該沙漏的一個(gè)沙時(shí)

【答案】C

【分析】由圓錐的體積公式計(jì)算細(xì)沙體積和沙堆體積，根據(jù)細(xì)沙體積不變即可求解.

【詳解】沙漏中的細(xì)沙對(duì)應(yīng)的圓錐底面半徑為gx4=g,高為?，

333

所以細(xì)沙體積為，XTTX(學(xué)］x”■=1°247r(crtr

3⑴3811

1024

所以該沙漏的一個(gè)沙時(shí)為'F萬(wàn)1985秒'

0.02

故選：C

9.（2023?廣東湛江?統(tǒng)考一模）元宵節(jié)是春節(jié)之后的第一個(gè)重要節(jié)日，元宵節(jié)又稱(chēng)燈節(jié),

很多地區(qū)家家戶戶都掛花燈.下圖是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈，該花燈由上面的正六

棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為40cm和20cm,

正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為10cm和60cm,則該花燈的體積為（）

A.46000^3cm3B.480005/3cm3

C.5000073cm3D.52000百cm，

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的幾何體，求出正六棱臺(tái)兩底面積，再利用臺(tái)體、柱體的體積公式計(jì)

算作答.

【詳解】依題意，花燈的體積等于上面的正六棱臺(tái)體積與下面的正六棱柱體積的和，

正六棱臺(tái)的兩個(gè)底面積分別為d=6x中X202=600x/3(cm2),

v=6x—x402=2400^(cm2),

4

所以花燈的體積

,

r=60S1+1xl0x(S1++(S2)=60X600A/3+|X10X(60073+,600君x2400g+240073)

=5000073(cm3).

故選：C

10.(2023?浙江?模擬預(yù)測(cè))在《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三

棱柱，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉腌為四個(gè)面都為直角三角形

的三棱錐，如圖，在塹堵NBC-N4G中，ACVBC,AAX=2,鱉的外接球

【答案】B

【分析】設(shè)/C=x,BC=y，4-4G8的外接球半徑為「，根據(jù)鱉麝4-4。避的外接球的

體積即可求得r,再根據(jù)的外接球的半徑與三棱柱NBC-44G的外接球的半

徑相同可得到x,y的關(guān)系式，再根據(jù)四棱錐的體積公式結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】設(shè)/C=x,BC=y,耳-4GB的外接球半徑為r,

則B「AgB的外接球的體積為如/=迤￡/=0.

33

,.1x2+y2+4=（2r）2=8,.,.x2+y2=4.

又陽(yáng)馬8-/CG4的體積為/TCC/=JxSnACC,A,X5C=gX2X孫Wg（一+y2）=,

4

所以陽(yáng)馬8-/eq4體積的最大值為§.

故選：B.

二、多選題

11.（2023?浙江金華?浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正方體A5CD-4片GA

中，/5=1,點(diǎn)尸在側(cè)面3CG片及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持8口，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.Pp-A^D=§

B.點(diǎn)P在線段4c上

c.ADJ平面4Go

D.直線/P與側(cè)面BCG4所成角的正弦值的范圍為學(xué)』

【答案】BC

【分析】對(duì)A,由面面平行說(shuō)明"4D-CD；

對(duì)B,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由向量法說(shuō)明與，C,P三點(diǎn)共

線；

對(duì)C,由向量法證南，西，西，西，再由線線垂直證8〃，平面

對(duì)D,由向量法求線面角，進(jìn)而討論范圍.

【詳解】對(duì)于A,點(diǎn)尸在平面BCC\B、內(nèi)，平面BCCE//平面44Q,所以點(diǎn)尸到平面AAXD

的距離即為點(diǎn)C到平面44。的距離，即正方體的棱長(zhǎng)，

所以七一.0=；1443-CO=；x；xlxlxl=1,A錯(cuò)誤；

3326

對(duì)于B,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

則/(1,0,0),尸(x,l,z),5(1,1,0),^(0,0,1),g(1,1,1),C(0,l,0),且OVxWl,OVzVl,

所以后](x-西二(f-U),^C=(-l,0,-l).

因?yàn)?P_L8D],所以/PBD]=l-x-l+z=0,所以X=z,即尸,所以CP=(x,0,x),

所以而=-x而，即4，C,尸三點(diǎn)共線，故點(diǎn)P在線段4c上，B正確；

對(duì)于c,4(1,0,1),G(0,1,1),甌=(1,0,1),%=(0,1,1),西=(一1,一1,1),

由函?函=0,西—西=0=麗_1西,西_1西，

因?yàn)椤?CZ）G=。，DA-0Gu平面4G。，所以BD]_L平面MG。，c正確;

對(duì)于D,萬(wàn)=（x-l,l,尤），04x41,平面BCG片的一個(gè)法向量為麗=（0,1,0）.

設(shè)后與平面8CCe的夾角為。，。為銳角，

.n\m-AP\111

2

其正弦值為一同網(wǎng)一卮產(chǎn)41Jrn+3-

由OVxVl,得YlvsinSV近，D錯(cuò)誤.

23

故選：BC.

12.(2023?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在正方體力BCD-44中，點(diǎn)尸滿足

率=2麗(0V2V1),貝I]()

7T

A.若4=1,則/尸與8。所成角為二B.若AP工BD,貝!|彳=—

42

C.4P〃平面8CQD.AtC1AP

【答案】BCD

【分析】NQ與3。所成角為與3a所成角，為60。,A錯(cuò)誤，建系得到

AP-DB=-A+l-A=O>B正確，故面/口片〃面G?。，C正確，4C-AP=0,D正確,

得到答案.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：%=1時(shí)P與2重合，42與8。所成角為與8a所成角，/BQI

為等邊三角形，則/尸與8。所成角為60。，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令40=1,率=2瓦耳，P(l-2,1-A,l),

ZP=(-A,1-2,1),DS=(1,1,0),2P-Z)5=-A+1-A=O-2=g,正確；

對(duì)選項(xiàng)C：D\B"BD,A4a平面BOu平面ADG，故。4〃平面8￡>G，

同理可得gH平面CXBD,AD{cBR=j,故面ADR"面CXBD,/Pu平面ADXBX,

/P〃平面C/Z),正確;

對(duì)選項(xiàng)D：4C=(-1,1,-1),4C-Zp=A+l-/t-l-0,4C±AP,正確.

故選：BCD

13.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）折扇在我國(guó)已有三四千年的歷史，“扇”與“善”

諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它以字畫(huà)的形式集中體現(xiàn)了我國(guó)文化的方方面面，是

運(yùn)籌帷幄，決勝千里，大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇

形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3,且“BC=120。，則該圓

臺(tái)（）

圖1圖2

高為迪

A.B.表面積為34等71

3

C.體積為至1

7tD.上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為

81

1:9:24

【答案】BCD

【分析】求得圓臺(tái)的上下底面半徑，根據(jù)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可求得圓臺(tái)母線長(zhǎng)和高，判斷

A；根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積以及體積公式求得表面積和體積，判斷B,C；進(jìn)而求得上底面

積、下底面積和側(cè)面積之比，判斷D.

【詳解】對(duì)于A,設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為廠，下底面半徑為R,則

2兀/=--27T-1,2TIR=--271-3,

33

解得/-/，尺力,所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為3-1=2,高為〃=F_（T=警,選項(xiàng)A錯(cuò)

誤；

11O

對(duì)于B,圓臺(tái)的上底面積為,兀，下底面積為兀，側(cè)面積為兀x（§+l）x2=］兀，

所以圓臺(tái)的表面積為S=*兀+兀+：兀=等兀，選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,圓臺(tái)的體積為匕=,兀.[dy+\i+P）.逑=2叵，選項(xiàng)C正確；

333381

1Q

對(duì)于D,圓臺(tái)的上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為§兀：兀:寫(xiě)兀=1:9:24,選項(xiàng)D正確，

故選：BCD.

14.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）正方體的棱長(zhǎng)為3,E,尸分別是棱4G，

G2上的動(dòng)點(diǎn)，滿足。/=GE,貝。（）

A.B尸與DE?垂直

B.8尸與?！暌欢ㄊ钱惷嬷本€

C.存在點(diǎn)E,F,使得三棱錐尸-48E的體積為二

4

D.當(dāng)E,尸分別是耳G,G2的中點(diǎn)時(shí)，平面力.截正方體所得截面的周長(zhǎng)為g血

【答案】ACD

【分析】設(shè)GE=A尸=ae[0,3],利用坐標(biāo)法可判斷A,利用特值法可判斷B,根據(jù)體積

公式表示出三棱錐尸-43E的體積可判斷C,作出截面結(jié)合條件可得周長(zhǎng)判斷D.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。田=2尸=“?0,3],

則。（0,0,0）,8（3,3,0）,￡（a,3,3）,尸（0,a,3）,

A：由題可得而=（-3,0-3,3）,瓦=（見(jiàn)3,3）,所以麗?瓦=—3a+3（a—3）+3x3=0,

所以旃_L方后，即3尸_LDE，故A正確；

B：當(dāng)E,尸為中點(diǎn)時(shí)，DB=（3,3,O）,FE=（J,^,ojDB,所以E尸//BD,B,D,F,

E四點(diǎn)共面，此時(shí)8尸與DE不是異面直線，故B錯(cuò)誤；

C：由GE=*=ae[0,3],可得知即=9音-由瀘-咚?=+9）,

則%W=嚷的=；x3x；（"-3a+9）=；（a-j]+已?,由于&，故C正

jzZ）o|_oZJ-L°

確；

D：直線E尸與4綜42分別交于G,〃，連接/G,/〃分別交8月，于點(diǎn)M,N,

則五邊形ANFEM為平面AEF截正方體所得的截面，

因?yàn)镋,尸分別是4G，CQ］的中點(diǎn)，

7T13

所以易得NQEF=NHFR=',故可得=用后=，尸=5/8=§,

因?yàn)樗云c絲=型=!，

BMBA2

可得用=同理可得2N=gND=l,所以五邊形4VFW的周長(zhǎng)為

219+4+$+［）+/1+：=,故D正確.

故選：ACD.

15.（2023?江蘇?二模）已知/-BCD是棱長(zhǎng)均為1的三棱錐，則（）

A.直線48與CD所成的角90°

B.直線3C與平面/CD所成的角為60。

C.點(diǎn)C到平面N5Q的距離為逅

3

D.能容納三棱錐/-BCD的最小的球的半徑為如

4

【答案】ACD

【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征、線面垂直判定及性質(zhì)、線面角定義逐一計(jì)算或判斷

各項(xiàng)正誤即可.

【詳解】A：若E為C。中點(diǎn)，連接由題設(shè)知：各側(cè)面均為等邊三角形，

DEC

所以_LC￡?,BE_LC￡>,AEIBE=E,4E,BEu面4BE,則0）_1_面/班，

又48u面/BE,故48_LCZ）,正確；

B：若萬(wàn)為面/CD中心，連接3尸，則5尸，面/CD,CFu面/CD,

所以直線BC與平面NCD所成的角為4CF,且AFLCF,而c尸=工1、1=",

323

故cos/5c尸=”=",顯然/3CF不為60°,錯(cuò)誤；

BC3

C：由B分析8尸=J3。2-CO?=",即該正棱錐的體高為Y6,故C到平面N9的距

33

離為漁，正確；

3

D：顯然正棱錐的外接球半徑最小，令其外接球半徑為R,貝1]上=（，一尺>+（g）2,

所以夫=巫，正確.

4

故選：ACD

16.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體9CD-44GA棱長(zhǎng)為2,尸是直線4。

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

4

A

A.8尸的最小值為血

B.PA+PC的最小值為2,2-尬

C.三棱錐瓦-/CP的體積不變

D.以點(diǎn)5為球心，0為半徑的球面與面48。的交線長(zhǎng)辿兀

3

【答案】ACD

【分析】根據(jù)BP的最小值為等邊三角形的高，可求得A正確；將△/同。與矩

形44CZ）沿4。翻折到一個(gè)平面內(nèi)，可知所求最小值為/C,利用余弦定理可求得B

錯(cuò)誤；利用體積橋腺TW=匕叫w可求得三棱錐用-/CP的體積為定值，知C正確；利

用體積橋可求得點(diǎn)B到平面的距離，根據(jù)交線為圓可求得交線長(zhǎng)，知D正確.

【詳解】對(duì)于A,在AB/Q中，AxB=BD=AxD=2y[2,即AB/Q是邊長(zhǎng)為2啦的等邊

三角形,

B

.?.2P的最小值為的高，，瓦益=次=1=6，A正確；

對(duì)于B,將△44。與矩形4片。沿4。翻折到一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示,

則尸/+PC的最小值為/C；

TT7T

又AD=CD=2,ZADA=-,ZA.DC=~,

42

.?.在A/CQ中，由余弦定理得：/。2=4+4一8cos型=8+4行，

4

AC=272+72-即(P/+PC)1nhi=212+0，B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,?.,同片，平面,/Au平面；

v四邊形為正方形，，

又44門(mén)4。=4，/百,4。u平面44。。，.平面4與co；

：?七.ACP=VA-B[CP=[S△Bgp,g4D1=；S口AB\CD,g4D1=：x2義26義亞=:,

J乙Vz乙VzJ

即三棱錐用-/CP的體積不變，C正確;

對(duì)于D,設(shè)點(diǎn)3到平面的距離為d,

*—B-ABiC=VB「ABC,~S"B]C'~^^ABC-BB{,即工x2亞x23='x2x2x2,解

33222

彳日“26

pf:d_---,

3

???以點(diǎn)5為球心，V2為半徑的球面與平面48。的交線是以，2-屋=Y6為半徑的圓,