河南省鶴壁市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級下冊7月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

鶴壁市高中2023—2024學(xué)年高一（下）期末考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效;

3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知”>〃>0,下列不等式一定成立的是（）

mm+211

A.——<-------B.m+—>—\-n

nn+2nm

112m+nm

C.m——>n-----D.>—

nmm+2nn

【答案】B

【解析】

【分析】利用作差法即可判斷A,利用不等式的性質(zhì)即可判斷B,舉出反例即可判斷CD.

mm+2m（n+2）—n（m+2）

【詳解】對于A,-------------

nn+2〃（幾+2）

因為m>幾>0,所以加一〃

mm+22（m—zi）

所以--->0,

n"+2〃（幾+2）

mm+2,,l

所以一>-----,故A錯快；

nn+2

對于B,因為相>〃>0,所以工>工>0,

nm

所以加+工>^-+〃，故B正確；

nm

對于C,當(dāng)根=0.2,〃=0.1時，TH—=—9.8<—4.9=〃----，故C錯誤;

nm

vyiyi5vn

對于D,當(dāng)機(jī)=2,77=1時，三±=e<2=竺，故D錯誤.

m+2n4n

故選：B.

2.?a=log310,b=2°3,c=0.8*,則（）

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷

【詳解】C=0.83<0.8°=1.

2O<2O.3<2I>即1<。<2

a=log310>log39=2

所以a>b>c

故選：c

3.已知為是函數(shù)/（x）=e'+x—2的零點，則（）

A.x0>1B.ln（2-x0）=x0

-x2-

C.x0-e°>0D.e^-e<0

【答案】B

【解析】

【分析】對A：根據(jù)零點存在定理，即可判斷零點范圍；對B：1。=2-%,兩邊取對數(shù)，即可判斷；對

C：xoe^=x0（2-x0）,結(jié)合。的范圍，即可得到與1。<1,從而進(jìn)行判斷；對D：根據(jù)毛的范圍，再結(jié)

合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，即可判斷.

【詳解】y=e，,y=x-2均為單調(diào)增函數(shù)，故/（%）為單調(diào)增函數(shù)；

對A：因/（0）=-l,/（l）=e-l>0,故尤故A錯誤；

對B：因為e項+%-2=0,故e~=2-/〉0,兩邊取對數(shù)可得％=ln（2—Xo）,故B正確；

對C：e*=2—Xo，故工浜~uXog-Xoln-Go—iy+lvl,則/<e"。，則-e』<0,故C錯

誤；

2-Ab

對D：因為九2-x0G（1,2）,故e2fw（e,e，，則e2f>>e，e-e>0，故D錯誤.

故選:B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題A選項是所有選項中最重要的一個，需要根據(jù)零點存在定理，取求解飛的范

圍；對其它選項的處理關(guān)鍵是要靈活應(yīng)用所學(xué)知識.

4.有甲、乙兩個袋子，甲袋子中有3個白球，2個黑球；乙袋子中有4個白球，4個黑球.現(xiàn)從甲袋子中

任取2個球放入乙袋子，然后再從乙袋子中任取一個球，則此球為白球的概率為（）

2133

A.—B.—C.-D.一

52525

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)獨立事件與古典概型計算分從甲袋子取出2個白球放入乙袋子、從甲袋子取出2個黑球放

入乙袋子和從甲袋子取出1個白球和1個黑球放入乙袋子三種情況討論，從而可得出答案.

【詳解】解：若從甲袋子取出2個白球放入乙袋子，然后再從乙袋子中任取一個球，則此球為白球的概

-C；C：9

率為----=——.

羊刀C；C；o50,

若從甲袋子取出2個黑球放入乙袋子，然后再從乙袋子中任取一個球，則此球為白球的概率為

C

若從甲袋子取出1個白球和1個黑球放入乙袋子，然后再從乙袋子中任取一個球，則此球為白球的概率

為以c；。10

，從甲袋子中任取2個球放入乙袋子，然后再從乙袋子中任取一個球，則此球為白球的概率為

91313

一+一+一=

50251025

故選：B.

5.如圖所示；測量隊員在山腳A測得山頂P的仰角為a,沿著傾斜角為月的斜坡向上走200m到達(dá)3

處，在8處測得山頂P的仰角為九若。=45°,，=34。，7=75。，（參考數(shù)據(jù)：sin34°?0.56,

sin41°?0.66,cos34°?0.83,cos41°?0.75,0Hl41，73?1,73），則山的高度約為（）

A.181.13B.179.88C.186.12D.190.21

【答案】C

【解析】

【分析】在qABP中，利用正弦定理求AP,進(jìn)而在RtZXPAQ中求山的高度.

【詳解】在中，貝U

ZABP=180o-r+AZBR4=180o-(cr-/7)-ZABP=180o-(a-/7)-(180°-r+^)=/-cr,

因為.則…

sinZABPsinZAPBsinZAPBsin(r—a)

在RtZkPAQ中，貝i]

72

ABsin(/-^)sincr200xsin41°xsin45°200x0.66xy

PQ=APsma=---------J------J------=-----------------------------?------------------—?186.12.

sin(7—a)sin30°J_

2

故選：C.

2s

6.在銳角中，角A,5c的對邊分別為a力,G，ABC的面積為S,若sin（A+C）=或彳，則

3nA+再建的取值范圍為（）

2也10疔

丁丁J

【答案】C

【解析】

【分析】由面積公式與正余弦定理化簡后得出A3關(guān)系后求解

【詳解】由題意.,八.D2s2?5acsin3,而sin6>0,

sinA+C=sinB=———-二-J———

'）b2-a2b2-a2

所以62一々2=QC，由余弦定理得Z?2=/+02-2QCCOSJB，

故c=2dcos5+a,

又由正弦定理得sinC=2sinAcosB+sinA=sinAcosB+cosAsinB,

整理得sin（B-A）=sinA,

故6—A=A或8—A=兀―A（舍去），得JB=2A,

因為_A5c是銳角三角形，

0<2A<I

兀

0<7T-3A<-

2

解得烏＜A〈工，故由

<tanA<1，

4

tanAH-------；-------——tanAH---------e

3tan(B-A)3tanA

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是適當(dāng)結(jié)合正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換由此即可順利得解.

7.如圖，在中，已知AB=2,AC=5,ZBAC=60°fBC、AC邊上的兩條中線A",BN

相交于點尸，則/MW的余弦值為（）

4791254回

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，?。鸄B,AC｝為基底，利用向量數(shù)量積求出|AM|,|AN|,AM，AN,再利用向量

夾角公式求解作答.

【詳解】在_A5C中，令A(yù)2=a，AC=b>貝i」(a,0〉=60,a-b=\a\\b\cos(a,b)=2x5x^=5,

因為BC、AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點P,則聞1/=,4+工人，BN=-b-a,

222

于是|AM\=-^a+K+2a-b=-V22+52+2x5=迤，

222

|5A^|=-yjb2+4a-4a-b=->/52+4x22-4x5=叵,

222

?1.??1--2>21oo

AM-BN=-(a+by(b-2a)=-(-a-b-2a+b)=-(-5-2x22+52)=3,

AM-BN34V91

cosZMPN=cos（AM,BN）=叱=「「=

所以|AM||8N|屈收91■

X

22

故選：A

8.已知復(fù)數(shù)z滿足|2—l|+|z+l|=4,貝U|2|的取值范圍為（）

A.[0,1]B.[2,3]c.[1,6]D.[百,2]

【答案】D

【解析】

【分析】由題意確定復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)以及|z|的幾何意義，即可求得答案.

【詳解】復(fù)數(shù)Z滿足|z—l|+|z+l|=4,

則復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點的軌跡為以（-1,0）。,。）為焦點，長軸長2a=4的橢圓，

______22

則橢圓短半軸長為b=722-12=百，橢圓方程為?+4=1，

IZ|表示橢圓上的點到原點的距離，

當(dāng)點位于橢圓長軸上的頂點時，Iz|取值大值2；

當(dāng)點位于橢圓短軸上的頂點時，Iz|取值小值6；

故|z|的取值范圍為[6,2],

故選：D

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分;

若只有3個正確選項，每選對1個得2分.

9.已知/（x）=log/（a>0,且awl）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)a>l時，/（尤）在（0,+。）上是增函數(shù)

B.不等式/（“<0的解集是（0,1）

C.“X）的圖象過定點（1,0）

D.當(dāng)a=2時，/（%）的圖象與g（x）=0.01x的圖象有且只有一個公共點

【答案】AC

【解析】

【分析】對A、B、C,結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可得，對D,將函數(shù)圖象交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的

零點個數(shù)，借助零點的存在性定理即可判斷.

【詳解】對A：當(dāng)時，〃尤)在(0,+“)上是增函數(shù)，故A正確；

對B：當(dāng)時，logflx<0,則xe(0,l),當(dāng)0<“<1時，］e(l,+oo),故B錯誤；

對C：/(l)=logal=0,故C正確；

對D：當(dāng)a=2時，/(x)=log2x,4-h^x)=log2x-O.Olx,

有妝1)=log2l-0.01=-0.01<0,/z(2)=log22-0.01x2=1-0.02=0.98>0,

10lo10

/?(2)=log22-O.Olx2=10-10.24=-0.24<0,

故從可在(1,2)及(2,210)上都至少有一根，

即“龍)的圖象與g(%)=0.01%的圖象在(1,2)及(2,210)上都至少有一個交點，

故D錯誤.

故選：AC

10.如圖，在正方體ABC?！?4Goi中，E為棱A3上的動點，D尸1平面2ECR為垂足，下列結(jié)

A.FD、=FC

B.三棱錐DE。的體積為定值

C.ED,±\D

D.BG與AC所成的角為45。

【答案】ABC

【解析】

【分析】對于A,可證得CD1，平面DOF，進(jìn)而有OF，,所以尸在CD1的中垂線上，可得FD】=FC,

即可判斷；對于B,由匕棱錐C-O石R=匕棱艇-CQA，而三棱錐E-CD。的體積為定值，所以三棱錐

C—DE。的體積為定值，即可判斷；對于C,可證得平面AEA，則即可判斷；對

于D,在正方體中，由RAC是正三角形，可得2G與AC所成的角為60。，即可判斷.

【詳解】

對于A,正方體ABC。—中，連接DC一交CR于點。，連接則。OLCR,

又小上平面［EC,CRu平面'EC,所以CD,±DF,

因為DF，DO=D,DF、OOu平面。

所以平面。，

又OFu平面。0/，所以O(shè)BLC2，

因為。為C2的中點，所以P在CR的中垂線上，

所以FDi=EC,故A正確；

對于B,在正方體中，AB//平面CZ)A，E為棱AB上的動點，

所以點E到平面CDD｛的距離即為AB到平面CDD1的距離，

即為正方體的棱長，為定值，的面積為定值，

所以三棱錐E-CDD［的體積為定值，又匕棱錐C-DEQ=^HSte-CDD,，

所以三棱錐C-DED1的體積為定值，故B正確；

對于C,連接ADPAjD,則AD；1\D,

又在正方體中，人石,平面的已。，ADu平面的。。，

所以ADJ_AE,又AEcAD］=A,AE.A0U平面AEQ,

所以平面AE。，又EQu平面AED］,

所以EQ，4。，故C正確；

對于D,連接AC、BQ,

在正方體中，43//。］。1且48=。］，，

所以四邊形ABC1。是平行四邊形，

所以3C1//AQ,所以ZD.AC即為BG與AC所成的角，

又，RAC是正三角形，所以8G與AC所成的角為60。，故D錯誤.

故選：ABC.

11.已知函數(shù)/(x)=sinx—石cosx,貝！J()

A.Ax)的最大值為2

B.函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于點［1,。］對稱

C.直線》=鼻是函數(shù)y=/(元)圖象的一條對稱軸

D.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增

【答案】AB

【解析】

【分析】先用輔助角公式將函數(shù)/(x)=sinx-Gcosx變形為/(x)=2sin(x-］),結(jié)合正弦型函數(shù)的

性質(zhì)逐項判斷正確與否即可.

【詳解】函數(shù)/(九)=sin%一百cosx=2(sinxcos三-cosxsin；)=2sin(x-j),

JT

對于選項A,y(%)=2sin(x--)<2,A正確；

對于選項B和C,將x=g代入函數(shù)/'(x)=2sin(x—火)的解析式，得/(g)=0,函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)

333

于點三,。對稱，B正確，c錯誤；

/兀兀）/兀）

對于選項D,函數(shù)＞=/（元）在區(qū)間一耳,-q上單調(diào)遞減，在區(qū)間一5,0上單調(diào)遞增，D不正確；

故選：AB.

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)/（x）=4sinx（sinx-百cosx）+l相鄰的兩個零點分別為%，無2（石＜%），貝U以雙石-々）=

3

【答案】±二

4

【解析】

【分析】利用三角恒等變換得到/（x）=3—4sin[2x+E],求出解得玉+々=g+2E,AeZ或

4兀

玉+X2=y-+2E/￡Z，分兩種情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式求出答案?

[詳解】/（%）=4sinx（sinx-近cosx）+l=4sin2x-4近sinxcosx+1

=2-2cos2x_2V3sin2x+l=3-4sinf2%+巳），

3

令/（力=0得sin12%+巳

4

-71_71_71-71

2%,H---F2XH-2xHF2xHQ

故IZ一^_9」」+2E,0Z,或=~?」=^+2E,keZ'

2222

兀4兀

解得玉+%2=1+2左兀,左￡2或玉+工2=工+2左兀,左￡Z,

713

又不＜x,其中sinsin+6

24

,、?-71.7?71

cosC^q-x2)=cos-2X2H---1-2kn-cos—

兀

或cos(%-％2)=cos—2%2H---\-2kn=-cos-2x+—=-cos

22

綜上，COS（玉一冗2）=土/.

3

故答案：±—

4

13.在"C中，內(nèi)角ASC的對邊分別為。，"c,A為銳角，tanBcosC=l—sin。,.A8C的面積為2,

則，ABC的周長的最小值為.

【答案】4+20

【解析】

TT

【分析】由題設(shè)可得sin(6+C)=cosB,根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)可知一A5c是/。二一的直角三角

2

形，即有其周長為〃+而萬，利用基本不等式即可求出最小值，注意等號成立的條件.

【詳解】由tan3cosc=1—sinC知：sinBcosC=cosB—cosBsinC,而5+C=7i—A,

sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA=cosB,

711--------

「ABC是/。=萬的直角三角形，故5例0=5"=2，即"=4,而c=壽，

；?一ASC的周長a+〃+J。？+62=J"+>2+2aZ?++6,244ab+J2ab=4+20,當(dāng)且僅當(dāng)

a=/?=2等號成立.

故答案為：4+272

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用三角恒等變換及三角形內(nèi)角的性質(zhì)判斷三角形的形狀，再由三角形周長公

式、基本不等式求周長的最小值即可.

14.己知四棱錐P-A5CD的側(cè)棱長都相等，且底面是邊長為3行的正方形，它的五個頂點都在直徑為

10的球面上，則四棱錐P-ABCD的體積為.

【答案】6或54

【解析】

【分析】分球心位于棱錐內(nèi)部和外部進(jìn)行討論，根據(jù)球的半徑求得棱錐的高，即可得到棱錐的體積.

【詳解】由題意可知，棱錐底面正方形的對角線長為：3后x萬=6，

棱錐的底面積為：5=。收『=18,據(jù)此分類討論：

當(dāng)球心位于棱錐內(nèi)部時，棱錐的高為：H+也―=9,棱錐的體積：V=1s/z=54；

當(dāng)球心位于棱錐外部時，棱錐的高為：h=57$-手=1，棱錐的體積：V=^Sh=6-,

綜上可得：四棱錐P-ABCD的體積為6或54.

故答案為：6或54

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.對于函數(shù)y=/nd+奴2+(〃-1)工+(。一1)(。w0),若存在x()eR,使得

32

mx1+axg+(Z?-l)x0+(￡?-1)=不成立，則稱％為函數(shù)y=mx+ax+(/?-l)x+(Z?-l)(a豐0)的“冏

點”.

(1)當(dāng)m=2,a——3,6=2時，求函數(shù)_y=+奴？+(Z?-l)x+3-l)(aw0)的"冏點”；

(2)當(dāng)"z=0時，對任意實數(shù)6,函數(shù)y=加1+奴2+(。一1)%+3一1)(4/0)恒有“冏點”，求。的取值

范圍.

【答案】(1)“冏點''%=1,x2=-1

(2)-l<a<0

【解析】

【分析】(1)利用“冏點”定義布列方程，即可得到結(jié)果；

(2)函數(shù)y=如？+以2+(6-l)x+(Z?-l)(aw0)恒有"冏點"，等價于函數(shù)

y=ax2+(b+l)x+(b-l)(a豐0)恒有“冏點”，結(jié)合判別式即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

當(dāng)機(jī)=2,a=—3,6=2時，y-2x3-3x2+x+L

由題意知：2五一3x?+x+l=x，二(2x+l)(x—l)2=0,

解得X]=1,x2=——,

所以當(dāng)m=2,a=-3,b=2時，函數(shù)y=7m3+以2+(力一1)*+3-1)(。/0)的“冏點”藥口，

1

%=一七

【小問2詳解】

由題知：ax2+(b-X)x+(b-X)=x｛a^G),所以ax'+(Z?-2)x+(Z?-l)=0,

由于函數(shù)y=ax?+3+1)%+3一1)(。/0)恒有“冏點”，

所以A=(b—2『—4a(b—1)20,即/—4(a+l)6+4(a+l)20,

又因為6是任意實數(shù)，所以A=a(a+l)W0,

解得一又awO.故一l<a<0.

16.某電子產(chǎn)品制造企業(yè)為了提升生產(chǎn)質(zhì)量，對現(xiàn)有的一條電子產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級改造，為了分析

改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，檢測產(chǎn)品的某項質(zhì)

量指標(biāo)值，根據(jù)檢測數(shù)據(jù)得到下表(單位：件).

質(zhì)是指標(biāo)值[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95)

產(chǎn)品6010016030020010080

(1)估計這組樣本的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)元和方差同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表)；

(2)設(shè)國表示不大于x的最大整數(shù)，｛尤｝表示不小于x的最小整數(shù)，s精確到個位，

(元一五+s-fx—2s\一無+2s-

q=5彳飛二卜4=5-三一,a2=5J--—卜力=5,一--.根據(jù)檢驗標(biāo)準(zhǔn)，技術(shù)升級改造后，若

質(zhì)量指標(biāo)值有65%落在［q，4］內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初步穩(wěn)定；若有95%落在［4，4］

內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定，可認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.請問：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計，是

否可以判定生產(chǎn)線的技術(shù)改造是成功的？

【答案】(1)61；241

(2)可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.

【解析】

【分析】(1)利用表格中的數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)和方差的公式，準(zhǔn)確計算，即可求解；

(2)根據(jù)題設(shè)中的公式，分別求得區(qū)間［4可和&也］,并判斷數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的概率，結(jié)合給定的概

率比較，得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：由檢測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖表，可得：

平均數(shù)嚏=30*0.06+40*0.1+50x0.16+60x0.3+70x0.2+80x0.1+90><0.08=61，

方差為s2=(30-61)2x0.06+(40-61)2x0.1+(50-61)2x0.16+(60-61)2x0.3

+(70-61)2x0.2+(80-61)2X0.1+(90-61)2x0.08=241

【小問2詳解】

解：由⑴知，$2=241，因為(15.5)2=240.25,162=256,所以15.5<s<16,

又因為s精確到個位數(shù)，所以SB16,

,,f61-161_F61+161__

貝!JI=$j?=45,=5?-二75,

該抽樣數(shù)據(jù)落在［45,75］內(nèi)的概率約為0.16+0.3+0.2=66%>65%,

c［61-2x16］々八7,「61+2x16］nn

又由。2=5j-----------?=30,b2=5-------------=90,,

所以該抽樣數(shù)據(jù)落在［30,90］內(nèi)的概率約為1—(0.03+0.04)=93%<95%,

所以，可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.

17.如圖所示，ABC的頂點是我國在南海的三個戰(zhàn)略島嶼，各島嶼之間建有資源補給站，在圖中的

2

D、E、尸點上.島嶼A到補給站。的距離為島嶼A到8的島嶼A和島嶼。到補給站E的距離相

等，補給站產(chǎn)在靠近島嶼C的8C的三等分點上.設(shè)CB=a,CA=6.

C

(1)用a,B表示市,CD；

(2)若三個島嶼圍成的，LBC的面積為10(0+1)平方公里，且滿足生上4+史上0=1,求島嶼A

sinAsinB

和島嶼C之間距離的最小值.

ii?3

【答案】（1）EF=-a——b,CD=-a+-b

3255

(2)2而公里

【解析】

--2―—.1一

【分析】(1)根據(jù)題意，得到AD=—AB,且二—C5,結(jié)合向量的運算法則，即可求解；

53

(2)由皿4+至2型=1,化簡得到3sinC=sinB(sinA—cosA),結(jié)合正弦定理得到

sinAsiaB

120(昌1)

3c=b(sinA-cosA),利用三角形的面積公式，求得“一】二J2A進(jìn)而求得6的最小值，得

到答案.

【小問1詳解】

2-2

解：由島嶼A到補給站。的距離為島嶼A到6的彳，可得")=不■M,

一1一

點石為AC中點，且b=—C3,

3

---_

又由CB=a,CA=6,所以EF=EC+CF=—CA-\—CB=—a—b,

2332

CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-(CB-CA\=-CB+-CA=-a+-b.

55、75555

【小問2詳解】

4cosA3cos5

解：由-------1---------=1,可得4cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB,

sinAsiaB

即3cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB-cosAsinB,

可得3sin(A+8)=sinB(sinA-cosA),gp3sinC=sinB(sinA-cosA),

設(shè)AB=c,AC=Z?,由正弦定理知3c=Z?(sinA—cosA)

/sinA(sinA-cosA)_b2(sin2A-sinAcosA)

而SARr=—bcsinA=

ADC2

66

12

=^-(l-cos2A-sin2A)=10(V2+l),

,120(72+1)120(V2+l)

所以1—sin2A-cos2A

1—0sin2A+：'

因為3c=/?(sinA—cosA)>0,所以:<A<TI,得手'(ZA+Wv*,

所以當(dāng)2A+(=,，即A=*時，〃取得最小值120,即6的最小值為2同,

所以島嶼A和島嶼C之間距離的最小值為2而公里.

18.如圖，在棱長為2的正方體ABC?！狝4GR中，M為棱8片的中點，P為棱4。的中點，平面

ZM1MN與平面CS/Q將該正方體截成三個多面體，其中N,Q分別在棱上.

(1)求證：平面MNDA〃平面CgPQ；

(2)求異面直線CQ與肱V所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵*

【解析】

【分析】(1)由面面平行的性質(zhì)得到線線平行，進(jìn)而得到MN〃與C,進(jìn)而得到用Q〃M),￡＞河〃平面

CB.PQ,同理得到〃平面PQC4,證明出面面平行；

(2)由(1)可得/耳。。為異面直線CQ與所成角或其補角，求出三邊長，利用余弦定理求出異面

直線的夾角余弦值.

【小問1詳解】

由題意得平面BCC.BJ/平面ADD^,

又平面MNDAc平面BCGg=MN,

平面MND&c平面ADD^=4。，所以ADHMN,

同理「?！ㄓ肅,

因為A4〃CD且耳耳=CD,

所以四邊形A4CD為平行四邊形，則4。//印丁

所以MNHB[C,

又4Cu平面C4PQ,且MNu平面C男尸。，

所以MN〃平面PQCB],

又M為8瓦中點，所以N為中點