《數(shù)據(jù)、模型與決策》 課件 第8章 層次分析法

第8章模擬與多準(zhǔn)則決策什么是決策模擬模擬分析原理系統(tǒng)：F()x1xn隨機輸入n隨機輸入1Y=F(x1,…,xn)輸出Lorex制約公司灌裝線毛利灌裝偏差Lorex制約公司--灌裝模擬試驗隨機數(shù)產(chǎn)生方法--基本原理x0.20.40.61F(x)

U=F(

)若隨機變量

服從F(x)，則U=F()服從(0，1)均勻分布,即

=F-1(U)隨機數(shù)產(chǎn)生方法--(a,b)均勻分布f(x)xabU=F(

)x1F(x)

ab隨機數(shù)產(chǎn)生方法--指數(shù)分布隨機數(shù)產(chǎn)生方法--三角分布標(biāo)準(zhǔn)化f(x)xabc標(biāo)準(zhǔn)化：0b’1標(biāo)準(zhǔn)化隨機數(shù)產(chǎn)生方法--隨機變量計算abcx0.20.81F(x)0b’1x0.20.40.6U1F(x)b’隨機數(shù)產(chǎn)生方法--隨機變量值返回Excel中的隨機數(shù)產(chǎn)生方法--均勻分布Excel中的隨機數(shù)產(chǎn)生方法--三角分布Excel中的隨機數(shù)產(chǎn)生方法--離散分布Excel中的隨機數(shù)產(chǎn)生方法--指數(shù)分布Excel內(nèi)置隨機數(shù)發(fā)生器Excel模擬方法重復(fù)計算模擬運算表Excel模擬方法--重復(fù)計算次數(shù)隨機數(shù)F(X)值12.671990.0691122.064540.1268832.589180.0750842.885710.0558253.140650.0432561.355250.2578871.869730.1541683.138080.0433794.144660.01585104.054660.01734均值0.08587標(biāo)準(zhǔn)差0.07103重復(fù)計算模擬=NORMINV(RAND(),2.5,1.2)=EXP(-B4)=NORMINV(RAND(),2.5,1.2)=EXP(-B8)=AVERAGE(C4:C13)=STDEVP(C4:C13)Excel模擬方法--模擬運算表1Excel模擬方法--模擬運算表2Excel模擬應(yīng)用--新華書報亭新華書報亭準(zhǔn)備訂購一種雜志，已知批發(fā)價為7.5元/本，零售價為10元/本。若一周內(nèi)無法售出，可退貨，并可收回2.5元/本?，F(xiàn)已知這種雜志一周的市場需求服從以下概率分布：該訂多少，可獲得最大期望利潤？Excel模擬應(yīng)用--項目投標(biāo)某公司考慮參加一個工程項目的投標(biāo)。已知完成標(biāo)書的費用為350元；若中標(biāo)，項目成本為10000元；現(xiàn)有其它4家公司同時參與競標(biāo)，估計每家對手公司的競標(biāo)價均服從a=10000、b=13000、c=30000的三角分布。是否參加競標(biāo)？競標(biāo)價如何確定？Lorex制約公司模擬分析--EXCEL模擬一周毛利：$297,876.74目標(biāo)灌裝量10.34550每桶(500公升)毛利：$162,328.45灌裝標(biāo)準(zhǔn)差0.16每桶折合盎司169088平均灌裝量10.34二類市場銷售價($/盒)$186.00合格率0.99一類市場銷售價($/盒)$148.801.00收入：10.3210.4110.3010.1110.48

一類市場$250,361.7410.2610.1710.1610.4210.65

二類市場$2,432.6610.3810.0310.4310.3010.28

合計$252,794.4010.0910.8510.5710.0810.48成本：10.2410.3310.4210.1310.35

原料$67,662.0010.3110.3510.4110.6210.24

混合直接人工成本$432.0010.4210.6510.0410.1910.22

混合間接人工成本$170.0010.3910.3710.2410.5510.50

混合管理費$1,698.0010.2010.3610.6410.1810.59

灌裝材料費$17,983.4110.3110.4610.4710.2810.73

灌裝直接人工成本$558.0310.1010.3210.5610.2910.32

灌裝管理費$1,950.9310.5210.5410.2410.3710.49

二類包裝人工成本$11.5810.3810.2410.4310.3310.50

合計$90,465.9510.0610.5010.0910.3010.24毛利：$162,328.4510.1010.4510.4610.0210.3910.1110.2210.3910.3210.18

灌裝量合格率|灌裝量10.340.990.002.004.006.008.0010.0012.00庫存系統(tǒng)的模擬例1：某廠的庫存問題某廠要確定生產(chǎn)所需要的一種主要原材料的庫存水平。根據(jù)該廠有關(guān)部門核算，該原材料占有成本與儲存費用為每件每周10元，訂貨成本為每批25元，缺貨成本為每件30元。該廠的訂貨時間是一周的最后一個工作日，到貨時間是下一周的第一個工作日，當(dāng)前的庫存控制政策是：對該原材料的再訂購點為21件（即庫存低于21件時進行訂貨），訂購量的確定原則是保持庫存水平為25件。例如當(dāng)周末庫存為20件時，則需訂貨5件，以保證下周的期初庫存量為25件；當(dāng)周末庫存不低于21時則不訂貨。該廠發(fā)現(xiàn)，根據(jù)當(dāng)前的訂貨政策，原材料占有成本與庫存儲存費用較高，所以希望通過調(diào)整訂貨政策降低成本。根據(jù)以往資料分析，該廠每周對該原材料的需求量是不確定的，其統(tǒng)計數(shù)見表11-1所示。庫存系統(tǒng)的模擬需求量（件）次數(shù)概率累積概率隨機數(shù)區(qū)間1819202122232428223418970.020.080.220.340.180.090.070.020.100.320.660.840.931.00[0.00,0.02)[0.02,0.10)[0.10,0.32)[0.32,0.66)[0.66,0.84)[0.84,0.93)[0.93,1.00)庫存問題模擬模型ABCDEFGHIJ1金山機械廠的庫存問題23原料庫存費用及占有資金成本（元/件周）104訂貨成本（元/批）255缺貨成本（元/件）3067再訂購點（件）218庫存水平（件）25910初期庫存（件）20111213需求量14隨機數(shù)下限隨機數(shù)上限需求量(件)150.000.0218160.020.1019170.100.3220180.320.6621190.660.8422200.840.9323210.931.002422232425周數(shù)本周需求量(件)期初庫存(件)期末庫存(件)訂貨否平均庫存(件)庫存成本(元)訂貨成本(元)缺貨費用(元)總成本(元)260

201

27121254114.514525017028221254114.514525017029320255115150250175102499819256115.5155250180102599921254114.51452501701026100022253114140250165第一步：輸入已知數(shù)據(jù)首先在Excel的工作表上輸入已知數(shù)據(jù)。在單元格D3:D5中分別輸入原材料的庫存費用與資金占有成本、訂貨成本和缺貨成本；在單元格D7:D8中分別為再訂點和庫存水平；在單元格D10中輸入期初庫存；在單元格B15:D21中輸入原材料需求量、以及根據(jù)其概率分布得到的對應(yīng)的隨機數(shù)區(qū)間，其中單元格D15:D21為需求量的各個可能值，單元格B15:B21和C15:C21分別為各需求量對應(yīng)的隨機數(shù)區(qū)間的下限與上限。第二步：生成一系列隨機數(shù)，得到不可控輸入變量的抽樣值，本題中的不可控制輸入變量是每周的原材料需求量。用單元格B27表示第一周的原材料需求量，在單元格B27中輸入下述公式：=vloopup(rand(),$b$15:$d$21,3)于是得到按表11-1的概率分布的第一周需求量抽樣值。將上述公式復(fù)制到單元格B28:B1026，得到從第2周到第1000周的需求量抽樣值。第三步：模擬運算模擬運算從0周開始。假定用數(shù)字“1”表示“訂貨”，用數(shù)字“0”表示“不訂貨”，即：用單元格E26表示對第0周末是否訂貨的判斷，在單元格E26中輸入判斷是否訂貨的公式：=if(D26<$D$7,”1”,”0”)上式表明，當(dāng)周末的庫存小于訂貨點時，則訂貨訂貨；否則，則不訂貨。本題中，初始的周末庫存為20件，由于再訂貨點是21件，所以需要訂貨，即單元格E26=1。將上述公式復(fù)制到單元格E27:E1026，得到對于第一周到第1000周周末是否訂貨的判斷。然后對第一周至第1000周的需求量的庫存系統(tǒng)狀況進行模擬。用單元格B27:B1026表示1000周的需求量，它是不確定的，已經(jīng)在第二步中獲得。用單元格C27:V1026表示各周的期初庫存，它們?nèi)Q于上周末是否訂貨，若上周末未訂貨，它應(yīng)等于上周周末庫存，若上周末已訂貨，則它應(yīng)達到要求的庫存水平，所以有：各周期初庫存，在單元格C27中輸入下述公式：=if(E26=”1”,$D$8,D26)得到第一周的期初庫存。將上述公式復(fù)制至單元格C28:C1026，得到以后各周的期初庫存。用單元格D27:D1026表示期末庫存，當(dāng)需求量小于期初庫存時，它應(yīng)等于（期初庫存-需求量），當(dāng)需求量大于期初庫存時則為0。即：各周期末庫存，在單元格D27中輸入下述公式：=if(C27-B27>0,C27-B27,0)得到第一周的期末庫存。將上述公式復(fù)制至單元格D28:D1026，得到以后各周的期末庫存。用單元格E27:E1026表示是否需要訂貨，前面已輸入了它的公式。ABCDE25周數(shù)本周需求量（件）期初庫存（件）期末庫存（件）訂貨否260=$D$10=IF(D26<$D$7,”,”)27=1+A26=vloopup(rand(),$b$15:$d$21,3)=if(E26=”,$D$8,D26)=if(C27-B27>0,C27-B27,0)=IF(D27<$D$7,”,”)28=1+A27=vloopup(rand(),$b$15:$d$21,3)=if(E27=”,$D$8,D27)=if(C28-B28>0,C28-B28,0)=IF(D28<$D$7,”,”)29=1+A28=vloopup(rand(),$b$15:$d$21,3)=if(E28=”,$D$8,D28)=if(C29-B29>0,C29-B29,0)=IF(D29<$D$7,”,”)FGHIJ25平均庫存（件）庫存成本（元）訂貨成本（元）缺貨費用（元）總成本2627=(C27+D27)/2=$D$3*F27=$D$4*E27=if(C27-B27>0,0,$D$5*(B27-C27))=SUM(G27:I27)28=(C28+D28)/2=$D$3*F28=$D$4*E28=if(C28-B28>0,0,$D$5*(B28-C28))=SUM(G28:I28)29=(C29+D29)/2=$D$3*F29=$D$4*E29=if(C29-B29>0,0,$D$5*(B29-C29))=SUM(G29:I29)FGHIJ1028庫存成本（元）訂貨成本（元）缺貨費用（元）庫存成本（元）1029均值=average(G27:G1026)=average(H27:H1026)=average(I27:I1026)=average(J27:J1026)1030方差=stdev(G27:G1026)=stdev(H27:H1026)=stdev(I27:I1026)=stdev(J27:J1026)1031占總成本比例=G1029/$J$1029=H1029/$J$1029=I1029/$J$1029FGHIJ1028庫存成本（元）訂貨成本（元）缺貨費用（元）庫存成本（元）1029均值144.6525.000.00169.651030方差6.840.000.006.841031占總成本比例0.850.150.00

BCDEF1033庫存水平庫存成本訂貨成本缺貨成本總成本1034144.6525.000.00169.65103515103616106848106949107050BCDEF1033庫存水平庫存成本訂貨成本缺貨成本總成本1034=G1029=H1029=I1029=J1029103515103616106848106949107050BCDEF1033庫存水平庫存成本訂貨成本缺貨成本總成本1034144.725.00.0169.710351575.025.0183.3283.310361680.025.0154.2259.210371785.025.0125.3235.310381890.025.095.1210.110391995.125.066.2186.3104020100.625.037.2162.8104121107.025.017.3149.4104222115.425.07.2147.6104323124.425.02.5151.9104424134.525.00.0159.5104525144.425.00.0169.4104626154.225.00.0179.2104727164.425.00.0189.4104828174.725.00.0199.7104929184.625.00.0209.6105030194.425.00.0219.4105131204.925.00.0229.9105232214.325.00.0239.3105333224.625.00.0249.6105434234.525.00.0259.5105535244.225.00.0269.2105636254.225.00.0279.2105737264.425.00.0289.4105838274.525.00.0299.5105939280.424.50.5305.4106040279.823.11.3304.2106141256.718.93.6279.2106242235.615.34.1254.9106343230.813.73.2247.6106444232.812.91.7247.3106545239.412.51.0252.9106646249.512.50.2262.2106747258.312.50.1270.9106848269.612.50.0282.1106949278.712.50.0291.2107050288.412.50.0300.9第六步：結(jié)果分析從模擬結(jié)果可作出如下分析：（1）當(dāng)庫存水平從15件起逐漸增加時，缺貨成本逐漸下降，庫存成本逐漸上升，訂貨成本保持不變，其結(jié)果是總成本逐漸下降。當(dāng)庫存水平增加到22件時，每周的總成本（指總成本平均值，下同）達到局部最小值，為147元，比當(dāng)前訂貨政策下的總成本節(jié)省了22元。（2）當(dāng)庫存水平從22件起繼續(xù)增加時，缺貨成本下降緩慢，最終下降到0，而庫存成本繼續(xù)上升，訂貨成本保持不變，其結(jié)果是總成本逐漸上升。當(dāng)庫存水平為39件時總成本達到最大值。（3）當(dāng)庫存水平從39件起繼續(xù)增加時，缺貨水平略有上升，而訂貨成本和庫存成本均下降，這是因為庫存水平較高時可以減少訂貨次數(shù)，同時，這時的平均庫存也在下降，其結(jié)果是總成本逐漸下降。當(dāng)庫存水平增加到43至44件時，每周的平均總成本達到第二次局部最小值，約為246~249元。（4）當(dāng)庫存水平從44件起繼續(xù)增加時，缺貨成本略有下降，訂貨成本基本不變，而庫存成本則有比較快的上升，所以，總成本上升。（5）根據(jù)題意，需求量的變化范圍是18至24件，庫存成本為每件10元，訂貨成本為每批25元，缺貨成本為每件30元，所以庫存水平從15件至50件的模擬范圍已經(jīng)可以包括各種可能的合理庫存水平了。（6）綜上所述，當(dāng)前的訂貨政策尚需改進。最合理的庫存水平為22件，即該廠的訂貨政策為：當(dāng)每周的期末庫存低于21件時，進行訂貨，而且訂貨量的確定原則是使得下周的期初庫存為22件。從該例可見，采用模擬方法可以模擬庫存系統(tǒng)的行為，從而分析庫存政策。本題模擬了不同庫存水平下的庫存系統(tǒng)的行為。我們還可以利用模擬模型進一步模擬不同再訂貨點下的庫存系統(tǒng)行為，用以分析最佳的再訂貨點。Theendofchapter11

第8章層次分析法什么是層次分析法

層次分析法（AHP）是美國運籌學(xué)家匹茨堡大學(xué)教授薩蒂(T.L.Saaty)于上世紀(jì)70年代初，為美國國防部研究“根據(jù)各個工業(yè)部門對國家福利的貢獻大小而進行電力分配”課題時，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標(biāo)綜合評價方法，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法。這種方法的特點是在對復(fù)雜的決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進行深入分析的基礎(chǔ)上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供簡便的決策方法。是對難于完全定量的復(fù)雜系統(tǒng)作出決策的模型和方法。決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。日常生活中有許多決策問題。舉例

1.在海爾、新飛、容聲和雪花四個牌號的電冰箱中選購一種。要考慮品牌的信譽、冰箱的功能、價格和耗電量。

2.在泰山、杭州和承德三處選擇一個旅游點。要考慮景點的景色、居住的環(huán)境、飲食的特色、交通便利和旅游的費用。

3.在基礎(chǔ)研究、應(yīng)用研究和數(shù)學(xué)教育中選擇一個領(lǐng)域申報科研課題。要考慮成果的貢獻（實用價值、科學(xué)意義），可行性（難度、周期和經(jīng)費）和人才培養(yǎng)。一、層次分析法概述二、層次分析法的基本原理三、層次分析法的步驟和方法四、層次分析法的廣泛應(yīng)用五、應(yīng)用層次分析法的注意事項六、層次分析法應(yīng)用實例層次分析法建模一、層次分析法概述人們在對社會、經(jīng)濟以及管理領(lǐng)域的問題進行系統(tǒng)分析時，面臨的經(jīng)常是一個由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)。層次分析法則為研究這類復(fù)雜的系統(tǒng)，提供了一種新的、簡潔的、實用的決策方法。層次分析法(AHP法)是一種解決多目標(biāo)的復(fù)雜問題的定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結(jié)合起來，用決策者的經(jīng)驗判斷各衡量目標(biāo)能否實現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)之間的相對重要程度，并合理地給出每個決策方案的每個標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)數(shù)，利用權(quán)數(shù)求出各方案的優(yōu)劣次序，比較有效地應(yīng)用于那些難以用定量方法解決的課題。層次分析法是社會、經(jīng)濟系統(tǒng)決策中的有效工具。其特征是合理地將定性與定量的決策結(jié)合起來，按照思維、心理的規(guī)律把決策過程層次化、數(shù)量化。是系統(tǒng)科學(xué)中常用的一種系統(tǒng)分析方法。該方法自1982年被介紹到我國以來，以其定性與定量相結(jié)合地處理各種決策因素的特點，以及其系統(tǒng)靈活簡潔的優(yōu)點，迅速地在我國社會經(jīng)濟各個領(lǐng)域內(nèi)，如工程計劃、資源分配、方案排序、政策制定、沖突問題、性能評價、能源系統(tǒng)分析、城市規(guī)劃、經(jīng)濟管理、科研評價等，得到了廣泛的重視和應(yīng)用。二、層次分析法的基本原理

層次分析法根據(jù)問題的性質(zhì)和要達到的總目標(biāo)，將問題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互關(guān)聯(lián)影響以及隸屬關(guān)系將因素按不同層次聚集組合，形成一個多層次的分析結(jié)構(gòu)模型，從而最終使問題歸結(jié)為最低層(供決策的方案、措施等)相對于最高層(總目標(biāo))的相對重要權(quán)值的確定或相對優(yōu)劣次序的排定。三、層次分析法的步驟和方法

運用層次分析法構(gòu)造系統(tǒng)模型時，大體可以分為以下四個步驟：

1.建立層次結(jié)構(gòu)模型

2.構(gòu)造判斷(成對比較)矩陣

3.層次單排序及其一致性檢驗

4.層次總排序及其一致性檢驗

1.建立層次結(jié)構(gòu)模型

將決策的目標(biāo)、考慮的因素（決策準(zhǔn)則）和決策對象按它們之間的相互關(guān)系分為最高層、中間層和最低層，繪出層次結(jié)構(gòu)圖。

最高層：決策的目的、要解決的問題。

最低層：決策時的備選方案。

中間層：考慮的因素、決策的準(zhǔn)則。對于相鄰的兩層，稱高層為目標(biāo)層，低層為因素層。下面舉例說明。例1大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)選擇問題獲得大學(xué)畢業(yè)學(xué)位的畢業(yè)生，在“雙向選擇”時，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標(biāo)準(zhǔn)和要求。就畢業(yè)生來說選擇單位的標(biāo)準(zhǔn)和要求是多方面的，例如：①能發(fā)揮自己才干作出較好貢獻（即工作崗位適合發(fā)揮自己的專長）；②工作收入較好（待遇好）；③生活環(huán)境好（大城市、氣候等工作條件等）；④單位名聲好（聲譽等）；⑤工作環(huán)境好（人際關(guān)系和諧等）⑥發(fā)展晉升機會多（如新單位或前景好）等。工作選擇可供選擇的單位P1’

P2，Pn

貢獻收入發(fā)展聲譽工作環(huán)境生活環(huán)境目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途例2.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.

例3科研課題的選擇

某研究所現(xiàn)有三個科研課題，限于人力及物力，只能研究一個課題。有三個須考慮的因素：(1)科研成果貢獻大小(包括實用價值和科學(xué)意義)；(2)人材的培養(yǎng)；(3)課題的可行性(包括課題的難易程度、研究周期及資金)。在這些因素的影響下，如何選擇課題?

將決策問題分為3個或多個層次：最高層：目標(biāo)層。表示解決問題的目的，即層次分析要達到的總目標(biāo)。通常只有一個總目標(biāo)。中間層：準(zhǔn)則層、指標(biāo)層、…。表示采取某種措施、政策、方案等實現(xiàn)預(yù)定總目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)；一般又分為準(zhǔn)則層、指標(biāo)層、策略層、約束層等。最低層：方案層。表示將選用的解決問題的各種措施、政策、方案等。通常有幾個方案可選。每層有若干元素，層間元素的關(guān)系用相連直線表示。層次分析法的思維過程的歸納

層次分析法所要解決的問題是關(guān)于最低層對最高層的相對權(quán)重問題，按此相對權(quán)重可以對最低層中的各種方案、措施進行排序，從而在不同的方案中作出選擇或形成選擇方案的原則。2.構(gòu)造判斷(成對比較)矩陣

在確定各層次各因素之間的權(quán)重時，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Santy等人提出：一致矩陣法，即：1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較2.對此時采用相對尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個，即每層不要超過9個因素。判斷矩陣是表示本層所有因素針對上一層某一個因素的相對重要性的比較。判斷矩陣的元素aij用Santy的1—9標(biāo)度方法給出。判斷矩陣元素aij的標(biāo)度方法標(biāo)度含義1表示兩個因素相比，具有同樣重要性3表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素稍微重要5表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素明顯重要7表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素強烈重要9表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素極端重要2，4，6，8上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)因素i與j比較的判斷aij，則因素j與i比較的判斷aji=1/aij

設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對目標(biāo)O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地目標(biāo)層O(選擇旅游地)準(zhǔn)則層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對比較矩陣有問題成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況可作為一個排序向量成對比較滿足的正互反陣A稱一致陣。

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

非零特征根n所對應(yīng)的特征向量歸一化后可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，Saaty等人建議用對應(yīng)于最大特征根

的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)但允許范圍是多大？如何界定？3.層次單排序及其一致性檢驗

對應(yīng)于判斷矩陣最大特征根λmax的特征向量，經(jīng)歸一化(使向量中各元素之和等于1)后記為W。

W的元素為同一層次因素對于上一層次因素某因素相對重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。能否確認(rèn)層次單排序，需要進行一致性檢驗，所謂一致性檢驗是指對A確定不一致的允許范圍。

定理：n階一致陣的唯一非零特征根為n定理：n

階正互反陣A的最大特征根

n,當(dāng)且僅當(dāng)

=n時A為一致陣由于λ

連續(xù)的依賴于aij

，則λ

比n

大的越多，A的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對應(yīng)的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用λ-n

數(shù)值的大小來衡量A的不一致程度。定義一致性指標(biāo):CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有滿意的一致性CI越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標(biāo)RI。方法為Saaty的結(jié)果如下隨機一致性指標(biāo)RI則可得一致性指標(biāo)隨機構(gòu)造500個成對比較矩陣一致性檢驗：利用一致性指標(biāo)和一致性比率<0.1及隨機一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對進行檢驗的過程。

一般，當(dāng)一致性比率的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿意的一致性，通過一致性檢驗?？捎闷錃w一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣A，對aij

加以調(diào)整。時，認(rèn)為定義一致性比率：“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣最大特征根

=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算

精確計算的復(fù)雜和不必要

簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化求

行

和

歸

一

化精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.0104.層次總排序及其一致性檢驗

計算某一層次所有因素對于最高層(總目標(biāo))相對重要性的權(quán)值，稱為層次總排序。這一過程是從最高層次到最低層次依次進行的。對總目標(biāo)Z的排序為的層次單排序為即B

層第i

個因素對總目標(biāo)的權(quán)值為：層的層次總排序為：B層的層次總排序AB層次總排序的一致性檢驗設(shè)層對上層(層)中因素的層次單排序一致性指標(biāo)為，隨機一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當(dāng)時，認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗。層次總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整那些一致性比率高的判斷矩陣的元素取值。

到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根

1=3.005

2=3.002

…

5

=3.0權(quán)向量w1(3)w2(3)…

w5(3)

=(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)選擇旅游地第3層對第2層的計算結(jié)果

w(2)

0.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.47530.1420.4290.4290.0553.0090.1750.1930.6330.09030.6680.1660.1660.110組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗方案P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T1.建立層次結(jié)構(gòu)模型該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗2.構(gòu)造成對比較矩陣從第二層開始用成對比較矩陣和1~9尺度。對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對比較矩陣。計算最下層對最上層總排序的權(quán)向量。4.計算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗進行檢驗。若通過，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對比較矩陣。利用總排序一致性比率四.層次分析法的廣泛應(yīng)用

應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。

處理問題類型：決策、評價、分析、預(yù)測等。

建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。

構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出。國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻收入發(fā)展聲譽關(guān)系位置供選擇的崗位例1

國家實力分析例2

工作選擇過河的效益

A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過河的代價

A經(jīng)濟代價

B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇待評價的科技成果直接經(jīng)濟效益

C11間接經(jīng)濟效益

C12社會效益

C13學(xué)識水平

C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新

C22技術(shù)水平

C23技術(shù)創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價

層次分析法的優(yōu)點系統(tǒng)性——將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策。成為成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具；

實用性——定性與定量相結(jié)合，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實際問題，應(yīng)用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性；

簡潔性——計算簡便，結(jié)果明確，具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，容易被決策者了解和掌握。便于決策者直接了解和掌握。五、應(yīng)用層次分析法的注意事項層次分析法的局限囿舊——只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案；

粗略——該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題。；

主觀——從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀因素對整個過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法是克服這個缺點的一種途徑。六、層次分析法應(yīng)用實例某單位擬從3名干部中選拔一名領(lǐng)導(dǎo)，選拔的標(biāo)準(zhǔn)有政策水平、工作作風(fēng)、業(yè)務(wù)知識、口才、寫作能力和健康狀況。下面用AHP方法對3人綜合評估、量化排序。目標(biāo)層選一領(lǐng)導(dǎo)干部

準(zhǔn)則層

方案層健康狀況業(yè)務(wù)知識口才寫作能力工作作風(fēng)政策水平⑴建立層次結(jié)構(gòu)模型健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)A的最大特征值相應(yīng)的特征向量為：⑵構(gòu)造成對比較矩陣及層次單排序一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)RI=1.24(查表)一致性比率CR=0.07/1.24=0.0565<0.1通過一致性檢驗假設(shè)3人關(guān)于6個標(biāo)準(zhǔn)的判斷矩陣為：健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)由此可求得各屬性的最大特征值和相應(yīng)的特征向量。特征值健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)3.02

3.02

3.05

3.053.003.02各屬性的最大特征值均通過一致性檢驗從而有即在3人中應(yīng)選擇A擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)職務(wù)。⑶層次總排序及一致性檢驗旅游問題(1)建模分別分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。（2）構(gòu)造成對比較矩陣(3)計算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗成對比較矩陣的最大特征值表明通過了一致性驗證。故則該特征值對應(yīng)的歸一化特征向量

對成對比較矩陣可以求層次總排序的權(quán)向量并進行一致性檢驗，結(jié)果如下：計算可知通過一致性檢驗。對總目標(biāo)的權(quán)值為：（4）計算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗又決策層對總目標(biāo)的權(quán)向量為：同理得，對總目標(biāo)的權(quán)值分別為：故，層次總排序通過一致性檢驗?？勺鳛樽詈蟮臎Q策依據(jù)。故最后的決策應(yīng)為去桂林。又分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案的權(quán)重排序為列向量歸一化求和歸一化精確計算，得六、層次分析法應(yīng)用實例某單位擬從3名干部中選拔一名領(lǐng)導(dǎo)，選拔的標(biāo)準(zhǔn)有政策水平、工作作風(fēng)、業(yè)務(wù)知識、口才、寫作能力和健康狀況。下面用AHP方法對3人綜合評估、量化排序。目標(biāo)層選一領(lǐng)導(dǎo)干部

準(zhǔn)則層

方案層健康狀況業(yè)務(wù)知識口才寫作能力工作作風(fēng)政策水平⑴建立層次結(jié)構(gòu)模型健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)A的最大特征值相應(yīng)的特征向量為：⑵構(gòu)造成對比較矩陣及層次單排序一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)RI=1.24(查表)一致性比率CR=0.07/1.24=0.0565<0.1通過一致性檢驗假設(shè)3人關(guān)于6個標(biāo)準(zhǔn)的判斷矩陣為：健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)由此可求得各屬性的最大特征值和相應(yīng)的特征向量。特征值健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)3.02

3.02

3.05

3.053.003.02各屬性的最大特征值均通過一致性檢驗從而有即在3人中應(yīng)選擇A擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)職務(wù)。⑶層次總排序及一致性檢驗旅游問題(1)建模分別分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。（2）構(gòu)造成對比較矩陣(3)計算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗成對比較矩陣的最大特征值表明通過了一致性驗證。故則該特征值對應(yīng)的歸一化特征向量

對成對比較矩陣可以求層次總排序的權(quán)向量并進行一致性檢驗，結(jié)果如下：計算可知通過一致性檢驗。對總目標(biāo)的權(quán)值為：（4）計算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗又決策層對總目標(biāo)的權(quán)向量為：同理得，對總目標(biāo)的權(quán)值分別為：故，層次總排序通過一致性檢驗?？勺鳛樽詈蟮臎Q策依據(jù)。故最后的決策應(yīng)為去桂林。又分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案的權(quán)重排序為層次分析法在彩票抽獎

方案選擇中的應(yīng)用

2002年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題：

已知29種彩票抽獎方案，要求綜合分析各種獎項出現(xiàn)的可能性、獎項和獎金額的設(shè)置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性，設(shè)計一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法。

一、問題的提出

已給的29種方案分為兩種類型

1、“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：投注者從0~9十個號碼中任選6個基本號碼（可重復(fù)），從0~4中選一個特別號碼，構(gòu)成一注。根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少及順序確定中獎等級；

表1：