解三角形圖形類問(wèn)題（十大題型）（原卷版）-2025數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含2024年高考試題+回歸教材）

重難點(diǎn)突破02解三角形圖形類問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法）.....................................2

題型二：兩角使用余弦定理建立等量關(guān)系............................................4

題型三：張角定理與等面積法.....................................................5

題型四：角平分線問(wèn)題...........................................................6

題型五：中線問(wèn)題...............................................................7

題型六：高問(wèn)題.................................................................9

題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用.......................................................10

題型八：外心及外接圓問(wèn)題.......................................................12

題型九：兩邊夾問(wèn)題.............................................................13

題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問(wèn)題.......................................................14

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................15

1/22

解決三角形圖形類問(wèn)題的方法：

方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題;

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選

擇；

方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可

以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更

加直觀化.

題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法）

IT-S7C

【典例1-1】(2024?河南?三模)已知P是28c內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC,NBAC=—,NBPC=——，NABP=8.

44

(1)^0——,BC—y/2,求/C；

JT

(2)若e=求tan/2/P.

【典例1-21。8c的內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為。，仇為/R4c平分線，c:AD:b=@:2:2出.

2/22

⑴求

⑵AD上有點(diǎn)M,ZBMC=90°,求tanZABM.

【變式1-1］如圖，在平面四邊形/BCD中，ZACB=ZADC=90°,AC=26,NA4c=30。.

⑴若CD=5求BD；

⑵若ZCBD=30°,求tanZBDC.

【變式1-2](2024?廣東廣州?二模)記”3C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知

bcosA-acosB=b-c.

⑴求A；

巧

(2)若點(diǎn)。在3C邊上，且CD=2AD,cosB——，求tan/BAD.

3

【變式1-3]在中，內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為b,c,J.2cos^(ccos5+6cosC)=a.

(1)求角/；

(2)若。是A4BC內(nèi)一點(diǎn)，403=120。，ZAOC=150°,b=l,c=3,求tan/ABO.

3/22

題型二：兩角使用余弦定理建立等量關(guān)系

【典例2-1】如圖，四邊形4BCD中，cosNBAD=g,AC=AB=3AD.

⑴求sin48。；

⑵若/BCD=90°,求tanZCBD.

【典例2-2】如圖，在梯形48CD中，AB//CD,AD=y5BC=73.

(1)求證：sinC=y/isinA;

(2)若C=2/,AB=2CD,求梯形/BCD的面積.

【變式2-1］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在銳角AA8C中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

2cos22c=3-5cos21手-C).

⑴求角C；

AC

(2)若點(diǎn)。在48上，BD=2AD,BD=CD,求——的值.

4/22

jr

【變式2-2]平面四邊形4BCD中，AB=1,AD=2,ZABC+ZADC=n,ZBCD=-.

⑴求5D；

(2)求四邊形4BCD周長(zhǎng)的取值范圍；

(3)若E為邊上一點(diǎn)，且滿足CE=3￡,SABCE=2SACDE,求△BCD的面積.

題型三：張角定理與等面積法

【典例3-1](2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別是。，仇c,且吧且二臂=佇1,

smCa+b

(1)求角3的大小;

(2)若6=3,。為/C邊上一點(diǎn)，BD=2,且8。為的平分線，求“3C的面積.

【典例3-2](2024?黑龍江哈爾濱?二模)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知b=4,

2bcosB,sin4

----------=cosAd---------.

ctanC

(1)求角B的大??；

(2)已知直線助為/4BC的平分線，且與NC交于點(diǎn)Z),若80=2也，求“3C的周長(zhǎng).

3

【變式3-1](2024?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知銳角的內(nèi)角C的對(duì)邊分別

“7r。smB—smC

為｝Q,b,c,且~；——=-一■-—--

b+csin^4-smC

⑴求B；

⑵若6=幾，角B的平分線交/C于點(diǎn)D,BD=1,求的面積.

5/22

【變式3-2](2024?江西撫州?江西省臨川第二中學(xué)?？级?如圖，在“8C中，AB=4,cosB=；，點(diǎn)

D在線段BC上.

DC

(1)若4。。=一，求的長(zhǎng);

4

⑵若皿=2"，的面積為竽,求瞿窯的值.

題型四：角平分線問(wèn)題

【典例4-1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知在△48C中，內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為名瓦。，且。=6,N/=60。.

(1)若4。為8c邊上的高線，求工。的最大值；

m

⑵已知4修為8c上的中線，NB/C的平分線ZN交3c于點(diǎn)N,且tan8=s",求△/MN的面積.

2—cos4

【典例4-2】如圖所示，在“3C中，AB=3AC,4D平分NA4C,且=

⑴若DC=2,求8C的長(zhǎng)度；

(2)求人的取值范圍；

⑶若SA”C=1，求左為何值時(shí)，8c最短.

22

【變式4-1】在中，角A,B,。所對(duì)的邊分別是。，b,c9已知4=9，c-b=accosC.

6/22

⑴求tanC；

(2)作角A的平分線，交邊BC于點(diǎn)D,若40=血，求4C的長(zhǎng)度;

(3)在(2)的條件下，求“3C的面積.

【變式4-2］已知/3c的內(nèi)角4SC的對(duì)邊分別為a,6,c,其面積為S,且

a(b+c-a)(siM+sia8+sinC)=6S

(1)求角A的大??；

(2)若a=47,BA-AC=-3,^A的平分線交邊BC于點(diǎn)、T,求47的長(zhǎng).

題型五：中線問(wèn)題

【典例5-1】如圖，在“3C中，已知48=2,AC=6冊(cè),/A4c=45。，3C邊上的中點(diǎn)為M,點(diǎn)N是

邊/C上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，AM,BN相交于點(diǎn)尸.

⑴求/胡M的正弦值；

(2)當(dāng)點(diǎn)N為/C中點(diǎn)時(shí)，求/MW的余弦值.

(3)當(dāng)福.福取得最小值時(shí)，設(shè)麗=4麗，求2的值.

【典例5-2】(2024?遼寧沈陽(yáng)?東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？家荒?如圖，設(shè)“3C中角HB,C所對(duì)的邊分別為

7/22

]/?1

a,b,c,40為8c邊上的中線，已知c=1且2csinNcos8=asin/-bsin8+：bsinC,cosZBAD=---.

47

⑴求6邊的長(zhǎng)度；

(2)求ABC的面積；

⑶設(shè)點(diǎn)E,尸分別為邊A8,/C上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，線段跖交4D于G,且△/￡尸的面積為面積

的J，求萬(wàn)?麗的取值范圍.

6

【變式5-1】阿波羅尼奧斯(Apollonius)是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他提出的阿波羅尼奧斯定理是一個(gè)關(guān)于

三角形邊長(zhǎng)與中線長(zhǎng)度關(guān)系的定理，內(nèi)容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和

的兩倍，即如果是“3C中8c邊上的中線，則/笈+/。2=24^+(竺］.

IT

(1)若在中，AB=5,NC=3,ABAC=-,求此三角形8c邊上的中線長(zhǎng)；

(2)請(qǐng)證明題干中的定理；

(3)如圖“3C中，^AB>AC,。為中點(diǎn)，BD=DC=3,asinN+BbsinB=3bsin(4-C),

SAABC=?，求cos/n4c的值?

【變式5-2】在中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,3=30°?

(1)已知6=應(yīng)，bcosA+acosB=2

8/22

⑴求c；

(ii)若a<6,D為48邊上的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng).

273

(2)若“8C為銳角三角形，求證:a<---c

3

【變式5-3](2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))在。8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,已知

a=2,c1=BA-BC-2y[?,S,其中S為“3c的面積.

(1)求角A的大??；

(2)設(shè)。是邊BC的中點(diǎn)，若4B_LAD,求4D的長(zhǎng).

題型六：高問(wèn)題

7T

【典例6-1】(2024?河北秦皇島?三模)在“3C中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,C=^且

a+b=l,/BC的外接圓半徑為迪.

3

(1)求08C的面積；

⑵求^ABC邊48上的高〃.

【典例6-2】(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))在中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且

A/3Csin8+bcos(N+B)=b.

(1)求角。的大??；

⑵若a=8,的面積為4若，求48邊上的高.

【變式6-1]在“3C中，角48,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,已知。=7,c=8.

..4

(1)若sinC=],求角A的大小;

9/22

(2)若b=5,求力。邊上的高.

【變式6-2](2024?山東棗莊?一■模)在中，角的對(duì)邊分別為。也。，且2=siih4tanC.

2c2

⑴求C;

——

(2)若。=8,6=5,CH是邊NB上的高，^.CH=mCA+nCB>求一.

題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用

【典例7-1](2024?四川內(nèi)江?一模)AASC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,a=6,

,.B+C.

bsm-----=asinBn.

2

(1)求角A的大??；

(2)M為“BC的重心，叔的延長(zhǎng)線交5C于點(diǎn)。，且/四=26，求的面積.

【典例7-2](2024?江西景德鎮(zhèn)?一模)如圖，已知助的重心為C,△45C三內(nèi)角4、B、。的對(duì)邊分別

b+c

為Q，b,c.Scos2—=

2~2^

10/22

D

(1)求乙4cB的大小;

TT

(2)若NC48=—,求sinNCZU的大小.

6

【變式7-1](2024?高三?福建福州?期中)已知內(nèi)角/,B,。的對(duì)邊分別為Q,b,c,點(diǎn)G是力

的重心，且善.就=0.

⑴若=M①直接寫出——=_____；②設(shè)/C4G=a,求tana的值

。CG

(2)求cosZACB的取值范圍.

【變式7-2](2024?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè))的角4民。對(duì)應(yīng)邊是入b,c,三角形的重心是。.已知

04=33=4,00=5.

(1)求a的長(zhǎng).

(2)求“3C的面積.

11/22

題型八：外心及外接圓問(wèn)題

【典例8-1】(2024?廣東深圳?二模)已知在“BC中，角4例C的對(duì)邊分別為a,6,c,a=痛力=2,c=L

(1)求角A的余弦值；

(2)設(shè)點(diǎn)。為AABC的外心(外接圓的圓心)，求前.萬(wàn)，與?就的值.

【典例8-2]已知“BC的內(nèi)角48,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,a=3,2c-b=2acosB.

⑴求A；

A

(2)M為"BC外心，M的延長(zhǎng)線交3C于點(diǎn)D,且〃。=券，求AABC的面積.

【變式8-1]AABC的內(nèi)角4民C的對(duì)邊分別為d6,c,c＞瓦森?就=20,AABC的面積為1oG.

⑴求/N;

—?——49

⑵設(shè)。點(diǎn)為AASC外心，且滿足O8-OC=,求0.

【變式8-2](2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知“3C的外心為。，點(diǎn)分別在線段上，且。恰為

九W的中點(diǎn).

(1)若3c=6,04=1，求”8C面積的最大值；

(2)證明：AM-MB=AN-NC.

【變式8-3](2024?安徽黃山?三模)記》8C的內(nèi)角4叢。的對(duì)邊分別為a,6,c,已知c=6,

12/22

b(l+cosC)=A/3CsinB.

(1)求角。的大小和邊6的取值范圍;

(2)如圖，若。是"的外心，求歷?在+的最大值.

題型九：兩邊夾問(wèn)題

【典例9-1】在A43C中，角C所對(duì)的邊分別為6,c,若cos/+sin/-^—2——=0,則巴也的值

sinB+cosBc

是()

A.2B.百C.V2D.1

【典例9-2】在A4BC中，a、b、c分別是//、ZB./C所對(duì)邊的邊長(zhǎng).若

cos/+sin/----------——=0,則史史的值是().

cos5+sin5c

A.1B.V2C.V3D.2

【變式9-1］在A45C中，已知邊見(jiàn)仇。所對(duì)的角分別為4民。，若

2sin25+3sin2C=2sin24sin5sinC+sin2A，貝UtanZ=

【變式9-2］(2024?江蘇蘇州?吳江中學(xué)模擬預(yù)測(cè))在A48C中，已知邊。，仇。所對(duì)的角分別為4瓦。，若

5-2cos25-3cos2C=2sinAsin5sinC+sin2A，貝！JtanA=.

【變式9-3］在A4BC中，已知邊。、b、。所對(duì)的角分別為A、B、C,若口=后，

2sin2B+3sin2C=2sinAsin5sinC+sin2A，則A/45C的面積S=.

【變式9-4】在“BC中,(cosA+sin^t)(cosB+sin5)=2,則角C=—.

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題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問(wèn)題

【典例10-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)。8c的內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足

2acosB+b=2c,a=5.

(1)求的周長(zhǎng)的取值范圍；

(2)若的內(nèi)切圓半徑/=少，求的面積S

【典例10-21(2024?湖南永州?一模)在"3C中，設(shè)4例。所對(duì)的邊分別為見(jiàn)仇c,且滿足

ccosA-acosC=a+b.

⑴求角c；

(2)若C=5,A/3C的內(nèi)切圓半徑y(tǒng)=立，求的面積.

4

【變式10-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知“3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c,

-csinA=-JiacosC?

(1)求角A的大??；

D

(2)若。=7,"BC外接圓的半徑為火，內(nèi)切圓半徑為尸，求一的最小值.

【變式10-2】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在“中，角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

sin24?sin28

sin2A?sin2B=

4

14/22

⑴求c；

(2)若c=2,求“3C內(nèi)切圓半徑取值范圍.

【變式10-3](2024?廣西南寧?一模)在“3C中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知。=2,且

sinA+smB_b-c

sinCb-a

(1)求心IBC的外接圓半徑R；

(2)求^ABC內(nèi)切圓半徑r的取值范圍.

【變式10-4】(2024?吉林?二模)已知的三個(gè)內(nèi)角4SC的對(duì)邊分別為a,6,c,A/3C的外接圓半徑為

G，J3.sin25+sin2C-sinSsinC=sin2^4.

⑴求。；

(2)求^ABC的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍

0

///I過(guò)去測(cè),八J試V

1.如圖所示，在中，設(shè)。也。分別為內(nèi)角45,。的對(duì)邊，已知b+c=3a,b=4(c-Q).

15/22

A

(1)求角C；

⑵若c=7,過(guò)8作ZC的垂線并延長(zhǎng)到點(diǎn)D,使4及四點(diǎn)共圓，4c與BD交于點(diǎn)、E,求四邊形

48。的面積.

2.如圖，在梯形4BCD中，AB//CD,Z￡>=60°.

(1)若/C=3,求A/CD周長(zhǎng)的最大值；

(2)若CD=2AB,ZBCD=45°，求tanZDAC的值.

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在“中，已知sin(/8/C—/8)=sin6+sinC.

(1)求/A4c.

(2)若/C=248,/A4c的平分線交3C于點(diǎn)D,求cos/4D8.

4.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))在“3C中，角4瓦。所對(duì)的邊分別為。,上仁且園sin包￡=asin5,邊

2

BC上有一動(dòng)點(diǎn)。.

(1)當(dāng)。為邊中點(diǎn)時(shí)，若AD=6,b=2,求c的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)4D為的平分線時(shí)，若。=4,求4D的最大值.

16/22

5.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=sin]x+T}in[x+/]-；,角/為△4BC的內(nèi)角，且

/(^)=0,

（1）求角A的大??；

（2）如圖，若角力為銳角，4B=3,且的面積S為孚，點(diǎn)￡、/為邊A8上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)。為邊

NC的中點(diǎn)，連接。廠和EC交于點(diǎn)“，求線段的長(zhǎng).

6.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在“3C中，角4&C,的對(duì)邊分別為。，4c,“3C的面積為S,

4Ggi2kin（2/+8）+；

31sinB

⑴求角A.

（2）若“8C的面積為3?,a=D為邊BC的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).

7.（2024?四川成都?三模）在中，BC=5,AC=6,cosS=-.

8

（1）求的長(zhǎng)；

⑵求/C邊上的高.

8.（2024?江蘇南通?三模）在“5C中，角4民。的對(duì)邊分別為。也。,（2b-C）COS4=QCOSC.

17/22

⑴求A;

(2)若AASC的面積為6,BC邊上的高為1,求AABC的周長(zhǎng).

9.(2024?高三?河南?開(kāi)學(xué)考試)在“3C中，內(nèi)角43,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,且滿足

=]asinS+2csin4+2(6+c)sinC

(a+6+c)(sirU+sinS+sinC)

⑴求cosC；

(2)若/B邊上的高為2,c=V^，求。力.

10.(2024?高三?山東濟(jì)南?開(kāi)學(xué)考試)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.已知

bcosA=a(2-cos5).

⑴求二；

a

2兀

(2)若2且/C邊上的高為百，求“3C的周長(zhǎng).

11.在—8C中，設(shè)。，b,c分別表示角A,B,C對(duì)邊.設(shè)BC邊上的高為人且“=2〃.

(1)把2+§表示為xsinN+ycos/(x,yeR)的形式，并判斷+￡能否等于2啦？說(shuō)明理由.

cbcb

(2)已知8,C均不是直角，設(shè)G是AABC的重心，BGLCG,c>b,求tanB的值.

12.(2024?江蘇蘇州?二模)記》8C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為0,4c,已知生w=安*!電

csirU-sinn

⑴求角A；

(2)若4=6,點(diǎn)M為448c的重心，且/四=2百，求08C的面積.

18/22

13.(2024?河南開(kāi)封?模擬預(yù)測(cè))記“8C的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為。也已知

43asinB-acosC=ccosA,b=y[6,G為^ABC的重心.

(1)若Q=2,求。的長(zhǎng)；

(2)若/G=@，求”3C的面積.

3

14.(2024?遼寧撫順?一模)記AA8C的內(nèi)角4RC的對(duì)邊分別為0,瓦c,已知

(a+b)(siih4-sinB)=c(sinC-sinB).

⑴求角A；

(2)若。=6,點(diǎn)M為“8C的重心，且/四=2百，求AASC的面積.

15.在“3C中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a,b,c是公差為2的等差數(shù)列.

(1)若2sinC=3sin/,求/BC的面積.

(2)是否存在正整數(shù)6,使得“3C的外心在“8C的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

16.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))已知“BC的外心為。，為線段Z8,/。上的兩點(diǎn)，且。恰為中點(diǎn).

(1)證明：|W|?|〃B|=|4N|-|NC|

s

(2)若[4。|=百，\OM\=l,求￡3的最大值.

?VABC

19/22

3

17.在AA8C中，角48