專題11.3綜合檢測3（人教A版2019）

專題11.3必修第二冊綜合檢測3考試時間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共19題，單選8題，多選3題，填空3題，解答5題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材，細分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎，提能力！選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2024高三下·河南·開學考試）若復數(shù)，則的虛部是（

）A．i B．2i C．1 D．2【答案】C【分析】利用復數(shù)的除法和乘法法則進行化簡計算，得到的虛部.【詳解】，，故虛部是1.故選：C.2．（2324高一下·福建福州·期末）現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由8個數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差為1．若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)題意，由分層抽樣中數(shù)據(jù)方差的計算公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則兩組數(shù)據(jù)混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則新數(shù)據(jù)的方差，故選：C．3．（2024高一下·江蘇揚州·期末）甲、乙兩人參加學校組織的“勞動技能通關”比賽，已知甲通關的概率為，乙通關的概率為，且甲和乙通關與否互不影響，則甲、乙兩人都不通關的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件、對立事件的概率公式計算作答.【詳解】甲、乙通關的事件分別記為A，B，事件A，B相互獨立，，所以甲、乙兩人都不通關的概率為.故選：D4．（2324高一下·上海虹口·期中）銳角三角形中，是邊上的高，若，則可表示為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得向量在方向上投影的數(shù)量為，進而求得，即可求解.【詳解】如圖所示，因為，根據(jù)向量的數(shù)量積的幾何意義，可得向量在方向上投影的數(shù)量為，所以.故選：D.5．（2024·河南·模擬預測）已知圓錐側面展開圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內切球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由扇形弧長公式求出圓錐底面半徑，母線長為2，由等面積法得，得解.【詳解】側面展開圖扇形的弧長為，圓錐底邊的半徑r滿足，解得，所以該圓錐軸截面是一個兩腰長為2，底邊長為1的等腰三角形，底邊上的高為，設內切球半徑為R，則，.故選：D.

6．（2024高一上·四川達州·期末）若向量，，則向量與的夾角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先利用坐標運算計算向量與的坐標，再根據(jù)向量積的定義式求解夾角的余弦值，即得結果.【詳解】向量，，則，，故，,則向量與的夾角滿足，，故.故選：C.7．（2024高一下·福建廈門·期中）已知，，，，，則（

）A．14 B．34 C．26 D．24【答案】C【分析】先由已知條件求出，然后再求的值【詳解】解：因為，，，，，所以，所以，，故選：C8．（2024·全國·模擬預測）在四邊形中，點E為AD的中點，點F為BC的中點，且，若>0，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的加法可得，再由向量的數(shù)量積運算得，由可得選項．【詳解】因為，，又點E為AD的中點，點F為BC的中點，所以，又因為，所以，且，所以，即，故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查向量的數(shù)量積運算，求線段的長度的范圍，關鍵在于待求向量用已知向量表示，由已知向量的數(shù)量積的范圍得以解決．多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9．（2324高一下·云南昆明·期中）下列命題正確的是（

）A．若復數(shù)滿足，則或B．C．若是方程的一個根，則該方程的另一個根是D．在復平面內，所對應的向量分別為，其中為坐標原點，若，則【答案】CD【分析】由復數(shù)模長的幾何意義可判斷A；由向量加法和減法的幾何意義可判斷BD；根據(jù)復數(shù)范圍內，兩個虛數(shù)根互為共軛復數(shù)可判斷C.【詳解】解：對于，若，則在復平面內對應的點的集合是以原點為圓心，1為半徑的圓，有無數(shù)個點與復數(shù)對應，故選項A錯誤；對于B，設所對應的向量分別為，由向量加法的幾何意義可知，故選項B錯誤；對于，根據(jù)復數(shù)范圍內，實系數(shù)一元二次方程的求根公式知，兩個虛數(shù)根互為共軛復數(shù)，所以若是方程的根，則該方程的另一個根是，故選項C正確；對于D，若，則復平面內以為鄰邊的平行四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等和復數(shù)加法?減法的幾何意義可知，選項D正確，故選：CD.10．（2024·遼寧·模擬預測）已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，，，…，，其平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為m，則下列判斷一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用平均數(shù)公式、方差公式分別可以確定新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差與原平均數(shù)、方差的大小關系，因新加入數(shù)據(jù)不知與中位數(shù)大小所以無法確定新的中位數(shù)大?。驹斀狻俊撸?，平均數(shù)不變，所以A選項正確；，，所以，故B錯誤，C正確；對于D選項，由于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的大小關系不確定，所以不能比較新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)的大小，故D錯誤．故選：AC.11．（2024·全國·模擬預測）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長為a，則（

）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最大值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積【答案】ABD【分析】先求得正四面體的外接球半徑、內切球半徑、正四面體的體積、外接球的體積.結合勒洛四面體的知識對選項進行分析，從而得出正確選項.【詳解】首先求得正四面體的一些結論：正四面體棱長為，是底面的中心，是其外接球（也是內切球）的球心，外接球半徑為，是高，如圖．，，由得，解得，（內切球半徑）．正四面體的體積為，外接球體積為．對于A選項，由勒洛四面體的結構知勒洛四面體表面上任意兩點間的距離的最大值為a，故A正確；對于B選項，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖，其中點E為該球與勒洛四面體的一個切點，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，易知B、O、E三點共線，且，，因此，故B正確；對于C選項，由勒洛四面體的結構知勒洛四面體表面上任意兩點間的距離的最大值為a，最大的截面即經(jīng)過四面體ABCD表面的截面，如圖，根據(jù)勒洛四面體結構的對稱性，不妨設此截面為投影光線垂直于正四面體的一個面ABD時，勒洛四面體在與平面ABD平行的一個投影平面α上的正投影，當光線與平面ABD夾角不為90°時，易知截面投影均為上圖所示圖像在平面α上的投影，其面積必然減小.上圖截面為三個半徑為a，圓心角為60°的扇形的面積減去兩個邊長為a的正三角形的面積，即，故C錯誤；對于D選項，勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABCD的外接球的體積之間，正四面體ABCD的體積，正四面體ABCD的外接球的體積，故D正確.故選：ABD.【點睛】求解勒洛四面體問題的關鍵是理解勒洛四面體的結構、正四面體的結構特征、球的結構特征，需要很強的空間想象能力和邏輯推理能力.正四面體的外接球球心和內切球球心重合，是解題的突破口.填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12．（2024高三上·上海黃浦·開學考試）實系數(shù)一元二次方程的一根為，則.【答案】【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程的虛根成對定理可得另一共軛虛根,再根據(jù)韋達定理可得的值,然后相加即可得到.【詳解】因為實系數(shù)一元二次方程的一根為,所以根據(jù)虛根成對定理可得,實系數(shù)一元二次方程的另一共軛虛根為,所以根據(jù)韋達定理得,所以,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了實系數(shù)一元二次方程的虛根成對定理,屬于基礎題.13．（2024高二上·遼寧鐵嶺·階段練習）如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形ABCD，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折起，使平面平面BCD，則直線AC與BD所成角正弦值為【答案】【分析】將圖形補成一個正方體，進而通過異面直線所成角的定義得出所求角，然后算出答案.【詳解】根據(jù)題意，平面ABD⊥平面BCD且交于BD，而AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，又BD⊥CD，進而將圖形補形為正方體BDCEAHFG，設其棱長為1，如圖所示.因為BD∥CE，所以∠ACE（或其補角）為所求角，設其為，易知AE⊥CE，由勾股定理易得，所以.故答案為：.14．（2324高二上·上海金山·期中）已知球的兩個平行截面的面積分別為，且兩個截面之間的距離是，則球的表面積為．【答案】【分析】先根據(jù)截面面積得到兩個圓截面的半徑，由于球的對稱性，考慮兩截面與球心的位置關系分別在球心的同側和異側兩種情況，加以分類討論.【詳解】由球的截面為圓，設兩個平行的截面圓的半徑分別為，，球的半徑為，因為，所以，又，所以，當兩截面在球心的同側時，，解得，球的表面積為；當兩截面在球心的同側時，，無解；綜上，所求球的表面積為.故答案為：.解答題（共5小題，第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，滿分77分）15．（2024高一下·河南·階段練習）已知平面向量，，且．(1)求的值；(2)若，求實數(shù)m的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量線性運算的坐標表示及向量夾角公式求解作答.（2）利用向量線性運算的坐標表示，共線向量的坐標表示求解作答.【詳解】（1）由，得，所以.（2）由（1）知，，，因為，因此，解得，所以實數(shù)m的值為.16．（2024·廣西·模擬預測）設的內角A、、所對的邊分別為、、，且．(1)證明：；(2)若，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后由誘導公式、兩角和與差的正弦公式變形可證；（2）把代入（1）中結論，利用正弦的二倍角公式變形后，結合誘導公式、正弦函數(shù)的性質可求得，注意角范圍．【詳解】（1）因為，由正弦定理得，所以；（2）若，由（1）得，三角形中，所以，所以，又，，所以.17．（2024高一下·河南·期末）某公司加班加點生產(chǎn)口罩，防護服，消毒水等防疫物品．在加大生產(chǎn)的同時，該公司狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量，質檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖．(1)求出直方圖中m的值；(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質量指標值的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，中位數(shù)精確到0.01）．【答案】(1)0.030(2)平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率之和為1求得；（2）由同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值乘以頻率相加得平均值，求出頻率對應的值即得中位數(shù)．【詳解】（1）由，得m＝0.030，所以直方圖中m的值是0.030．（2）平均數(shù)為，因為，，所以中位數(shù)在第4組，設中位數(shù)為n，則，解得，所以可以估計該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質量指標值的平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33．18．（2024高二·重慶江北·期中）如圖，為圓的直徑，為圓周上異于、的一點，垂直于圓所在的平面，于點，于點．（1）求證：；（2）若，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）易證得平面，由線面垂直性質可得，利用線面垂直判定定理可證得平面，由線面垂直性質證得結論；（2）利用勾股定理可求得長，在中，利用面積橋可求得，進而得到；由等腰三角形三線合一可知為中點，由此確定到平面的距離；利用體積橋和三棱錐體積公式可求得結果.【詳解】（1）垂直于圓所在平面，平面，，為圓的直徑，，又平面，，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，.（2），，，，由平面，平面知：，，，解得：，，，，，為中點，由（1）知：平面，到平面的距離為，.【點睛】方法點睛：立體幾何求解三棱錐體積的問題常采用體積橋的方式，將所求三棱錐轉化為底面面積和高易求的三棱錐體積的求解問題.19．（2024高三上·寧夏·階段練習）