2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：拋物線

專練47拋物線

［基礎(chǔ)強(qiáng)化］

一、選擇題

1.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為()

A.1B.2

C.\D./

Zo

答案：B

解析：%2可化為f=4y,則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為:X4=2.

2.已知拋物線y2=2px(/?>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一1,1),則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(-1,0)B.(1,0)

C.(0,-1)D.(0,1)

答案：B

解析：?.,y2=2px的準(zhǔn)線為x=—?,又準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)(一1,1),?=—1,；.p=2,故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,

3.動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)網(wǎng)2,1)的距離和到直線/：3x+4y—10=0的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為()

A.拋物線B.直線C.線段D,射線

答案：B

解析：：網(wǎng)2,1)在直線/：3x+4y—10=0上，.?.動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡為過(guò)點(diǎn)B且與直線/垂直的直線.

4.若拋物線產(chǎn)=2內(nèi)的焦點(diǎn)與雙曲線與一步=1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為()

A.-4B.4C.-2D.2

答案:B

解析：?.,寫(xiě)—/=1的右焦點(diǎn)為(2,0),.'.2=2,p=4.

5.設(shè)廠為拋物線C：產(chǎn)=叔的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8(3,0),若［4下|=|2月，則|43|=()

A.2B.2y/2

C.3D.3^2

答案：B

解析：由已知條件，易知拋物線丁=4%的焦點(diǎn)為F(l,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.又2(3,0),則|4/|=|3/|

=2.不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則A(xo,2y).根據(jù)拋物線的定義可知沏一(一1)=2,所以刈=1,所以4(1,

2),所以|A8|=d(1—3)2+(2—0)2=2^2.故選B.

6.若拋物線丫2=22沏>0)的焦點(diǎn)是橢圓點(diǎn)=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=()

A.2B.3C.4D.8

答案：D

解析：由題意，知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0),橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(師，0),所以g=石，解得

p=8,故選D.

7.

如圖，過(guò)拋物線產(chǎn)=2力9>0)的焦點(diǎn)廠的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,C,若|3C|=2|3F|,&\AF\

=4,則拋物線的方程為()

A.y2=SxB.y2=4x

C.y2=2xD.^=x

答案:B

解析：

如圖，分別過(guò)點(diǎn)A,5作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,設(shè)準(zhǔn)線與1軸交于點(diǎn)G,設(shè)尸|=〃，則由已

知得|BC|=2Q,由定義得|四|=〃，故N5CD=30。，在RtA^ACE中，

V|AF|=4,\AC\=4+3a9

4FGCFn4

.*.2|AE|=|AC|,.*.4+3a=8從而得,\9AE//FG,AyF=~AT，即q=d，得p=2.???拋物線

93A?AC4o

方程為:/=4無(wú).故選B.

8.設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為0,拋物線＞2=2、與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于A,8兩點(diǎn)，則應(yīng)OB等于（）

33

A.4B.-4C.3D.—3

答案：B

解析：當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，AQ，1)，

T),OAOB+1X(—1)=—^；

當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，

設(shè)i：產(chǎn)GO,

由＜尸傘一2，得&2_(3+2)x+與=0

y=2x,

設(shè)A(xi,yi)95a2,yi)

必+21

由韋達(dá)定理得Xl+%2=於,%1X2=W，

??OAOB=xiX2+yiy2=x^X2+—￡)(X2—￡)

1/3

=(1+^)X1X2-2廬(為+入2)+工=-W-

9.已知拋物線丁=2X。＞0）的焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線為/,過(guò)點(diǎn)廠的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)

線/的垂線，垂足為￡當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為（3,州）時(shí)，△AEb為正三角形，則此時(shí)△045的面積為（）

A.羋B.小C羋D.當(dāng)

答案：A

解析：不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)歹作AE的垂線，垂足為X,由題知當(dāng)A的坐標(biāo)為（3,澗）時(shí)為正三角形，此時(shí)X

2

為AE的中點(diǎn)，|AE|=3+g,\EH\=p,：.2p=3+^,解得p=2,：.y=4x,A（3,2事）,F（l,0）,：.kAF

=小，直線AB的方程為y=3（x-1）,代入拋物線方程得3（x—1）2=4尤.設(shè)A（xi,以），B（xz,竺），解得xi

=3,X2=|,此時(shí)yi=2小,”=—乎，，SAAOB=SAOFB+S△。硼=4X1X（平+2小尸半，故選

A.

二、填空題

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：丁=2。尤。＞0）的焦點(diǎn)為R尸為C上一點(diǎn)，尸尸與x軸垂直，。為

x軸上一點(diǎn)，且PQLOP,若日。|=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

3

答案：％=—z

解析:拋物線析＞2=2Q；。＞0）的焦點(diǎn)造，o）,

?尸為C上一點(diǎn)，PP與x軸垂直，

所以P的橫坐標(biāo)為?，代入拋物線方程求得尸的縱坐標(biāo)為切，

不妨設(shè)P（2，P），

因?yàn)?。為x軸上一點(diǎn)，且尸尸，所以。在尸的右側(cè)，

又；尸。|=6,

.??。（6+號(hào),0）,：.PQ=（6,—p）

因?yàn)镻QLOP,所以而OP=gX6—/=0,

V/?＞0,:?p=3,

3

所以C的準(zhǔn)線方程為x=一力.

11.已知點(diǎn)A。，?。┰趻佄锞€C：產(chǎn)=2內(nèi)；上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.

答案：?9

解析：將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程，得5=2p,于是V=5x,則拋物線的準(zhǔn)線方程為x=—土，所以

A到準(zhǔn)線的距離為一（一D=4'

12.已知直線＞=履+2與拋物線V=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則/的值為.

答案：。或1

[y=-kx~\~2,

解析：由得9f+（4左一8）x+4=0,

[y—8%,

若左=0,滿足題意；若女#0,則力=（4左一8）2—4義43=0,得攵=1.綜上得％=0或%=1.

［能力提升］

13.(多選)[2023?新課標(biāo)II卷]設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=一小(x—1)過(guò)拋物線C：丁=2。尤。>0)的焦點(diǎn)，

且與C交于N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，貝)

A.p=2

Q

B.|W|=Q

C.以MN為直徑的圓與/相切

D.AOMN為等腰三角形

答案：AC

解析：由題意，易知直線y=—45(x—1)過(guò)點(diǎn)(1,0).

對(duì)于A,因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)拋物線。的焦點(diǎn)，所以易知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以5=1,即p=2,所以A選

項(xiàng)正確.

fy=一小(x—1)

對(duì)于B,不妨設(shè)A/(xi,yi),Ng,丁2),x\<X2,聯(lián)立方程得，,消去y并整理得—

l/=4x

10x+3=0,解得,雙=3.所以),N(3,一25),

所以由兩點(diǎn)間距離公式可得|MN|=Y(3—12—(—25一平口=y,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C,由以上分析易知，/的方程為x=—1,以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(|,—乎)，半徑廠

1QS

=]|AfN|=§=§+1,所以以A/N為直徑的圓與/相切，故C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D,由兩點(diǎn)間距離公式可得|四川=號(hào),\OM\=^~,\ON\=y[2i,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上，選AC.

14.(多選)[2024?新課標(biāo)H卷]拋物線C：V=4x的準(zhǔn)線為/,尸為C上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作。A：X2+(J-4)2=

1的一條切線，。為切點(diǎn)，過(guò)尸作/的垂線，垂足為8.則()

A./與。A相切

B.當(dāng)尸，A,2三點(diǎn)共線時(shí)，|尸。|=仃

C.當(dāng)|尸8|=2時(shí)，PA±AB

D.滿足|B4|=|P8|的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)

答案：ABD

解析：

：y2=4x,.,.準(zhǔn)線/為直線x=-l,圓心為A（0,4）,半徑為1,作出拋物線C與。A如圖所示.

與。A相切，故A正確.當(dāng)尸,A,8三點(diǎn)共線時(shí)，：A（0,4）,...尸點(diǎn)坐標(biāo)為（4,4）,,：\PA\=4,\AQ\=1,

???尸。1=142_1=V15,故B正確.當(dāng)|EB|=2時(shí)，產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）或（1,—2）.當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）時(shí)，

點(diǎn)B坐標(biāo)為（一1,2）,|E4|=^/12+（4-2）2=巾=|AB|,而|PB|=2,|B4|2+|AB|V|PB|2,此時(shí)E4與48

不垂直；當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—2）時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（一1,-2）,|朋=山2+（4+2）2=病=|AB|,而|P8|

=2,則|B4|2+|AB|2W|P8|2,此時(shí)必與A8不垂直，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī)（利>0）,則點(diǎn)

P坐標(biāo)為（加，2赤）或（機(jī)，一2聲），|尸8|=m+1.當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（優(yōu)，2而）時(shí)，\PA\=ylm2+（2^+4）2,

'：\PA\=\PB\,：.\PA\2=\PB\2,即源+4%+16—16礪=m2+l+2m,化簡(jiǎn)得2%+15—16礪=0,解得加

—~2+4-\/34,m2=V—4-\/34,當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為⑺，一2赤）時(shí)，|網(wǎng)=勺蘇+（2赤+4）2,同理，由照|

=\PB\,得2m+1&\師+15=0,解得<注=-殳墳匣<0或［企=-&2^^<0,不符合題意，因此滿足

|朋|=|尸8|的點(diǎn)尸有且僅有2個(gè)，故D正確