人教版九年級數(shù)學(xué)下冊銳角三角函數(shù)《解直角三角形及其應(yīng)用（第1課時）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

解直角三角形及其應(yīng)用（第1課時）教學(xué)目標(biāo)1．了解解直角三角形的意義和條件．2．能根據(jù)已知的兩個條件（至少有一個是邊），解直角三角形．教學(xué)重點(diǎn)解直角三角形的依據(jù)和方法．教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)條件解直角三角形．教學(xué)過程知識回顧如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝＝；把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA＝＝；把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA＝＝．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】我們回到本章引言提出的比薩斜塔傾斜程度的問題．1972年的情形：設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為∠A，過點(diǎn)B向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)C（如圖）．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度數(shù)．【答案】∵BC＝5.2m，AB＝54.5m，∴．利用計(jì)算器可得∠A≈5°28′．【問題】意大利從1990年起對斜塔維修糾偏，2001年竣工，此時塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了43.8cm．類似地，可以求出2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角．你能求出來嗎？【師生活動】教師與學(xué)生一起分析糾偏后的數(shù)據(jù)，得到對應(yīng)的邊角關(guān)系，然后學(xué)生作答，教師補(bǔ)充．【答案】∵43.8cm＝0.438m，∴B′C＝BC－0.438＝5.2－0.438＝4.762（m）．∴．利用計(jì)算器可得∠A≈5°0′46″．【追問】1．將上述問題推廣為一般的數(shù)學(xué)問題如何求解？【師生活動】學(xué)生思考并作答：已知直角三角形的斜邊和一條直角邊，求它的銳角的度數(shù)．可利用銳角的正弦（或余弦）的概念直接求解．【追問】2．在上述Rt△ABC中，你還能求其他未知的邊和角嗎？【師生活動】學(xué)生思考并說明求解思路：根據(jù)直角三角形兩銳角互余可求得∠B的值，根據(jù)可求得AC的長．教師把問題一般化，給出解直角三角形的概念．【新知】一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．【設(shè)計(jì)意圖】通過實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并一般化：已知直角三角形斜邊和直角邊，求它的銳角的度數(shù)．通過求解的過程，初步體會解直角三角形的概念，引入課題．【問題】在直角三角形中，除直角外的五個元素之間有哪些關(guān)系？【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形，梳理五個元素之間的關(guān)系，學(xué)生作答．【歸納】如圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，那么除直角∠C外的五個元素之間有如下關(guān)系：（1）三邊之間的關(guān)系a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°；（3）邊角之間的關(guān)系上述（3）中的A都可以換成B，同時把a(bǔ)，b互換．【設(shè)計(jì)意圖】有條理地梳理直角三角形中五個元素之間的關(guān)系，明確各自的作用，便于應(yīng)用．【問題】知道五個元素中的幾個，就可以求其余元素？【師生活動】教師直接給出結(jié)論．【歸納】在直角三角形中，知道除直角以外的五個元素中的兩個元素（至少有一個是邊），就可以求其余三個未知元素．已知兩個角不能解直角三角形，因?yàn)橹挥薪堑臈l件時，三角形的大小不能確定，即有無數(shù)多個三角形符合條件：已知一角、一邊時，角必須是銳角，若已知的角是直角，則不可解．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟悉解直角三角形的條件．二、典例精講【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解這個直角三角形．【師生活動】學(xué)生在教師問題的引導(dǎo)下，思考如何求出所有未知元素．【追問】1．解直角三角形的目標(biāo)是什么？【師生活動】學(xué)生回答，解直角三角形的目標(biāo)是由已知元素求所有未知元素．【追問】2．在Rt△ABC中，有哪些未知元素？如何求這些未知元素？求解的依據(jù)是什么？【師生活動】先讓學(xué)生找出所有未知元素：∠A，∠B和AB，然后讓學(xué)生逐一說明求每一個未知元素的方法和依據(jù)．教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形，選擇反映五個元素之間關(guān)系的式子，鼓勵學(xué)生采取不同方法求解，并引導(dǎo)學(xué)生選擇簡潔的解題途徑，最后給出簡潔、規(guī)范的解題步驟．【答案】解：∵∴∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，AB＝2AC＝2．【設(shè)計(jì)意圖】通過解特殊的直角三角形，訓(xùn)練學(xué)生解直角三角形的思路和方法，提高分析和解決問題的能力．【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解這個直角三角形（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．【師生活動】先由學(xué)生代表參照例1的解題思路，分析本題的解題思路；然后由學(xué)生獨(dú)立完成，再小組交流；最后由學(xué)生代表展示解題步驟．對于求c，如果學(xué)生采取不同方法，讓他們展示不同方法；如果學(xué)生沒有采取不同方法，教師注意引導(dǎo)他們思考其他解法．【答案】解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°．∵∴．∵∴【歸納】解直角三角形的類型及方法：圖示已知類型已知條件方法與步驟兩邊斜邊，一條直角邊（如c，a）（1）；（2）由，求∠A；（3）∠B＝90°－∠A兩條直角邊a，b（1）；（2）由，求∠A；（3）∠B＝90°－∠A一邊、一角（除直角外）斜邊，一個銳角（如c，∠A）（1）∠B＝90°－∠A；（2）由，得a＝c·sinA；（3）由，得b＝c·cosA一條直角邊，一個銳角（如a，∠A）（1）∠B＝90°－∠A；（2）由，得；（3）由，得【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生解一般直角三角形的思