廣東省廣州三校2025屆高三4月質(zhì)量檢測試題（四）數(shù)學試題含解析

廣東省廣州三校2025屆高三4月質(zhì)量檢測試題（四）數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論：①曲線C經(jīng)過5個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2；③曲線C圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號是()A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④2．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則（）A．4 B．3 C．2 D．13．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)，，則A． B．C． D．4．將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．5．已知正四面體的棱長為，是該正四面體外接球球心，且，，則（）A． B．C． D．6．已知直線過雙曲線C：的左焦點F，且與雙曲線C在第二象限交于點A，若（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．7．使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A． B． C． D．8．正方體，是棱的中點，在任意兩個中點的連線中，與平面平行的直線有幾條（）A．36 B．21 C．12 D．69．自2019年12月以來，在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強的傳染性各級政府反應迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記，有3個不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶，負責該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生，現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去，且每個住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記，則不同的分配方案共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．72種10．某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．已知集合A，則集合（）A． B． C． D．12．已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)、滿足約束條件，若的最小值是，則的值為__________.14．如圖，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中點，E在邊AC上，AE＝2EC，CD與BE交于點O，若OB＝OC，則△ABC面積的最大值為_______．15．從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表，甲被選中的概率為__________.16．在平面直角坐標系中，若雙曲線（，）的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)為拋物線的焦點，，為拋物線上的兩個動點，為坐標原點.（Ⅰ）若點在線段上，求的最小值；（Ⅱ）當時，求點縱坐標的取值范圍.18．（12分）我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后，社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁瑣，費時費力.社保改革后將簡化手續(xù)，深得流動就業(yè)人員的贊譽.某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人，得到其辦理手續(xù)所需時間（天）與人數(shù)的頻數(shù)分布表：時間人數(shù)156090754515（1）若300名辦理社保的人員中流動人員210人，非流動人員90人，若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60人，請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關(guān).列聯(lián)表如下流動人員非流動人員總計辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天辦理社保手續(xù)所需時間超過4天60總計21090300（2）為了改進工作作風，提高效率，從抽取的300人中辦理時間為流動人員中利用分層抽樣，抽取12名流動人員召開座談會，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時間為的人數(shù)為，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87919．（12分）已知點P在拋物線上，且點P的橫坐標為2，以P為圓心，為半徑的圓（O為原點），與拋物線C的準線交于M，N兩點，且．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線的準線與y軸的交點為H．過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A，B，且，求的值．20．（12分）設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為．（1）當直線的傾斜角為時，求線段AB的中點的橫坐標；（2）設(shè)點A關(guān)于軸的對稱點為C，求證：M，B，C三點共線；（3）設(shè)過點M的直線交橢圓于兩點，若橢圓上存在點P，使得（其中O為坐標原點），求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知，，（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，求邊上的高的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

利用基本不等式得，可判斷②；和聯(lián)立解得可判斷①③；由圖可判斷④.【詳解】，解得（當且僅當時取等號），則②正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線C相切于點，，，，則①和③都錯誤；由，得④正確.故選：B.本題考查曲線與方程的應用，根據(jù)方程，判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論，考查學生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.2．A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得，即，已知，解得.故選：.本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計算，意在考查學生的計算能力.3．B【解析】

由可得，所以，故選B．4．D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式，然后將四個選項代入逐一判斷即可.【詳解】解：圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，故選：D考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.5．A【解析】

如圖設(shè)平面，球心在上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得，根據(jù)平面向量的加法的幾何意義，重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出的值.【詳解】如圖設(shè)平面，球心在上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因為為重心，因此，則，因此，因此，則，故選A.本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.6．B【解析】

直線的傾斜角為，易得．設(shè)雙曲線C的右焦點為E，可得中，，則，所以雙曲線C的離心率為.故選B．7．B【解析】二項式展開式的通項公式為，若展開式中有常數(shù)項，則，解得，當r取2時，n的最小值為5，故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應用．8．B【解析】

先找到與平面平行的平面，利用面面平行的定義即可得到.【詳解】考慮與平面平行的平面，平面，平面，共有，故選：B.本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義，涉及到了簡單的組合問題，是一中檔題.9．C【解析】

先將4名醫(yī)生分成3組，其中1組有2人，共有種選法，然后將這3組醫(yī)生分配到3個不同的住戶中去，有種方法，由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選：C此題考查的是排列組合知識，解此類題時一般先組合再排列，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

作出三棱錐的實物圖，然后補成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球，然后計算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示：將其補成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型進行計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.11．A【解析】

化簡集合,，按交集定義，即可求解.【詳解】集合，，則.故選:A.本題考查集合間的運算，屬于基礎(chǔ)題.12．B【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應圖形如下：可知點,，在處有最小值，最小值為.故選：B.本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，運用了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點的坐標，由得，顯然直線過時，最小，代入求出的值即可．【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，則點.由得，顯然當直線過時，該直線軸上的截距最小，此時最小，，解得.故答案為：．本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．14．【解析】

先根據(jù)點共線得到，從而得到O的軌跡為阿氏圓，結(jié)合三角形和三角形的面積關(guān)系可求.【詳解】設(shè)B，O，E共線，則，解得，從而O為CD中點，故.在△BOD中，BD＝2，，易知O的軌跡為阿氏圓，其半徑，故．故答案為：.本題主要考查三角形的面積問題，把所求面積進行轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).15．【解析】

甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據(jù)公式即可求得概率.【詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.本題考查古典概型的概率的計算,考查學生分析問題的能力,難度容易.16．【解析】

利用，解出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】，且，，，該雙曲線的漸近線方程為：.故答案為：.本題考查了雙曲線離心率與漸近線方程，考查了雙曲線基本量的關(guān)系，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）由拋物線的性質(zhì)，當軸時，最?。唬?）設(shè)點，，分別代入拋物線方程和得到三個方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解：（1）由拋物線的標準方程，，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，當軸時，最小，最小值為，即為4.（2）由題意，設(shè)點，，其中，.則，①，②因為，，，所以.③由①②③，得，由，且，得，解不等式，得點縱坐標的范圍為.本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問題，考查運算能力，此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等，易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解.18．（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表，計算出的觀測值，即可進行判斷；（2）先計算出時間在和選取的人數(shù)，再求出的可取值，根據(jù)古典概型的概率計算公式求得分布列，結(jié)合分布列即可求得數(shù)學期望.【詳解】（1）因為樣本數(shù)據(jù)中有流動人員210人，非流動人員90人，所以辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表如下：辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表流動人員非流動人員總計辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天453075辦理社保手續(xù)所需時間超過4天16560225總計21090300結(jié)合列聯(lián)表可算得.有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關(guān).（2）根據(jù)分層抽樣可知時間在可選9人，時間在可以選3名，故，則，，，，可知分布列為0123可知.本題考查獨立性檢驗中的計算，以及離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望，涉及分層抽樣，屬綜合性中檔題.19．(1)(2)4【解析】

（1）將點P橫坐標代入拋物線中求得點P的坐標，利用點P到準線的距離d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）設(shè)A、B點坐標以及直線AB的方程，代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及垂直關(guān)系，得出關(guān)系式，計算的值即可．【詳解】（1）將點P橫坐標代入中，求得，∴P（2，），，點P到準線的距離為，∴，∴，解得，∴，∴拋物線C的方程為：；（2）拋物線的焦點為F（0，1），準線方程為，；設(shè)，直線AB的方程為，代入拋物線方程可得，∴，…①由，可得，又，，∴，∴，即，∴，…②把①代入②得，，則．本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及拋物線與圓的方程應用問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．20．(1)AB的中點的橫坐標為；（2）證明見解析；（3）【解析】

設(shè).（1）因為直線的傾斜角為，，所以直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，消去并整理，得，則，故線段AB的中點的橫坐標為．（2）根據(jù)題意得點，若直線AB的斜率為0，則直線AB的方程為，A、C兩點重合，顯然M，B，C三點共線；若直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，消去并整理得，則，設(shè)直線BM、CM的斜率分別為、，則，即=，即M，B，C三點共線．（3）根據(jù)題意，得直線GH的斜率存在，設(shè)該直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，消去并整理，得，由，整理得，又，所以，結(jié)合，得，當時，該直線為軸，即，此時橢圓上任意一點P都滿足，此時符合題意；當時，由，得，代入橢圓C的方程，得，整理，得，再結(jié)合，得到，即，綜上，得到實數(shù)的取值范圍是．21．（1）；（2）.【解析】

（1）求導得到，討論和兩種情況，計算函數(shù)的單調(diào)性，得到，再討論，，