高考數學 熱點題型和提分秘籍 專題14 導數與函數的單調性、極值 理（含解析）

專題十四導數與函數的單調性、極值【高頻考點解讀】1.了解函數單調性和導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區(qū)間(其中多項式函數一般不超過三次)．2.了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數一般不超過三次)．【熱點題型】題型一利用導數研究函數的單調性例1、(年高考全國新課標卷Ⅱ)已知函數f(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)設x＝0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；(2)當m≤2時，證明f(x)>0.【方法技巧】1．當f(x)不含參數時，可以通過解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)直接得到單調遞增(或遞減)區(qū)間．2．導數法證明函數f(x)在(a，b)內的單調性的步驟：(1)求f′(x)；(2)確認f′(x)在(a，b)內的符號；(3)作出結論：f′(x)>0時為增函數；f′(x)<0時為減函數．【提分秘籍】1．求函數f(x)的單調區(qū)間，也是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集，但單調區(qū)間不能脫離定義域而單獨存在，求單調區(qū)間要堅持“定義域優(yōu)先”的原則．2．由函數f(x)在區(qū)間[a，b]內單調遞增(或遞減)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在該區(qū)間恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．【舉一反三】設函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(a,2)x2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a>0，求函數f(x)的單調區(qū)間；(3)設函數g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在區(qū)間(－2，－1)內存在單調遞減區(qū)間，求實數a的取值范圍．【熱點題型】題型二利用導數研究函數的極值例2(年高考重慶卷)設f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)．(1)確定a的值；(2)求函數f(x)的單調區(qū)間與極值．【提分秘籍】利用導數研究極值需注意以下幾點(1)首先考慮定義域.(2)判斷函數的單調性時要注意分類討論．(3)導數值為0的點不一定是函數的極值點．【舉一反三】設函數f(x)的定義域為R，x0(x0≠0)是f(x)的極大值點，以下結論一定正確的是()A．?x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的極小值點C．－x0是－f(x)的極小值點D．－x0是－f(－x)的極小值點【熱點題型】題型三利用導數研究方程根的問題例3、已知函數f(x)＝ln(2ax＋1)＋eq\f(x3,3)－x2－2ax(a∈R)．(1)若x＝2為f(x)的極值點，求實數a的值；(2)當a＝－eq\f(1,2)時，方程f(1－x)＝eq\f(1－x3,3)＋eq\f(b,x)有實根，求實數b的最大值．【提分秘籍】1．利用導數研究高次式、分式、指數式、對數式方程解的個數問題的一般思路(1)將問題轉化為函數的零點問題，進而轉化為函數的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上交點問題；(2)利用導數研究出該函數在該區(qū)間上單調性、極值(最值)、端點值等性質，進而畫出其圖象；(3)結合圖象求解．2．證明復雜方程在某區(qū)間上有且僅有一解的步驟第一步：利用導數證明該函數在該區(qū)間上單調；第二步：證明端點值異號.【高考風向標】1．（·安徽卷）設函數f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調性；(2)當x∈[0，1]時，求f(x)取得最大值和最小值時的x的值．2．（·安徽卷）設實數c＞0，整數p＞1，n∈N*.(1)證明：當x＞－1且x≠0時，(1＋x)p＞1＋px；(2)數列{an}滿足a1＞ceq\f(1,p)，an＋1＝eq\f(p－1,p)an＋eq\f(c,p)aeq\o\al(1－p,n)，證明：an＞an＋1＞ceq\f(1,p).方法二：設f(x)＝eq\f(p－1,p)x＋eq\f(c,p)x1－p，x≥ceq\f(1,p)，則xp≥c，所以f′(x)＝eq\f(p－1,p)＋eq\f(c,p)(1－p)x－p＝eq\f(p－1,p)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(c,xp)))>0.由此可得，f(x)在[ceq\f(1,p)，＋∞)上單調遞增，因而，當x>ceq\f(1,p)時，f(x)>f(ceq\f(1,p))＝ceq\f(1,p).①當n＝1時，由a1>ceq\f(1,p)>0，即aeq\o\al(p,1)>c可知3．（·福建卷）已知函數f(x)＝ex－ax(a為常數)的圖像與y軸交于點A，曲線y＝f(x)在點A處的切線斜率為－1.(1)求a的值及函數f(x)的極值；(2)證明：當x>0時，x2<ex；(3)證明：對任意給定的正數c，總存在x0，使得當x∈(x0，＋∞)時，恒有x2<cex.(3)證明：①若c≥1，則ex≤cex.又由(2)知，當x>0時，x2<ex.故當x>0時，x2<cex.取x0＝0，當x∈(x0，＋∞)時，恒有x2<cex.4．（·廣東卷）曲線y＝e－5x＋2在點(0，3)處的切線方程為________．5．（·江西卷）若曲線y＝e－x上點P處的切線平行于直線2x＋y＋1＝0，則點P的坐標是________．6．（·江西卷）已知函數f(x)＝(x2＋bx＋b)eq\r(1－2x)(b∈R)．(1)當b＝4時，求f(x)的極值；(2)若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上單調遞增，求b的取值范圍．7．（·全國卷）曲線y＝xex－1在點(1，1)處切線的斜率等于()A．2eB．eC．2D．18．（·新課標全國卷Ⅱ）設曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(0，0)處的切線方程為y＝2x，則a＝()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】y′＝a－eq\f(1,x＋1)，根據已知得，當x＝0時，y′＝2，代入解得a＝3.9．（·陜西卷）設函數f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表達式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍；(3)設n∈N＋，比較g(1)＋g(2)＋…＋g(n)與n－f(n)的大小，并加以證明．(3)由題設知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f(n,n＋1)，比較結果為g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．證明如下：由①②可知，結論對n∈N＋成立．方法三：如圖，eq\i\in(0,n,)eq\f(x,x＋1)dx是由曲線y＝eq\f(x,x＋1)，x＝n及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，而eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f(n,n＋1)是圖中所示各矩形的面積和，∴eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f(n,n＋1)>eq\i\in(0,n,)eq\f(x,x＋1)dx＝eq\i\in(0,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x＋1)))dx＝n－ln(n＋1)，結論得證．10．（·四川卷）設等差數列{an}的公差為d，點(an，bn)在函數f(x)＝2x的圖像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，點(a8，4b7)在函數f(x)的圖像上，求數列{an}的前n項和Sn；(2)若a1＝1，函數f(x)的圖像在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－eq\f(1,ln2)，求數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))的前n項和Tn.所以，Tn＝eq\f(2n＋1－n－2,2n).11．（·新課標全國卷Ⅰ）已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,ln（x＋1），x＞0.))若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2，1]D．[－2，0]12．（·廣東卷）若曲線y＝kx＋lnx在點(1，k)處的切線平行于x軸，則k＝________．【答案】－1【解析】∵y′＝k＋eq\f(1,x)，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，故k＝－1.13．（·江西卷）設函數f(x)在(0，＋∞)內可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________．【答案】2【解析】f(ex)＝x＋ex，利用換元法可得f(x)＝lnx＋x，f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，所以f′(1)＝2.14．（·北京卷）設L為曲線C：y＝eq\f(lnx,x)在點(1，0)處的切線．(1)求L的方程；(2)證明：除切點(1，0)之外，曲線C在直線L的下方．15．（·全國卷）若函數f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))是增函數，則a的取值范圍是()A．[－1，0]B．[－1，＋∞)C．[0，3]D．[3，＋∞)【隨堂鞏固】1．下列函數中，既是偶函數又在(0，＋∞)單調遞增的函數是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|2．下列函數f(x)中，滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)解析：由題意可知，函數f(x)在(0，＋∞)上為減函數．答案：A3．函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0，))(a>0且a≠1)是R上的減函數，則a的取值范圍是()A．(0,1) B．[eq\f(1,3)，1)C．(0，eq\f(1,3)] D．(0，eq\f(2,3)]4．下列區(qū)間中，函數f(x)＝|ln(2－x)|在其上為增函數的是()A．(－∞，1] B．[－1，eq\f(4,3)]C．[0，eq\f(3,2)) D．[1,2)解析：由2－x>0，得x<2，即函數定義域是(－∞，2)．作出函數y＝|ln(－x)|的圖象，再將其向右平移2個單位，即函數f(x)＝|ln(2－x)|的圖象，由圖象知f(x)在[1,2)上為增函數．答案：D5．函數y＝(eq\f(1,2))2x2－3x＋1的遞減區(qū)間為()A．(1，＋∞) B．(－∞，eq\f(3,4))C．(eq\f(1,2)，＋∞) D．[eq\f(3,4)，＋∞)6．已知函數f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數，在(0，＋∞)上單調遞減，且f(eq\f(1,2))>0>f(－eq\r(3))，則方程f(x)＝0的根的個數為()A．0 B．1C．2 D．37．函數f(x)＝log5(2x＋1)的單調增區(qū)間是________．8．函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0,0，x＝0,－1，x<0))，g(x)＝x2f(x－1)，則函數g(x)的遞減區(qū)間是________．9．已知函數f(x)＝eq\f(\r(3－ax),a－1)(a≠1)，若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數，則實數a的取值范圍是________．10．已知函數f(x)對任意的a，b∈R恒有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且當x>0時，f(x)>1.(1)求證：f(x)是R上的增函數；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－11．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a