廣東省2024高考數(shù)學學業(yè)水平合格考試總復習第4章空間幾何體教師用書教案

PAGE1-第4章空間幾何體考綱展示考情匯總備考指導空間幾何體①相識柱、錐、臺、球及其簡潔組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡潔物體的結構.②能畫出簡潔空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖.③會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.④會畫某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求).⑤了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.2024年1月T212024年1月T82024年1月T92024年1月T212024年1月T14本章的重點是求幾何體的體積和表面積，難點是三視圖的識別及應用，學習本章時要留意提高空間想象實力，計算幾何體的體積或表面積時要留意和空間中點、直線、平面間的位置關系相結合.多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念[基礎學問填充]空間幾何體的結構(1)柱、錐、臺、球的結構特征①棱柱：有兩個面相互平行(即底面平行且全等)，其余各面(即側面)都是四邊形，每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所圍成的多面體．②棱錐：有一個面(即底面)是多邊形，其余各面(即側面)都有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體．③棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分．④圓柱定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體．軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸．底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面．側面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面．母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊．⑤圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)，形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體．⑥圓臺：用平行于底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分．⑦球：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球．(2)簡潔組合體的結構特征①定義：由簡潔幾何體組合而成的幾何體叫做簡潔組合體．②組合形成(如圖)：[學考真題對練](2024·1月廣東學考)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，BD1＝2，則AA1A．1 B．eq\r(2)C．2 D．eq\r(3)B[BDeq\o\al(2,1)＝AB2＋AD2＋DDeq\o\al(2,1)，DD1＝eq\r(2)，AA1＝DD1＝eq\r(2).]解決與空間幾何體結構特征有關問題的技巧(1)關于空間幾何體的結構特征辨析關鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要擅長通過舉反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例即可．(2)圓柱、圓錐、圓臺的有關元素都集中在軸截面上，解題時要留意用好軸截面中各元素的關系．(3)棱(圓)臺是由棱(圓)錐截得的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要留意“還臺為錐”的解題策略．[最新模擬快練]1．(2024·惠州高一期末)下面多面體中，是棱柱的有()A．1個B．2個C．3個 D．4個D[依據(jù)棱柱的定義進行判定知，這4個圖都滿意．]2．(2024·江門學考模擬)視察如圖所示的四個幾何體，其中推斷不正確的是()A．①是棱柱 B．②不是棱錐C．③不是棱錐 D．④是棱臺B[結合棱柱、棱錐、棱臺的定義可知①是棱柱，②是棱錐，④是棱臺，③不是棱錐，故B錯誤．]3．(2024·廣州學考模擬)下列說法中正確的是()A．棱柱的面中，至少有兩個面相互平行B．棱柱中兩個相互平行的平面肯定是棱柱的底面C．棱柱中一條側棱就是棱柱的高D．棱柱的側面肯定是平行四邊形，但它的底面肯定不是平行四邊形A[棱柱的兩底面相互平行，故A正確；棱柱的側面也可能有平行的面(如正方體)，故B錯；立在一起的一摞書可以看成一個四棱柱，當把這摞書推傾斜時，它的側棱就不是棱柱的高，故C錯；由棱柱的定義知，棱柱的側面肯定是平行四邊形．但它的底面可以是平行四邊形，也可以是其他多邊形，故D錯．]4．(2024·汕頭市學考模擬)下列說法不正確的是()A．圓柱的側面綻開圖是一個矩形B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C．直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺平行于底面的截面是圓面C[由圓錐的概念知直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓錐，即旋轉(zhuǎn)軸為直角三角形的一條直角邊所在的直線，因而C錯．]5.下列幾何體中，能截出面是如圖所示的形態(tài)的有()A．球體 B．圓柱C．棱柱 D．棱錐B[用過圓柱的底面且不與母線平行的平面截圓柱．]6．(2024·佛山高一月考)用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是三角形，這個幾何體可能是()A．圓柱B．圓臺C．球體 D．棱臺D[圓柱、圓臺和球體無論怎樣截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圓柱)，不行能截出三角形．只有棱臺可以截出三角形，故選D．]7.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，BD1＝2，則AA1A．1 B．eq\r(2)C．2 D．eq\r(3)空間幾何體的三視圖[基礎學問填充]空間幾何體的三視圖(1)正視圖光線從幾何體的前面對后面正投影，得到的投影圖，它能反映幾何體的高度和長度．(2)側視圖光線從幾何體的左面對右面正投影，得到的投影圖，它能反映幾何體的高度和寬度．(3)俯視圖光線從幾何體的上面對下面正投影，得到的投影圖，它能反映幾何體的長度和寬度．[最新模擬快練]1．(2024·蛇口學考模擬)如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體為()A．球B．圓柱C．圓臺 D．圓錐D[依據(jù)三視圖可知，該幾何體為圓錐．]2．(2024·陽江市學考模擬)正視圖為矩形的幾何體是()A[選項A中圓柱的正視圖是矩形．]3．(2024·河源市高一期末)如圖(1)、(2)、(3)、(4)為四個幾何體的三視圖，依據(jù)三視圖可以推斷這四個幾何體依次分別為()A．三棱臺、三棱柱、圓錐、圓臺B．三棱臺、三棱錐、圓錐、圓臺C．三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺D．三棱柱、三棱臺、圓錐、圓臺C[如圖(1)三視圖復原的幾何體是放倒的三棱柱；(2)三視圖復原的幾何體是四棱錐；(3)三視圖復原的幾何體是圓錐；(4)三視圖復原的幾何體是圓臺．所以(1)(2)(3)(4)的依次為：三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺．]4．(2024·惠州市高一月考)如圖中幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的幾何體是()A．圓錐 B．正方體C．正三棱柱 D．球A[選項A中圓錐的正視圖和側視圖相同，與俯視圖不同，故選A．]5．(2024·廣州學考模擬)某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不行能是()D[由于該幾何體的正視圖和側視圖相同，且上部分是一個矩形，矩形中間無實線和虛線，因此俯視圖不行能是D．]6．(2024·梅州高一月考)如圖，某簡潔組合體由半個球和一個圓臺組成，則該幾何體的側視圖為()B[由三視圖的概念易知答案選B．]7．(2024·廣東省一般中學學業(yè)水平測試數(shù)學模擬測試卷(考前壓題篇))若如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是()A．圓錐B．棱柱C．圓柱 D．棱錐C[∵圓柱的正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖是一個圓，∴該幾何體是圓柱．故選C．]三視圖問題的常見類型及解題策略：(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．留意正視圖、側視圖和俯視圖的視察方向，留意看到的部分用實線表示，不能看到的部分用虛線表示．(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先依據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推想直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形態(tài)．要熟識柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結合空間想象將三視圖還原為實物圖．空間幾何體的表面積和體積[基礎學問填充]空間幾何體的表面積與體積下表中，c′，c分別表示上、下底面的周長，h表示高，h′表示斜高，l表示母線長，r表示圓柱、圓錐底面半徑，r1，r2分別表示圓臺的上、下底面半徑，R表示球半徑．名稱S側S全V直棱柱chS側＋2S底S底·h正棱錐eq\f(1,2)ch′S側＋S底eq\f(1,3)S底·h正棱臺eq\f(1,2)(c＋c′)·h′S側＋S上底＋S下底eq\f(1,3)h(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))圓柱2πrl2πr(l＋r)πr2·h圓錐πrlπr(l＋r)eq\f(1,3)πr2·h圓臺πl(wèi)(r1＋r2)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1l＋r2l)eq\f(1,3)πh(req\o\al(2,1)＋r1r2＋req\o\al(2,2))球4πR2eq\f(4,3)πR3[學考真題對練]1．(2024·1月廣東學考)如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖是正方形，則該幾何體的體積為()A．1B．2C．4D．8C[由圖象可知該空間幾何體為長方體，長和寬為2，高為1，體積V＝2×2×1＝4，故選C．]2．(2024·1月廣東學考)一個棱長為2的正方體，其頂點均在同一球的球面上，則該球的表面積是()(參考公式：球的表面積公式為S＝4πR2，其中R是球的半徑)A．3π B．4πC．8π D．12πD[由于正方體的頂點均在同一球的球面上，即其體對角線為球的直徑：2R＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)，∴R＝eq\r(3)，∴球的表面積為S＝4πR2＝12π，故選D．]3．(2024·1月廣東學考)如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PA＝PB＝PC＝2，E是AC的中點，點F在線段PC上．(1)證明：PB⊥AC；(2)若PA∥平面BEF，求四棱錐B-APFE的體積．(參考公式：錐體的體積公式為V＝eq\f(1,3)Sh，其中S是底面積，h是高．)[解](1)∵PA⊥PB，PB⊥PC，PC∩PA＝P，∴PB⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴PB⊥AC．(2)∵PA∥平面BEF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝EF，∴EF∥PA，∴四邊形PAEF為梯形，又∵PA⊥PC，∴四邊形PAEF為直角梯形，又∵E是AC的中點，∴F為PC的中點，∴PF＝eq\f(1,2)PC＝1，EF＝eq\f(1,2)PA＝1，∴直角梯形APFE的面積S＝eq\f(AP＋EF,2)×PF＝eq\f(3,2).由(1)知PB⊥平面APFE.∴四棱錐B-APFE的體積V＝eq\f(1,3)S·PB＝1.1.空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可干脆用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可干脆利用公式進行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能干脆利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先依據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后依據(jù)條件求解．2．空間幾何體表面積的求法：(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數(shù)量．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積留意連接部分的處理．(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題留意其側面綻開圖的應用．[最新模擬快練]1．(2024·揭陽學考模擬題)某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖均為正方形，俯視圖為圓，那么這個幾何體的表面積是()A．4π B．5πC．6π D．2π＋4C[由三視圖知該幾何體為高為2，直徑為2的圓柱，其表面積是S＝π×12×2＋2π×1×2＝6π.]2．(2024·廣州市中學二年級學生學業(yè)水平模擬測試)一個空間幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示，則這個幾何體的體積是()A．3 B．eq\f(5,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,2)D[由三視圖知該幾何體是底面為兩直角邊分別為eq\r(3)，1的直角三角形，高為eq\r(3)的直三棱柱，其體積為eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×eq\r(3)＝eq\f(3,2)，故選D．]3．(2024·韶關市學考模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．eq\f(16,3)π B．48πC．eq\f(64,3)π D．64πA[由三視圖可得，該幾何體為圓錐，該圓錐的底面半徑為2，圓錐的高為4，由圓錐的體積公式可得該幾何體的體積為eq\f(1,3)×π×22×4＝eq\f(16,3)π.]4．(2024·東莞市學考模擬)已知一個圓柱的側面綻開圖是一個正方形，這個圓柱的表面積與側面積的比是()A．eq\f(1＋2π,2π) B．eq\f(1＋4π,4π)C．eq\f(1＋2π,π) D．eq\f(1＋4π,2π)A[設圓柱底面半徑、母線長分別為r，l，由題意知l＝2πr，S側＝l2＝4π2r2.S表＝S側＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，eq\f(S表,S側)＝eq\f(2πr22π＋1,4π2r2)＝eq\f(1＋2π,2π).]5．(2024·廣東學