2025年高考物理一輪復習（新人教版） 第11章　第4課時　專題強化：用“動態(tài)圓”思想處理臨界、極值問題

第十一章磁場第4課時專題強化：用“動態(tài)圓”思想處理臨界、極值問題目標要求1.進一步掌握帶電粒子在有界磁場中運動的臨界、極值問題。2.會用平移圓法、旋轉圓法、放縮圓法分析臨界狀問題。內容索引考點一“平移圓”考點二“旋轉圓”考點三“放縮圓”課時精練><考點一“平移圓”適用條件粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不同但在同一直線上的同種帶電粒子進入勻強磁場時，它們做勻速圓周運動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝

，如圖所示

軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線上，該直線與入射點的連線平行界定方法將半徑為R＝

的圓進行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法例1

(多選)如圖所示，在Ⅰ、Ⅱ兩個區(qū)域內存在磁感應強度大小均為B的勻強磁場，磁場方向分別垂直于紙面向外和向里，AD、AC邊界的夾角∠DAC＝30°，邊界AC與邊界MN平行，Ⅱ區(qū)域寬度為d。質量為m、電荷量為＋q的粒子可在邊界AD上的不同點射入，入射速度垂直AD且垂直磁場，若入射速度大小為

，不計粒子重力，則√√設從某處E進入磁場的粒子，其軌跡恰好與AC相切(如圖所示)，則E點與A點的距離為AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A點0.5d處射入，會進入Ⅱ區(qū)域，選項B錯誤；返回“旋轉圓”><考點二適用條件粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子進入勻強磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若入射初速度大小為v0，則圓周運動軌跡半徑為R＝

，如圖所示

軌跡圓圓心共圓如圖，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑R＝

的圓上

界定方法將一半徑為R＝

的圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“旋轉圓”法例2

(2023·浙江溫州市英才學校模擬)如圖所示，豎直平面內有一xOy平面直角坐標系，第一、四象限中存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小記為B(B未知)。坐標原點O處有一放射源，放射源可以源源不斷向一、四象限180°范圍內均勻地輻射出質量為m、電荷量為q的正離子。在y軸上固定一能吸收離子的收集板MN，M點坐標為(0，a)，N點坐標為(0,2a)，當輻射的離子速率為v0時離子打在收集板上的位置最遠到N點，最近到M點。不計離子的重力及離子間的相互作用的影響，求：(1)恰好打到M點的離子在磁場中運動的時間；由題意可知，沿x軸正方向出射的離子，經(jīng)半圓到達N點，由此可得r＝a，可知通過M點的離子有兩個出射方向，如圖甲，(2)能打到收集板上的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例。例3如圖所示，在絕緣板MN上方分布了水平方向的勻強磁場，方向垂直于紙面向里。距離絕緣板d處有一粒子源S，能夠在紙面內不斷地向各個方向同時發(fā)射電荷量為q、質量為m、速率為v的帶正電粒子，不計粒子的重力和粒子間的相互作用，已知粒子做圓周運動的半徑也恰好為d，則√粒子受到的洛倫茲力充當向心力，粒子運動的軌跡半徑R＝d，粒子運動到絕緣板的兩種臨界情況如圖甲所示，由幾何關系可知，左側最遠處與S之間的距離恰好是圓的直徑，則左側最遠處A到C距離為右側離C最遠處為B，距離為d，所以粒子能打在板上的區(qū)域長度是

故A錯誤；故C、D錯誤。返回“放縮圓”><考點三適用條件粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的同種帶電粒子進入勻強磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，運動半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上

界定方法以入射點P為定點，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法例4

(多選)如圖所示，正方形abcd區(qū)域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，O點是cd邊的中點。若一個帶正電的粒子(重力忽略不計)從O點沿紙面以垂直于cd邊的某一速度射入正方形內，經(jīng)過時間t0剛好從c點射出磁場。現(xiàn)設法使該帶電粒子從O點沿紙面以與Od成30°角的方向，以各種不同的速率射入正方形內，那么下列說法正確的是那么下列說法正確的是A.該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點

射出磁場B.若該帶電粒子從ab邊射出磁場，它在磁場中

經(jīng)歷的時間可能是t0√√帶電粒子以垂直于cd邊的某一速度射入正方形內，經(jīng)過時間t0剛好從c點射出磁場，則知帶電粒子的運動周期T＝2t0。該粒子從O點以與Od成30°角的方向射入磁場，隨著粒子速度逐漸增大，軌跡由①→②→③→④依次漸變，由圖可知粒子在四個邊射出時，射出范圍分別為OG、FE、DC、BA之間，不可能從四個頂點射出，故A正確。例5

(多選)(2023·山西太原市檢測)一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里，其邊界如圖中虛線所示，ab為半圓的直徑，ac、bd與直徑ab共線，a、c間的距離等于半圓的半徑R。一束質量均為m、電荷量均為q的帶負電的粒子，在紙面內從c點垂直于ac以不同速率射入磁場，不計粒子重力及粒子間的相互作用。下列說法正確的是√√返回課時精練1.如圖所示，在x軸的上方(y≥0)存在著垂直于紙面向里的勻強磁場(未畫出)，磁感應強度大小為B。在原點O有一個離子源向x軸上方的各個方向發(fā)射出質量為m、帶電荷量為q的正離子，速率都為v。對那些在xOy平面內運動的離子，在磁場中可能到達的位置中離x軸及y軸最遠距離分別為12345678910√123456789102.(2023·江蘇泰州市靖江高級中學模擬)如圖所示，空間存在四分之一圓形磁場區(qū)域，半徑為R，磁感應強度大小為B，磁場方向垂直紙面向外。一電子以初速度v從圓心O沿OC方向射入磁場，恰好由A點射出?；D對應的圓心角為60°，要使電子從弧AD之間射出(不包括A、D兩點)，電子從O點射入的初速度可能是(不計電子的重力)12345678910√123456789103.(2023·北京市一模)如圖所示，邊長為L的正方形區(qū)域abcd中充滿勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里。一帶電粒子從ad邊的中點M垂直于ad邊、以一定速率射入磁場，僅在洛倫茲力的作用下，正好從ab邊中點N射出磁場。忽略粒子受到的重力，下列說法正確的是A.若僅將粒子射入磁場的速度增大為原來的2倍，則粒子

將從b點射出B.若僅將粒子射入磁場的速度增大為原來的2倍，則粒子

在磁場中運動的時間也增大為原來的2倍C.若僅將磁感應強度的大小增大為原來的2倍，則粒子將從a點射出D.若僅將磁感應強度的大小增大為原來的2倍，則粒子在磁場中運動的時間也

增大為原來的2倍√1234567891012345678910粒子在磁場中運動的周期為T＝

由圖可知，若粒子射入磁場的速度增大為原來的2倍，則粒子的半徑將增大為原來的2倍，可粒子在磁場中運動的圓心角將減小，周期不變，則粒子在磁場中運動的時間將減小，B錯誤；12345678910若僅將磁感應強度的大小增大為原來的2倍，則粒子的運動半徑將減小為原來的

，將從a點射出，C正確；123456789104.如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(圓心為O)有勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直于圓平面(未畫出)。一群具有相同比荷的負離子以相同的速率由P點在紙平面內沿不同方向射入磁場中，發(fā)生偏轉后又飛出磁場，若離子在磁場中運動的軌道半徑大于R，則下列說法中正確的是(不計離子的重力和離子間相互作用)A.從Q點飛出的離子在磁場中運動的時間最長B.沿PQ方向射入的離子飛出時偏轉角最大C.所有離子飛出磁場時的動能一定相等D.在磁場中運動時間最長的離子可能經(jīng)過圓心O點√12345678910由圓的性質可知，軌跡圓與磁場圓相交，當軌跡圓的弦長最大時偏轉角最大，故應該是弦長為PQ，由Q點飛出的離子圓心角最大，所對應的運動時間最長，軌跡不可能經(jīng)過圓心O點，故A正確，B、D錯誤；12345678910因洛倫茲力永不做功，故離子在磁場中運動時動能保持不變，但由于離子的初動能不一定相等，故飛出時的動能不一定相等，故C錯誤。5.如圖所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限內有一圓心為O、半徑為R的半圓形勻強磁場，線狀粒子源從y軸左側平行于x軸正方向不斷射出質量為m、電荷量為q、速度大小為v0的帶正電粒子。磁場的磁感應強度大小為

、方向垂直平面xOy向里。不考慮粒子間的相互作用，不計粒子受到的重力。所有從不同位置進入磁場的粒子中，在磁場中運動的時間最長為12345678910√解得r＝2R，如圖所示，12345678910123456789106.如圖所示，真空中垂直于紙面向里的勻強磁場只在兩個同心圓所夾的環(huán)狀區(qū)域存在(含邊界)，兩圓的半徑分別為R、3R，圓心為O。一重力不計的帶正電粒子從大圓邊緣的P點沿PO方向以速度v1射入磁場，其運動軌跡如圖，軌跡所對的圓心角為120°。當將該帶電粒子從P點射入的速度大小變?yōu)関2時，不論其入射方向如何，都不可能進入小圓內部區(qū)域，則v1∶v2至少為12345678910√123456789107.(多選)如圖所示，平行線MN、PQ間有垂直紙面向外的勻強磁場，磁場的磁感應強度大小為B，MN、PQ間的距離為L。在MN上的a點有一粒子源，可以沿垂直于磁場的各個方向射入質量為m、電荷量為q的帶負電的粒子，且這些粒子的速度大小相等。這些粒子經(jīng)磁場偏轉后，穿過PQ邊界線的最低點為b點。已知c是PQ上的一點，ac垂直于PQ，c、b間的距離為

不計粒子重力，則下列說法正確的是√√1234567891012345678910從c點射出磁場的粒子，在a點時速度與MN的夾角θ滿足2Rcosθ＝L，可得cosθ＝0.8，則θ≠30°，D項錯誤。123456789108.(多選)(2023·河南省聯(lián)考)如圖所示，在圓心為O、半徑為R的半圓形區(qū)域內(不含邊界)有磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，MN為直徑。大量帶正電荷的同種粒子以不同的速率從O點在紙面內沿與ON成30°角的方向射入磁場。粒子的質量為m、電荷量為q，不計粒子受到的重力以及粒子間的相互作用。下列說法正確的是√√1234567891012345678910123456789109.如圖所示，虛線所示的圓形區(qū)域內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，磁場區(qū)域圓的半徑為R。質量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子在紙面內從圓周上的M點射入磁場。不計粒子重力。12345678910粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示，12345678910(2)如果大量相同的帶電粒子以相同的速率v2在紙面內從M點沿不同方向射入磁場，不計粒子間相互作用，v2＝

，求粒子在磁場中運動的時間的最大值；12345678910粒子從N點射出時在磁場運動的時間最長，如圖所示由幾何關系可知，其軌跡弧對應的圓心角α2