第二章一元二次函數(shù)方程和不等式（壓軸題專(zhuān)練全題型壓軸）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式（壓軸題專(zhuān)練）0101單選壓軸題1．（江西省新余市20232024學(xué)年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．【答案】C【分析】借助“1”的活用將分式其次化后結(jié)合基本不等式計(jì)算即可得.【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先變形，化簡(jiǎn)后換元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，利用基本不等式求最值.【詳解】，，設(shè)，則，，當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：D3．（2024高一·全國(guó)）定義：（i）表示x的最小值；（ii）表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先根據(jù)題意和基本不等式得出：三數(shù)中至少有一個(gè)不小于2，可判斷選項(xiàng)A；再利用反證法和不等式性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B、C；舉例驗(yàn)證選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)閍，b，c為正數(shù)，所以由基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.從而三數(shù)中至少有一個(gè)不小于2.不妨設(shè)，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：假設(shè)則，，，則，，，即，；.由可得：；由可得：，兩者矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：假設(shè)，①若，，，則，，即（1）；（2）；（3）；結(jié)合不等式的性質(zhì)：由（1）（2）得，即，由（1）（3）得，兩者矛盾；②若，，，則，，，即（4）；（5）；（6）.由（4）（5）得，即，由（4）（6）得，兩者矛盾．綜上所述，假設(shè)錯(cuò)誤，即，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若取，則，從而，故選項(xiàng)D正確.故選：D．4．（2324高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（

）A．12 B．24 C． D．【答案】B【分析】令，不等式變形為，求出的最小值，從而得到實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】，，變形為，令，則轉(zhuǎn)化為，即，其中

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，可知.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題，先分離參數(shù)后，然后利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.5．（2324高一上·福建·期中）若至少存在一個(gè)，使得關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡(jiǎn)不等式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象、含有絕對(duì)值函數(shù)的圖象進(jìn)行分析，從而求得的取值范圍.【詳解】依題意，至少存在一個(gè)，使得關(guān)于的不等式成立，即至少存在一個(gè)，使得關(guān)于的不等式成立，畫(huà)出以及的圖象如下圖所示，其中.當(dāng)與相切時(shí)，由消去并化簡(jiǎn)得，.當(dāng)與相切時(shí)，由消去并化簡(jiǎn)得①，由解得，代入①得，解得，不符合題意.當(dāng)過(guò)時(shí)，.結(jié)合圖象可知的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】對(duì)于含有參數(shù)的不等式問(wèn)題的求解，可考慮直接研究法，也可以考慮分離參數(shù)，也可以合理轉(zhuǎn)化法.如本題中的不等式，可以將其轉(zhuǎn)化為一邊是含有絕對(duì)值的式子，另一邊是二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)以及含有絕對(duì)值的函數(shù)的圖象來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析和求解.6．（2324高一上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）記為，兩數(shù)的最大值，當(dāng)正數(shù)，（）變化時(shí)，的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】由，可得，，，當(dāng)正數(shù)，（）時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：A7．（2324高二上·陜西西安·期末）已知，且，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．【答案】A【分析】利用“乘1法”將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，然后展開(kāi)利用基本不等式求解．【詳解】，，又，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9．故選：A．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.8．（2324高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】由題意可得，結(jié)合目標(biāo)式即可構(gòu)造出，進(jìn)而利用基本不等式求的最小值【詳解】由知：，而，∴，則∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目標(biāo)式的等價(jià)形式，應(yīng)用等價(jià)代換構(gòu)造出基本不等式的形式求最值9．（2324高二上·江蘇無(wú)錫·期末）若正數(shù)、滿足，設(shè)，則的最大值是A．12 B．12 C．16 D．16【答案】A【分析】根據(jù)則，將式子換元成關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，值得注意的取值范圍.【詳解】解：、解得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值故選：【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，重要不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.10．（2324高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，求出的值，代入中化簡(jiǎn)，利用基本不等式求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以的最小值是，則的最大值為.故選A【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，解題的關(guān)鍵是設(shè)，得出進(jìn)行代換，屬于偏難題目.0202多選壓軸題1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則（

）A．的取值范圍是B．的取值范圍是C．的最小值是3D．的最小值是E．【答案】BDE【分析】對(duì)于A項(xiàng)，運(yùn)用基本不等式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的不等式求解即得；對(duì)于B項(xiàng)，直接運(yùn)用基本不等式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的不等式，再結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得；對(duì)于CDE項(xiàng)，通過(guò)題設(shè)求出，代入所求式消元，湊項(xiàng)運(yùn)用基本不等式即得.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，由可得，因，故得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由可得，因，故得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以的取值范圍是，正確；對(duì)于C和E項(xiàng)，由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤，E正確；對(duì)于D項(xiàng)，由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，正確.故選：BD.2．（2324高二下·重慶·階段練習(xí)）已知，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為9 D．的最小值為【答案】ABD【分析】利用基本不等式、結(jié)合“1”的妙用計(jì)算判斷ACD；利用二次函數(shù)求出最小值判斷D.【詳解】對(duì)于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ABD3．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為1C．的最小值為 D．的取值范圍為【答案】BC【分析】利用配湊法，結(jié)合基本不等式求解最值判斷AB；利用二次函數(shù)求解判斷CD.【詳解】正實(shí)數(shù)a，b滿足，，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC4．（2324高二下·浙江·期中）已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為0 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為4【答案】ABC【分析】由基本不等式可得AB正確，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得C正確，由乘“1”法可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】A：因?yàn)?，結(jié)合，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，故A正確；B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確；C：，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，最大值為，故C正確；D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.5．（2324高一下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式及“1”的妙用逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，則，對(duì)于A，，則，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故D正確.故選：BD.0303填空題壓軸1．（2024高二下·浙江紹興·學(xué)業(yè)考試）已知正數(shù)a，b，c滿足，，則的最小值為.【答案】2【分析】使用不等式將放縮，使用“1”的代換及基本不等式求得目標(biāo)最小值.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求最小值關(guān)鍵是第一步用放縮法將放掉，第二步是將中的2代換為，將整式處理為，再用“1”的代換求最小值.2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為．【答案】【分析】配湊出，再利用基本不等式求最值.【詳解】由，得，即，得，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，的最小值為故答案為：3．（2324高一上·安徽合肥·期中）已知正實(shí)數(shù)，滿足，且恒成立，則的取值范圍是.【答案】或，【分析】先求得的最大值，由此列不等式來(lái)求得的取值范圍.【詳解】依題意，，，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以，解得或，即的取值范圍是或，故答案為：或，【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值，要注意一正、二定、三相等，正是說(shuō)利用時(shí)，必須是正數(shù)，定是指定值，相等指的是等號(hào)成立的條件，三者缺一不可.另外，如果是負(fù)數(shù)，求的最值，可轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合基本不等式來(lái)進(jìn)行求解.4．（2223高一上·上海長(zhǎng)寧·期中）關(guān)于的不等式的整數(shù)解恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)不等式的整數(shù)解恰有3個(gè)，先確定且有得出，再用表示出不等式解集為，可以確定，故三個(gè)整數(shù)解為，從而可列出另一個(gè)端點(diǎn)的取值范圍為，從而解得的范圍.【詳解】關(guān)于的不等式等價(jià)于，此不等式整數(shù)解恰有3個(gè)，則有且有，故有，令即得，，故不等式的解集為，因?yàn)椋运越饧幸欢ㄇ∮腥齻€(gè)整數(shù)，可得，解得.故答案為：.5．（2324高二上·江西上饒·期末）研究問(wèn)題：“已知關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集為(1，2)，解關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0?a－b＋c＞0.令y＝，則y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集為.類(lèi)比上述解法，已知關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為(－2，－1)∪(2，3)，則關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為．【答案】【分析】根據(jù)題意，將替換x可得所求的方程，并且可知∈(－2，－1)∪(2，3)，從而求出的解集.【詳解】關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為(－2，－1)∪(2，3)，用－替換x，不等式可以化為＋＝＋＜0，因?yàn)椋?－2，－1)∪(2，3)，所以即不等式＋＜0的解集為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查整體代換的思想，理解題意，將方程問(wèn)題和不等式問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，本題屬于中檔題.004解答題壓軸1．（2324高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用基本不等式，求得，進(jìn)而證得.（2）化簡(jiǎn)，然后利用不等式的性質(zhì)以及（1）的結(jié)論證得.【詳解】（1），因?yàn)?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以；（2），由（1）有，有，，有，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．2．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若關(guān)于x的不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得，代入計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，分與討論，即可求解.【詳解】（1）若不等式的解集為R，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）不等式，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式的解集為，②當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，由，解得或，所以不等式的解集為，綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為．3．（2324高一上·云南曲靖·期中）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且．(1)求證：；(2)若，求的最小值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)8【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論；（2）首先，將原式通分，變形，再將韋達(dá)定理代入；然后，利用（1）的結(jié)論消去，得到關(guān)于一個(gè)的式子；再對(duì)式子變形，利用基本不等式求出最小值.【詳解】（1）證明：根據(jù)韋達(dá)定理得，，，所以，所以.（2），因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8.4．（2324高一上·云南昆明·期中）基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，我們可以應(yīng)用其解決數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題．(1)已知，R，證明；(2)已知，，，R，證明，并指出等號(hào)成立的條件；(3)已知，，，，證明：，并指出等號(hào)成立的條件.(4)應(yīng)用（2）（3）兩個(gè)結(jié)論解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①已知，證明：；②已知，，且，求的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”(3)證明見(jiàn)解析，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”(4)①證明見(jiàn)解析；②.【分析】（1）由展開(kāi)即可