安徽省淮南市2025屆高三數(shù)學(xué)一模試題理含解析

PAGE18-安徽省淮南市2025屆高三數(shù)學(xué)一模試題理（含解析）一、選擇題（每小題5分）.1．若復(fù)數(shù)z＝，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣22．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．[1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）3．a(chǎn)2＞b2的一個充要條件是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＞|b| C．|a|＞|b| D．4．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝，an+1＝1﹣，則S2024＝（）A． B．1009 C． D．10105．設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是（（）A．a(chǎn)＞c＞b B．a(chǎn)＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c6．已知某函數(shù)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)中，圖象最契合的函數(shù)是（）A．y＝sin（ex+e﹣x） B．y＝sin（ex﹣e﹣x） C．y＝cos（ex﹣e﹣x） D．y＝cos（ex+e﹣x）7．良渚遺址是人類早期城市文明的范例，是華夏五千年文明史的實證之一，2024年獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄．考古學(xué)家在測定遺址年頭的過程中，利用“生物死亡后體內(nèi)的碳14含量按確定的比率衰減”這一規(guī)律，建立了樣本中碳14的含量y隨時間x（年）改變的數(shù)學(xué)模型：（y0表示碳14的初始量）．2024年考古學(xué)家對良渚遺址某文物樣本進行碳14年頭學(xué)檢測，檢測出碳14的含量約為初始量的55%，據(jù)此推想良渚遺址存在的時期距今大約是（）（參考數(shù)據(jù)：log25≈2.3，log211≈3.5）A．3450年 B．4010年 C．4580年 D．5160年8．在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知直線l與圓O：x2+y2＝8相交于A，B兩點，且|AB|＝4，若＝2且M是線段AB的中點，則的值為（）A． B．2 C．3 D．49．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，α為第四象限角，角α的終邊與單位圓O交于點P（x0，y0），若cos（）＝，則x0＝（）A． B． C． D．10．2024年既是全面建成小康社會之年，又是脫貧攻堅收官之年，某地為鞏固脫貧攻堅成果，選派了5名工作人員到A、B、C三個村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個村至少去1人，不同的選派方法數(shù)有（）種A．25 B．60 C．90 D．15011．如圖，雙曲線F：（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的頂點A，D為焦點，且經(jīng)過點B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，則F的離心率為（）A． B． C． D．12．已知兩個實數(shù)M，N滿意M≤xex﹣lnx﹣x﹣1，N≤+lnx﹣x在x∈（0，+∞）上均恒成立，記M，N的最大值分別為a，b，那么（）A．a(chǎn)＝b+2 B．a(chǎn)＝b+1 C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝b﹣1二、填空題：本大共4小題，每小題5分，共20分13．已知實數(shù)x，y滿意約束條件，則z＝x+2y的最大值為．14．（2x2﹣1）5綻開式中，含x6項的系數(shù)為．15．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點F的直線l與C相交于A，B，且|AF|﹣|BF|＝，則＝．16．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例引入數(shù)列{an}：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，通項公式為an＝[（）n﹣（）n]，該通項公式又稱為“比內(nèi)公式”（法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)首先證明此公式），是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例．設(shè)n是不等式＞x+6的正整數(shù)解，則n的最小值為．三、解答題：本大題分為必考題與選考題兩部分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且S3＝12，a8＝16．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，滿意b1＝a2，b3b5＝256b4．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；（2）若數(shù)列{cn}滿意cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且3（sinB+sinC）2﹣3sin2（B+C）＝8sinBsinC．（1）求cosA的值；（2）若△ABC的面積為4，求a+b+c的最小值．19．中國探月工程自2004年立項以來，聚焦“自主創(chuàng)新、重點跨越、支撐發(fā)展、引領(lǐng)將來”的目標(biāo)，創(chuàng)建了很多項中國首次．2024年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶“月壤”著陸地球，又首次實現(xiàn)了我國地外天體無人采樣返回．為了了解某中學(xué)高三學(xué)生對此新聞事務(wù)的關(guān)注程度，從該校高三學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，調(diào)查樣本中有40名女生．如圖是依據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制的等高條形圖（陰影區(qū)域表示關(guān)注“嫦娥五號”的部分）．關(guān)注沒關(guān)注合計男女合計（1）完成上面的2×2列聯(lián)表，并計算回答是否有95%的把握認(rèn)為“對‘嫦娥五號’關(guān)注程度與性別有關(guān)”？（2）若將頻率視為概率，現(xiàn)從該中學(xué)高三的女生中隨機抽取3人．記被抽取的3名女生中對“嫦娥五號”新聞關(guān)注的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，離心率，過F2的直線l交C于點A、B，且△F1AB的周長為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點O為坐標(biāo)原點，求△AOB面積S的取值范圍．21．已知函數(shù)f（x）＝x2+mx﹣ex+1（m∈R）．（1）若f（x）在R上是減函數(shù)，求m的取值范圍；（2）假如f（x）有一個微小值點x1和一個極大值點x2，求證：f（x）有三個零點．選考題:共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答,假如多做,則按所做的第一題計分,作答時,請用2B鉛筆在答越卡上將所選題號后的方榧涂焦.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6sinθ，點P的極坐標(biāo)為，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點P的直角坐標(biāo)；（2）已知直線l：（t為參數(shù)），若直線l與曲線C的交點分別是A、B，求|PA|?|PB|的值．[選修4-5：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若關(guān)于x的方程f（x）+3|x﹣4|﹣2m2+3m＝0沒有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)z＝，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2解：復(fù)數(shù)z＝＝＝＝2+3i，則z的虛部是3．，故選：A．2．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．[1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）解：集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣3或x≥1}，B＝{x|log2（x+1）＜2}＝{x|0＜x+1＜4}＝{x|﹣1＜x＜3}，則A∩B＝{x|1≤x＜3}＝[1，3）．故選：B．3．a(chǎn)2＞b2的一個充要條件是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＞|b| C．|a|＞|b| D．解：A：當(dāng)a＝2，b＝﹣4時，a＞b成立，但a2＞b2不成立，∴A錯誤，B：當(dāng)a＝﹣6，b＝﹣4時，a2＞b2成立，但a＞|b|不成立∴B錯誤，C：a2＞b2?|a|＞|b|，∴C正確，D：當(dāng)a＝2，b＝﹣4時，＞成立，但a2＞b2不成立，∴D錯誤，故選：C．4．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝，an+1＝1﹣，則S2024＝（）A． B．1009 C． D．1010解：若a1＝，an+1＝1﹣，則a2＝1﹣2＝﹣1，a3＝1﹣（﹣1）＝2，a4＝1﹣＝，a5＝1﹣2＝﹣1，…，所以{an}的最小正周期為3，則S2024＝673（a1+a2+a3）+a1+a2＝673×（﹣1+2）+﹣1＝1009．故選：B．5．設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是（（）A．a(chǎn)＞c＞b B．a(chǎn)＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c解：設(shè)a＝，b＝，c＝，∵函數(shù)y＝是（0，+∞）的增函數(shù)，＜，∴b＜c．∵當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y＝是R上的減函數(shù)，＜，∴＞，即a＞c，則a，b，c的大小關(guān)系為a＞c＞b，故選：A．6．已知某函數(shù)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)中，圖象最契合的函數(shù)是（）A．y＝sin（ex+e﹣x） B．y＝sin（ex﹣e﹣x） C．y＝cos（ex﹣e﹣x） D．y＝cos（ex+e﹣x）解：由圖象可知，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，而y＝sin（ex﹣e﹣x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故解除B；且﹣1＜f（0）＜0，而sin2＞0，sin0＝0，故解除A，C．故選：D．7．良渚遺址是人類早期城市文明的范例，是華夏五千年文明史的實證之一，2024年獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄．考古學(xué)家在測定遺址年頭的過程中，利用“生物死亡后體內(nèi)的碳14含量按確定的比率衰減”這一規(guī)律，建立了樣本中碳14的含量y隨時間x（年）改變的數(shù)學(xué)模型：（y0表示碳14的初始量）．2024年考古學(xué)家對良渚遺址某文物樣本進行碳14年頭學(xué)檢測，檢測出碳14的含量約為初始量的55%，據(jù)此推想良渚遺址存在的時期距今大約是（）（參考數(shù)據(jù)：log25≈2.3，log211≈3.5）A．3450年 B．4010年 C．4580年 D．5160年解：設(shè)良渚遺址存在的時期距今大約x年，則y%y0，即（）＝0.55，所以＝log2100﹣log255＝2+log25﹣log211≈0.8，解得x≈5730×0.8＝4584，故選：C．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知直線l與圓O：x2+y2＝8相交于A，B兩點，且|AB|＝4，若＝2且M是線段AB的中點，則的值為（）A． B．2 C．3 D．4解：由|AB|＝4，M是線段AB的中點，可得OM⊥AB，所以|OM|＝＝＝2，由＝2，則+＝2，則A為線段BC的中點，如圖所示，所以|CM|＝|CA|+|AM|＝4+2＝6，在Rt△CMO中，＝||||cos∠COM＝||2＝4．故選：D．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，α為第四象限角，角α的終邊與單位圓O交于點P（x0，y0），若cos（）＝，則x0＝（）A． B． C． D．解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，α為第四象限角，角α的終邊與單位圓O交于點P（x0，y0），∴cosα＝x0，∵α∈（﹣，0），∈（﹣，），又cos（）＝＜，∴∈（﹣，0），∴sin（）＝﹣，∴x0＝cosα＝cos[（）﹣]＝cos（）cos+sin（）sin＝﹣＝．故選：A．10．2024年既是全面建成小康社會之年，又是脫貧攻堅收官之年，某地為鞏固脫貧攻堅成果，選派了5名工作人員到A、B、C三個村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個村至少去1人，不同的選派方法數(shù)有（）種A．25 B．60 C．90 D．150解：依據(jù)題意，分2步進行分析：①將5名工作人員分為3組，若分為1﹣2﹣2的三組，有＝15種分組方法，若分為1﹣1﹣3的三組，有C53＝10種分組方法，則有10+15＝25種分組方法，②將分好的三組全排列，支配到A、B、C三個村調(diào)研，有A33＝6種狀況，則有25×6＝150種選派方法，故選：D．11．如圖，雙曲線F：（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的頂點A，D為焦點，且經(jīng)過點B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，則F的離心率為（）A． B． C． D．解：如圖，不妨設(shè)|AB|＝1，|CD|＝4，則|BD|＝1+2a，|AC|＝4+2a，在△ABD中，由余弦定理得1+4c2﹣2?1?2c?cos60°＝（1+2a）2，①在△ACD中，由余弦定理得16+4c2﹣2?4?2c?cos120°＝（4+2a）2，②②﹣①得，15+10c＝12a+15，則e＝．故選：C．12．已知兩個實數(shù)M，N滿意M≤xex﹣lnx﹣x﹣1，N≤+lnx﹣x在x∈（0，+∞）上均恒成立，記M，N的最大值分別為a，b，那么（）A．a(chǎn)＝b+2 B．a(chǎn)＝b+1 C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝b﹣1解：xex﹣lnx﹣x﹣1＝ex+lnx﹣（x+lnx）﹣1≥0，+lnx﹣x＝ex﹣2﹣lnx﹣（x﹣2﹣lnx）﹣1﹣1≥0﹣1＝﹣1，所以a＝0，b＝﹣1，即a＝b+1．故選：B．二、填空題：本大共4小題，每小題5分，共20分13．已知實數(shù)x，y滿意約束條件，則z＝x+2y的最大值為2．解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直線y＝﹣x+，由圖象可知當(dāng)直線y＝﹣x+經(jīng)過點A時，直線y＝﹣x+的截距最大，此時z最大．由，得A（0，1），此時z的最大值為z＝0+2×1＝2，故答案為：2．14．（2x2﹣1）5綻開式中，含x6項的系數(shù)為80．解：∵（2x2﹣1）5綻開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣1）r?25﹣r?x10﹣2r，令10﹣2r＝6，求得r＝2，可得綻開式中含x6項的系數(shù)為?23＝80，故答案為：80．15．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點F的直線l與C相交于A，B，且|AF|﹣|BF|＝，則＝2．解：設(shè)|BF|＝m，則由|AF|﹣|BF|＝，可得|AF|＝+m，由拋物線的方程可得F（1，0），過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交于A'，B'，過B作AA'的垂線交AA'，OF分別于C，D點，則△BFD∽△BAC，∴＝，即，解得m＝，＝，故答案為：2．16．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例引入數(shù)列{an}：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，通項公式為an＝[（）n﹣（）n]，該通項公式又稱為“比內(nèi)公式”（法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)首先證明此公式），是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例．設(shè)n是不等式＞x+6的正整數(shù)解，則n的最小值為9．解：不等式，化為：﹣＞26＝64，∴﹣＞，∈（21，34）．由數(shù)列{an}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，an＝，可得：n＞8，因此n的最小值為：9．故答案為：9．三、解答題：本大題分為必考題與選考題兩部分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且S3＝12，a8＝16．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，滿意b1＝a2，b3b5＝256b4．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；（2）若數(shù)列{cn}滿意cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由S3＝12，a8＝16，可得a1+7d＝16，3a1+3d＝12，解得a1＝d＝2，所以an＝2n；由b1＝a2，b3b5＝256b4，可得b1＝4，b42＝256b4，即b4＝256，可得4q3＝256，解得q＝4，則bn＝4n；（2）cn＝＝＝（﹣），所以Tn＝c1+c2+…+cn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝4（1﹣）＝．18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且3（sinB+sinC）2﹣3sin2（B+C）＝8sinBsinC．（1）求cosA的值；（2）若△ABC的面積為4，求a+b+c的最小值．解：（1）∵3（sinB+sinC）2﹣3sin2（B+C）＝8sinBsinC，∴3（sinB+sinC）2﹣3sin2A＝8sinBsinC，由正弦定理知，＝＝，∴3（b+c）2﹣3a2＝8bc，即a2＝（b+c）2﹣bc，由余弦定理知，cosA＝＝＝．（2）由（1）知，cosA＝，∵A∈（0，π），∴sinA＝＝，又△ABC的面積S＝bcsinA＝4，∴bc＝12，由余弦定理知，cosA＝＝，即b2+c2﹣a2＝bc，∴a2＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc＝16，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時，等號成立，∴a≥4，∴a+b+c≥4+4，故a+b+c的最小值為4+4．19．中國探月工程自2004年立項以來，聚焦“自主創(chuàng)新、重點跨越、支撐發(fā)展、引領(lǐng)將來”的目標(biāo)，創(chuàng)建了很多項中國首次．2024年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶“月壤”著陸地球，又首次實現(xiàn)了我國地外天體無人采樣返回．為了了解某中學(xué)高三學(xué)生對此新聞事務(wù)的關(guān)注程度，從該校高三學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，調(diào)查樣本中有40名女生．如圖是依據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制的等高條形圖（陰影區(qū)域表示關(guān)注“嫦娥五號”的部分）．關(guān)注沒關(guān)注合計男女合計（1）完成上面的2×2列聯(lián)表，并計算回答是否有95%的把握認(rèn)為“對‘嫦娥五號’關(guān)注程度與性別有關(guān)”？（2）若將頻率視為概率，現(xiàn)從該中學(xué)高三的女生中隨機抽取3人．記被抽取的3名女生中對“嫦娥五號”新聞關(guān)注的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879K2＝，其中n＝a+b+c+d．解：（1）關(guān)注沒關(guān)注合計男303060女122840合計4258100所以有95%的把握認(rèn)為“對‘嫦娥五號’關(guān)注與性別有關(guān)”．（2）因為隨機選一高三女生，對此事關(guān)注的概率又因為，所以隨機變量X的分布列為：X0123P可得：．20．橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，離心率，過F2的直線l交C于點A、B，且△F1AB的周長為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點O為坐標(biāo)原點，求△AOB面積S的取值范圍．解：（1）因為△F1AB的周長為8，由橢圓的定義知4a＝8，故a＝2，又，所以c＝1?b2＝a2﹣c2＝3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可設(shè)直線l的方程為x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，明顯△＞0且，，∴＝．令，∴．易知S在t∈[1，+∞）單調(diào)遞減，從而．21．已知函數(shù)f（x）＝x2+mx﹣ex+1（m∈R）．（1）若f（x）在R上是減函數(shù)，求m的取值范圍；（2）假如f（x）有一個微小值點x1和一個極大值點x2，求證：f（x）有三個零點．【解答】（1）解：由f（x）＝x2+mx﹣ex+1，得f′（x）＝x+m﹣ex，設(shè)g（x）＝x+m﹣ex，則g′（x）＝1﹣ex，當(dāng)x＞0時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＜0時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，所以g（x）min＝g（0）＝m﹣1，f（x）在R上是減函數(shù)，則f′（x）≤0恒成立，所以m﹣1≤0，所以m≤1，故m的取值范圍是（﹣∞，1]．（2）證明：因為f（x）有一個微小值點x1和一個極大值點x2，所以由（1）可知m＞1，設(shè)g（x）＝f′（x）＝x+m﹣ex，則g′（x）＝1﹣ex，當(dāng)x＞0時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＜0時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，因為g（﹣m）＝﹣e﹣m＜0，g（0）＝m﹣1＞0，g（m）＝2m﹣em＜2m﹣em＜0（x∈R，ex＞ex），所以?x1∈（﹣m，0），x2∈（0，m），使g（x1）＝g（x2）＝0，所以x∈（﹣∞，x1），g（x）＜0即f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（﹣∞，x1），g（x）＜0即f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（x1，x2），g（x）＞0即f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x∈（x2，+∞），g（x）＞0即f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞減，因為x1＜0＜x2，所以f（x1）＜f（0）＝0＜f（x2），又因為f（﹣2m）＝1﹣e﹣2m＞0，由x＞0，ex＞x2得f（2m+2）＝（2m+2）2+m（2m+2）﹣e2m+2+1＜（2m+2）2+m（2m+2）﹣（2m+2）2+1＝﹣2m﹣1＜0，所以由零點存在定理，得f