高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專(zhuān)用)第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(高頻精講)(原卷版+解析)

第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 3高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系 3高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)） 5高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù) 6高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參） 7高頻考點(diǎn)五：求函數(shù)的最值（含參） 9高頻考點(diǎn)六：已知函數(shù)的最值求含參 10高頻考點(diǎn)七：函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用 12第四部分：數(shù)學(xué)文化（高觀點(diǎn)）題 14第五部分：數(shù)學(xué)思想方法 15①數(shù)形結(jié)合的思想 15②分類(lèi)與整合的思想 16溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開(kāi)頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、函數(shù)的極值一般地，對(duì)于函數(shù)，（1）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱(chēng)為的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值.（2）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱(chēng)為的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．（3）極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)通稱(chēng)極值點(diǎn)，極小值與極大值通稱(chēng)極值.注：極大（?。┲迭c(diǎn)，不是一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).2、函數(shù)的最大（?。┲狄话愕兀绻趨^(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，那么它必有最大值與最小值.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.3、函數(shù)的最值與極值的關(guān)系（1）極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（?。┲悼赡苡卸鄠€(gè)（或者沒(méi)有），但最大（?。┲抵挥幸粋€(gè)（或者沒(méi)有）；（3）函數(shù)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)；（4）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.第二部分：高考真題回歸1．（2022·全國(guó)（乙卷文）·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)（甲卷理）·高考真題）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．13．（多選）（2022·全國(guó)（新高考Ⅰ卷）·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心 D．直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)4．（2022·全國(guó)（乙卷理）·高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系典型例題例題1．（2023春·山西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)C．在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)D．在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)例題2．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極大值例題3．（多選）（2023·高二單元測(cè)試）如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間B．為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值練透核心考點(diǎn)1．（2023春·山東青島·高二青島二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．為的極小值點(diǎn)D．為的極大值點(diǎn)2．（2023春·天津和平·高二校考階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．為函數(shù)的零點(diǎn)B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．為函數(shù)的極大值點(diǎn)D．是函數(shù)的最小值3．（2023春·天津紅橋·高二天津三中?？茧A段練習(xí)）如圖是的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①在區(qū)間上是增函數(shù)；②是的極小值點(diǎn)；③在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)；④是的極大值點(diǎn).A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）典型例題例題1．（2023春·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的極小值為（

）A．2 B． C． D．例題2．（多選）（2023春·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．的極大值點(diǎn)為C．的極小值為 D．的最大值為例題3．（2023·高二校考課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則的極大值為_(kāi)_______________練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．1為的極大值點(diǎn) B．1為的極小值點(diǎn)C．－1為的極大值點(diǎn) D．－1為的極小值點(diǎn)2．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）函數(shù)（

）A．有最大（小）值，但無(wú)極值 B．有最大（小）值，也有極值C．既無(wú)最大（小）值，也無(wú)極值 D．無(wú)最大（?。┲?，但有極值3．（多選）（2023·高二校考課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)，則（

）A．函數(shù)只有極大值沒(méi)有極小值 B．函數(shù)只有最大值沒(méi)有最小值C．函數(shù)只有極小值沒(méi)有極大值 D．函數(shù)只有最小值沒(méi)有最大值高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·山東煙臺(tái)·高二山東省煙臺(tái)第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為和2，若的極大值為1，則的值為（

）A． B．0 C．2 D．4例題2．（2023春·安徽·高二安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題3．（多選）（2023春·山東青島·高二青島二中校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在處取得極值，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．一定有兩個(gè)極值點(diǎn) D．的單調(diào)遞增區(qū)間是例題4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中校考開(kāi)學(xué)考試）已知在處取得極值，則的最小值為_(kāi)_________.練透核心考點(diǎn)1．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值4，則（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（多選）（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A． B． C．2 D．3．（2023春·江蘇常州·高二常州市北郊高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)在處取得極大值10，則的值為_(kāi)__________.4．（2023秋·山西呂梁·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)有小于0的極值點(diǎn)，則a的范圍是________．高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參）典型例題例題1．（2023·高二校考課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（

）A．0 B． C． D．例題2．（2023春·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)求函數(shù)在的最大值和最小值．例題3．（2023春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值.例題4．（2023春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處有極值6.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值與最小值.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·天津?yàn)I海新·高二漢沽一中?？茧A段練習(xí)）在上的最大值是________.2．（2023春·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）已知的一個(gè)極值點(diǎn)為2.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.3．（2023春·天津武清·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最值.4．（2023春·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，且在處取得極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．高頻考點(diǎn)五：求函數(shù)的最值（含參）典型例題例題1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值．例題2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)．求函數(shù)的最大值．例題3．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù)的最小值為，求的最大值．練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知.(1)若在處有極大值，求的值；(2)若，求在區(qū)間上的最小值.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)設(shè)在區(qū)間上的最小值為，求及的最大值．高頻考點(diǎn)六：已知函數(shù)的最值求含參典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．例題2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)在上的最小值為2，則實(shí)數(shù)__________.例題3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率為9．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在閉區(qū)間上的最大值為20，求的值．例題4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).（1）若，試判斷在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）若在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)在上的最大值為4，則的值為（

）A．7 B． C．3 D．42．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)設(shè)在區(qū)間上的最小值為，求及的最大值．3．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，，若時(shí)，的最小值是3，求實(shí)數(shù)的值.（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）高頻考點(diǎn)七：函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2023春·四川成都·高三石室中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的極值點(diǎn)均不大于2，且在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.例題3．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則的一個(gè)取值為_(kāi)______；的最大值為_(kāi)_______．例題4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù)的最小值為，求的最大值．練透核心考點(diǎn)1．（2023春·河北保定·高三校考階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．2．（2023·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間上的最大值為，求的值.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若且存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求的最大值.4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為．（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性，并求的極大值．第四部分：數(shù)學(xué)文化（高觀點(diǎn)）題1．（2023春·重慶萬(wàn)州·高二重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間上恒成立，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”；已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.2．（2023全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）聲音的波長(zhǎng)變化曲線(xiàn)一般都可用多個(gè)形如的函數(shù)的和來(lái)描述，因此，我們通常將用函數(shù)的和構(gòu)成的函數(shù)稱(chēng)為聲音函數(shù)，例如，某段音樂(lè)形成的波長(zhǎng)曲線(xiàn)（如圖所示）可用若干個(gè)聲音函數(shù)來(lái)描述．已知某聲音函數(shù)，則在區(qū)間上的最小值與最大值之積為_(kāi)_____．3．（2023·河北石家莊·高二石家莊二中?？迹┎牧希汉瘮?shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析教材中，對(duì)“初等函數(shù)”給出了確切的定義，即由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，且能用一個(gè)式子表示的，如函數(shù)，我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即為初等函數(shù).根據(jù)以上材料：（1）直接寫(xiě)出初等函數(shù)極值點(diǎn)（2）求初等函數(shù)極值.4．（2023·高二單元測(cè)試）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線(xiàn)條感，曲線(xiàn)之美讓人稱(chēng)奇．衡量曲線(xiàn)彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線(xiàn)的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的曲率．（1）若曲線(xiàn)與在處的曲率分別為，比較大?。唬?）求正弦曲線(xiàn)曲率的最大值．第五部分：數(shù)學(xué)思想方法①數(shù)形結(jié)合的思想1．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（且）有唯一極值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____________．②分類(lèi)與整合的思想1．（2023·山東威?！じ呷？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)若是的極值點(diǎn)，求的取值范圍；2．（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考）已知實(shí)數(shù)，且函數(shù)的定義域?yàn)椋?1)求的導(dǎo)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值．3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 5高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系 5高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)） 10高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù) 12高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參） 16高頻考點(diǎn)五：求函數(shù)的最值（含參） 21高頻考點(diǎn)六：已知函數(shù)的最值求含參 27高頻考點(diǎn)七：函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用 32第四部分：數(shù)學(xué)文化（高觀點(diǎn)）題 39第五部分：數(shù)學(xué)思想方法 42①數(shù)形結(jié)合的思想 42②分類(lèi)與整合的思想 45溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開(kāi)頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、函數(shù)的極值一般地，對(duì)于函數(shù)，（1）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱(chēng)為的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值.（2）若在點(diǎn)處有，且在點(diǎn)附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱(chēng)為的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．（3）極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)通稱(chēng)極值點(diǎn)，極小值與極大值通稱(chēng)極值.注：極大（?。┲迭c(diǎn)，不是一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).2、函數(shù)的最大（小）值一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，那么它必有最大值與最小值.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.3、函數(shù)的最值與極值的關(guān)系（1）極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（小）值可能有多個(gè)（或者沒(méi)有），但最大（?。┲抵挥幸粋€(gè)（或者沒(méi)有）；（3）函數(shù)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)；（4）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.第二部分：高考真題回歸1．（2022·全國(guó)（乙卷文）·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D2．（2022·全國(guó)（甲卷理）·高考真題）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋砸李}可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿(mǎn)足題意，即有．故選：B.3．（多選）（2022·全國(guó)（新高考Ⅰ卷）·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心 D．直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)【答案】AC【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱(chēng)中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線(xiàn)方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線(xiàn)方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.4．（2022·全國(guó)（乙卷理）·高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)因?yàn)?，所以方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線(xiàn)的切點(diǎn)為，則切線(xiàn)的斜率為，故切線(xiàn)方程為，則有，解得，則切線(xiàn)的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個(gè)根為因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿(mǎn)足，，即故，所以.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：函數(shù)圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系典型例題例題1．（2023春·山西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)C．在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)D．在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)【答案】D【詳解】由圖可知，在區(qū)間為負(fù)，單調(diào)遞減，在區(qū)間為正，單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)附近左右兩邊的值一正一負(fù)，故有3個(gè)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；由選項(xiàng)B可知，只能判斷在區(qū)間上有3個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)?shù)?個(gè)極值都小于0時(shí)，至多只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)?shù)?個(gè)極值有正有負(fù)時(shí)，至少有1個(gè)零點(diǎn)，所以無(wú)法判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，故C錯(cuò)誤；在區(qū)間上為正，單調(diào)遞增，在區(qū)間上為負(fù)，單調(diào)遞減，則為極大值點(diǎn)，故D正確；故選：D.例題2．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極大值【答案】A【詳解】在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，故D錯(cuò)誤，故選：A.例題3．（多選）（2023·高二單元測(cè)試）如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間B．為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值【答案】BC【詳解】由圖可知，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)，，故單調(diào)遞增；當(dāng)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)，，故單調(diào)遞增，且，，，則該函數(shù)在和處取得極小值；當(dāng)處取得極大值.故選：BC.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·山東青島·高二青島二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．為的極小值點(diǎn)D．為的極大值點(diǎn)【答案】D【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在上單調(diào)遞減，不是的極小值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，是的極大值點(diǎn)，D正確.故選：D.2．（2023春·天津和平·高二校考階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．為函數(shù)的零點(diǎn)B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．為函數(shù)的極大值點(diǎn)D．是函數(shù)的最小值【答案】B【詳解】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的概念可判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷B；根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)以及最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C，D.由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為函數(shù)的極大值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，B正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為函數(shù)的極小值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為函數(shù)的極小值點(diǎn)，而也為函數(shù)的極小值點(diǎn)，與的大小不定，故不一定是函數(shù)的最小值，D錯(cuò)誤,故選：B3．（2023春·天津紅橋·高二天津三中?？茧A段練習(xí)）如圖是的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①在區(qū)間上是增函數(shù)；②是的極小值點(diǎn)；③在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)；④是的極大值點(diǎn).A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【詳解】解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在和處取得極小值，處取得極大值，故②③正確，④錯(cuò)誤；故選：C．高頻考點(diǎn)二：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）典型例題例題1．（2023春·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的極小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)樗?，令，則，解得或（舍），x2－0＋單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此表可知，當(dāng)時(shí)，的取得極小值為.故選：D.例題2．（多選）（2023春·廣東東莞·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．的極大值點(diǎn)為C．的極小值為 D．的最大值為【答案】AB【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，由得：或，由得：，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，C錯(cuò)誤；函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且是的極大值點(diǎn)，A正確，B正確；顯然，D錯(cuò)誤.故選：AB例題3．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則的極大值為_(kāi)_______________【答案】【詳解】由函數(shù)得函數(shù)，令，則或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為，故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．1為的極大值點(diǎn) B．1為的極小值點(diǎn)C．－1為的極大值點(diǎn) D．－1為的極小值點(diǎn)【答案】D【詳解】由，可得f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)>0可得x>－1，即函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)；令f′(x)<0可得x<－1，即函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上是減函數(shù)，所以x＝－1為f(x)的極小值點(diǎn)．故選：D2．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）函數(shù)（

）A．有最大（?。┲?，但無(wú)極值 B．有最大（?。┲担灿袠O值C．既無(wú)最大（?。┲?，也無(wú)極值 D．無(wú)最大（?。┲担袠O值【答案】C【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)無(wú)最大值和最小值，也無(wú)極值，故選：C3．（多選）（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）若函數(shù)，則（

）A．函數(shù)只有極大值沒(méi)有極小值 B．函數(shù)只有最大值沒(méi)有最小值C．函數(shù)只有極小值沒(méi)有極大值 D．函數(shù)只有最小值沒(méi)有最大值【答案】CD【詳解】，單調(diào)遞增，由，則.∴函數(shù)有唯一極小值，即最小值，沒(méi)有極大值、最大值.故選：CD.高頻考點(diǎn)三：根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·山東煙臺(tái)·高二山東省煙臺(tái)第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為和2，若的極大值為1，則的值為（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】B【詳解】由可知，因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為和2，所以和2是的零點(diǎn)，故和2是的實(shí)數(shù)根，，，．當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)極大值為，，；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)極大值為，，，只要，無(wú)論a取何值，始終成立，故選：B．例題2．（2023春·安徽·高二安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，所以在上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，所以在有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知這兩根的兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，所以，解得.故選：C.例題3．（多選）（2023春·山東青島·高二青島二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在處取得極值，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．一定有兩個(gè)極值點(diǎn) D．的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】BC【詳解】，且在處取得極值，，解得：或；當(dāng)，時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，是的極小值點(diǎn)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意；綜上所述：，；對(duì)于AB，，A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，和分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，，，，即不滿(mǎn)足在單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間應(yīng)為和，D錯(cuò)誤.故選：BC.例題4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知在處取得極值，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】8【詳解】解：由，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以有，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào).故答案為：8練透核心考點(diǎn)1．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值4，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【詳解】，，根據(jù)題意有，且，解得，，.此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.函數(shù)在處取極小值，滿(mǎn)足.故選：A2．（多選）（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A． B． C．2 D．【答案】BD【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程，即在內(nèi)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，，則，令，當(dāng)時(shí)，，的取值集合是，當(dāng)時(shí)，，若，即，函數(shù)對(duì)單調(diào)遞增，的取值集合是，若，即，函數(shù)對(duì)單調(diào)遞減，的取值集合是，依題意，方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，即直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線(xiàn)與函數(shù)的部分圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)或時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，于是當(dāng)或時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是或，即a的值可以是，，選項(xiàng)AC不滿(mǎn)足，BD正確.故選：BD3．（2023春·江蘇常州·高二常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在處取得極大值10，則的值為_(kāi)__________.【答案】##【詳解】由題意可知：,則有,解得或．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，或，則為極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在處取得極大值10，所以.故答案為：4．（2023秋·山西呂梁·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)有小于0的極值點(diǎn)，則a的范圍是________．【答案】【詳解】由函數(shù)，則求導(dǎo)可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，由恒成立，則當(dāng)時(shí)，恒成立，因此，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)有小于0的極值點(diǎn)，則有小于的零點(diǎn)，且零點(diǎn)的左右符號(hào)不同，根據(jù)函數(shù)的平移變換，可得，故答案為：.高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值（不含參）典型例題例題1．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，令或，又，所以?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有極大值，又，所以函數(shù)在上的最大值為：，故選：C.例題2．（2023春·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)求函數(shù)在的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值為，最小值為【詳解】（1）易知，函數(shù)的定義域?yàn)?；所以，則切點(diǎn)為又，則在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，所以，切線(xiàn)方程為，整理可得即函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；或時(shí)，，在或上單調(diào)遞增；函數(shù)在上的單調(diào)性列表如下：13極大值極小值所以，的極大值為，極小值為；又，；綜上可得，函數(shù)在上的最大值為，最小值為例題3．（2023春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】(1)極大值是，極小值是(2)最大值為2，最小值為【詳解】（1）∵，∴，x13+0-0+單調(diào)遞增極大值2單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故的極大值是，極小值是；（2）由（1）知：x12+0-單調(diào)遞增極大值2單調(diào)遞減即函數(shù)在區(qū)間,上的最大值為2，最小值為.例題4．（2023春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處有極值6.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值與最小值.【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是(2)最大值為，最小值為【詳解】（1）由題意可得，故，即，得，得或1，當(dāng)和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，滿(mǎn)足在處取得極值；（2）由（1）知，，且在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又，時(shí)，.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·天津?yàn)I海新·高二漢沽一中?？茧A段練習(xí)）在上的最大值是________.【答案】##【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值即最大值，所以.故答案為：2．（2023春·山東菏澤·高二校考階段練習(xí)）已知的一個(gè)極值點(diǎn)為2.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】(1)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【詳解】（1）由題意可得：，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，令，解得或，則的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，可得為極小值點(diǎn)，即符合題意，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）∵，由（1）可得：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，又∵，即，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.3．（2023春·天津武清·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最值.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)最大值，最小值，【詳解】（1）函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且，，則在上的最大值，最小值，4．（2023春·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，且在處取得極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．【答案】(1)；(2)，．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由題意可知，，，，所以，解得，，，所以函數(shù)的解析式為，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以；（2）由（1）知，令，則，解得，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取的極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，又，，所以，．高頻考點(diǎn)五：求函數(shù)的最值（含參）典型例題例題1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)①當(dāng)時(shí)，在上的最小值為；當(dāng)時(shí)，在上的最小值為．【詳解】（1）因?yàn)?，所以．①?dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，或．①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上的最小值為；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在上的最小值為．例題2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)．求函數(shù)的最大值．【答案】(1)a=1(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意可知，所以，即3-3a=0解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)a=1，符合題意．所以a=1．（2）由（1）知，令，，當(dāng)即時(shí)，f（x）和隨x的變化情況如下表：x－21＋0－0＋－7+6a單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)調(diào)增2－3a，由上可知，所以的最大值為．當(dāng)即時(shí)，f（x）和隨x的變化情況如下表：x－21＋0－－7+6a單調(diào)遞增單調(diào)遞減2－3a，由上可知，所以f（x）的最大值為．當(dāng)即時(shí)，恒成立，即f（x）在［－2，1]上單調(diào)遞減，所以f（x）的最大值為f（－2）=－7+6a，綜上所述，當(dāng)時(shí)，f（x）的最大值為；當(dāng)時(shí)，f（x）的最大值為－7+6a．例題3．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù)的最小值為，求的最大值．【答案】(1)0(2)1【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，，則，令，，則，易知在上單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.（2）由已知，的定義域?yàn)?，若函?shù)的最小值為，則有，∴，，令，即的最小值為，由第（1）問(wèn)知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，又∵，∴只需令有解，即有解，令，，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，綜上所述，若函數(shù)的最小值為，則的最大值為.練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知.(1)若在處有極大值，求的值；(2)若，求在區(qū)間上的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知，，由題意，，得或，當(dāng)時(shí)，在上，在上，此時(shí)，在處有極小值，不符題意；當(dāng)時(shí)，在上，在上，此時(shí)，在處有極大值，符合題意.綜上，.（2）令，得或，由，則在上，在上，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.由題意，，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，綜上，.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)設(shè)在區(qū)間上的最小值為，求及的最大值．【答案】(1)極大值，極小值0(2)，的最大值為0，【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，極小值為，（2），，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)時(shí)，同理得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，在區(qū)間上的最小值為，若，在區(qū)間上的最小值為綜上，令，則，故在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，故的最大值為0，高頻考點(diǎn)六：已知函數(shù)的最值求含參典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)x＜0時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝?1時(shí)，f（x）取得最大值f（?1）＝a?2，由題意可得x＞0時(shí)，的值域包含于（?∞，a?2]，即在x＞0時(shí)恒成立即在x＞0時(shí)恒成立即設(shè)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故選：C．例題2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)在上的最小值為2，則實(shí)數(shù)__________.【答案】1【詳解】，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，在上的最小值為，解得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，在上的最小值為，舍去，綜上所述：，故答案為：1.例題3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率為9．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在閉區(qū)間上的最大值為20，求的值．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和(2)【詳解】（1），由已知得，得，解得，．經(jīng)驗(yàn)證可知符合題意，于是，由，得，由,得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和．（2）由（1）知，因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又所以其最大值為，解得．例題4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).（1）若，試判斷在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）若在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；（2）a＝－.【詳解】（1）由題意得f（x）的定義域是（0，＋∞），且f′（x）＝，因?yàn)閍＞0，所以f′（x）＞0，故f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.（2）由（1）可得f′（x）＝，因?yàn)閤∈［1，e］，①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′（x）≥0在［1，e］上恒成立，此時(shí)f（x）在［1，e］上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（1）＝－a＝，所以a＝－（舍去）；②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′（x）≤0在［1，e］上恒成立，此時(shí)f（x）在［1，e］上單調(diào)遞減，所以f（x）min＝f（e）＝1－＝，所以a＝－（舍去）.③若－e＜a＜－1，令f′（x）＝0，得x＝－a，當(dāng)1＜x＜－a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，－a）上單調(diào)遞減；當(dāng)－a＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（－a，e）上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（－a）＝ln（－a）＋1＝，所以a＝－.綜上，a＝－.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)在上的最大值為4，則的值為（

）A．7 B． C．3 D．4【答案】D【詳解】解：∵，∴∴導(dǎo)數(shù)在時(shí)，，單調(diào)遞減；導(dǎo)數(shù)在時(shí)，，單調(diào)遞增；∵，，∴在處取得最大值為，即，故選：D.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)設(shè)在區(qū)間上的最小值為，求及的最大值．【答案】(1)極大值，極小值0(2)，的最大值為0，【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，極小值為，（2），，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)時(shí)，同理得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，在區(qū)間上的最小值為，若，在區(qū)間上的最小值為綜上，令，則，故在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，故的最大值為0，3．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，，若時(shí)，的最小值是3，求實(shí)數(shù)的值.（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）；（2）的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（3）.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，即.（2）定義域是，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是.（3）因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，，所以在上遞減，所以，解得（舍去），當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得.滿(mǎn)足條件，綜上：實(shí)數(shù)的值是.高頻考點(diǎn)七：函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2023春·四川成都·高三石室中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的極值點(diǎn)均不大于2，且在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】易知最小值只能在極小值處取得，，解得導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)為，根據(jù)題意可得．當(dāng)時(shí)，在上，在上單調(diào)遞增，無(wú)最值；當(dāng)時(shí)，在上，上，上，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以在取得極小值，又極小值必須為最小值，所以，即，所以；當(dāng)時(shí)，在上，上，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)有最小值滿(mǎn)足條件，綜上所述，的取值范圍為．故選：A．例題2．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則和在上有2個(gè)交點(diǎn)，，時(shí)，即，遞增，時(shí)，，遞減，故（1），而時(shí)，恒成立，時(shí)，恒成立，所以，故答案為：．例題3．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則的一個(gè)取值為_(kāi)______；的最大值為_(kāi)_______．【答案】

1（≤1的任一實(shí)數(shù)，答案不唯一）；

1【詳解】記函數(shù)，則.令，解得：.列表得：+0-0+單增單減單增對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不能取得最小值，所以存在最小值，的最小值只能在時(shí)，時(shí)取得.當(dāng)時(shí)，在單減，在單增，在單減，在單增.所以的最小值為，即存在最小值；當(dāng)時(shí)，在單減，在單減，在單增.所以的最小值為，即存在最小值；當(dāng)時(shí)，在單減，在單減，在單增.所以的最小值為，即存在最小值；當(dāng)時(shí)，在單減，在單增.所以的最小值為，即存在最小值；當(dāng)時(shí)，在單減，在單增，且，所以的最小值為，即存在最小值；當(dāng)時(shí)，在單減，在單增，且，不能取得最小值.綜上所述：當(dāng)時(shí)函數(shù)存在最小值.故答案為：①1（的任一實(shí)數(shù)，答案不唯一）；②1.例題4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù)的最小值為，求的最大值．【答案】(1)0(2)1【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，，則，令，，則，易知在上單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.（2）由已知，的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)的最小值為，則有，∴，，令，即的最小值為，由第（1）問(wèn)知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，又∵，∴只需令有解，即有解，令，，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，綜上所述，若函數(shù)的最小值為，則的最大值為.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·河北保定·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【詳解】，則，函數(shù)在區(qū)間上存在減區(qū)間，只需在區(qū)間上有解，又，則，所以在區(qū)間上有解，所以，，令，，則，令，則在區(qū)間恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．2．（2023·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間上的最大值為，求的值.【答案】(1)函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，令得，；令得，或，結(jié)合定義域得，∴函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）①當(dāng)時(shí)，，∴，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，∴，∴符合題意；②當(dāng)且時(shí)，令得，+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)∴，∴，∴不符合題意，舍去；③若，即時(shí)，在上，∴在上是增函數(shù)，故在上的最大值為，∴不符合題意，舍去，綜合以上可得.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若且存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2).【詳解】（1）因?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增，所以在存在唯一零點(diǎn)，所以在存在唯一零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，所以在無(wú)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，且，若存在零點(diǎn)，則只需要即可，所以，由①②③可得，實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)與恒成立矛盾；②當(dāng)時(shí)，，則，所以，③當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，令，所以，，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，所以由①②③可得，的最大值為.4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為．（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性，并求的極大值．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為，建立方程，即可求得，的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得的單調(diào)性，從而可求的極大值．試題解析：（1）．由已知得，．故，．從而，．（2）由（1）知，，．令得，或．從而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為．第四部分：數(shù)學(xué)文化（高觀點(diǎn)）題1．（2023春·重慶萬(wàn)州·高二重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間上恒成立，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”；已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【詳解】∵，∴，，若在為“凸函數(shù)”，則，，即，，設(shè)，則，∴在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：[2,+∞)2．（2023全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）聲音的波長(zhǎng)變化曲線(xiàn)一般都可用多個(gè)形如的函數(shù)的和來(lái)描述，因此，我們通常將用函數(shù)的和構(gòu)成的函數(shù)稱(chēng)為聲音函數(shù)，例如，某段音樂(lè)形成的波長(zhǎng)曲線(xiàn)（如圖所示）可用若干個(gè)聲音函數(shù)來(lái)描述．已知某聲音函數(shù)，則在區(qū)間上的最小值與最大值之積為_(kāi)_____．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，令，得，解得或．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則在區(qū)間上的最小值是，且，所以在區(qū)間上的