高考數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊專題2.5點、線間的對稱關(guān)系【六大題型】(原卷版+解析)

專題2.5點、線間的對稱關(guān)系【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1點關(guān)于點的對稱問題】 1【題型2直線關(guān)于點的對稱問題】 3【題型3點關(guān)于直線的對稱問題】 5【題型4直線關(guān)于直線的對稱問題】 7【題型5光線反射問題】 8【題型6將軍飲馬問題】 12【知識點1點關(guān)于點的對稱】1．點關(guān)于點的對稱【題型1點關(guān)于點的對稱問題】【例1】（2023·四川·高二專題練習）若A(4，0)與B點關(guān)于點(2，1)對稱，則B點坐標為（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(?2,4) D．(4,?2)【變式1-1】（2023·江蘇·高二專題練習）點A(1,2)關(guān)于點P(3,4)對稱的點的坐標為(5,6)．【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習）點A（5，8），B（4，1），則A點關(guān)于B點的對稱點C的坐標為．【變式1-3】（2023·江西·高二階段練習（理））已知點A(x,5)關(guān)于點(1,y)的對稱點為(?2,?3)，則點P(x,y)到原點的距離是.【知識點2直線關(guān)于點的對稱】1．直線關(guān)于點的對稱【題型2直線關(guān)于點的對稱問題】【例2】（2023·全國·高三專題練習）直線l:x+2y?1=0關(guān)于點(1,?1)對稱的直線l′的方程為（

A．2x?y?5=0 B．x+2y?3=0 C．x+2y+3=0 D．2x?y?1=0【變式2-1】（2022·高二課時練習）點P(1,2)在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(0,1)對稱，則一定在直線l1上的點為（A．(12,32) B．(?1,【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）直線2x+3y?6=0關(guān)于點?1,2對稱的直線方程是（

）A．3x?2y?10=0 B．3x?2y?23=0C．2x+3y?4=0 D．2x+3y?2=0【變式2-3】（2022·全國·高二專題練習）直線ax+3y?9=0與直線x?3y+b=0關(guān)于原點對稱，則a,b的值是A．a(chǎn)=?1，b=?9 B．a(chǎn)=?1，b=9C．a(chǎn)=1，b=?9 D．a(chǎn)=1，b=9【知識點3直線關(guān)于點的對稱】1．兩點關(guān)于某直線對稱(4)幾種特殊位置的對稱：點對稱軸對稱點坐標P(a,b)x軸(a,-b)y軸(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)【題型3點關(guān)于直線的對稱問題】【例3】（2023·全國·高一專題練習）點P2,0關(guān)于直線l:x?y+3=0的對稱點Q的坐標為（

A．?3,5 B．?1,?4 C．4,1 D．2,3【變式3-1】（2023秋·吉林白城·高二?？计谀cP(2,0)關(guān)于直線l:x+y+1=0的對稱點Q的坐標為（

）A．(?1,?3) B．(?1,?4) C．(4,1) D．(2,3)【變式3-2】（2022秋·高二校考課時練習）已知點A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關(guān)于直線4x+3y=11對稱，則a，b的值為（）.A．a(chǎn)=-1，b=2 B．a(chǎn)=4，b=-2C．a(chǎn)=2，b=4 D．a(chǎn)=4，b=2【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習）已知點A（1，﹣2），B（m，n），關(guān)于直線x+2y﹣2＝0對稱，則m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【知識點4直線關(guān)于直線的對稱】【題型4直線關(guān)于直線的對稱問題】【例4】（2023·全國·高三專題練習）直線2x+3y+4=0關(guān)于y軸對稱的直線方程為（

）A．2x+3y?4=0 B．2x?3y+4=0C．2x?3y?4=0 D．3x+2y?4=0【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習）如果直線y=ax+2與直線y=3x?b關(guān)于直線y=x對稱，那么（

）A．a(chǎn)=13,b=6 B．a(chǎn)=13,b=?6【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）已知直線l1：ax?y+3=0與直線l2關(guān)于直線l：x+y?1=0對稱，直線l2與直線l3：A．?13 B．13 C．3【題型5光線反射問題】【例5】（2023·全國·高三專題練習）一條光線從點A2,4射出，傾斜角為60°，遇x軸后反射，則反射光線的直線方程為（A．3x?y+4?23=0C．3x+y+4?23=0【變式5-1】（2022秋·山東濟南·高二統(tǒng)考期中）一條沿直線傳播的光線經(jīng)過點P?4,8和Q?3,6，然后被直線y=x?3反射，則反射光線所在的直線方程為（A．x+2y?3=0 B．2x+y?15=0C．x?2y?5=0 D．x+2y+3=0【變式5-2】（2022秋·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習）如圖，已知A4,0，B0,6，從點P2,0射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點PA．126513 B．813013 C．【變式5-3】（2023春·山東東營·高二?？奸_學(xué)考試）已知：A0,4，B0,?4，C4,0，E0,2，F(xiàn)0,?2，一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AEA．?∞,?14 B．?14【題型6將軍飲馬問題】【例6】（2023·全國·高三專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在的位置為B(?2,0)，若將軍從山腳下的點A(1,0)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為x+y=3，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．27 B．5 C．15 D．29【變式6-1】（2022秋·河北石家莊·高二統(tǒng)考期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路最短？試求x2+1+A．5 B．10 C．1+5 D．【變式6-2】（2022秋·四川成都·高三?？茧A段練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開關(guān)兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在的位置為B(?2,0)，若將軍從山腳下的點A(3,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=4，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．1453 B．37 C．1353 【變式6-3】（2022秋·安徽滁州·高二校考階段練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在位置為B3,4，若將軍從點A?2,0處出發(fā)，河岸線所在直線方程為y=x，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

A．5 B．35 C．4 D．

專題2.5點、線間的對稱關(guān)系【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1點關(guān)于點的對稱問題】 1【題型2直線關(guān)于點的對稱問題】 3【題型3點關(guān)于直線的對稱問題】 5【題型4直線關(guān)于直線的對稱問題】 7【題型5光線反射問題】 8【題型6將軍飲馬問題】 12【知識點1點關(guān)于點的對稱】1．點關(guān)于點的對稱【題型1點關(guān)于點的對稱問題】【例1】（2023·四川·高二專題練習）若A(4，0)與B點關(guān)于點(2，1)對稱，則B點坐標為（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(?2,4) D．(4,?2)【解題思路】根據(jù)中點坐標公式即可求解.【解答過程】解：設(shè)Ba,b，由題知，點A和點B的中點為2,14+a2=20+b2所以B點的坐標為0,2故選：B.【變式1-1】（2023·江蘇·高二專題練習）點A(1,2)關(guān)于點P(3,4)對稱的點的坐標為(5,6)．【解題思路】由中點坐標公式求解即可【解答過程】設(shè)點A(1,2)關(guān)于點P(3,4)對稱的點為B(x,y)，則點P為AB的中點．∴3=解得x=5y=6∴點A(1,2)關(guān)于點P(3,4)對稱的點的坐標為(5,6)．故答案為：(5,6)．【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習）點A（5，8），B（4，1），則A點關(guān)于B點的對稱點C的坐標為3,?6．【解題思路】設(shè)出A點關(guān)于B點的對稱點C的坐標，然后直接代入中點坐標公式計算．【解答過程】設(shè)C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B點是A，C的中點，所以x+52=4y+8所以C的坐標為3,?6．故答案為：3,?6.【變式1-3】（2023·江西·高二階段練習（理））已知點A(x,5)關(guān)于點(1,y)的對稱點為(?2,?3)，則點P(x,y)到原點的距離是17.【解題思路】根據(jù)對稱性，結(jié)合中點坐標公式、兩點間距離公式進行求解即可.【解答過程】根據(jù)中點坐標公式，得x?22=1，且解得x=4，y=1，所以點P的坐標為(4,1)，則點P(x,y)到原點的距離d=(4?0)故答案為：17.【知識點2直線關(guān)于點的對稱】1．直線關(guān)于點的對稱【題型2直線關(guān)于點的對稱問題】【例2】（2023·全國·高三專題練習）直線l:x+2y?1=0關(guān)于點(1,?1)對稱的直線l′的方程為（

A．2x?y?5=0 B．x+2y?3=0 C．x+2y+3=0 D．2x?y?1=0【解題思路】根據(jù)直線關(guān)于直線外一點(1,?1)的對稱直線互相平行可知其斜率，再取l上一點求其關(guān)于點(1,?1)的對稱點，即可求出l′【解答過程】由題意得l′//l，故設(shè)在l上取點A(1,0)，則點A(1,0)關(guān)于點(1,?1)的對稱點是A′所以1+2×(?2)+c=0，即c=3，故直線l′的方程為x+2y+3=0故選：C.【變式2-1】（2022·高二課時練習）點P(1,2)在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(0,1)對稱，則一定在直線l1上的點為（A．(12,32) B．(?1,【解題思路】根據(jù)兩直線關(guān)于點對稱，利用中點公式即可求直線l上P(1,2)的對稱點，且該點在直線l1【解答過程】由題設(shè)，P(1,2)關(guān)于(0,1)對稱的點必在l1上，若該點為(x,y)∴{1+x2=02+y2=1，解得故選：C.【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）直線2x+3y?6=0關(guān)于點?1,2對稱的直線方程是（

）A．3x?2y?10=0 B．3x?2y?23=0C．2x+3y?4=0 D．2x+3y?2=0【解題思路】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標為x，y,則其關(guān)于點?1,2對稱的點的坐標為(?2?x,4?y)，代入已知直線即可求得結(jié)果.【解答過程】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標為x，y，則其關(guān)于點?1,2對稱的點的坐標為(?2?x,4?y)，因為點(?2?x,4?y)在直線2x+3y?6=0上，所以2?2?x+34?y故選：D.【變式2-3】（2022·全國·高二專題練習）直線ax+3y?9=0與直線x?3y+b=0關(guān)于原點對稱，則a,b的值是A．a(chǎn)=?1，b=?9 B．a(chǎn)=?1，b=9C．a(chǎn)=1，b=?9 D．a(chǎn)=1，b=9【解題思路】直線ax+3y﹣9＝0上任意取點（m，n），關(guān)于原點對稱點的坐標為（﹣m，﹣n），分別代入已知的直線方程，即可求得結(jié)論．【解答過程】直線ax+3y﹣9＝0上任意取點（m，n），關(guān)于原點對稱點的坐標為（﹣m，﹣n），則am+3n?9=0∵點（m，n）是直線ax+3y﹣9＝0上任意一點∴a＝﹣1，b＝﹣9故選A．【知識點3直線關(guān)于點的對稱】1．兩點關(guān)于某直線對稱(4)幾種特殊位置的對稱：點對稱軸對稱點坐標P(a,b)x軸(a,-b)y軸(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)【題型3點關(guān)于直線的對稱問題】【例3】（2023·全國·高一專題練習）點P2,0關(guān)于直線l:x?y+3=0的對稱點Q的坐標為（

A．?3,5 B．?1,?4 C．4,1 D．2,3【解題思路】利用中點和斜率來求得Q點坐標.【解答過程】設(shè)點P2,0關(guān)于直線l:x?y+3=0的對稱點的坐標為a,b則b?0a?2×1=?1a+2所以點Q的坐標為?3,5.故選：A.【變式3-1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）點P(2,0)關(guān)于直線l:x+y+1=0的對稱點Q的坐標為（

）A．(?1,?3) B．(?1,?4) C．(4,1) D．(2,3)【解題思路】根據(jù)點關(guān)于線對稱的特點，利用中點坐標公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.【解答過程】設(shè)點P(2,0)關(guān)于直線x+y+1=0的對稱點的坐標為(a,b)，則{b?0a?2×(?1)=?1所以點Q的坐標為(?1,?3)故選：A.【變式3-2】（2022秋·高二?？颊n時練習）已知點A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關(guān)于直線4x+3y=11對稱，則a，b的值為（）.A．a(chǎn)=-1，b=2 B．a(chǎn)=4，b=-2C．a(chǎn)=2，b=4 D．a(chǎn)=4，b=2【解題思路】利用點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【解答過程】點A，B關(guān)于直線4x+3y=11對稱，則kAB即b+2?(?b)a+2?(b?a)且AB中點(b+2代入得2(b+2)+3=11，②聯(lián)立①②組成的方程組，解得a=4b=2故選：D.【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習）已知點A（1，﹣2），B（m，n），關(guān)于直線x+2y﹣2＝0對稱，則m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【解題思路】先利用線段的中點公式求出線段AB的中點坐標，再把中點坐標代入直線x+2y﹣2＝0，結(jié)合斜率關(guān)系列方程組，求得m,n，從而求得m+n的值．【解答過程】∵A（1，﹣2）和B（m，n）關(guān)于直線x+2y﹣2＝0對稱，∴線段AB的中點C（1+m2，?2+n2）在直線x+2∴1+m2?2+∴m+2n＝7，而n+2m?1×（?12）＝﹣1，得2解方程組m+2n=72m?n=4，可得m＝3，n∴m+n＝5.故選：C.【知識點4直線關(guān)于直線的對稱】【題型4直線關(guān)于直線的對稱問題】【例4】（2023·全國·高三專題練習）直線2x+3y+4=0關(guān)于y軸對稱的直線方程為（

）A．2x+3y?4=0 B．2x?3y+4=0C．2x?3y?4=0 D．3x+2y?4=0【解題思路】利用對稱性質(zhì)可得原直線上的點關(guān)于y軸的對稱點，代入對稱點，即可得到答案.【解答過程】設(shè)點Px,y是所求直線上任意一點，則P關(guān)于y軸的對稱點為P?x,y，且在直線2x+3y+4=0上，代入可得?2x+3y+4=0，即故選：C.【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【解題思路】結(jié)合兩平行線間的距離公式求得正確選項.【解答過程】設(shè)對稱直線方程為x+2y+c=0，1+11+22=c?1所以所求直線方程為x+2y+3=0.故選：B.【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習）如果直線y=ax+2與直線y=3x?b關(guān)于直線y=x對稱，那么（

）A．a(chǎn)=13,b=6 B．a(chǎn)=13,b=?6【解題思路】由題意在y=ax+2上任取一點(0,2)，其關(guān)于直線y=x的對稱點在y=3x?b上，代入可求出b，然后在y=3x?b上任取一點，其關(guān)于直線y=x的對稱點在y=ax+2上，代入可求出a.【解答過程】在y=ax+2上取一點(0,2)，則由題意可得其關(guān)于直線y=x的對稱點(2,0)在y=3x?b上，所以0=6?b，得b=6，在y=3x?6上取一點(0,?6)，則其關(guān)于直線y=x的對稱點(?6,0)在y=ax+2上，所以0=?6a+2，得a=1綜上a=1故選：A.【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）已知直線l1：ax?y+3=0與直線l2關(guān)于直線l：x+y?1=0對稱，直線l2與直線l3：A．?13 B．13 C．3【解題思路】利用直線l2與直線l3：x+3y?1=0垂直，求得l2的斜率，然后求得l1與l的交點坐標，在直線l1上取點0,3【解答過程】解：直線l2與直線l3：x+3y?1=0垂直，則kl∵直線l1：ax?y+3=0與直線l2關(guān)于直線∵由ax?y+3=0x+y?1=0得x=?2a+1在直線l1上取點0,3，設(shè)該點關(guān)于l對稱的點為Pm,n，則m2+n+32?1=0故選：B.【題型5光線反射問題】【例5】（2023·全國·高三專題練習）一條光線從點A2,4射出，傾斜角為60°，遇x軸后反射，則反射光線的直線方程為（A．3x?y+4?23=0C．3x+y+4?23=0【解題思路】根據(jù)對稱關(guān)系可求得反射光線斜率和所經(jīng)過點A′【解答過程】點A2,4關(guān)于x軸的對稱點為A又反射光線傾斜角為180°?60°=∴反射光線所在直線方程為：y+4=?3x?2，即故選：C.【變式5-1】（2022秋·山東濟南·高二統(tǒng)考期中）一條沿直線傳播的光線經(jīng)過點P?4,8和Q?3,6，然后被直線y=x?3反射，則反射光線所在的直線方程為（A．x+2y?3=0 B．2x+y?15=0C．x?2y?5=0 D．x+2y+3=0【解題思路】首先根據(jù)兩點式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線y=x?3的交點，再根據(jù)反射光線經(jīng)過入射點的對稱點，結(jié)合點關(guān)于直線對稱求得對稱點，再利用兩點式即可得解.【解答過程】入射光線所在的直線方程為y?68?6=x?聯(lián)立方程組x?y?3=0,2x+y=0,解得x=1,y=?2,即入射點的坐標為設(shè)P關(guān)于直線y=x?3對稱的點為P′則a?42?b+82?3=0,因為反射光線所在直線經(jīng)過入射點和P′所以反射光線所在直線的斜率為?7??2所以反射光線所在的直線方程為y+2=?1即x+2y+3=0．故選：D.【變式5-2】（2022秋·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習）如圖，已知A4,0，B0,6，從點P2,0射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點PA．126513 B．813013 C．【解題思路】求出P關(guān)于AB的對稱點P1和它關(guān)于y軸的對稱點P2，則【解答過程】解：直線AB的方程為x4+y設(shè)點P2,0關(guān)于直線AB的對稱點為P則ba?2=233?又點P2,0關(guān)于y軸的對稱點為P由光的反射規(guī)律以及幾何關(guān)系可知，光線所經(jīng)過的路程長P1故選：B.【變式5-3】（2023春·山東東營·高二?？奸_學(xué)考試）已知：A0,4，B0,?4，C4,0，E0,2，F(xiàn)0,?2，一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AEA．?∞,?14 B．?14【解題思路】根據(jù)光線的入射光線和反射光線之間的規(guī)律，可先求F點關(guān)于直線BC的對稱點P，再求P關(guān)于直線AC的對稱點M,由此可確定動點D在直線BC上的變動范圍，進而求的其斜率的取值范圍.【解答過程】由題意可知：直線BC的方程為y=x?4，直線AC的方程為y=?x+4，如圖：設(shè)F0,?2關(guān)于直線BC的對稱點為P(a,b)，則b解得a=2b=?4，故P同理可求P2,?4關(guān)于直線AC的對稱點為M(8,2)連接MA,ME,ME交AC于N，而MN方程為y=2,聯(lián)立y=2y=?x+4得N點坐標為N(2,2)連接PA,PN，分別交BC于H,G,PA方程為：y=?4x+4，和直線BC方程y=x?4聯(lián)立，解得H點坐標為H(8PN的方程為x=2,和直線BC方程y=x?4聯(lián)立解得G(2,?2)，連接FG,FH,則H,G之間即為動點D點的變動范圍，而kFG故FD斜率的取值范圍是(?1故選B.【題型6將軍飲馬問題】【例6】（2023·全國·高三專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在的位置為B(?2,0)，若將軍從山腳下的點A(1,0)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為x+y=3，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．27 B．5 C．15 D．29【解題思路】設(shè)B(?2,0)關(guān)于x+y=3的對稱點為(x,y)，列方程求對稱點坐標，再應(yīng)用兩點距離公式求“將軍飲馬”的最短總路程.【解答過程】由B(?2,0)關(guān)于x+y=3的對稱點為(x,y)，所以{x?22+y2=3所以“將軍飲馬”的最短總路程為(3?1)2故選：D.【變式6-1】（2022秋·河北石家莊·高