高二數(shù)學(xué)上學(xué)期人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列章節(jié)復(fù)習(xí)教案

第四章數(shù)列章節(jié)復(fù)習(xí)夯實(shí)、拓展、感悟與提升一、夯實(shí)雙基，逐層認(rèn)知本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)重點(diǎn)1數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和、遞推關(guān)系例1（1）已知數(shù)列滿足，則【解析】，【答案】0,1（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且第項(xiàng)滿足則（）A.9B.8C.7D.6【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故由，故選B（3）已知數(shù)列滿足，（1）證明是等差數(shù)列，并求出公差；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】（1）由已知，，又，所以是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證與不符所以重點(diǎn)2等差數(shù)列及其性質(zhì)、前項(xiàng)和例2（1）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則______.【解析】由已知，得【答案】100例2（2）在等差數(shù)列中，，則__________【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)知.【答案】74例2（3）已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和，則的值為（）A．B．C．D．【解析】∵，∴，解之得，∴.故選D.例2（4）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí)等于（）A． B． C． D．【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得，方法一：，所以當(dāng)時(shí)，最小，故選A方法二：，由，因?yàn)?，所以，于是?dāng)時(shí)，最小，故選A.例2（5）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，有，解得．（Ⅱ）由于，①則有②②－①，得由于，所以③同樣有，，④③－④，得．所以，又，即對(duì)都成立所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．所以．（Ⅲ）所以又所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故要使不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立只須，又，所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍是重點(diǎn)3等比數(shù)列及其性質(zhì)、前項(xiàng)和例3（1）若等比數(shù)列滿足，則公比為（）A.B.C.D.【解析】由題有，故選B.例3（2）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（）A.7B.8C.9D.10【解析】方法一：，相除得，所以，故選A方法二：∵為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，∴成等比數(shù)列∴，，∴，∴.故選A.例3（3）等比數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求．【解析】（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得．由已知得，解得（舍去），或．所以或．（2）若，則．由得，此方程沒有正整數(shù)解．若，則．由得，解得．綜上，．例3（4）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知.（Ⅰ）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】（Ⅰ）由及，有由，得，相減得，即方法一：（目標(biāo)明確的證明框架）所以數(shù)列是以2為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列方法二：由得，即所以數(shù)列是以2為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，兩邊同時(shí)除以得（如果不這樣，就要用到累差法了）數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列．，所以例3（5）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，不合題意.當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，符合題意；因此所以（Ⅱ）因?yàn)橹攸c(diǎn)4數(shù)學(xué)歸納法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用例4設(shè)數(shù)列滿足．（1）計(jì)算，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）由題意可得，，可猜想數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，猜想成立.=2\*GB3②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即.那么時(shí)，也成立.由=1\*GB3①=2\*GB3②可知，對(duì)任意的，都有成立.（2）由（1）可知，所以，，相減得，所以.二、拓展思維，熟知方法重點(diǎn)5數(shù)列的求和例5（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則（）A.B.C.D.【解析】方法一：分別求出前10項(xiàng)相加即可得出結(jié)論；方法二：，所以.故選A.例5（2）設(shè)，則等于（）A． B.C． D．【解析】由已知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，有項(xiàng)所以.故選D例5（3）設(shè)若，則________【解析】由得，相加得，【答案】1011例5（4）數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求證.【解析】（Ⅰ）設(shè){}公差為，由題意易知，且則{}通項(xiàng)，前項(xiàng)和再設(shè){}公比為，則{}通項(xiàng)由可得①又{}為公比為64的等比數(shù)列，∴，∴②聯(lián)立①、②及，且可解得∴{}通項(xiàng)，，的通項(xiàng)，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴例5（5）設(shè)數(shù)列滿足（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（Ⅰ）由已知①當(dāng)時(shí)，②兩式相減得，在①中，令，得，所以（Ⅱ）③④相減得重點(diǎn)6簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列的求解例6根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）（待定系數(shù)法）【解析】由，所以是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列所以（2）（換元法）【解析】由，是以公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列于是（3）（累差法、換元法、待定系數(shù)法）【解析】由已知，兩邊除以得，令，則是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，于是所以（4）（累積法）【解析】由已知得，以上各式相乘，得，于是（5）（換元法）【解析】由已知是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以三、感悟問題，提升能力1.等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解析】由已知，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿足，但不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選B．2.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，若成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為()A． B． C．3 D．8【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，由，，又，所以，，故選A.3.數(shù)列是等差數(shù)列，,其中，數(shù)列前項(xiàng)和存在最小值.（Ⅰ）求通項(xiàng)公式;（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】（Ⅰ）∵∴又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，∴∴，解得或當(dāng)時(shí)，，此時(shí)公差，當(dāng)時(shí)，，公差，此時(shí)數(shù)列前項(xiàng)和不存在最小值，故舍去.∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以∴（點(diǎn)評(píng)：此處有一項(xiàng)為0，但是必須寫上，否則會(huì)引起混亂）所以（點(diǎn)評(píng)：不能打亂原有的結(jié)構(gòu)）相減得4.設(shè)數(shù)列滿足且（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)記證明：【解析】（Ⅰ）由已知，是公差為1的等差數(shù)列，，.（Ⅱ）5.已知數(shù)列滿足.（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明【解析】（Ⅰ）由得又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.，因此的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以。于是所以6.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)