江西省上饒市廣豐洋口中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

江西省上饒市廣豐洋口中學(xué)2024-2025學(xué)年高三9月數(shù)學(xué)檢測(cè)卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知?jiǎng)t不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷在上的單調(diào)性，將不等式等價(jià)于，由一元二次不等式的解法即可得解.【詳解】，可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且時(shí)函數(shù)連續(xù)，則在上單調(diào)遞減，不等式，可化為，即，解得：，則原不等式的解集為：，故選：A2.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.0 B.1 C.2 D.2025【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性，確定為周期函數(shù)，再結(jié)合，求得，即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，又為偶函數(shù)，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以為周期函數(shù)且周期，∴，∵，∴，∴.故選:C．3.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中，正確的是（）A.的最小值為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到【答案】D【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式得，即可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解ABC，根據(jù)函數(shù)平移，以及誘導(dǎo)公式可判斷D.【詳解】，的最小值為,故A錯(cuò)誤，時(shí)，，所以函數(shù)在不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，C錯(cuò)誤，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得，故D正確．故選：D．4.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)的乘除法得出選項(xiàng).【詳解】,故選：A.5.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，再由離心率的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【分析】

由，得，．因?yàn)?，所以點(diǎn)在線段上，且．如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，所以，所以．設(shè)，則，所以．由雙曲線的定義可知，所以，則．設(shè)，則．在中，由余弦定理，得，即，所以，則（負(fù)值已舍去）．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于結(jié)合雙曲線的定義以及余弦定理代入計(jì)算.6.一袋中裝有大小?質(zhì)地均相同的5個(gè)白球，3個(gè)黃球和2個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則至少含有一個(gè)黑球的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，至少含有一個(gè)黑球的概率是.故選：B.7.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．對(duì)任意恒成立，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得為等比數(shù)列，即可結(jié)合累加法求解，由等比求和公式得，即可代入不等式化簡(jiǎn)得，構(gòu)造，作差得數(shù)列單調(diào)性，即可求解.【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，則，進(jìn)而數(shù)列an是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，可得，不等式恒成立，即．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，bn為遞減數(shù)列，所以，所以，解得．故選：D．8.已知函數(shù)，，對(duì)于存在的，存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】條件可轉(zhuǎn)化為，，，，再分別求列不等式可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)于存在，存在，使，所以，，，又，，顯然在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，則，由解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題，其中正確的命題是（）A.函數(shù)的最小值為2B.若，則的值為1C.函數(shù)的減區(qū)間是D.已知在上是增函數(shù)，若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，，則，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，解不等式得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋_(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)的減區(qū)間是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由得，由于在上是增函數(shù)，故，所以，故D正確.故選：BD.10.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說(shuō)法正確的是（）A.離心率的取值范圍為 B.當(dāng)時(shí)，的最大值為C.存在點(diǎn)，使得 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】A項(xiàng)中需先解出的范圍，然后利用離心率的定義進(jìn)行判斷；B項(xiàng)中根據(jù)橢圓定義轉(zhuǎn)化為求的最大值，從而進(jìn)而判斷；C項(xiàng)中先求出點(diǎn)的軌跡方程，再判斷該軌跡圖形與橢圓是否有交點(diǎn)，從而進(jìn)行判斷；D項(xiàng)中根據(jù)橢圓定義得，并結(jié)合基本不等式判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，得，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：，當(dāng)在軸下方時(shí)，且，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，由，得，，所以得，所以最大值，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)：設(shè)，若，即：，則得，即點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，又由A項(xiàng)知，得，又因?yàn)?，得，所以得，所以該圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.11.函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義均為，且是奇函數(shù)，設(shè)，，則以下結(jié)論一定正確的有（）A.為偶函數(shù)B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的圖象關(guān)于對(duì)稱D.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，若，則【答案】ACD【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，兩邊求導(dǎo)，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)的變換規(guī)則判斷B；令，則為奇函數(shù)，又，根據(jù)函數(shù)的變換規(guī)則判斷C；結(jié)合C及等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)楹瘮?shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義均為，且是奇函數(shù)，所以，則，又，即，故為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)榈膱D象是由函數(shù)圖象向右平移一個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的得到，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，令，，則，由為奇函數(shù)，即，所以，所以為奇函數(shù)，則圖象關(guān)于對(duì)稱，而的圖象可以看作由的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位而得，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D：由選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，，在等差數(shù)列中，又，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)3在上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】先用半角公式，降冪公式及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求最大值.【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以在上最大值?.故答案為：2.13.已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)圓心作直線垂直于軸交點(diǎn)為，點(diǎn)為關(guān)于軸的對(duì)稱軸，動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)與到的距離始終相等，記動(dòng)點(diǎn)到軸距離為，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)與到的距離始終相等，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為開(kāi)口向左的拋物線，然后利用拋物線的定義，由的最小值為求解.【詳解】如圖所示：，由拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為開(kāi)口向左的拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，所以拋物線方程為．圓的圓心為，半徑為，連接交圓于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，此時(shí)最小，利用兩點(diǎn)距離公式得，所以的最小值為．故答案為：14.已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，記，．點(diǎn)B，D在的圖象上，滿足，均垂直于y軸．若四邊形為菱形，則__________．【答案】【解析】【分析】令得，四邊形為菱形，由得，又，得，由，代入函數(shù)解析式求的值.【詳解】函數(shù)，，若，f'x≥0恒成立，在上單調(diào)遞增，不合題意，時(shí)，，得，則，，四邊形為菱形，則，，故，，，則，，由，化簡(jiǎn)得，令，則，即，解得，故，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是用好四邊形為菱形，由對(duì)角線互相垂直利用直線斜率得，利用對(duì)角線互相平分有，求出，由求的值.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）若，，若的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，其中，求.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）將，代入函數(shù)解析式，求得并令，即可由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)區(qū)間.（2）將代入函數(shù)解析式，求得.結(jié)合定義域及二次函數(shù)性質(zhì)可知的單調(diào)區(qū)間，并根據(jù)零點(diǎn)意義代入方程和函數(shù)，可得零點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式.構(gòu)造函數(shù)，并求得可證明的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理及所給參考數(shù)據(jù)，即可求得的值.【詳解】（1）將，代入函數(shù)解析式可得，定義域?yàn)?,+∞，則令，解得，（舍），所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）將代入函數(shù)解析式可得，則因?yàn)?，且?duì)于來(lái)說(shuō)，，所以有兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根，且，所以兩根異號(hào)，不妨設(shè)則，則由定義域?yàn)?,+∞可得在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，因?yàn)?，要存在唯一的零點(diǎn)，且，則，所以，化簡(jiǎn)可得.令，則所以在時(shí)單調(diào)遞減，由題可知，，而，所以即【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)定義及零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，化簡(jiǎn)過(guò)程繁瑣，屬于難題.16.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，．（1）求角B的大??；（2）若的面積，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件和正弦定理邊化角，三角恒等變換即可求出B；(2)根據(jù)三角形面積公式求出a，根據(jù)余弦定理求出b.在和分別由正弦定理表示出和，根據(jù)，即可得.【小問(wèn)1詳解】∵，∴由正弦定理得，，即，即，即，即，，，，∵B∈0,【小問(wèn)2詳解】，.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，，，∴.17.如圖，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高均為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若點(diǎn)M是線段上的點(diǎn)，且，判斷點(diǎn)M是否在平面內(nèi)，并證明你的結(jié)論；（3）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）在，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）連接、交于，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出，計(jì)算出即可.（2）求出、、，即可得到，從而得到、、、四點(diǎn)共面，即可得證；（3）求出相關(guān)向量和平面法向量，利用公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】連接、交于，連接，由正四棱錐的性質(zhì)可得平面，底面為正方形，則，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，，又，得，，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面內(nèi)．小問(wèn)3詳解】由（2）可得，設(shè)平面的法向量，由，得，令，則，，所以，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．18.某社區(qū)舉辦“趣味智力挑戰(zhàn)賽”，旨在促進(jìn)社區(qū)鄰里關(guān)系，鼓勵(lì)居民參與公益活動(dòng)．本次挑戰(zhàn)賽第一輪為選手隨機(jī)匹配4道難度相當(dāng)?shù)娜の吨橇︻}，參賽選手需依次回答這4道題目，任何一道題答對(duì)就算通過(guò)本輪挑戰(zhàn)賽．若參賽選手前兩道題都沒(méi)有答對(duì)，而后續(xù)還需要答題，則每答1道題就需要后期參與一次社區(qū)組織的公益活動(dòng)，若4道題目都沒(méi)有答對(duì)，則被淘汰．根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，年齡在20歲到30歲之間與年齡在30歲到40歲之間的參賽選手在第一輪挑戰(zhàn)賽中答對(duì)每道趣味智力題的概率分別為，．已知甲（25歲）、乙（35歲）兩人都參與了該“趣味智力挑戰(zhàn)賽”，他們每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立．（1）甲熱愛(ài)公益活動(dòng)，若需要答題機(jī)會(huì)，他愿意參與社區(qū)組織的公益活動(dòng)，求甲通過(guò)第一輪挑戰(zhàn)賽的概率；（2）求甲、乙均不需要通過(guò)參與公益活動(dòng)獲得答題機(jī)會(huì)就通過(guò)了第一輪挑戰(zhàn)賽的概率；（3）求甲、乙均通過(guò)了第一輪挑戰(zhàn)賽且只有一人需要參與一次公益活動(dòng)概率．【答案】（1）（2）（3）．【解析】【分析】（1）計(jì)算甲第一輪挑戰(zhàn)賽被淘汰的概率，再根據(jù)對(duì)立事件的概率，即可求解；（2）分別計(jì)算甲、乙不需要參與公益活動(dòng)獲得答題機(jī)會(huì)就通過(guò)了第一輪挑戰(zhàn)賽，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式，即可求解；（3）分別計(jì)算甲、乙通過(guò)了第一輪挑戰(zhàn)賽且需要參與一次公益活動(dòng)的概率，由（2）的結(jié)論結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)甲、乙兩人第i次答對(duì)題目分別記為事件，，則，．甲第一輪挑戰(zhàn)賽被淘汰的概率為，則甲通過(guò)第一輪挑戰(zhàn)賽的概率為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)甲不需要參與公益活動(dòng)獲得答題機(jī)會(huì)就通過(guò)了第一輪挑戰(zhàn)賽為事件A，乙不需要參與公益活動(dòng)獲得答題機(jī)會(huì)就通過(guò)了第一輪挑戰(zhàn)賽為事件B，則，．故所求概率為．【小問(wèn)3詳解】甲通過(guò)了第一輪挑戰(zhàn)賽且需要參與一次公益