蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)6.2.2.2空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【教學(xué)課件】

第2課時(shí)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及空間兩點(diǎn)間的距離公式第6章6.2.2空間向量的坐標(biāo)表示1.會(huì)用坐標(biāo)法計(jì)算空間向量的數(shù)量積，會(huì)判斷空間向量的垂直，

會(huì)求空間兩向量的夾角.2.理解空間兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)方法.3.掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)對(duì)于平面內(nèi)兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)和b＝(x2，y2)，有a·b＝x1x2＋y1y2.那么，對(duì)于空間兩個(gè)非零向量，它們的數(shù)量積的坐標(biāo)表示又是怎樣的呢？導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、空間向量數(shù)量積、垂直及模、夾角的坐標(biāo)表示二、空間兩點(diǎn)間的距離公式及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)三、利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問(wèn)題內(nèi)容索引一、空間向量數(shù)量積、垂直及模、夾角的坐標(biāo)表示問(wèn)題1

設(shè)空間兩個(gè)非零向量為a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立嗎？該計(jì)算公式如何推導(dǎo)？提示

a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立，證明推導(dǎo)過(guò)程如下：設(shè){i，j，k}為空間的一個(gè)單位正交基底，則a＝(x1，y1，z1)＝x1i＋y1j＋z1k，b＝(x2，y2，z2)＝x2i＋y2j＋z2k.a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)＝x1x2i2＋y1y2j2＋z1z2k2＋x1y2i·j＋x1z2i·k＋y1x2j·i＋y1z2j·k＋z1x2k·i＋z1y2k·j＝x1x2＋y1y2＋z1z2.名稱滿足條件向量表示形式坐標(biāo)表示形式a·b|a||b|cos〈a，b〉_______________a⊥ba·b＝0__________________模____________夾角余弦知識(shí)梳理設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則x1x2＋y1y2＋z1z2x1x2＋y1y2＋z1z2＝0注意點(diǎn)：(1)數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.例1

(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝_____.－4解析

易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，則(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.①求證：EF⊥B1C；證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，反思感悟

關(guān)于空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的兩類問(wèn)題(1)直接計(jì)算問(wèn)題首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算.(2)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)首先把向量用坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái)，然后通過(guò)建立方程(組)，解方程(組)求出其坐標(biāo).跟蹤訓(xùn)練1

已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.(1)求x，y，z的值；解

∵a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，(2)求向量(a＋c)與(b＋c)所成角的余弦值.解由(1)知a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)，∴a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1).∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，二、空間兩點(diǎn)間的距離公式及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題2

你能利用空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式嗎？提示

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，問(wèn)題3

如何用向量的方法推導(dǎo)出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)公式？在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(1)AB＝

＝_____________________________.(2)線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為_______________________.知識(shí)梳理注意點(diǎn)：(1)空間兩點(diǎn)間的距離公式類似于平面中的兩點(diǎn)之間的距離公式，可以類比記憶.(2)空間兩點(diǎn)間距離公式是平面兩點(diǎn)間距離公式的推廣.動(dòng)點(diǎn)P(x，y，z)到定點(diǎn)P0(x0，y0，z0)的距離等于定長(zhǎng)r(r>0)的軌跡方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2，此方程表示以點(diǎn)P0為球心，以r為半徑的球面.例2如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，以正方體的同一頂點(diǎn)上的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，點(diǎn)P在正方體的體對(duì)角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱CD上.當(dāng)點(diǎn)P為體對(duì)角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求PQ的最小值.設(shè)點(diǎn)Q(0,1，z)(0≤z≤1)，則反思感悟利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求線段長(zhǎng)度問(wèn)題的一般步驟跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)線段MN的長(zhǎng)度；解根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式得線段MN的長(zhǎng)度(2)到M，N兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x，y，z)的坐標(biāo)滿足的條件.解因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y，z)到M，N兩點(diǎn)的距離相等.所以有下面等式成立：化簡(jiǎn)得x＋y－2z＋3＝0，因此，到M，N兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x，y，z)的坐標(biāo)滿足的條件是x＋y－2z＋3＝0.三、利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問(wèn)題由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a,1)，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，b,0)，延伸探究1.若本例中的“PQ⊥AE”改為“B1Q⊥EQ”，其他條件不變，結(jié)果如何？4c2－4c＋1＝0，所以點(diǎn)Q是線段BD的中點(diǎn)，2.本例中若G是A1D的中點(diǎn)，點(diǎn)H在平面AC上，且GH∥BD1，試判斷點(diǎn)H的位置.反思感悟(1)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，列方程(組)求解.(2)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量平行、垂直的充要條件證明.跟蹤訓(xùn)練3已知空間三點(diǎn)O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直線OA上的一點(diǎn)H滿足BH⊥OA，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為_____________.因?yàn)锽H⊥OA，即－x＋y－1＝0，

①又點(diǎn)H在直線OA上，1.知識(shí)清單：(1)空間向量數(shù)量積、垂直及模、夾角的坐標(biāo)表示.(2)空間兩點(diǎn)間的距離公式及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.(3)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問(wèn)題.2.方法歸納：坐標(biāo)法.3.常見誤區(qū)：(1)把兩直線的夾角混淆為兩個(gè)向量的夾角，導(dǎo)致出錯(cuò).(2)混淆空間向量平行與垂直的條件.課堂小結(jié)隨堂演練1.若向量a＝(4,2，－4)，b＝(6，－3,2)，則(2a－3b)·(a＋2b)等于A.－212B.－106C.106D.2121234√解析

(2a－3b)·(a＋2b)＝(－10,13，－14)·(16，－4,0)＝－10×16＋13×(－4)＝－212.1234√12343.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是√解析依題意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，1234課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.設(shè)A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，則AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離CM的值為16√2.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝

，且λ>0，則λ等于A.5B.4C.3D.212345678910111213141516解析

λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，√且λ>0，解得λ＝3.12345678910111213141516A.30° B.60°C.120° D.150°解析

a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，√所以〈a，c〉＝120°.123456789101112131415164.已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是A.等腰三角形

B.等邊三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形√12345678910111213141516∴BC⊥AC，所以△ABC是直角三角形.123456789101112131415165.從點(diǎn)P(1,2,3)出發(fā)，沿著向量v＝(－4，－1,8)方向取點(diǎn)Q，使PQ＝18，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為A.(－1，－2,3) B.(9,4，－13)C.(－7,0,19) D.(1，－2，－3)√12345678910111213141516即(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1,8).所以λ＝2，所以(x0－1，y0－2，z0－3)＝2(－4，－1,8)，123456789101112131415166.(多選)已知向量a＝(1,1，－1)，b＝(2，－1,0)，c＝(0,1，－2)，則下列結(jié)論正確的是A.a·(b＋c)＝4B.(a－b)·(b－c)＝－8C.記a與b－c的夾角為θ，則cosθ＝D.若(a＋λb)⊥c，則λ＝3√√√12345678910111213141516解析由題意得a·(b＋c)＝(1,1，－1)·(2,0，－2)＝2＋0＋2＝4，(a－b)·(b－c)＝(－1,2，－1)·(2，－2,2)＝－2－4－2＝－8.因?yàn)?a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，即(1＋2λ，1－λ，－1)·(0,1，－2)＝0，得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.綜上可知，選項(xiàng)ABD正確.123456789101112131415167.已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，則p·q＝_____.－1解析

∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.123456789101112131415168.已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，則向量a＋b與a－b的夾角是_____.90°解析

∵a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，∴a＋b＝(sinα＋cosα，2，sinα＋cosα)，a－b＝(cosα－sinα，0，sinα－cosα)，∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－sin2α＋sin2α－cos2α＝0，∴(a＋b)⊥(a－b).∴向量a＋b與a－b的夾角是90°.123456789101112131415169.已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；12345678910111213141516解得x＝2，y＝－4，此時(shí)a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1).又由b⊥c得b·c＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此時(shí)c＝(3，－2,2).12345678910111213141516(2)求向量a＋c與向量b＋c所成角的余弦值.解由(1)得，a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，因此向量a＋c與向量b＋c所成角θ的余弦值為12345678910111213141516(1)求點(diǎn)A，B，C，P的坐標(biāo)；解取AC的中點(diǎn)O，連接OB，OP.所以AC＝4，OB＝2.因?yàn)镻A＝PB＝PC，所以點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即點(diǎn)O.故PO⊥平面ABC.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求AB，PC的中點(diǎn)之間的距離.解由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1,0)，綜合運(yùn)用1234567891011121314151611.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x，y，z)的坐標(biāo)滿足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，則點(diǎn)P的軌跡是A.圓

B.直線

C.球面 D.線段√解析

(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到點(diǎn)(2，－1,3)的距離的平方為1，它表示以(2，－1,3)為球心，以1為半徑的球面，故選C.12345678910111213141516√1234