自動(dòng)控制原理 課件 項(xiàng)目7 線性離散控制系統(tǒng)的分析

項(xiàng)目七線性離散控制系統(tǒng)的分析任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析任務(wù)四應(yīng)用MATLAB進(jìn)行離散控制系統(tǒng)分析任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述一、離散控制系統(tǒng)的相關(guān)概念與特點(diǎn)(一)相關(guān)概念(1)連續(xù)信號(hào)。連續(xù)信號(hào)是指在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)均有定義的信號(hào),它的幅值可以是連續(xù)的,也可以是斷續(xù)的。連續(xù)信號(hào)的一種特殊情況是幅值整量化的連續(xù)信號(hào),如數(shù)模轉(zhuǎn)換器輸出的臺(tái)階式信號(hào)。(2)模擬信號(hào)。模擬信號(hào)是指在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)均有定義的信號(hào),它的幅值在某一時(shí)間范圍內(nèi)是連續(xù)的。模擬信號(hào)是連續(xù)信號(hào)的一個(gè)子集,在大多數(shù)場(chǎng)合與很多文獻(xiàn)中,二者均指模擬信號(hào)。(3)離散信號(hào)。離散信號(hào)是指僅在各個(gè)離散時(shí)間瞬時(shí)上有定義的信號(hào),在時(shí)間上是離散的。而它的幅值可以是離散的,也可以是連續(xù)的。(4)采樣信號(hào)。采樣信號(hào)是指取模擬信號(hào)在離散時(shí)間上的值構(gòu)成的信號(hào)序列。在很多場(chǎng)合,我們提及的離散信號(hào)就是采樣信號(hào)。(5)數(shù)字信號(hào)。數(shù)字信號(hào)是指在時(shí)間上和幅值上都是離散的信號(hào),它是幅值整量化的離散信號(hào)。(6)采樣。采樣是指將模擬信號(hào)按一定時(shí)間通過采樣裝置轉(zhuǎn)化成離散信號(hào)的過程。(7)量化。量化是指采用一組數(shù)碼來逼近離散信號(hào)的幅值,并將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字信號(hào)的過程。任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述1.

連續(xù)控制系統(tǒng)連續(xù)控制系統(tǒng)是指控制系統(tǒng)中所有的信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù),其典型結(jié)構(gòu)圖如圖。其中,r(t)是系統(tǒng)的輸入,c(t)是系統(tǒng)的輸出,e(t)是偏差信號(hào),u(t)是控制量,Gc(s)是模擬控制器的傳遞函數(shù),G0(s)是被控對(duì)象的傳遞函數(shù)。在連續(xù)系統(tǒng)中,使用的控制器是由模擬電子器件實(shí)現(xiàn)的。任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述2.

離散控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)是指控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號(hào)是脈沖序列形式或數(shù)字序列形式。通常,若離散信號(hào)為脈沖序列形式,則該離散控制系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng),其典型結(jié)構(gòu)圖。其中,S是采樣開關(guān),ZOH(ZeroOrderHold)是零階保持器,D(z)是數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù),e?(t)、u?(t)分別是連續(xù)信號(hào)e(t)、u(t)的采樣信號(hào)。任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述若離散信號(hào)為數(shù)字序列形式,則該離散控制系統(tǒng)稱為數(shù)字控制系統(tǒng),其典型結(jié)構(gòu)圖如圖。其中，A/D和D/A分別為模/數(shù)和數(shù)/模轉(zhuǎn)換器,e?(k)、u?(k)分別是連續(xù)信號(hào)e(t)、u(t)的數(shù)字信號(hào)任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述(二)離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)采樣控制系統(tǒng)是對(duì)來自傳感器的連續(xù)信號(hào)在某些規(guī)定時(shí)間的瞬時(shí)取值。采樣控制系統(tǒng)的特點(diǎn)如下。(1)在連續(xù)控制系統(tǒng)中的一處或幾處設(shè)置采樣開關(guān),對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行斷續(xù)控制。(2)通常采樣周期遠(yuǎn)小于被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)。(3)采樣開關(guān)合上的時(shí)間遠(yuǎn)小于其斷開的時(shí)間。(4)采樣周期通常是相同的。1.

采樣控制系統(tǒng)的特點(diǎn)對(duì)信號(hào)采樣后,采樣點(diǎn)之間的信息會(huì)丟失,而且采樣信號(hào)經(jīng)保持器輸出后會(huì)有一定的延遲。因此,與連續(xù)控制系統(tǒng)相比,在確定條件下,數(shù)字控制系統(tǒng)的性能會(huì)有所降低。數(shù)字控制系統(tǒng)較之相應(yīng)的連續(xù)控制系統(tǒng)具有以下特點(diǎn)。(1)

它是由數(shù)字計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字控制器,其控制規(guī)律由軟件實(shí)現(xiàn)。因此,與連續(xù)控制系統(tǒng)中的模擬控制裝置相比,其控制規(guī)律修改調(diào)整方便,控制靈活。(2)

數(shù)字信號(hào)的傳遞可以有效地抑制噪聲,從而提高系統(tǒng)的抗干擾能力。(3)

可以采用高靈敏度的控制元件,提高系統(tǒng)的控制精度。(4)

可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng),提高設(shè)備的利用率,且經(jīng)濟(jì)性好。2.數(shù)字控制系統(tǒng)的特點(diǎn)任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述由于在離散控制系統(tǒng)中有一處或多處的信號(hào)是時(shí)間上離散的量,因此,它需要使用采樣開關(guān)把連續(xù)信號(hào)變換為脈沖信號(hào);還需要使用保持器將離散信號(hào)變換為連續(xù)信號(hào)。任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述采樣開關(guān)可以看成是一個(gè)載波為理想單位脈沖序列δT(t)的幅值調(diào)制器,即理想采樣開關(guān)的輸出信號(hào)e?(t)是連續(xù)輸入信號(hào)e(t)調(diào)制在載波δT(t)上的結(jié)果。(一)采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)表示二、采樣過程與采樣定理任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述信號(hào)的采樣過程如圖假設(shè)當(dāng)t<0時(shí),e(t)=0,用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述上述調(diào)制過程,則有(二)采樣信號(hào)的拉氏變換對(duì)采樣信號(hào)e?(t)進(jìn)行拉氏變換,可得任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述(三)連續(xù)信號(hào)與采樣信號(hào)頻譜的關(guān)系由于采樣信號(hào)只包括連續(xù)信號(hào)采樣點(diǎn)上的信息,所以采樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)信號(hào)的頻譜相比,要發(fā)生變化。采樣信號(hào)e?(t)的頻譜E?(jω)如右圖,它是連續(xù)信號(hào)e(t)的頻譜E(jω)以采樣角頻率ωs為周期的無窮多個(gè)頻譜的延拓。任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述(四)香農(nóng)采樣定理香農(nóng)采樣定理指出,如果采樣開關(guān)的輸入信號(hào)e(t)具有有限帶寬,即具有最大角頻率為ωh的頻率分量,若要從采樣信號(hào)e?(t)中不失真地恢復(fù)信號(hào)e(t),則采樣角頻率ωs必須滿足條件：

ωs≥2ωh。它指明了為從采樣信號(hào)中不失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(hào)所需采樣角頻率ωs的下界,也就是采樣周期T的上界。采樣周期T越小,即采樣角頻率ωs越高,控制過程的信息則獲得越多,控制效果也會(huì)越好。但是,采樣周期T選得過小,將增加不必要的計(jì)算負(fù)擔(dān),而且采樣周期T小到一定的程度時(shí),再減小就失去實(shí)際意義了。反之,采樣周期T選得過大,會(huì)給控制過程帶來較大的誤差,降低系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,甚至有可能導(dǎo)致整個(gè)控制系統(tǒng)失去穩(wěn)定。(五)采樣周期的選取任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述三、采樣信號(hào)的保持采樣得到的離散信號(hào),經(jīng)控制器運(yùn)算后仍為離散信號(hào),但是在控制過程中很多被控量都是連續(xù)量,控制系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)也需要接收連續(xù)量,因此需要使用保持器將控制器輸出的離散信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)。零階保持器將前一采樣時(shí)刻nT的采樣值e(nT)一直保持到下一采樣時(shí)刻(n+1)T到來之前。(一)零階保持器的傳遞函數(shù)設(shè)零階保持器的傳遞函數(shù)為Gh(s),給零階保持器輸入一個(gè)理想單位脈沖δ(t),則其單位脈沖響應(yīng)函數(shù)gh(t)是幅值為1、持續(xù)時(shí)間為T的矩形脈沖。其脈沖響應(yīng)如圖任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述gh(t)幅值為1,說明采樣幅值經(jīng)零階保持器后既不放大,也不衰減;寬度等于T,說明零階保持器對(duì)采樣值只能保持一個(gè)采樣周期。對(duì)單位脈沖信號(hào)δ(t)和單位脈沖響應(yīng)函數(shù)gh(t)分別取拉氏變換,得到的零階保持器的傳遞函數(shù)為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)gh(t)可分解為兩個(gè)單位階躍函數(shù)的和,即任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述(二)零階保持器的特性零階保持器的頻率特性為零階保持器的幅頻特性為零階保持器的相頻特性為零階保持器的頻率特性如圖任務(wù)一離散控制系統(tǒng)概述由上圖可知,零階保持器具有如下特性。(1)低通特性由于幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減,因此說明零階保持器近似為一個(gè)低通濾波器。零階保持器除允許主要頻譜分量通過外,還允許部分高頻頻譜分量通過,從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出頻譜在高頻段存在紋波。(2)

相角滯后特性

由相頻特性可知,零階保持器要產(chǎn)生相角滯后,且隨ω的增大而加大,在ω=ωs處,相角滯后可達(dá)-180°,從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在離散控制系統(tǒng)中,需要通過Z變換來對(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。Z變換是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具,也稱采樣拉氏變換。(一)Z變換的定義采樣信號(hào)e?(t)的拉氏變換為采樣信號(hào)e?(t)的Z變換定義為變量z=esT，即則

E(z)是離散時(shí)間函數(shù)e

?(t)的Z變換。連續(xù)時(shí)間函數(shù)e(t)與相應(yīng)的離散時(shí)間函數(shù)e?(t)具有相同的Z變換,

即任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(二)Z變換方法常用的Z變換方法有級(jí)數(shù)求和法與部分分式法。1.

級(jí)數(shù)求和法根據(jù)Z變換的定義,并將連續(xù)信號(hào)e(t)按周期T進(jìn)行采樣,可得最后求出上式的閉合形式,即可求得E(z)。任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型【例】對(duì)連續(xù)時(shí)間函數(shù)e(t)=at(t≥0),按T=1s進(jìn)行采樣,試求E(z)。解：按Z變換的定義得若|z|>|a|,則無窮級(jí)數(shù)是收斂的,利用等比級(jí)數(shù)求和公式,可得閉合形式為任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.部分分式法(查表法)已知連續(xù)信號(hào)e(t)的拉氏變換E(s),將E(s)展開成各部分分式之和,即每一個(gè)部分分式Ei(s)都是Z變換表中所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù),其Z變換可查表得出任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型【例】已知連續(xù)函數(shù)的拉氏變換為試求相應(yīng)的Z變換E(z)。解：將E(s)展開成部分分式,即對(duì)上式逐項(xiàng)查Z變換表,可得任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(三)Z變換的基本定理應(yīng)用Z變換的基本定理,可以使Z變換的應(yīng)用變得更為方便，常用的Z變換定理有復(fù)數(shù)位移定理卷積定理線性定理終值定理實(shí)數(shù)位移定理任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(四)Z反變換當(dāng)n<0時(shí),e(nT)=0,信號(hào)序列e(nT)是單邊的,對(duì)單邊序列常用的Z反變換法有部分分式法和冪級(jí)數(shù)法。已知表達(dá)式E(z),求相應(yīng)離散序列e(nT)的過程,稱為Z反變換,記為1.部分分式法(查表法)部分分式法先將已知的E(z)分解為部分分式,再通過查Z變換表找出相應(yīng)的e?(t),或者e(nT)。通常先將

展開成部分分式之和,然后將等式左邊分母中的z乘到等式右邊各分式中,再逐項(xiàng)查表進(jìn)行Z反變換。任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型【例】已知，試用部分分式法求e(nT)。解：首先將展開成部分分式,即則得可得查Z變換表得任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.冪級(jí)數(shù)法(長除法)由于變量z

-n的系數(shù)代表連續(xù)時(shí)間函數(shù)在nT時(shí)刻上的采樣值,因此,若E(z)是一個(gè)有理分式,則可以直接通過長除法,得到一個(gè)無窮項(xiàng)冪級(jí)數(shù)的展開式,再根據(jù)z-n

的系數(shù)便可以得出時(shí)間序列e(nT)的值?！纠恳阎囉瞄L除法求e?(t)。解：由題意知任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型【例】已知，試用部分分式法求e(nT)。應(yīng)用長除法,得E(z)可寫成則

任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有差分方程和脈沖傳遞函數(shù)。差分方程用來描述系統(tǒng)輸出與輸入之間的關(guān)系,通常使用Z變換來求解;脈沖傳遞函數(shù)用來對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析。(一)差分方程1.差分的定義差分分為前向差分和后向差分。為方便起見,令T=1s。一階前向差分定義為任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階前向差分定義為n階前向差分定義為一階后向差分定義為二階后向差分定義為n階后向差分定義為任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的一階差分如圖任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.差分方程的定義此式稱為n階線性常系數(shù)差分方程,它在數(shù)學(xué)上代表一個(gè)線性定常離散系統(tǒng)。其中,ai(i=1,2,…,n)和bj(j=0,1,…,m)為常系數(shù),且m≤n。一般的線性定常離散系統(tǒng),k時(shí)刻的輸出c(k),不但與k時(shí)刻的輸入r(k)有關(guān),還與k時(shí)刻以前的輸入(r(k-1),r(k-2),…)和k時(shí)刻以前的輸出(c(k-1),c(k-2),…)有關(guān)。這種關(guān)系一般可以用n階后向差分方程來描述,即線性定常離散系統(tǒng)也可以用n階前向差分方程來描述,即任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.差分方程的解法工程上求解常系數(shù)差分方程通常采用迭代法和Z變換法。(1)迭代法。若已知差分方程式,并且給定輸入序列的初值,則可以利用遞推關(guān)系,在計(jì)算機(jī)上通過迭代一步一步地算出輸出序列,稱為迭代法。(2)Z變換法。用Z變換求解差分方程與用拉氏變換求解微分方程類似,即將時(shí)域內(nèi)的差分方程轉(zhuǎn)換為Z域內(nèi)的代數(shù)方程,求出代數(shù)方程的解后,再進(jìn)行Z反變換,求出系統(tǒng)在各采樣時(shí)刻的輸出響應(yīng)。任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(二)脈沖傳遞函數(shù)1.脈沖傳遞函數(shù)的定義設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖如果系統(tǒng)的初始條件為零,輸入信號(hào)為r(t),采樣r?(t)后的Z變換函數(shù)為R(z),系統(tǒng)連續(xù)部分的輸出為c(t),采樣后c?(t)的Z變換函數(shù)為C(z),則線性定常離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義為：系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)的Z變換與輸入采樣信號(hào)的Z變換之比,即任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)(1)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)如果開環(huán)離散系統(tǒng)在兩個(gè)串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間有理想采樣開關(guān)隔開,如圖。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)定義,則有則有任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)如果開環(huán)離散系統(tǒng)在兩個(gè)串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)G1(S)和G2(S)之間無理想采樣開關(guān)隔開,如圖系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

G(s)=G1(s)G2(s)由脈沖傳遞函數(shù)定義可得任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(3)零階保持器與環(huán)節(jié)串聯(lián)設(shè)帶零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng)如圖當(dāng)有零階保持器時(shí),開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為其中Gp(s)表示系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù),有任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)常見的誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖由脈沖傳遞函數(shù)的定義及開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求法,對(duì)上圖可建立方程組任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型解方程組,得該閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)離散系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)令Φ(z)或Φe(z)的分母多項(xiàng)式為零,便可得到閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程式中,GH(z)為開環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。任務(wù)二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型典型閉環(huán)采樣系統(tǒng)及其輸出的Z變換如表。任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析一、動(dòng)態(tài)性能分析通過Z反變換,可以求出輸出信號(hào)的脈沖序列c?(t)。若離散控制系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)的定義與連續(xù)控制系統(tǒng)相同,則根據(jù)單位階躍響應(yīng)序列c?(t),可以對(duì)離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能定量計(jì)算。(一)離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析設(shè)離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的Z變換其中r(t)=

1(t),T=1s,K=1。試分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析【例】已知零階保持器的閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖解：求得開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為則可求出單位階躍響應(yīng)序列的Z變換為繪出零階保持器離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c?(t)如圖任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析由上圖可近似求得超調(diào)量

σ%=40%峰值時(shí)間

tp=4s調(diào)節(jié)時(shí)間

ts=4s任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析二、穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差(一)S平面與Z平面的關(guān)系在Z變換定義中,z=esT給出了S域到Z域的映射關(guān)系。S域中的任意點(diǎn)可表示為s=σ+jω,映射到Z域則為S域到Z域的基本映射關(guān)系式為

S平面與Z平面存在如下映射關(guān)系。(1)σ<0,S平面上閉環(huán)極點(diǎn)位于虛軸左側(cè),系統(tǒng)穩(wěn)定,對(duì)應(yīng)在Z平面上,z<1,閉環(huán)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)。任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析(2)σ=0,S平面上閉環(huán)極點(diǎn)位于虛軸上,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定,對(duì)應(yīng)在Z平面上,z=1,閉環(huán)極點(diǎn)在單位圓上。(3)σ>0,S平面上閉環(huán)極點(diǎn)位于虛軸右側(cè),系統(tǒng)不穩(wěn)定,對(duì)應(yīng)在Z平面上,z>1,閉環(huán)極點(diǎn)在單位圓外。左半S平面映射到Z平面上為單位圓內(nèi),如圖任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析(二)Z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件由S域到Z域的映射關(guān)系及連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù),可知:(1)S左半平面映射為Z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域,對(duì)應(yīng)穩(wěn)定區(qū)域。(2)S右半平面映射為Z平面單位圓外的區(qū)域,對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定區(qū)域。(3)S平面上的虛軸,映射為Z平面的單位圓周,對(duì)應(yīng)臨界穩(wěn)定情況,屬不穩(wěn)定。線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)分布在Z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi),或者系統(tǒng)所有特征根的模小于1。任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析(三)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要確定系統(tǒng)特征方程的根是否都在Z平面的單位圓內(nèi),因此在Z域中不能直接套用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。如果應(yīng)用一種新的變換,使Z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域映射成新平面上的左半平面,這時(shí)就可以應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種新的平面稱為W平面,這種新的變換,即Z域到W域的變換,稱為W變換。1.W變換與W域中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)如果令則有任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析由于上式的分母(x-1)2+y2始終為正,因此可得以下結(jié)論。(1)u=0等價(jià)為x2+y2=1,表明W平面的虛軸對(duì)應(yīng)Z平面的單位圓周。(2)u<0等價(jià)為x2+y2<1,表明左半W平面對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域。(3)u>0等價(jià)為x2+y2>1,表明右半W平面對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓外的區(qū)域。經(jīng)過W變換之后,判別特征方程1+GH(z)=0的所有根是否位于Z平面上的單位圓內(nèi),就轉(zhuǎn)換為判別特征方程1+GH(w)=0的所有根是否位于W左半平面。這與在S平面上應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)的情況一樣,因此根據(jù)W域中特征方程的系數(shù),可以直接應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性,稱為W域中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析2.二次項(xiàng)特征方程穩(wěn)定性的Z域直接判別法式中,a1

,a0均為實(shí)數(shù),當(dāng)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(1)D(z)=a0

<1。(2)D(1)=1+a1

+a0

>0。(3)D(-1)=1-a1+a0

>0。當(dāng)離散系統(tǒng)的特征方程最高為二次項(xiàng)時(shí),不必進(jìn)行W變換,也不必求其根,可以直接在Z域判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。設(shè)系統(tǒng)的特征方程為任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析(四)離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差在連續(xù)控制系統(tǒng)中,穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算可以通過兩種方法進(jìn)行,一種是建立在拉氏變換終值定理基礎(chǔ)上的計(jì)算方法,另一種是從系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)出發(fā)的靜態(tài)誤差系數(shù)法。這兩種方法在一定的條件下都可以應(yīng)用到離散控制系統(tǒng)中。設(shè)單位負(fù)反饋的誤差采樣系統(tǒng)如圖1.一般方法(利用終值定理)任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析其中,e?(t)為系統(tǒng)采樣誤差信號(hào),其Z變換為系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為則誤差信號(hào)的Z變換為如果Φe(z)的極點(diǎn)全部位于Z平面上的單位圓內(nèi),即離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的,則可由Z變換的終值定理求出采樣瞬時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為上式表明,線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),也與輸入序列的形式及幅值有關(guān),還與采樣周期的選取也有關(guān)。任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析2.靜態(tài)誤差系數(shù)法設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為上式中,Kr為系統(tǒng)的開環(huán)增益,zi為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn),pj為系統(tǒng)除去v個(gè)z=1之外的開環(huán)極點(diǎn)。(1)階躍信號(hào)輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差由終值定理知,穩(wěn)態(tài)誤差為任務(wù)三離散控制系統(tǒng)的性能分析上式代表離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)的穩(wěn)態(tài)位置誤差,其中Kp稱為離散系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)。當(dāng)v=0時(shí),當(dāng)v=0時(shí),當(dāng)v=0時(shí),任務(wù)四應(yīng)用MATLAB進(jìn)行離散控制系統(tǒng)分析任務(wù)四應(yīng)用MATLAB進(jìn)行離散控制系統(tǒng)分析一、數(shù)學(xué)模型處理(一)Z變換和Z反變換MATLAB符號(hào)工具箱中的函數(shù)ztrans和iztrans分別用于求符號(hào)表達(dá)式的Z變換和Z反變換,其調(diào)用格式為F=ztrans(f)F是缺省獨(dú)立變量n的關(guān)于符號(hào)向量f的Z變換,在默認(rèn)情況下返回關(guān)于z的函數(shù)。f=iztrans(F)f是缺省獨(dú)立變量z的關(guān)于符號(hào)向量F的Z反變換,在默認(rèn)情況下返回關(guān)于n的函數(shù)?！纠壳蠛瘮?shù)的Z變換。解：首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換,然后再求Z變換。鍵入如下程序代碼symss

%定義符號(hào)變量sx=ilaplace((s+3)/(s+1)/(s+2));

%求出函數(shù)的拉氏反變換y1=ztrans(x)

%對(duì)x求Z變換y=simplify(y1)

%對(duì)結(jié)果進(jìn)行簡化任務(wù)四應(yīng)用MATLAB進(jìn)行離散控制系統(tǒng)分析運(yùn)行結(jié)果為任務(wù)四應(yīng)用MATLAB進(jìn)行離散控制系統(tǒng)分析(二)連續(xù)系統(tǒng)的離散化用函數(shù)c2dm和dm2c分別將連續(xù)系統(tǒng)離散化和將離散系統(tǒng)模型變換成連續(xù)系統(tǒng)模型，其調(diào)用格式為[mund,dend]=c2dm(num,den,T,′method′)[num,den]=dm2c(numd,dend,T,′method′)其中，numd與dend分別為離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的分子與分母多項(xiàng)式系數(shù)；num與den分別為連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子與分母多項(xiàng)式系數(shù)；T為采樣周期；′method′為采用的離散化方法,有多種方法可供選擇。該參數(shù)默認(rèn)值為′zoh′，即零階保持器，為在連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)之前帶有零階保持器；′foh′為一階保持器；′tustin′為雙線性逼近方法；′prewarp′為頻域法；′matched′為零極點(diǎn)匹配法。解：鍵入如下程序代碼num=1;

%分子多項(xiàng)式系數(shù)den=[110];

%分母多項(xiàng)式系數(shù)T=1;

%采樣周期等于1[numd,

dend]=c2dm(num,den,T,′zoh′)%用加入零階保持器的方法

%將系統(tǒng)離散化

任務(wù)四應(yīng)用MATLAB進(jìn)行離散控制系統(tǒng)分析采用加入零階保持器的方法將此系統(tǒng)進(jìn)行離散化,采樣周期T為1s?！纠恳阎B續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為運(yùn)行結(jié)果為任務(wù)四應(yīng)用MATLAB進(jìn)行離散控制系統(tǒng)分析二、動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析應(yīng)用MATLAB提供的函數(shù)dstep()、dimpulse()和dlsim(),可以分別用來仿真計(jì)算離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)、單位脈沖響應(yīng)和任意指定函數(shù)響應(yīng)。函數(shù)的調(diào)