空氣動力學數(shù)值方法：格子玻爾茲曼方法(LBM)：流體力學數(shù)值方法概論

空氣動力學數(shù)值方法：格子玻爾茲曼方法(LBM)：流體力學數(shù)值方法概論1空氣動力學與流體力學的關(guān)系空氣動力學是流體力學的一個分支，專注于氣體與固體物體相互作用時的力學現(xiàn)象。在飛行器設(shè)計、汽車工程、風力發(fā)電等領(lǐng)域，理解空氣如何流動以及它與物體表面的相互作用至關(guān)重要。流體力學提供了描述和分析流體（包括氣體和液體）運動的基本理論，而空氣動力學則將這些理論應(yīng)用于特定的氣體環(huán)境，尤其是大氣。1.1數(shù)值方法在空氣動力學中的應(yīng)用數(shù)值方法是解決復雜流體力學問題的關(guān)鍵工具，尤其是在無法通過解析解或?qū)嶒炇侄沃苯荧@得結(jié)果的情況下。這些方法通過將連續(xù)的流體動力學方程離散化，轉(zhuǎn)化為計算機可以處理的離散方程組，從而允許對流體流動進行模擬和預測。在空氣動力學中，數(shù)值方法被廣泛用于模擬翼型周圍的氣流、預測飛機的升力和阻力、優(yōu)化汽車的空氣動力學性能等。1.2格子玻爾茲曼方法(LBM)簡介格子玻爾茲曼方法（LatticeBoltzmannMethod，簡稱LBM）是一種基于粒子的流體模擬方法，它在空氣動力學和流體力學數(shù)值模擬中展現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢。LBM的核心思想是通過模擬流體中粒子的碰撞和傳輸過程來求解流體動力學方程。這種方法不僅能夠處理復雜的幾何形狀和邊界條件，而且在并行計算方面具有天然的優(yōu)勢，使得大規(guī)模流體流動的模擬成為可能。1.2.1LBM的基本原理LBM基于玻爾茲曼方程，但將其簡化并離散化到一個有限的格子上。每個格點上的粒子分布函數(shù)遵循特定的離散速度模型，如D2Q9模型（在二維空間中，粒子有9個可能的速度方向）。粒子在每個時間步長內(nèi)沿著這些方向傳輸，并在格點上進行碰撞，更新粒子分布函數(shù)。通過粒子分布函數(shù)可以計算出流體的宏觀物理量，如密度和速度。1.2.2LBM的計算流程初始化：設(shè)置初始條件，包括流體的密度和速度。粒子傳輸：根據(jù)粒子分布函數(shù)和速度模型，粒子從當前格點傳輸?shù)较噜徃顸c。碰撞更新：在每個格點上，粒子分布函數(shù)根據(jù)碰撞規(guī)則進行更新。邊界條件處理：應(yīng)用邊界條件，如固壁、入口和出口條件。宏觀物理量計算：從更新后的粒子分布函數(shù)中計算出流體的密度和速度。迭代：重復粒子傳輸、碰撞更新和邊界條件處理，直到達到穩(wěn)定狀態(tài)或完成預定的模擬時間。1.2.3LBM的代碼示例下面是一個使用Python實現(xiàn)的簡單LBM模擬示例，用于二維流體流動的可視化。此示例使用D2Q9模型，并假設(shè)流體在無限長的通道中流動，通道的下半部分為固壁。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#參數(shù)設(shè)置

nx,ny=100,20

omega=1.5

tau=1.0/omega

c_s2=1.0/3.0

u=np.zeros((nx,ny,2))

rho=np.ones((nx,ny))

f=np.zeros((9,nx,ny))

#方向和速度

cx=np.array([0,1,0,-1,0,1,-1,-1,1])

cy=np.array([0,0,1,0,-1,1,1,-1,-1])

weights=np.array([4.0/9.0,1.0/9.0,1.0/9.0,1.0/9.0,1.0/9.0,1.0/36.0,1.0/36.0,1.0/36.0,1.0/36.0])

#初始化

definit():

globalf,u,rho

foriinrange(9):

f[i,:,:]=weights[i]*rho*(1+3*(cx[i]*u[:,:,0]+cy[i]*u[:,:,1])+\

9*c_s2*(cx[i]*u[:,:,0]+cy[i]*u[:,:,1])**2-\

3*c_s2*(u[:,:,0]**2+u[:,:,1]**2))

#碰撞更新

defcollide():

globalf,u,rho

foriinrange(9):

f_eq=weights[i]*rho*(1+3*(cx[i]*u[:,:,0]+cy[i]*u[:,:,1])+\

9*c_s2*(cx[i]*u[:,:,0]+cy[i]*u[:,:,1])**2-\

3*c_s2*(u[:,:,0]**2+u[:,:,1]**2))

f[i,:,:]=(1-omega)*f[i,:,:]+omega*f_eq

#粒子傳輸

defstream():

globalf

foriinrange(9):

f[i,1:nx,1:ny]=np.roll(f[i,:,:],-cx[i],axis=0)

f[i,1:nx,1:ny]=np.roll(f[i,1:nx,1:ny],-cy[i],axis=1)

#邊界條件

defboundary():

globalf,u

f[3,:,0]=f[1,:,0]

f[7,:,0]=f[5,:,0]

f[8,:,0]=f[6,:,0]

f[1,:,0]=f[3,:,0]

f[5,:,0]=f[7,:,0]

f[6,:,0]=f[8,:,0]

#宏觀物理量計算

defmacro():

globalf,u,rho

rho=np.sum(f,axis=0)

foriinrange(9):

u[:,:,0]+=(cx[i]*f[i,:,:])/rho

u[:,:,1]+=(cy[i]*f[i,:,:])/rho

#主循環(huán)

defmain():

init()

fortinrange(1000):

stream()

collide()

boundary()

macro()

ift%100==0:

plt.imshow(u[:,:,0],origin='lower',cmap='viridis')

plt.colorbar()

plt.title('Velocityinx-directionattimestep{}'.format(t))

plt.show()

main()1.2.4代碼解釋初始化：init()函數(shù)設(shè)置初始的粒子分布函數(shù)f，其中rho表示密度，u表示速度。粒子傳輸：stream()函數(shù)通過numpy的roll函數(shù)實現(xiàn)粒子在格子上的傳輸。碰撞更新：collide()函數(shù)計算平衡分布函數(shù)f_eq，并更新f。邊界條件：boundary()函數(shù)處理固壁邊界條件，確保粒子在固壁處的正確反射。宏觀物理量計算：macro()函數(shù)從粒子分布函數(shù)中計算出流體的宏觀物理量，如密度和速度。主循環(huán)：main()函數(shù)執(zhí)行LBM的迭代過程，每100步輸出一次速度場的可視化。通過上述代碼，我們可以觀察到流體在通道中的流動情況，特別是在固壁附近的流動行為。LBM提供了一種直觀且計算效率高的方法來模擬流體動力學，尤其適用于需要處理復雜邊界條件和流體-固體相互作用的場景。2空氣動力學數(shù)值方法：格子玻爾茲曼方法(LBM)教程2.1格子玻爾茲曼方法基礎(chǔ)2.1.1LBM的基本原理格子玻爾茲曼方法（LatticeBoltzmannMethod,LBM）是一種基于微觀粒子動力學的流體模擬方法，它通過模擬流體中粒子的碰撞和遷移過程來求解流體力學問題。LBM的核心思想是將流體視為大量粒子的集合，這些粒子在離散的格子上運動，遵循玻爾茲曼方程的簡化版本。這種方法特別適用于處理復雜的邊界條件和多相流問題。2.1.2LBM的數(shù)學模型LBM的數(shù)學模型基于玻爾茲曼方程，但在實際應(yīng)用中，我們使用的是其離散化版本。玻爾茲曼方程描述了粒子分布函數(shù)fx,v,t隨時間和空間的變化，其中x是位置矢量，v是速度矢量，t是時間。在LBM中，速度空間和位置空間都被離散化，分布函數(shù)fix離散化玻爾茲曼方程離散化玻爾茲曼方程可以表示為：f其中，Ωix,t是碰撞算子，描述了粒子在格點x處的速度碰撞算子最常用的碰撞算子是Bhatnagar-Gross-Krook(BGK)算子，它簡化了碰撞過程，假設(shè)碰撞后粒子分布函數(shù)迅速達到局部平衡狀態(tài)：Ω其中，τ是松弛時間，fi局部平衡分布函數(shù)局部平衡分布函數(shù)fieq基于流體的宏觀性質(zhì)（如密度ρf其中，ωi是權(quán)重因子，c2.1.3離散速度空間與格子結(jié)構(gòu)在LBM中，速度空間被離散化為有限個方向，每個方向?qū)?yīng)一個速度矢量viD2Q9格子結(jié)構(gòu)示例在D2Q9格子結(jié)構(gòu)中，我們有9個速度方向，如下圖所示：765

84

732

1其中，速度方向1為靜止狀態(tài)，2-4為沿x軸正方向、y軸正方向和x+y方向的速度，5-8為沿x軸負方向、y軸負方向和x-y方向的速度，9為沿x軸和y軸負方向的速度。LBM模擬代碼示例下面是一個使用Python實現(xiàn)的LBM模擬代碼示例，用于二維流體流動的模擬：importnumpyasnp

#定義格子速度和權(quán)重

v=np.array([[0,0],[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,1],[-1,1],[-1,-1],[1,-1]])

w=np.array([4/9,1/9,1/9,1/9,1/9,1/36,1/36,1/36,1/36])

#初始化分布函數(shù)

definit_distribution_function(rho,u):

feq=np.zeros((9,rho.shape[0],rho.shape[1]))

foriinrange(9):

feq[i]=w[i]*rho*(1+3*np.dot(v[i],u)/c_s**2+4.5*(np.dot(v[i],u)/c_s**2)**2-1.5*np.dot(u,u)/c_s**2)

returnfeq

#碰撞和流體更新

deflbm_step(f,rho,u,tau):

f_eq=init_distribution_function(rho,u)

f_new=np.zeros_like(f)

foriinrange(9):

f_new[i]=f[(i,np.mod(np.arange(rho.shape[0])+v[i][0],rho.shape[0]),np.mod(np.arange(rho.shape[1])+v[i][1],rho.shape[1]))]

f_new[i]+=(1-1/tau)*(f_eq[i]-f[i])

rho_new=np.sum(f_new,axis=0)

u_new=np.sum(f_new[:,np.newaxis,np.newaxis]*v[:,np.newaxis,np.newaxis],axis=0)/rho_new

returnf_new,rho_new,u_new

#參數(shù)設(shè)置

c_s=1

tau=0.7

rho=np.ones((100,100))

u=np.zeros((2,100,100))

#模擬循環(huán)

fortinrange(1000):

f,rho,u=lbm_step(f,rho,u,tau)在這個示例中，我們首先定義了D2Q9格子結(jié)構(gòu)的速度方向和權(quán)重。然后，我們初始化分布函數(shù)feq，并使用lbm_step函數(shù)進行碰撞和流體更新。通過循環(huán)調(diào)用lbm_step，我們可以模擬流體在二維空間中的流動。2.2結(jié)論格子玻爾茲曼方法提供了一種有效且直觀的流體模擬方法，尤其適用于處理復雜的邊界條件和多相流問題。通過離散化速度空間和位置空間，LBM能夠以較低的計算成本模擬流體的微觀粒子行為，從而求解流體力學問題。上述代碼示例展示了如何使用Python實現(xiàn)LBM的基本步驟，包括分布函數(shù)的初始化、碰撞和流體更新。3空氣動力學數(shù)值方法：格子玻爾茲曼方法(LBM)：流體力學數(shù)值方法概論3.1LBM的流體力學方程3.1.1連續(xù)性方程的LBM形式在格子玻爾茲曼方法(LBM)中，連續(xù)性方程描述了流體密度在空間和時間上的守恒。LBM通過離散化速度空間和時間，將連續(xù)的流體動力學方程轉(zhuǎn)化為一系列在格點上進行的離散方程。連續(xù)性方程在LBM中的形式可以表示為：i其中，fi是粒子分布函數(shù)，ei是粒子速度，ρ是流體密度，q是速度空間的離散化程度，示例代碼importnumpyasnp

#定義格點速度

e=np.array([[0,1],[1,0],[0,-1],[-1,0],[1,1],[-1,1],[1,-1],[-1,-1]])

#定義粒子分布函數(shù)

f=np.zeros((8,100,100))

#定義流體密度

rho=np.zeros((100,100))

#更新粒子分布函數(shù)

defupdate_f(f,rho,e,dt):

foriinrange(8):

forxinrange(100):

foryinrange(100):

f[i,x,y]=f[i,(x-e[i,0]*dt)%100,(y-e[i,1]*dt)%100]

returnf

#計算流體密度

defcalculate_rho(f):

forxinrange(100):

foryinrange(100):

rho[x,y]=np.sum(f[:,x,y])

returnrho

#初始化粒子分布函數(shù)

f=np.random.rand(8,100,100)

#更新粒子分布函數(shù)和計算流體密度

f=update_f(f,rho,e,1)

rho=calculate_rho(f)3.1.2動量守恒方程的LBM形式動量守恒方程在LBM中通過粒子分布函數(shù)的宏觀速度和密度來表達。在二維情況下，動量守恒方程可以表示為：i其中，u是流體的宏觀速度。示例代碼#定義宏觀速度

u=np.zeros((2,100,100))

#計算宏觀速度

defcalculate_u(f,rho,e):

forxinrange(100):

foryinrange(100):

u[:,x,y]=np.sum(f[:,x,y]*e,axis=0)/rho[x,y]

returnu

#更新粒子分布函數(shù)和計算宏觀速度

f=update_f(f,rho,e,1)

rho=calculate_rho(f)

u=calculate_u(f,rho,e)3.1.3能量守恒方程的LBM形式能量守恒方程在LBM中通常通過溫度或能量密度來表示。在LBM中，能量守恒方程可以轉(zhuǎn)化為溫度守恒方程，表示為：i其中，cv是比熱容，T示例代碼#定義比熱容

cv=1.0

#定義溫度

T=np.zeros((100,100))

#計算溫度

defcalculate_T(f,rho,u,e,cv):

forxinrange(100):

foryinrange(100):

T[x,y]=(np.sum(f[:,x,y]*e**2,axis=0)/rho[x,y]-np.sum(u[:,x,y]**2))/cv

returnT

#更新粒子分布函數(shù)和計算溫度

f=update_f(f,rho,e,1)

rho=calculate_rho(f)

u=calculate_u(f,rho,e)

T=calculate_T(f,rho,u,e,cv)以上示例代碼展示了如何在LBM框架下，通過粒子分布函數(shù)計算流體的密度、宏觀速度和溫度。這些計算是LBM模擬流體動力學的基礎(chǔ)。4空氣動力學數(shù)值方法：格子玻爾茲曼方法(LBM)4.1LBM的碰撞與流體動力學方程4.1.1碰撞算子的定義格子玻爾茲曼方法（LatticeBoltzmannMethod,LBM）是一種基于微觀粒子動力學的流體模擬方法。在LBM中，流體被看作是由大量微觀粒子組成的系統(tǒng)，這些粒子在格子上進行運動和碰撞。碰撞算子是LBM的核心，它描述了粒子在格點上的碰撞過程，從而更新粒子分布函數(shù)。碰撞算子通常采用Bhatnagar-Gross-Krook(BGK)碰撞算子，其定義如下：f其中，fi是粒子分布函數(shù)，ei是粒子的速度方向，τ是松弛時間，4.1.2流體動力學方程的推導LBM的流體動力學方程可以通過對碰撞算子進行連續(xù)極限推導得到。在連續(xù)極限下，LBM的粒子分布函數(shù)可以表示為連續(xù)分布函數(shù)，此時，通過積分和泰勒展開，可以得到流體的宏觀物理量，如密度ρ和速度u。密度和速度的計算公式如下：ρu將這些宏觀物理量代入碰撞算子的定義中，通過一系列數(shù)學變換，可以得到LBM的流體動力學方程，即連續(xù)的Boltzmann方程。在特定條件下，連續(xù)的Boltzmann方程可以進一步簡化為Navier-Stokes方程，這是流體力學中的基本方程。4.1.3LBM與Navier-Stokes方程的聯(lián)系LBM與經(jīng)典的Navier-Stokes方程之間存在緊密的聯(lián)系。Navier-Stokes方程描述了流體的宏觀行為，而LBM則從微觀粒子的角度出發(fā)，通過粒子的運動和碰撞來模擬流體的宏觀行為。在LBM中，通過調(diào)整松弛時間τ，可以控制流體的粘性，從而在宏觀上得到與Navier-Stokes方程一致的流體行為。示例代碼下面是一個使用Python實現(xiàn)的LBM簡單示例，用于模擬二維流體的流動。此代碼使用了BGK碰撞算子，并通過流體動力學方程計算流體的密度和速度。importnumpyasnp

#定義格子速度方向

e=np.array([[0,0],[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,1],[-1,1],[-1,-1],[1,-1]])

#初始化粒子分布函數(shù)

definit_f(x_size,y_size):

f=np.zeros((9,x_size,y_size))

f[0]=1.0

returnf

#計算平衡態(tài)分布函數(shù)

deffeq(f,rho,u):

feq=np.zeros_like(f)

foriinrange(9):

feq[i]=rho*(w[i]+(3*e[i,0]*u[0]+3*e[i,1]*u[1])/9+(9*e[i,0]**2*u[0]**2+9*e[i,1]**2*u[1]**2+6*e[i,0]*e[i,1]*u[0]*u[1])/36)

returnfeq

#更新粒子分布函數(shù)

defupdate_f(f,feq,tau):

f_eq=feq(f,rho,u)

f_new=f+(1.0/tau-1.0)*(f_eq-f)

returnf_new

#主循環(huán)

deflbm(x_size,y_size,tau,steps):

f=init_f(x_size,y_size)

forstepinrange(steps):

#計算密度和速度

rho=np.sum(f,axis=0)

u=np.sum(f*e,axis=0)/rho

#更新粒子分布函數(shù)

f=update_f(f,feq,tau)

#流動邊界條件處理

#...

#參數(shù)設(shè)置

x_size=100

y_size=100

tau=0.7

steps=1000

#運行LBM

lbm(x_size,y_size,tau,steps)代碼解釋初始化粒子分布函數(shù)：init_f函數(shù)初始化了9個方向的粒子分布函數(shù)，其中第一個方向的分布函數(shù)被設(shè)置為1.0，代表靜止粒子的分布。計算平衡態(tài)分布函數(shù)：feq函數(shù)根據(jù)當前的粒子分布函數(shù)、流體密度和速度，計算出平衡態(tài)分布函數(shù)。這里使用了LBM中的權(quán)重w和速度方向e。更新粒子分布函數(shù)：update_f函數(shù)根據(jù)BGK碰撞算子的定義，更新粒子分布函數(shù)。松弛時間τ控制了粒子分布函數(shù)向平衡態(tài)分布函數(shù)的收斂速度。主循環(huán)：lbm函數(shù)是LBM的主循環(huán)，它首先計算流體的密度和速度，然后更新粒子分布函數(shù)，并處理流動邊界條件。在實際應(yīng)用中，邊界條件的處理是非常關(guān)鍵的，但為了簡化示例，這里省略了邊界條件的代碼。通過上述代碼，我們可以看到LBM如何從微觀粒子的角度出發(fā)，通過粒子的運動和碰撞來模擬流體的宏觀行為，進而與Navier-Stokes方程建立聯(lián)系。5邊界條件處理在格子玻爾茲曼方法(LBM)中，邊界條件的處理是確保模擬準確性和物理意義的關(guān)鍵步驟。LBM通過在格點上追蹤粒子分布函數(shù)的演化來模擬流體動力學，邊界條件的設(shè)定直接影響流體與邊界之間的相互作用。以下是三種常見的邊界條件處理方法：無滑移邊界條件、速度邊界條件和壓力邊界條件。5.1無滑移邊界條件無滑移邊界條件假設(shè)流體在固體邊界處的速度為零。在LBM中，這一條件通過反射邊界上的粒子分布函數(shù)來實現(xiàn)。5.1.1原理對于二維九速LBM模型(D2Q9)，無滑移邊界條件的處理通常涉及邊界格點上粒子分布函數(shù)的反射。具體而言，對于邊界格點i，其反射規(guī)則為：如果粒子從邊界向外移動(fi,1,fi如果粒子向邊界移動(fi,7,fi5.1.2示例代碼#無滑移邊界條件處理示例

defno_slip_boundary_condition(f,u,v,rho,nx,ny,boundary):

"""

Applyno-slipboundaryconditionforLBM.

Parameters:

f(numpy.ndarray):Particledistributionfunction.

u(numpy.ndarray):x-directionvelocity.

v(numpy.ndarray):y-directionvelocity.

rho(numpy.ndarray):Density.

nx(int):Numberofgridpointsinx-direction.

ny(int):Numberofgridpointsiny-direction.

boundary(list):Listofboundarygridpoints.

"""

fori,jinboundary:

#Reflectparticlesmovingtowardstheboundary

f[i,j,7]=f[i,j,1]

f[i,j,8]=f[i,j,3]

f[i,j,9]=f[i,j,5]

#Setvelocitytozeroattheboundary

u[i,j]=0

v[i,j]=0

#Updatedensity

rho[i,j]=sum(f[i,j,:])5.2速度邊界條件速度邊界條件允許在邊界上設(shè)定非零速度，用于模擬流體在邊界上的滑移或流動。5.2.1原理在LBM中，速度邊界條件通過直接設(shè)定邊界格點上粒子分布函數(shù)的值來實現(xiàn)，以反映給定的速度。5.2.2示例代碼#速度邊界條件處理示例

defvelocity_boundary_condition(f,u,v,rho,nx,ny,boundary,ub,vb):

"""

ApplyvelocityboundaryconditionforLBM.

Parameters:

f(numpy.ndarray):Particledistributionfunction.

u(numpy.ndarray):x-directionvelocity.

v(numpy.ndarray):y-directionvelocity.

rho(numpy.ndarray):Density.

nx(int):Numberofgridpointsinx-direction.

ny(int):Numberofgridpointsiny-direction.

boundary(list):Listofboundarygridpoints.

ub(float):x-directionvelocityattheboundary.

vb(float):y-directionvelocityattheboundary.

"""

fori,jinboundary:

#Setvelocityattheboundary

u[i,j]=ub

v[i,j]=vb

#Updateparticledistributionfunction

forkinrange(1,10):

ifkin[1,3,5]:

f[i,j,k]=f[i,j,k]*(1+3*(u[i,j]*ex[k]+v[i,j]*ey[k]))

elifkin[7,8,9]:

f[i,j,k]=f[i,j,k]*(1-3*(u[i,j]*ex[k]+v[i,j]*ey[k]))

#Updatedensity

rho[i,j]=sum(f[i,j,:])5.3壓力邊界條件壓力邊界條件用于設(shè)定邊界上的壓力值，這對于模擬開放邊界或壓力驅(qū)動的流動至關(guān)重要。5.3.1原理在LBM中，壓力邊界條件通常通過調(diào)整邊界格點上粒子分布函數(shù)的值來實現(xiàn)，以確保邊界上的壓力等于設(shè)定值。5.3.2示例代碼#壓力邊界條件處理示例

defpressure_boundary_condition(f,rho,nx,ny,boundary,pb):

"""

ApplypressureboundaryconditionforLBM.

Parameters:

f(numpy.ndarray):Particledistributionfunction.

rho(numpy.ndarray):Density.

nx(int):Numberofgridpointsinx-direction.

ny(int):Numberofgridpointsiny-direction.

boundary(list):Listofboundarygridpoints.

pb(float):Pressureattheboundary.

"""

fori,jinboundary:

#Calculatetheequilibriumdistributionfunctionattheboundary

feq=equilibrium_distribution(rho[i,j],u[i,j],v[i,j])

#Adjusttheparticledistributionfunctiontomatchtheboundarypressure

f[i,j,:]=f[i,j,:]+(feq[i,j,:]-f[i,j,:])*(pb/rho[i,j]-1)

#Updatedensity

rho[i,j]=sum(f[i,j,:])在上述代碼中，equilibrium_distribution函數(shù)用于計算平衡分布函數(shù)，其具體實現(xiàn)依賴于LBM模型的細節(jié)。5.4結(jié)論邊界條件的正確處理對于LBM模擬的準確性和穩(wěn)定性至關(guān)重要。通過上述示例代碼，我們可以看到如何在LBM中實現(xiàn)無滑移、速度和壓力邊界條件。這些方法確保了流體與邊界之間的物理相互作用被正確模擬，從而提高了模擬結(jié)果的可靠性。請注意，上述代碼示例是簡化的，實際應(yīng)用中可能需要更復雜的調(diào)整和優(yōu)化，以適應(yīng)特定的流體動力學問題和邊界條件。6LBM在空氣動力學中的應(yīng)用6.1LBM在翼型繞流中的應(yīng)用6.1.1原理格子玻爾茲曼方法(LBM)在翼型繞流問題中的應(yīng)用，主要基于其對流體微尺度行為的模擬能力。LBM通過粒子在格子上的分布和運動，來描述流體的宏觀行為，如速度、壓力等。在翼型繞流中，LBM能夠準確捕捉翼型周圍的流場變化，包括邊界層的形成、分離點的確定以及渦流的生成和演化，這對于理解翼型的氣動特性至關(guān)重要。6.1.2內(nèi)容在LBM模擬翼型繞流時，首先需要定義翼型的幾何形狀和流體的物理參數(shù)。然后，通過設(shè)定初始和邊界條件，啟動模擬。LBM的核心在于粒子的分布函數(shù)更新，這涉及到流體粒子的碰撞和流過程。在翼型附近，流體粒子的分布會受到翼型表面的影響，從而改變其運動方向和速度，形成復雜的流場結(jié)構(gòu)。示例代碼importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義翼型幾何

defairfoil(x,y):

returnnp.sqrt((x-0.5)**2+(y-0.2)**2)>0.1

#LBM參數(shù)

nx,ny=128,128

u=np.zeros((nx,ny,2))

f=np.zeros((9,nx,ny))

rho=np.ones((nx,ny))

#碰撞和流過程

deflbm_step(f,u,rho):

feq=np.zeros_like(f)

foriinrange(9):

forjinrange(nx):

forkinrange(ny):

feq[i,j,k]=rho[j,k]*w[i]*(1+3*np.dot(c[i],u[j,k])+9/2*np.dot(c[i],u[j,k])**2-3/2*np.dot(u[j,k],u[j,k]))

f+=(feq-f)*tau

f=np.roll(f,c,axis=(1,2))

rho=np.sum(f,axis=0)

u=np.sum(f*c,axis=0)/rho

#初始化

w=np.array([4/9,1/9,1/9,1/9,1/9,1/36,1/36,1/36,1/36])

c=np.array([[0,0],[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,1],[-1,1],[-1,-1],[1,-1]])

#主循環(huán)

forstepinrange(1000):

lbm_step(f,u,rho)

#應(yīng)用邊界條件

mask=airfoil(np.arange(nx),np.arange(ny))

rho[mask]=1.0

u[mask]=0.0

#可視化結(jié)果

plt.imshow(rho,cmap='hot',interpolation='nearest')

plt.colorbar()

plt.show()6.1.3描述上述代碼示例展示了如何使用LBM模擬翼型繞流。首先，定義了翼型的幾何形狀，然后初始化了LBM的參數(shù)，包括粒子分布函數(shù)f、流體速度u和密度rho。在主循環(huán)中，通過lbm_step函數(shù)更新粒子分布函數(shù)，模擬流體粒子的碰撞和流過程。最后，應(yīng)用邊界條件，確保翼型表面的無滑移條件，并通過matplotlib庫可視化流體密度分布，以直觀展示翼型周圍的流場變化。6.2LBM在渦流分離問題中的應(yīng)用6.2.1原理渦流分離是空氣動力學中常見的現(xiàn)象，特別是在翼型或物體的后緣。LBM通過其獨特的粒子分布和運動機制，能夠有效模擬渦流的生成和分離過程。在模擬中，LBM能夠捕捉到渦流的動態(tài)特性，如渦旋的形成、強度變化和渦流的脫落頻率，這對于分析和預測物體的氣動性能具有重要意義。6.2.2內(nèi)容在LBM模擬渦流分離時，關(guān)鍵在于準確設(shè)定物體的幾何形狀和流體的邊界條件。物體的后緣是渦流分離的主要位置，因此，需要特別關(guān)注該區(qū)域的流體粒子分布和運動。通過長時間的模擬，可以觀察到渦流的周期性脫落，形成所謂的卡門渦街現(xiàn)象。示例代碼importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義物體幾何

defobstacle(x,y):

return(x>0.4)&(x<0.6)&(y>0.4)&(y<0.6)

#LBM參數(shù)

nx,ny=128,128

u=np.zeros((nx,ny,2))

f=np.zeros((9,nx,ny))

rho=np.ones((nx,ny))

#碰撞和流過程

deflbm_step(f,u,rho):

feq=np.zeros_like(f)

foriinrange(9):

forjinrange(nx):

forkinrange(ny):

feq[i,j,k]=rho[j,k]*w[i]*(1+3*np.dot(c[i],u[j,k])+9/2*np.dot(c[i],u[j,k])**2-3/2*np.dot(u[j,k],u[j,k]))

f+=(feq-f)*tau

f=np.roll(f,c,axis=(1,2))

rho=np.sum(f,axis=0)

u=np.sum(f*c,axis=0)/rho

#初始化

w=np.array([4/9,1/9,1/9,1/9,1/9,1/36,1/36,1/36,1/36])

c=np.array([[0,0],[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,1],[-1,1],[-1,-1],[1,-1]])

tau=0.55

#主循環(huán)

forstepinrange(10000):

lbm_step(f,u,rho)

#應(yīng)用邊界條件

mask=obstacle(np.arange(nx),np.arange(ny))

rho[mask]=1.0

u[mask]=0.0

#可視化結(jié)果

plt.imshow(np.sqrt(u[:,:,0]**2+u[:,:,1]**2),cmap='hot',interpolation='nearest')

plt.colorbar()

plt.show()6.2.3描述這段代碼示例展示了如何使用LBM模擬渦流分離。首先，定義了物體的幾何形狀，然后初始化了LBM的參數(shù)。在主循環(huán)中，通過lbm_step函數(shù)更新粒子分布函數(shù)，模擬流體粒子的碰撞和流過程。特別地，應(yīng)用了物體表面的邊界條件，確保流體粒子在物體表面的無滑移條件。最后，通過matplotlib庫可視化流體速度的大小，以直觀展示渦流分離的流場結(jié)構(gòu)。6.3LBM在高超聲速流中的應(yīng)用6.3.1原理在高超聲速流中，流體的物理性質(zhì)會發(fā)生顯著變化，如激波的形成和熱傳導效應(yīng)的增強。LBM通過其靈活的模型參數(shù)調(diào)整，能夠適應(yīng)高超聲速流的特殊要求。在LBM中，通過引入額外的分布函數(shù)和粒子速度，可以模擬高超聲速流中的激波和熱效應(yīng)，這對于研究高超聲速飛行器的氣動熱環(huán)境具有重要價值。6.3.2內(nèi)容在LBM模擬高超聲速流時，需要考慮流體的高溫和高速特性。這通常涉及到對LBM模型的擴展，如引入溫度分布函數(shù)和熱傳導項。通過長時間的模擬，可以觀察到激波的形成和演化，以及流體溫度的分布，這對于分析高超聲速流的熱力學行為至關(guān)重要。示例代碼importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義高超聲速流參數(shù)

nx,ny=128,128

u=np.zeros((nx,ny,2))

f=np.zeros((9,nx,ny))

rho=np.ones((nx,ny))

T=np.ones((nx,ny))

#碰撞和流過程

deflbm_step(f,u,rho,T):

feq=np.zeros_like(f)

foriinrange(9):

forjinrange(nx):

forkinrange(ny):

feq[i,j,k]=rho[j,k]*w[i]*(1+3*np.dot(c[i],u[j,k])+9/2*np.dot(c[i],u[j,k])**2-3/2*np.dot(u[j,k],u[j,k])+1/2*c[i][0]**2*(T[j,k]-T0))

f+=(feq-f)*tau

f=np.roll(f,c,axis=(1,2))

rho=np.sum(f,axis=0)

u=np.sum(f*c,axis=0)/rho

T=np.sum(f*(c[:,0]**2-c[:,1]**2),axis=0)/(rho*cv)

#初始化

w=np.array([4/9,1/9,1/9,1/9,1/9,1/36,1/36,1/36,1/36])

c=np.array([[0,0],[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,1],[-1,1],[-1,-1],[1,-1]])

tau=0.55

T0=1.0

cv=1.0

#主循環(huán)

forstepinrange(10000):

lbm_step(f,u,rho,T)

#應(yīng)用邊界條件

mask=np.zeros((nx,ny),dtype=bool)

mask[0,:]=True

rho[mask]=1.0

u[mask]=[1.0,0.0]

T[mask]=T0

#可視化結(jié)果

plt.imshow(T,cmap='hot',interpolation='nearest')

plt.colorbar()

plt.show()6.3.3描述這段代碼示例展示了如何使用LBM模擬高超聲速流。在LBM模型中，引入了溫度分布函數(shù)T，并通過lbm_step函數(shù)更新粒子分布函數(shù)，同時考慮了溫度的影響。在主循環(huán)中，應(yīng)用了入口邊界條件，模擬了高速流體的進入。最后，通過matplotlib庫可視化流體溫度分布，以直觀展示高超聲速流中的熱力學行為。7LBM的高級主題7.1多相流的LBM模型7.1.1原理格子玻爾茲曼方法(LBM)在處理多相流問題時，通過引入相場方法或雙流體模型，能夠有效地模擬不同流體間的界面動力學和相變過程。相場方法通過一個連續(xù)的標量場來描述兩相的分布，而雙流體模型則分別跟蹤每種流體的分布函數(shù)。7.1.2內(nèi)容在多相流LBM模型中，關(guān)鍵在于如何準確地描述界面的移動和流體間的相互作用。這通常涉及到界面張力、表面活性劑效應(yīng)以及流體動力學的耦合。例如，使用Cahn-Hilliard方程與LBM結(jié)合，可以模擬液滴的合并和分裂過程。7.1.3示例以下是一個使用Python和LBM模擬兩相流的基本示例。此示例使用了簡單的雙流體模型，其中兩種流體通過分布函數(shù)的差異來區(qū)分。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義LBM參數(shù)

nx,ny=128,128

nt=1000

rho=np.ones((nx,ny))

u=np.zeros((2,nx,ny))

f=np.zeros((9,nx,ny))

#初始化分布函數(shù)

foriinrange(9):

f[i]=rho*w[i]*(1+3*u[0]*cx[i]+4.5*u[0]**2*cx[i]**2+3*u[1]*cy[i]+4.5*u[1]**2*cy[i]**2-1.5*(u[0]**2+u[1]**2))

#LBM循環(huán)

fortinrange(nt):

#流體分布函數(shù)的流過程

foriinrange(9):

f[i]=np.roll(f[i],[cx[i],cy[i]],axis=(0,1))

#碰撞過程

rho=np.sum(f,axis=0)

u=np.sum(f*np.array([cx,cy]),axis=0)/rho

foriinrange(9):

f[i]-=(f[i]-eq[i](rho,u))*omega

#可視化結(jié)果

plt.imshow(rho,cmap='gray')

plt.show()注釋：此代碼示例中，w、cx、cy和eq是預定義的權(quán)重、速度分量和平衡態(tài)分布函數(shù)，omega是松弛時間參數(shù)。然而，為了模擬多相流，需要在碰撞步驟中加入相界面的處理，這通常涉及到復雜的物理模型和額外的計算步驟。7.2復雜幾何的LBM處理7.2.1原理在復雜幾何結(jié)構(gòu)中應(yīng)用LBM，需要解決流體與固體邊界之間的相互作用問題。這通常通過邊界條件的處理來實現(xiàn)，如bounce-back邊界條件，它假設(shè)流體粒子在遇到固體邊界時會反彈回來，從而模擬流體的無滑移邊界條件。7.2.2內(nèi)容對于復雜幾何，LBM通過定義一個包含流體和固體的格子結(jié)構(gòu)來處理。固體區(qū)域的格子點上，分布函數(shù)遵循特定的邊界條件，如bounce-back或流體滑移邊界條件。此外，對于復雜的三維結(jié)構(gòu)，LBM可以擴展到三維格子，如D3Q19模型。7.2.3示例以下是一個使用Python和LBM模擬流體繞過圓柱體流動的示例。此示例展示了如何在圓柱體周圍應(yīng)用bounce-back邊界條件。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義LBM參數(shù)

nx,ny=128,128

nt=1000

rho=np.ones((nx,ny))

u=np.zeros((2,nx,ny))

f=np.zeros((9,nx,ny))

omega=1.0/3.0

#初始化分布函數(shù)

foriinrange(9):

f[i]=rho*w[i]*(1+3*u[0]*cx[i]+4.5*u[0]**2*cx[i]**2+3*u[1]*cy[i]+4.5*u[1]**2*cy[i]**2-1.5*(u[0]**2+u[1]**2))

#定義圓柱體

cylinder=np.zeros((nx,ny))

radius=20

foriinrange(nx):

forjinrange(ny):

if(i-nx/2)**2+(j-ny/2)**2<radius**2:

cylinder[i,j]=1

#LBM循環(huán)

fortinrange(nt):

#流體分布函數(shù)的流過程

foriinrange(9):

f[i]=np.roll(f[i],[cx[i],cy[i]],axis=(0,1))

#應(yīng)用bounce-back邊界條件

f[:,cylinder==1]=f[:,cylinder==1][::-1]

#碰撞過程

rho=np.sum(f,axis=0)

u=np.sum(f*np.array([cx,cy]),axis=0)/rho

foriinrange(9):

f[i]-=(f[i]-eq[i](rho,u))*omega

#可視化結(jié)果

plt.imshow(rho,cmap='gray')

plt.show()注釋：在上述代碼中，cylinder數(shù)組用于定義圓柱體的幾何形狀，f[:,cylinder==1]=f[:,cylinder==1][::-1]這行代碼實現(xiàn)了bounce-back邊界條件，確保流體粒子在遇到圓柱體時反彈。7.3LBM的并行計算策略7.3.1原理LBM的并行計算主要基于其局部性和并行友好的特性。由于LBM的更新只涉及到相鄰格子點，因此可以將計算任務(wù)分配到多個處理器上，每個處理器負責計算格子結(jié)構(gòu)的一部分。7.3.2內(nèi)容并行LBM的實現(xiàn)通常涉及到數(shù)據(jù)的分區(qū)、邊界數(shù)據(jù)的交換以及負載均衡的考慮。數(shù)據(jù)分區(qū)可以是均勻的，也可以根據(jù)計算復雜度進行動態(tài)調(diào)整。邊界數(shù)據(jù)的交換確保了相鄰處理器之間的數(shù)據(jù)同步，而負載均衡則避免了計算資源的浪費。7.3.3示例以下是一個使用Python和MPI（MessagePassingInterface）并行化LBM的示例。此示例展示了如何在多個處理器之間分配計算任務(wù)，并在每個時間步交換邊界數(shù)據(jù)。frommpi4pyimportMPI

importnumpyasnp

#初始化MPI

comm=MPI.COMM_WORLD

rank=comm.Get_rank()

size=comm.Get_size()

#定義LBM參數(shù)

nx,ny=128,128

nt=1000

rho=np.ones((nx,ny))

u=np.zeros((2,nx,ny))

f=np.zeros((9,nx,ny))

omega=1.0/3.0

#分區(qū)數(shù)據(jù)

ifrank==0:

data=np.zeros((size,nx,ny))

foriinrange(size):

data[i]=rho[i*ny//size:(i+1)*ny//size]

else:

data=None

#散播數(shù)據(jù)

rho=comm.scatter(data,root=0)

#LBM循環(huán)

fortinrange(nt):

#流體分布函數(shù)的流過程

foriinrange(9):

f[i]=np.roll(f[i],[cx[i],cy[i]],axis=(0,1))

#交換邊界數(shù)據(jù)

ifrank<size-1:

f[:,:,-1]=comm.recv(source=rank+1,tag=11)

comm.send(f[:,:,0],dest=rank+1,tag=11)

ifrank>0:

f[:,:,0]=comm.recv(source=rank-1,tag=11)

comm.se