數(shù)列通項公式方法大全很經(jīng)典

1,數(shù)列通項公式得十種求法:(1)公式法(構(gòu)造公式法)例1已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列得通項公式。解:兩邊除以,得,則,故數(shù)列就是以為首項,以為公差得等差數(shù)列,由等差數(shù)列得通項公式,得,所以數(shù)列得通項公式為。評注:本題解題得關(guān)鍵就是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為,說明數(shù)列就是等差數(shù)列,再直接利用等差數(shù)列得通項公式求出,進而求出數(shù)列得通項公式。(2)累加法例2已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項公式。解:由得則所以數(shù)列得通項公式為。評注:本題解題得關(guān)鍵就是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為,進而求出,即得數(shù)列得通項公式。變式:已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項公式。(3)累乘法例3已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項公式。解:因為,所以,則,故所以數(shù)列得通項公式為評注:本題解題得關(guān)鍵就是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為,進而求出,即得數(shù)列得通項公式。變式:已知數(shù)列滿足,求得通項公式。(4)待定系數(shù)法例4已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項公式。解:設(shè) ④將代入④式,得,等式兩邊消去,得,兩邊除以,得代入④式得 ⑤由及⑤式得,則,則數(shù)列就是以為首項,以2為公比得等比數(shù)列,則,故。評注:本題解題得關(guān)鍵就是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為,從而可知數(shù)列就是等比數(shù)列,進而求出數(shù)列得通項公式,最后再求出數(shù)列得通項公式。變式:=1\*GB3①已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項公式。=2\*GB3②已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項公式。(5)對數(shù)變換法例5已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列得通項公式。解:因為,所以。在式兩邊取常用對數(shù)得 ⑩設(shè) eq\o\ac(○,11)將⑩式代入eq\o\ac(○,11)式,得,兩邊消去并整理,得,則,故代入eq\o\ac(○,11)式,得eq\o\ac(○,12)由及eq\o\ac(○,12)式,得,則,所以數(shù)列就是以為首項,以5為公比得等比數(shù)列,則,因此則。評注:本題解題得關(guān)鍵就是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為,從而可知數(shù)列就是等比數(shù)列,進而求出數(shù)列得通項公式,最后再求出數(shù)列得通項公式。(6)數(shù)學(xué)歸納法例6已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項公式。解:由及,得由此可猜測,往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。(1)當(dāng)時,,所以等式成立。(2)假設(shè)當(dāng)時等式成立,即,則當(dāng)時,由此可知,當(dāng)時等式也成立。根據(jù)(1),(2)可知,等式對任何都成立。評注:本題解題得關(guān)鍵就是通過首項與遞推關(guān)系式先求出數(shù)列得前n項,進而猜出數(shù)列得通項公式,最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。(7)換元法例7已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項公式。解:令,則故,代入得即因為,故則,即,可化為,所以就是以為首項,以為公比得等比數(shù)列,因此,則,即,得。評注:本題解題得關(guān)鍵就是通過將得換元為,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式,從而可知數(shù)列為等比數(shù)列,進而求出數(shù)列得通項公式,最后再求出數(shù)列得通項公式。(8)不動點法例8已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項公式。解:令,得,則就是函數(shù)得兩個不動點。因為。所以數(shù)列就是以為首項,以為公比得等比數(shù)列,故,則。評注:本題解題得關(guān)鍵就是先求出函數(shù)得不動點,即方程得兩個根,進而可推出,從而可知數(shù)列為等比數(shù)列,再求出數(shù)列得通項公式,最后求出數(shù)列得通項公式。例9已知數(shù)列滿足,求數(shù)列得通項公式。解:令,得,則就是函數(shù)得不動點。因為,所以。評注:本題解題得關(guān)鍵就是通過將得換元為,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式,從而可知數(shù)列為等比數(shù)列,進而求出數(shù)列得通項公式,最后再求出數(shù)列得通項公式。課后習(xí)題:1.數(shù)列得一個通項公式就是()A、B、C、D、2.已知等差數(shù)列得通項公式為,則它得公差為()A、2B、3C、D、3.在等比數(shù)列中,則()A、B、C、D、4.若等比數(shù)列得前項與為,且,,則5.已知數(shù)列通項公式,則該數(shù)列得最小得一個數(shù)就是6.在數(shù)列{an}中,且,則數(shù)列得前99項與等于.7.已知就是等差數(shù)列,其中,公差。(1)求數(shù)列得通項公式;(2)數(shù)列從哪一項開始小于0？(3)求數(shù)列前項與得最大值,并求出對應(yīng)得值.8.已知數(shù)列得前項與為,(1)求、、得值;(2)求通項公式。9.等差數(shù)列中,前三項分別為,前項與為,且。(1)、求與得值;(2)、求=;數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列得有關(guān)知識比較一覽表等差數(shù)列等比數(shù)列遞推關(guān)系①②③①②③通項①②①②求與公式①②③①求積公式②③(,)主要性質(zhì)①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,則、②對任意c>0,c1,為等比數(shù)列、③、④若、分別為兩等差數(shù)列,則為等差數(shù)列、⑤數(shù)列為等差數(shù)列、⑥若為正項等差自然數(shù)列,則為等差數(shù)列、⑦為等差數(shù)列、⑧,n>2m,m、n、⑨、⑩若則、①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,則、②對任意c>0,c1,若an恒大于0,則為等差數(shù)列、③、④若、為兩等比數(shù)列,則為等比數(shù)列、⑤若an恒大于0,則數(shù)列為等比數(shù)列、⑥若為正項等差自然數(shù)列,則為等比數(shù)列、⑦為等比數(shù)列、⑧,n>2m,m、n,、⑨、⑩若則、重要性質(zhì)①若p、q,且,則、②若且,則p、q、①=、②若|q|<1,則、求數(shù)列{an}通項公式得方法1.=+型累加法:=(－)+(－)+…+(－)+=++…++例1、已知數(shù)列{}滿足=1,=+(n∈N+),求、[解]=－+－+…+－+=++…++1==－1∴=－1(n∈N+)2.=p+q型(p、q為常數(shù))方法:(1)+=,再根據(jù)等比數(shù)列得相關(guān)知識求、(2)－=再用累加法求、(3)=+,先用累加法求再求、例3、已知{}得首項=a(a為常數(shù)),=2+1(n∈N+,n≥2),求、[解]設(shè)－λ=2(－λ),則λ=－1∴+1=2(+1)∴{}為公比為2得等比數(shù)列、∴+1=(a+1)·∴=(a+1)·－13.型累乘法:=·…·例2、已知數(shù)列{}滿足(n∈N+),=1,求、[解]=·…·=(n－1)·(n－2)…1·1=(n－1)！∴=(n－1)！(n∈N+)4.=p+型(p為常數(shù))方法:變形得=+,則{}可用累加法求出,由此求、例4、已知{}滿足=2,=2+、求、[解]=+1∴{}為等差數(shù)列、=∴=n·5.=p＋q型(p、q為常數(shù))特征根法:(1)時,=·+·(2)時,=(+·n)·例5、數(shù)列{}中,=2,=3,且2=+(n∈N+,n≥2),求、[解]=2－∴∴∴=(+·n)·=+·n∴∴∴6.“已知,求”型方法:=－(注意就是否符合)例6、設(shè)為{}得前n項與,=(－1),求(n∈N+)[解]∵=(－1)(n∈N+)∴當(dāng)n=1時,=(－1)∴=3當(dāng)n≥2時,=－=(－1)－(－1)∴=3∴=(n∈N+)求數(shù)列{an}得前n項與得方法(1)倒序相加法(2)公式法此種方法主要針對類似等差數(shù)列中,具有這樣特點得數(shù)列.此種方法就是針對于有公式可套得數(shù)列,如等差、等比數(shù)列,關(guān)鍵就是觀察數(shù)列得特點,找出對應(yīng)得公式.例:等差數(shù)列求與①把項得次序反過來,則:②①+②得:公式:①等差數(shù)列:②等比數(shù)列:;③1+2+3+……+n=;(3)錯位相減法(4)分組化歸法此種方法主要用于數(shù)列得求與,其中為等差數(shù)列,就是公比為q得等比數(shù)列,只需用便可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列得求與,但要注意討論q=1與q≠1兩種情況.此方法主要用于無法整體求與得數(shù)列,可將其通項寫成等比、等差等我們熟悉得數(shù)列分別進行求與,再綜合求出所有項得與.例:試化簡下列與式:解:①若x=1,則Sn=1+2+3+…+n=②若x≠1,則兩式相減得:+…+∴例:求數(shù)列1,,,……,+……+得與、解:∵∴(5)奇偶求與法(6)裂項相消法此種方法就是針對于奇、偶數(shù)項,要考慮符號得數(shù)列,要求Sn,就必須分奇偶來討論,最后進行綜合.此方法主要針對這樣得求與,其中{an}就是等差數(shù)列.例:求與解:當(dāng)n=2k(kN+)時,當(dāng),綜合得:例:{an}為首項為a1,公差為d得等差數(shù)列,求解:∵∴(7)分類討論(8)歸納—猜想—證明此方法就是針對數(shù)列{}得其中幾項符號與另外得項不同,而求各項絕對值得與得問題,主要就是要分段求、此種方法就是針對無法求出通項或無法根據(jù)通項求出各項之與得數(shù)列,先用不完全歸納法猜出得表達式,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明之、例:已知等比數(shù)列{}中,=64,q=,設(shè)=log2,求數(shù)列{||}得前n項與、