高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專用)第09講立體幾何與空間向量章節(jié)總結(jié)(精講)(原卷版+解析)

第09講立體幾何與空間向量章節(jié)總結(jié)目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：高考真題回歸 2第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：空間位置關(guān)系證明的傳統(tǒng)法與向量法 4角度1：用傳統(tǒng)法證明空間的平行和垂直關(guān)系 4角度2：利用向量證明空間的平行和垂直關(guān)系 6高頻考點(diǎn)二：空間角的向量求法 10角度1：用傳統(tǒng)法求異面直線所成角 10角度2：用向量法求異面直線所成角 10角度3：用向量法解決線面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)）） 11角度4：用向量法解決二面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)）） 13高頻考點(diǎn)三：距離問題 20角度1：點(diǎn)到直線的距離 20角度2：點(diǎn)到平面的距離（等體積法） 21角度3：點(diǎn)到平面的距離（向量法） 22高頻考點(diǎn)四：立體幾何折疊問題 24第一部分：高考真題回歸1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（

）

A． B．C． D．2．（2023·全國（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國（甲卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。?．（2023·全國（甲卷文）·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．6．（2023·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：空間位置關(guān)系證明的傳統(tǒng)法與向量法角度1：用傳統(tǒng)法證明空間的平行和垂直關(guān)系典型例題例題1．（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四棱錐中，，，，為中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)設(shè)平面與平面的夾角為，求三棱錐的體積.例題2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在直角梯形中（如圖一），，，.將沿折起，使（如圖二）.

(1)求證：平面平面；(2)設(shè)為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.例題3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.

(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求四棱錐的體積.例題4．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）在中，分別為的中點(diǎn)，，如圖①，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖②．(1)證明：；(2)若平面，且，求點(diǎn)C到平面的距離例題5．（2023·四川涼山·三模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，，且直線與底面所成的角為．(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．角度2：利用向量證明空間的平行和垂直關(guān)系典型例題例題1．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.

(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.例題2．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.例題3．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，，，，為邊上的點(diǎn)，，，將沿直線翻折到的位置，且，連接，．(1)證明：；(2)Q為線段PA上一點(diǎn)，且，若二面角的大小為，求實(shí)數(shù)的值．考點(diǎn)一練透核心考點(diǎn)1．（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分別為AC、AA1的中點(diǎn)，AC=AA1=2.(1)求證：DE∥平面A1BC；(2)求DE與平面BCC1B1夾角的余弦值.2．（2023·山東·校聯(lián)考二模）如圖，在正三棱臺ABC—DEF中，M，N分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，.(1)證明：四邊形MNFD為矩形；(2)若四邊形MNFD為正方形，求直線BC與平面ACFD所成角的正弦值.3．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，是棱上的一點(diǎn).(1)是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由；(2)求多面體ABCDEF的體積.4．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點(diǎn)，，，.(1)證明：平面；(2)若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.5．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，為的中點(diǎn).(1)證明：.(2)求二面角的平面角的余弦值.6．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）在如圖所示的幾何體中，平面平面；是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.高頻考點(diǎn)二：空間角的向量求法角度1：用傳統(tǒng)法求異面直線所成角典型例題例題1．（2023·河北·模擬預(yù)測）在正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，平面，底面是矩形，，，是棱上一點(diǎn)，則當(dāng)截面的周長最短時(shí)，與所成角的余弦值等于______．

例題3．（2023·河北·校聯(lián)考一模）如圖，在三棱錐中，，，且，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為__________，與所成角的余弦值為__________.角度2：用向量法求異面直線所成角典型例題例題1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是線段上的動點(diǎn)，則當(dāng)線段最短時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·山東·煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知在正方體中，，平面平面，則直線與所成角的余弦值為__________．角度3：用向量法解決線面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)））典型例題例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方體中，分別為棱的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.例題2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求直線與所成角的正弦值．例題3．（2023·山東德州·三模）圖1是直角梯形，，，，，，四邊形為平行四邊形，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2．

(1)求證：平面平面；(2)在線段上存在點(diǎn)使得與平面的正弦值為，求平面與所成角的余弦值．例題4．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，若已知，，點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則(1)證明：(2)設(shè)，則在線段PC上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的余弦值為，若存在，設(shè)，求出的值，若不存在，請說明理由.角度4：用向量法解決二面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)））典型例題例題1．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）如圖，在斜三棱柱中，，，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.

(1)證明：平面；(2)若，，，求平面與平面所成角的大小.例題2．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，平面.

(1)證明：平面平面；(2)過點(diǎn)作的平行線交的延長線于點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，問：點(diǎn)在何處時(shí)，平面與平面夾角的正弦值最小，并求出該最小正弦值.例題3．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，菱形的邊長為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請說明理由.

例題4．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.考點(diǎn)二練透核心考點(diǎn)1．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，側(cè)面為正方形，設(shè)點(diǎn)O為四棱錐外接球的球心，E為上的動點(diǎn)，則直線與所成的最小角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正方體的棱長為1，是棱的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記?面直線與所成的角為，則的取值范圍是______.3．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）在棱長為2的正方體中，為底面的中心，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是________.4．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線AD與BC所成的角的大小為______．5．（2023·河南南陽·南陽中學(xué)校考三模）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，，分別是棱，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面．(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．6．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，上底面與下底面平行，且都是正方形，該多面體各條側(cè)棱相等，且每條側(cè)棱與底面所成角都相等．已知，垂足為點(diǎn)，三棱錐的體積為．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．

7．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測）在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)已知上是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，，，，，為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且.(1)若為的中點(diǎn)，求四面體的體積；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的余弦值是？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.9．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱臺中，，，，，．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)是的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．10．（2023·河北·模擬預(yù)測）如圖，在五邊形中，四邊形是矩形，，將沿著折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面，點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

(1)當(dāng)時(shí)，證明：平面；(2)設(shè)平面與平面的夾角為，求的最大值及此時(shí)的值.11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動點(diǎn).

(1)求證：平面平面PBC；(2)求平面AEF與平面PDC夾角的最小值.12．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱中，，側(cè)面為矩形，，二面角的正切值為.

(1)求側(cè)棱的長；(2)側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為？若存在，判斷點(diǎn)的位置并證明；若不存在，說明理由.13．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)，N分別為側(cè)棱PD，PC，PB的中點(diǎn)，M為PD（不包含端點(diǎn)）上的點(diǎn)，，．

(1)若，求證：平面；(2)若平面，求與平面所成角的最大值．高頻考點(diǎn)三：距離問題角度1：點(diǎn)到直線的距離典型例題例題1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是,且，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）

A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的中點(diǎn)到直線的距離是______．角度2：點(diǎn)到平面的距離（等體積法）典型例題例題1．（2023春·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知在矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，將，分別沿著直線，翻折，使得，兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為______．

例題2．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，將邊長的正方形沿對角線折起，連接，構(gòu)成一四面體，使得，則點(diǎn)到平面的距離為_____________．

例題3．（2023春·天津?qū)氎妗じ咭惶旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)到平面距離是______．

角度3：點(diǎn)到平面的距離（向量法）典型例題例題1．（2023秋·河南省直轄縣級單位·高二濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_________．

例題2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知直四棱柱中，底面為正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則直線與之間的距離為________.例題3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，，依次為的中點(diǎn)．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離．考點(diǎn)三練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線BE的距離為（

）A．3 B． C． D．2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為__________．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知AB，CM分別為圓柱上、下底面的直徑，且AB＝2，圓柱的高為，，則點(diǎn)M到平面ABC的距離為______.4．（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，已知，，，則P到平面ABE的距離為___________．

5．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，C1到平面B1BD的距離為_____．6．（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）在直三棱柱中，，，，分別為的中點(diǎn).則點(diǎn)到平面的距離為__________.7．（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中校考期中）在三棱錐中，平面平面，若棱長，且，則點(diǎn)到平面的距離為________．8．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）在棱長為1的正方體中，E為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到平面的距離為______．9．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知平面，底面為矩形，，，、分別為、的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．高頻考點(diǎn)四：立體幾何折疊問題典型例題例題1．（2023春·寧夏·高一六盤山高級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖1，在直角梯形中，，，，，，為中點(diǎn)，現(xiàn)沿平行于的折疊，使得，如圖2所示，則關(guān)于圖2下列結(jié)論正確的有______．

①平面

②該幾何體為三棱臺③二面角的大小為

④該幾何體的體積為例題2．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲壩中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖1，直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著折疊，使，得到如圖2所示的幾何體，其中為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接.

(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在直角梯形中，，，，，.現(xiàn)沿平行于的折疊，使得且平面，如圖2所示.(1)求的長度；(2)求二面角的大小.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分別為SB，SA的中點(diǎn)，現(xiàn)在將沿著CD進(jìn)行翻折，使得翻折后S點(diǎn)在底面ABCD的投影H在線段BC上，且SC與平面ABCD所成角為，M為折疊后SA的中點(diǎn)，如圖乙所示.(1)證明：平面SBC；(2)求平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值.2．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示的五邊形中是矩形，，，沿折疊成四棱錐，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．(1)在四棱錐中，可以滿足條件①；②；③，請從中任選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，證明：側(cè)面底面；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．）(2)在（1）的條件下求直線與平面所成角的正弦值．

第09講立體幾何與空間向量章節(jié)總結(jié)目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：高考真題回歸 1第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 9高頻考點(diǎn)一：空間位置關(guān)系證明的傳統(tǒng)法與向量法 9角度1：用傳統(tǒng)法證明空間的平行和垂直關(guān)系 9角度2：利用向量證明空間的平行和垂直關(guān)系 14高頻考點(diǎn)二：空間角的向量求法 27角度1：用傳統(tǒng)法求異面直線所成角 27角度2：用向量法求異面直線所成角 29角度3：用向量法解決線面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)）） 31角度4：用向量法解決二面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)）） 37高頻考點(diǎn)三：距離問題 65角度1：點(diǎn)到直線的距離 65角度2：點(diǎn)到平面的距離（等體積法） 66角度3：點(diǎn)到平面的距離（向量法） 69高頻考點(diǎn)四：立體幾何折疊問題 79第一部分：高考真題回歸1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（

）

A． B．C． D．【答案】C【詳解】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因?yàn)?，所有棱長之和為.故選：C2．（2023·全國（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，，而，取中點(diǎn)，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B3．（2023·全國（甲卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】法一：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因?yàn)椋?，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以為直角三角形，又因?yàn)?，，所以，則為直角三角形，故，又因?yàn)?，，所以平?（2）由（1）平面，又平面，則，以為原點(diǎn)，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的大小為.5．（2023·全國（甲卷文）·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．【答案】(1)證明見解析.(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平?所以,又因?yàn)?，即，平面?所以平面，又因?yàn)槠矫?所以平面平面.（2）如圖，

過點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因?yàn)槠矫?，平?所以,,又因?yàn)椋瑸楣策?，所以與全等，所以.設(shè)，則，所以為中點(diǎn)，,又因?yàn)?所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．6．（2023·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【詳解】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，二面角平面角為,而，因?yàn)?，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為．第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：空間位置關(guān)系證明的傳統(tǒng)法與向量法角度1：用傳統(tǒng)法證明空間的平行和垂直關(guān)系典型例題例題1．（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四棱錐中，，，，為中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)設(shè)平面與平面的夾角為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：

取中點(diǎn),連,是中點(diǎn),∴且,又∵且.∵且,∴四邊形為平行四邊形，,又∵平面，?平面，∴平面．（2）取中點(diǎn)，連，過作交于，連,∵分別是中點(diǎn)，∴，又∵平面．∴⊥平面,平面,∴，又∵，平面，∴⊥平面，平面，∴，∴是平面與平面的夾角的平面角.∴.,∴.∴,例題2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在直角梯形中（如圖一），，，.將沿折起，使（如圖二）.

(1)求證：平面平面；(2)設(shè)為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：

因?yàn)?，，則四邊形為正方形，所以，因?yàn)椋?因?yàn)?，，，平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)槠矫?，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，，且，所以，即點(diǎn)E到直線CD的距離為.例題3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.

(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求四棱錐的體積.【答案】(1)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)；(2).【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面，若平面，由平面，平面平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，,則，

所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面.（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，又，則，又，則，所以.因?yàn)?，平面，所以平面，則四棱錐的體積為.例題4．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）在中，分別為的中點(diǎn)，，如圖①，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖②．(1)證明：；(2)若平面，且，求點(diǎn)C到平面的距離【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）證明：在圖1中，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，，又為的中點(diǎn)，所以，在圖2中，，且，平面，平面，又平面，所以；（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，連接，則，因?yàn)椋瑸榈冗吶切?，所以，，，所以，取的中點(diǎn)，連接，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．例題5．（2023·四川涼山·三模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，，且直線與底面所成的角為．(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵平面ABCD，故為直線PD與平面ABCD所成的角，因此，又，∴∵底面ABCD為矩形，且，∴底面ABCD為正方形，∴又，而，平面PAC，∴平面PAC，又平面PBD，∴平面平面PAC，（2），由于,所以，設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為d，則∵，∴，解得：∴設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為．角度2：利用向量證明空間的平行和垂直關(guān)系典型例題例題1．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.

(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn),連接，在正三棱柱中，不妨設(shè);以為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則,，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,，取，則，即；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即，取得.因?yàn)?，所以平面平面?/p>

（2）因?yàn)?，由?）可得，即，易知平面的一個(gè)法向量為,；二面角的余弦值為.例題2．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意，在矩形中，，，,，分別是，的中點(diǎn)，∴，，在四棱錐中，面平面，面面，，∴面，面，∴，取中點(diǎn)，連接，由幾何知識得，∵，∴，∵面，面，∴面，∴以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

∴，∴，面的一個(gè)法向量為，∵，∴平面.（2）由題意，（1）及圖得，在面中，，，設(shè)其法向量為，則，即，解得：，當(dāng)時(shí)，，在面中，其一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為∴，由圖象可知二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.例題3．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，，，，為邊上的點(diǎn)，，，將沿直線翻折到的位置，且，連接，．(1)證明：；(2)Q為線段PA上一點(diǎn)，且，若二面角的大小為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，又，PE、平面PAE，所以平面PAE，平面ABCE，所以平面平面PAE．在梯形ABCD中，，所以，所以在四棱錐中，．因?yàn)?，所以為正三角形．取AE中點(diǎn)O，連接PO，OB，OC，易得，，因?yàn)槠矫嫫矫鍼AE，平面平面，平面可得平面，平面,所以．又，，，所以四邊形OBCE為正方形，所以，又，OC、平面POC，所以平面POC，因?yàn)槠矫鍼OC，所以;（2）由（1）知OA，OB，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：，，，，由得，則，，設(shè)平面QBC的一個(gè)法向量為，故即，令，得，，所以，易知平面ABC的一個(gè)法向量為，所以，解得或（舍）．所以實(shí)數(shù)的值為．考點(diǎn)一練透核心考點(diǎn)1．（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分別為AC、AA1的中點(diǎn)，AC=AA1=2.(1)求證：DE∥平面A1BC；(2)求DE與平面BCC1B1夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D、E分別為AC、AA1的中點(diǎn)，∴DE為三角形ACA1的中位線，即DE∥CA1，平面，平面，∴DE∥平面A1BC（2）過點(diǎn)A1作B1C1的垂線，垂足為F，連結(jié)，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，，所以平面，所以為在平面的射影，即為所求角，，，所?2．（2023·山東·校聯(lián)考二模）如圖，在正三棱臺ABC—DEF中，M，N分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，.(1)證明：四邊形MNFD為矩形；(2)若四邊形MNFD為正方形，求直線BC與平面ACFD所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）延長,則相交于一點(diǎn),連接,M，N分別為棱的中點(diǎn)，所以且，由于，所以又，所以,所以四邊形為平行四邊形，在三棱錐中，,所以,進(jìn)而得,又,因此所以，故四邊形為矩形（2）由可知分別是的中點(diǎn)，所以,又四邊形為正方形，所以，所以,由于三棱錐為正三棱錐，且，因此三棱錐為正四面體，因此直線BC與平面ACFD所成的角即為直線與平面所成角，取的中心為,連接,則平面，所以為直線與平面所成角，設(shè)四面體的棱長為，在中，由正弦定理可得，，在中，,故直線BC與平面ACFD所成的角的正弦值為3．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，是棱上的一點(diǎn).(1)是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由；(2)求多面體ABCDEF的體積.【答案】(1)存在，時(shí)，平面(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，滿足平面，過點(diǎn)作AD交AF于點(diǎn)G，連接BG，則，因?yàn)?，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，此時(shí)；（2）連接AE，DE，四邊形ABCD為直角梯形，過點(diǎn)B作BN⊥AD于點(diǎn)N，則四邊形BCDN為正方形，故BC=DN=1，BN=CD=1，故AN=AD-DN=3-1=2，由勾股定理得：，面積為，平面平面，交線為AB，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，平面ABEF，故平面ABCD，且則四棱錐，過點(diǎn)N作NH⊥AB于點(diǎn)H，則，則點(diǎn)D到AB的距離為，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為AB，NH⊥AB，且平面ABCD，所以NH⊥平面ABEF，則點(diǎn)D到平面ABEF的距離為，正方形ABEF的面積為，則，多面體ABCDEF的體積為.4．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點(diǎn)，，，.(1)證明：平面；(2)若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：在三棱柱中，平面，，，.所以，則，則，則如下圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，即，所以，得，又平面，所以平面；（2）三棱錐的體積，解得，則，由（1）知平面的法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，所以，令，則，即，則，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.于是，故二面角的正弦值為.5．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，為的中點(diǎn).(1)證明：.(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.因?yàn)?，所以；?）設(shè)平面的法向量為，則取，可得.設(shè)平面的法向量為，則取，可得..故二面角的平面角的余弦值為.6．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）在如圖所示的幾何體中，平面平面；是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)詳見解析；(2)；(3).【詳解】（1）因?yàn)椋詾樵c(diǎn)，分別以，所在直線為，軸，過點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，所以，所以，即；（2）因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，則，令，可得，又，設(shè)與平面所成角為，則，直線與平面所成的角的正弦值為；（3）由題，，設(shè)平面的法向量，由，令，則，又平面的法向量，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．高頻考點(diǎn)二：空間角的向量求法角度1：用傳統(tǒng)法求異面直線所成角典型例題例題1．（2023·河北·模擬預(yù)測）在正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖,取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,則易得，則四邊形是平行四邊形，所以,因?yàn)?，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以即為直線與所成的角(或其補(bǔ)角).設(shè)止方體的棱長為2,則,,所以,所以,所以.故選：A.

例題2．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，平面，底面是矩形，，，是棱上一點(diǎn)，則當(dāng)截面的周長最短時(shí)，與所成角的余弦值等于______．

【答案】【詳解】四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，平面，平面,，平面，平面，故平面，，將矩形沿旋轉(zhuǎn)到與在同一平面，如圖1，連接,此時(shí)交于點(diǎn)的最小值為，,,故的最小值為，此時(shí)，，

圖1

圖2過作交于，連接，，由題意可得，故為異面直線與所成的角，又，，平面，平面，故，，又可得，，，．故答案為：例題3．（2023·河北·校聯(lián)考一模）如圖，在三棱錐中，，，且，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為__________，與所成角的余弦值為__________.【答案】【詳解】取的中點(diǎn)G，連接，，則，，故或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，過A作平面于點(diǎn)O，連接，，，則，又，且，故平面，故，同理可得，即為的垂心，故，又，，平面，平面，故平面，故，即與所成角為；所以，由可得，故，即異面直線與所成角的余弦值為；故答案為：①，②.角度2：用向量法求異面直線所成角典型例題例題1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是線段上的動點(diǎn)，則當(dāng)線段最短時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)，其中，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)，則，，，因此，當(dāng)線段最短時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.例題2．（2023·山東·煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知在正方體中，，平面平面，則直線與所成角的余弦值為__________．【答案】【詳解】作出圖形，如圖所示．延長至E，使得，則≌，≌，故，，故四邊形為平行四邊形，連接，延長，交于點(diǎn)G，連接，則即為直線l．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則∽，且相似比為1:2，故，，則，，，，故，，故直線l與所成角的余弦值為．故答案為：角度3：用向量法解決線面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)））典型例題例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方體中，分別為棱的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，，，.因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由令，可得，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫妫云矫?（2）解：由（1）得，，設(shè)直線與平面所成的角為，則.

例題2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求直線與所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)棱長為，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，所以，則平面平面．（2）設(shè)直線與平面所成角的為，而，平面的法向量，所以．直線與所成角的正弦值．例題3．（2023·山東德州·三模）圖1是直角梯形，，，，，，四邊形為平行四邊形，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2．

(1)求證：平面平面；(2)在線段上存在點(diǎn)使得與平面的正弦值為，求平面與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：在圖1中，連接，交于，

，所以，所以，四邊形是菱形，所以，且．在圖2中，滿足，所以，所以，，又平面，所以，平面，又平面，所以，平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，則即，取，得，設(shè)，在線段上存在點(diǎn)使得與平面的正弦值為，所以解得或（舍），所以，設(shè)平面的法向量為，則即，取，得，設(shè)平面與平面的平面角為，所以，平面與所成角的余弦值為例題4．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，若已知，，點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則(1)證明：(2)設(shè)，則在線段PC上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的余弦值為，若存在，設(shè)，求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，滿足條件，且.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在底面ABC的射影為點(diǎn)H，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，，所以點(diǎn)為的垂心，所以，因?yàn)椋?，平面，，所以平面，又平面，所以；?）延長交于點(diǎn)，由（1）可得，又，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，同理可得，所以為等邊三角形，又，所以，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)存在點(diǎn)M，使得BM與平面所成角的余弦值為，且，則，設(shè)平面的法向量為，，則，所以，令，可得，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，設(shè)直線BM與平面所成角為，則，又，所以，故，所以或，又，所以.所以在線段PC上存在點(diǎn)M，使得BM與平面PAB所成角的余弦值為，且.

角度4：用向量法解決二面角的問題（定值+探索性問題（最值，求參數(shù)））典型例題例題1．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）如圖，在斜三棱柱中，，，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.

(1)證明：平面；(2)若，，，求平面與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）連接，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危詾榈闹悬c(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以∥，又平面，平面，所以∥平面.

（2）因?yàn)?，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，

由得，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，所以，因?yàn)槠矫?，所以可取平面的法向量?設(shè)平面與平面所成角為，由圖可知為銳角，則，故平面與平面所成角為.例題2．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，平面.

(1)證明：平面平面；(2)過點(diǎn)作的平行線交的延長線于點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，問：點(diǎn)在何處時(shí)，平面與平面夾角的正弦值最小，并求出該最小正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由可知，又，故（三線合一），又平面，平面，故，又，平面，故平面，又平面，故平面平面（2）

在平面中，過作，垂足為，不妨設(shè)，由于，則，以所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)，則，，，.設(shè)平面的法向量，由，即，則是其中一條法向量；設(shè)平面的法向量，由，即，則是其中一條法向量.設(shè)平面與平面夾角為，則，當(dāng)時(shí)，取到最大值，此時(shí)正弦值取到最小值為.例題3．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，菱形的邊長為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，或【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，

四邊形為菱形，，，，，，平面，平面，平面，.（2），，，解得：；，，；在平面中，作，交于點(diǎn)，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，，，，又，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個(gè)法向量，，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，平面與平面所成角的余弦值為.例題4．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明過程見詳解(2)存在，【詳解】（1）連接與相交于點(diǎn)，連接，如圖所示：

四邊形為菱形，，為等邊三角形，是的中點(diǎn)，有，、面，，面，又面，則，又已知，，平面，所以平面.（2），分別為，的中點(diǎn)，連接，，由（1）平面，所以平面面，作，所以有平面，又因?yàn)闉榈冗吶切?，，平面以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則，，，，由，，

設(shè)，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令，則，

易取平面的一個(gè)法向量為

，由已知平面與平面的夾角的正弦值為，則平面與平面的夾角的余弦值為，則有，，由解得.所以，點(diǎn)存在，.考點(diǎn)二練透核心考點(diǎn)1．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，側(cè)面為正方形，設(shè)點(diǎn)O為四棱錐外接球的球心，E為上的動點(diǎn)，則直線與所成的最小角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，球心在平面的投影坐標(biāo)為，則設(shè)球心，則，即，解得，則.設(shè)，，，，設(shè)，則，，則，當(dāng)時(shí)，有最大值為，此時(shí)直線與所成的角最小，對應(yīng)的正弦值為.故選：D2．（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正方體的棱長為1，是棱的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記?面直線與所成的角為，則的取值范圍是______.【答案】【詳解】方法1：取的中點(diǎn)N，連接，如圖所示，

則，面，所以異面直線AB與EG所成角即為，，設(shè)，（），所以，又因?yàn)?，所以，所以，即?方法2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，所以，，所以，（），又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，所以，又因?yàn)?，所?故答案為：.3．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）在棱長為2的正方體中，為底面的中心，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是________.【答案】/【詳解】在棱長為2的正方體中，取中點(diǎn)，連接，如圖，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，有，則四邊形是平行四邊形，于是，又，即有四邊形是平行四邊形，因此，則是異面直線與所成的角或補(bǔ)角，而為底面的中心，則，又平面，從而平面，而平面，則，在中，，于是，所以異面直線與所成角的余弦值是.故答案為：4．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線AD與BC所成的角的大小為______．【答案】或，解得，故，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，或，或，，異面直線AD與BC所成的角的大小為，，，；或，；綜上所述：異面直線AD與BC所成的角的大小為或.故答案為：或5．（2023·河南南陽·南陽中學(xué)?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，，分別是棱，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面．(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，．

因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)?，平面，且，所以平面平面．因?yàn)槠矫?，所以平面．?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)椋S的正方向，垂直平面向上的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，．由余弦定理可得，則，從而，，，，，故，，．設(shè)平面的法向量為，則,令，得．設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．6．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，上底面與下底面平行，且都是正方形，該多面體各條側(cè)棱相等，且每條側(cè)棱與底面所成角都相等．已知，垂足為點(diǎn)，三棱錐的體積為．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取邊的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，由已知，可得．因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)到底面的距離為，由，解得．因?yàn)?，所以平面，平面，所以平面平面，又因各條側(cè)棱相等，且每條側(cè)棱與底面所成角都相等，所以平面，平面，平面都與底面垂直．取邊的中點(diǎn)，連接，則平面，所以有，從而易得，可得，所以四邊形是平行四邊形，所以，已知，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，由于，平面，所以平面，所以．因?yàn)?，平面，所以平面?/p>

（2）由（1）可得到直線兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

可得，，求得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以．所以.7．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測）在三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)已知上是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所?（2）上存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為，且.理由如下：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，以方向分別為軸，軸，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面，平面平面，所以，假設(shè)上存在一點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為，設(shè)，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，可取，又，所以，即，解得，此時(shí)；因此上存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為，且.8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，，，，，為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且.(1)若為的中點(diǎn)，求四面體的體積；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的余弦值是？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）解：由題意可得兩兩互相垂直，所以可以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：∴，，，，∴，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，，不妨令y＝1，∴.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，又因?yàn)?，，∴的面積為.∴四面體的體積為.（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，.∵，即，∴，∴，∴.設(shè)，，∴.設(shè)平面的一個(gè)法向量，∴，即，令得∴，∴，∵與面所成角的余弦值是，正弦值為.∴，整理得，∴，（舍去）.∴存在滿足條件的點(diǎn)，且.9．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱臺中，，，，，．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)是的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：

由三棱臺知：，在梯形中，取的中點(diǎn)，連接，因，故，四邊形是平行四邊形，∴，，所以，，即，因，所以，又因，所以，又因，所以平面，因平面，所以平面平面；（2）解：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，則，因，所以，由條件知：四邊形是等腰梯形，所以，平面平面平面,平面平面∴平面，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則在等腰梯形中，由平面幾何知識可得：，∴，，，，設(shè)平面的法向量，則由

得，令，得，，所以，又平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則．10．（2023·河北·模擬預(yù)測）如圖，在五邊形中，四邊形是矩形，，將沿著折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面，點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

(1)當(dāng)時(shí)，證明：平面；(2)設(shè)平面與平面的夾角為，求的最大值及此時(shí)的值.【答案】(1)見解析(2)的最大值為1,此時(shí)的值為.【詳解】（1）取的中點(diǎn),連接,,分別為,的中點(diǎn),,四邊形是矩形,點(diǎn)為的中點(diǎn).,四邊形為平行四邊形，.又平面平面,平面.（2）由題可知，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，,平面平面,平面平面平面,平面,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為,軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則,，由題設(shè),當(dāng)時(shí),顯然不符合;當(dāng)時(shí),,.設(shè)平面的法向量為,則，取,則,，取平面的一個(gè)法向量為,，當(dāng)時(shí),,此時(shí)取得最大值1.的最大值為1,此時(shí)的值為.11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動點(diǎn).

(1)求證：平面平面PBC；(2)求平面AEF與平面PDC夾角的最小值.【答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）中，E為PB的中點(diǎn)，所以.在正方形ABCD中，.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，即.又因?yàn)?，平面PAB，所以平面PAB.平面PAB，即，又因?yàn)?，，平面PBC.所以平面PBC，平面AEF，即平面平面PBC.（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP兩兩垂直.以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

有，，，，，PB中點(diǎn)，設(shè)，.，，，.設(shè)平面PCD的法向量，由，得，取.設(shè)平面的法向量，由，得，取.所以平面AEF與平面PCD的夾角的余弦值為.令，，則，所以當(dāng)即時(shí)，平面AEF與平面PCD的夾角的余弦值取得最大值，此時(shí)平面AEF與平面PCD的夾角取得最小值.12．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱中，，側(cè)面為矩形，，二面角的正切值為.

(1)求側(cè)棱的長；(2)側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為？若存在，判斷點(diǎn)的位置并證明；若不存在，說明理由.【答案】(1)2(2)存在在的三等分點(diǎn)靠近的分點(diǎn)處，證明見解析【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，又因?yàn)閭?cè)面為矩形，則，//，且//，則//，即四點(diǎn)共面，平面平面，所以平面，則，則是二面角的平面角，則，所以，設(shè)，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，可得，在中，由余弦定理得：，即，平方整理得，得或（舍去），即為2.

（2）解法一：如圖，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，

過作底面，因?yàn)椋傻?，則，，可得，所以，則，，設(shè)平面的法向量為，則，則，令，則，即，設(shè)，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，則，令，則，即，平面與平面所銳二面角為，可得，解得，所以存在，在的三等分點(diǎn)靠近的分點(diǎn)處.解法二：把三棱柱補(bǔ)為四棱柱，如圖，為中點(diǎn)，過作，

由（1）知：，則，由棱柱的性質(zhì)易得：且，即為平行四邊形，所以，故，又，，面，則面，在面內(nèi)，所以，而，面，則平面，且平面，則，過作，連，，面，則平面，且平面，可得，則為二面角的平面角，設(shè)，則，可得，由點(diǎn)到的距離為，則，解得，所以存在，在的三等分點(diǎn)靠近的分點(diǎn)處.13．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)，N分別為側(cè)棱PD，PC，PB的中點(diǎn)，M為PD（不包含端點(diǎn)）上的點(diǎn)，，．

(1)若，求證：平面；(2)若平面，求與平面所成角的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）延長FM和CD交于點(diǎn)Q，連BQ交AD于點(diǎn)H，連FH，F(xiàn)N，由，故，所以，即H為AD的中點(diǎn)，此時(shí)，，且，所以四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面；（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以，，，設(shè)平面BMF的法向量，則有，令，則，所以，設(shè)DB與平面MFB所成的角為，則，當(dāng)時(shí)，的最大值為，又，故DB與平面所成角的最大值．

高頻考點(diǎn)三：距離問題角度1：點(diǎn)到直線的距離典型例題例題1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是,且，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】在平行六面體中，不妨設(shè)，，．,，，，所以，，，所以E到直線的距離為，故選：A例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的中點(diǎn)到直線的距離是______．【答案】/【詳解】因?yàn)槠矫?，底面為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、，，，，所以，，所以，的中點(diǎn)到直線的距離.故答案為：.角度2：點(diǎn)到平面的距離（等體積法）典型例題例題1．（2023春·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知在矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，將，分別沿著直線，翻折，使得，兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為______．

【答案】/【詳解】因?yàn)锳BCD為矩形，所以，，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以，，點(diǎn)到平面MAD的距離為h，，所以，解得．故答案為：例題2．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，將邊長的正方形沿對角線折起，連接，構(gòu)成一四面體，使得，則點(diǎn)到平面的距離為_____________．

【答案】/【詳解】由已知可得，，，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，所以，又，所以，因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，由平面，，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為，又的面積為，所以三棱錐的體積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，又，因?yàn)?，所以的面積為，所以，所以.所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.

例題3．（2023春·天津?qū)氎妗じ咭惶旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)到平面距離是______．

【答案】/【詳解】，為邊長為的等邊三角形，設(shè)到平面的距離為，根據(jù)，則，解得.故答案為：.角度3：點(diǎn)到平面的距離（向量法）典型例題例題1．（2023秋·河南省直轄縣級單位·高二濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_________．

【答案】【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，分別為x，y，z軸建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，，，

∴，，，設(shè)平面BGF的法向量為，則，令，則，∴，則點(diǎn)到平面BGF的距離.故答案為：.例題2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知直四棱柱中，底面為正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則直線與之間的距離為________.【答案】【詳解】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，B(2,2,0)，，∴.直線BD與EF之間的距離即為點(diǎn)D到直線EF的距離.設(shè)，則，∴，∴所求距離為故答案為：.例題3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，，依次為的中點(diǎn)．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）在直三棱柱中，，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，所以異面直線所成角的余弦值為．（2）設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，而，則，令，得，又，于是．所以點(diǎn)到平面AEF的距離為．考點(diǎn)三練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線BE的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，點(diǎn)到直線BE的距離為.故選：C.2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為__________．【答案】【詳解】方法一：如圖，因?yàn)槠矫?平面,所以,又因?yàn)槭蔷匦?，所?因?yàn)?所以平面,因?yàn)槠矫?，所?所以為到的距離.在矩形中，因?yàn)?，所?在直角三角形中，由勾股定理得,所以到的距離為.故答案為：.方法二：建立如圖所示坐標(biāo)系，在矩形中，，所以，所以,所以,所以為到的距離.,所以到的距離為.故答案為：

3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知AB，CM分別為圓柱上、下底面的直徑，且AB＝2，圓柱的高為，，則點(diǎn)M到平面ABC的距離為______.【答案】【詳解】如圖所示，連接AM，BM，設(shè)，O分別為上、下底面圓的圓心，連接AO，BO，.因?yàn)椋?，，則平面ABO，則，過C作垂直于圓柱上底面，垂足為，連接，，則，，設(shè)點(diǎn)M到平面ABC的距離為d，則有，解得，故點(diǎn)M到平面ABC的距離為.故答案為：4．（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，已知，，，則P到平面ABE的距離為___________．

【答案】【詳解】解：取AB的中點(diǎn)F，連接EF，AC，取AC的中點(diǎn)O，連接EO，E是PC的中點(diǎn)，底面ABCD是矩形，，且，，又底面ABCD，底面ABCD，，，而，平面PAB，平面PAB，平面PAB，即EF為三棱錐的高，,在中，，在中，，則，，在中，，則，在中，，又分別是PC，AC的中點(diǎn)，底面ABCD，，且，，在中，，則，是等邊三角形，設(shè)P到平面ABE的距離為d，則，故答案為：.5．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，C1到平面B1BD的距離為_____．【答案】【詳解】如圖，因?yàn)檎襟wABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，所以，，設(shè)C1到平面B1BD的距離為h，由，得，即．故答案為：．.6．（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）在直三棱柱中，，，，分別為的中點(diǎn).則點(diǎn)到平面的距離為__________.【答案】/【詳解】因?yàn)?，，所?又由直三棱柱的性質(zhì)，可知平面.如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，所以，，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，取，則是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，在方向上投影向量的模為，所以，點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.7．（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中校考期中）在三棱錐中，平面平面，若棱長，且，則點(diǎn)