2025年高考數(shù)學(xué)大題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：條件概率與正態(tài)分布（原卷）

專題21條件概率與正態(tài)分布

一、條件概率

i.在二十大報告中，體育、健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育

強國是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的一個重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動，加強學(xué)生體質(zhì)健康，擬

舉行羽毛球團體賽，賽制采取3局2勝制，每局都是單打模式，每隊有5名隊員，比賽中每個隊員至多上

場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根

據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊種子選手M對乙隊每名隊員的勝率均為|,甲隊其余4名隊員對乙隊每名隊員

的勝率均為去(注：比賽結(jié)果沒有平局)

(1)求甲隊最終2:1獲勝且種子選手M上場的概率；

(2)已知甲隊2:1獲得最終勝利，求種子選手M上場的概率.

2.(1)若B和C是兩個互斥事件，求證：P((BUC)M)=P(BM)+P(C|4)；

(2)在孟德爾豌豆試驗中，子二代的基因型為。D,Dd,dd,其中。為顯性基因，d為隱性基因，且這三種基

因型的比為1:2:1,如果在子二代中任意選取2株豌豆進行雜交試驗，試求出子三代中基因型為ZM的概率.

3.某地區(qū)舉行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評，要求以學(xué)校為單位參賽，最終力學(xué)校和B學(xué)校進入決賽.決賽規(guī)則如下:

現(xiàn)有甲、乙兩個紙箱，甲箱中有4道選擇題和2道填空題，乙箱中有3道選擇題和3道填空題，決賽由兩

個環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩校每位參賽同學(xué)在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答，作答后放回原箱；

環(huán)節(jié)二：由4學(xué)校和B學(xué)校分別派出一名代表進行比賽.兩個環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計得分，以累計

得分的高低決定名次.

(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道從A學(xué)校抽取12人,

其答對題目的平均數(shù)為1,方差為1，從B學(xué)校抽取8人，其答對題目的平均數(shù)為1.5,方差為0.25,求這20

人答對題目的均值與方差；

(2)環(huán)節(jié)二，A學(xué)校代表先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后B學(xué)校代

表再從乙箱中抽取題目，已知B學(xué)校代表從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求4學(xué)校代表從甲箱中取出的是

兩道選擇題的概率.

4.一只不透朋的袋中裝有10個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0-9,先后從袋中隨機取兩只小球用事件/表

示“第二次取出小球的標(biāo)號是2”，事件B表示“兩次取出小球的標(biāo)號之和是優(yōu)”.

(1)若用不放回的方式取球，求PQ4)；

(2)若用有放回的方式取球，求證：事件/與事件2相互獨立的充要條件是m=9.

5.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工

出來的零件混放在一起，已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.

(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，計算它是第1臺車床所加工的概率(結(jié)果用分數(shù)表示)；

(3)參照第(2)問給出判斷，求第1,2,3臺車床操作員對加工次品分別應(yīng)承擔(dān)的份額.

6.某轄區(qū)組織居民接種新冠疫苗，現(xiàn)有4B,C,D四種疫苗且每種都供應(yīng)充足.前來接種的居民接種與號碼機

產(chǎn)生的號碼對應(yīng)的疫苗，號碼機有4B,C,0四個號碼，每次可隨機產(chǎn)生一個號碼，后一次產(chǎn)生的號碼由前一

次余下的三個號碼中隨機產(chǎn)生，張醫(yī)生先接種與號碼機產(chǎn)生的號碼對應(yīng)的A種疫苗后，再為居民們接種，記

第律位居民(不包含張醫(yī)生)接種4B,C,。四種疫苗的概率分別為Pa⑷,Pn(B),Pn(C),Pn(D).

(1)第2位居民接種哪種疫苗的概率最大；

(2)張醫(yī)生認為，一段時間后接種4B,C,D四種疫苗的概率應(yīng)該相差無幾，請你通過計算第10位居民接種

4B,C,D四種的概率，解釋張醫(yī)生觀點的合理性.

參考數(shù)據(jù):G)屋5.1x1。-5,(I)10X1.7x1。弋圖工2.0x10-3,(茅。9.8x1L

7.在一個抽獎游戲中，主持人從編號為123,4的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，

再將四個箱子關(guān)閉.主持人知道獎品在哪個箱子里.游戲規(guī)則是主持人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個，若

獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得.現(xiàn)有抽獎人甲選擇了2號箱，在打開2號箱之前，主持人先打開了

另外三個箱子中的一個空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機打開甲的選擇之外的一個空箱子.

(1)計算主持人打開4號箱的概率；

(2)當(dāng)主持人打開4號箱后，現(xiàn)在給抽獎人甲一次重新選擇的機會，請問他是堅持選2號箱，還是改選1號

或3號箱？(以獲得獎品的概率最大為決策依據(jù))

8.杭州2022年第19屆亞運會(The19thAsianGamesHangzhou2022)將于2023年9月23日至10月8日

舉辦.本屆亞運會共設(shè)40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目.同時，在保持40個大項目

不變的前提下，增設(shè)了電子競技項目.與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多

賽事的青睞.

傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才

會淘汰出局，因此更有容錯率.假設(shè)最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分

組進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍.雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝

者組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組.之前進入到

敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總

決賽的勝者即為冠軍.雙敗賽制下會發(fā)現(xiàn)一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽

就無法拿到冠軍，但是其它的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因

此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？

這里我們簡單研究:一下兩個賽制.假設(shè)四支隊伍分別為4B,C,D,其中4對陣其他三個隊伍獲勝概率均為p,

另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝概率均為今最初分組時4B同組，CD同組.

(1)若p=|,在淘汰賽賽制下，4c獲得冠軍的概率分別為多少？

(2)分別計算兩種賽制下4獲得冠軍的概率(用p表示)，并據(jù)此簡單分析一下雙敗賽制下對隊伍的影響，是否

如很多人質(zhì)疑的“對強者不公平”？

9.甲袋中裝有3個紅球，2個白球，乙袋中裝有5個紅球，5個白球，兩個袋子均不透明，其中的小球除

顏色外完全一致.現(xiàn)從甲袋中一次性抽取2個小球，記錄顏色后放入乙袋，混勻后從乙袋一次性抽取3個小

球，記錄顏色.設(shè)隨機變量x表示在甲袋中抽取出的紅球個數(shù)，y(k)表示X=k時，在乙袋中抽取出的紅球個

數(shù)，Z表示在乙袋中抽取出的紅球個數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)求y(k)的數(shù)學(xué)期望E[y(k)](用含k的代數(shù)式表示)；

⑶記x的所有可取值為由,。2,…,時,證明：E(Z)=2：=IP(X=/)磯丫(〃)],并求E(Z).

10.某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)6件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天、第三天分別生產(chǎn)出了2件、1件、1件

次品，質(zhì)檢部門每天要從生產(chǎn)的6件產(chǎn)品中隨機抽取3件進行檢測，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不

能通過.

（1）求第一天的產(chǎn)品通過檢測的概率；

（2）求這三天內(nèi)，恰有兩天能通過檢測的概率.

11.在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課程上，老師和班級同學(xué)玩了一個游戲.老師事先準(zhǔn)備3張一模一樣的卡片，編號為

1、2、3后，放入一個不透明的袋子中，再準(zhǔn)備若干枚1元硬幣與5角硬幣和一個儲蓄罐；然后邀請同學(xué)從

袋子中有放回地抽取1張卡片，若抽到的卡片編號為1或2,則將1枚1元硬幣放入儲蓄罐中，若抽到的卡

片編號為3,則將2枚5角硬幣放入儲蓄罐中，如此重復(fù)人次試驗后，記儲蓄罐中的硬幣總數(shù)量為幾.

⑴若k=4,求幾>5的概率；

⑵若k=5,記第n（n=1,2,3,4,5）次抽卡且放置硬幣后，5角硬幣的數(shù)量為Xn，1元硬幣的數(shù)量為七,求在S5>

7的條件下Xn=%的概率.

12.果酒由水果本身的糖分被酵母菌發(fā)酵而成.研究表明，果酒中的芳香氣味主要來自于酯類化合物.某學(xué)習(xí)

小組在實驗中使用了3種不同的酵母菌（N型，8型，C型）分別對三組（每組10瓶）相同的水果原液進

行發(fā)酵，一段時間后測定發(fā)酵液中某種酯類化合物的含量，實驗過程中部分發(fā)酵液因被污染而廢棄，最終

得到數(shù)據(jù)如下（"Y’表示該瓶發(fā)酵液因廢棄造成空缺）：

酵母菌類型該酯類化合物的含量（〃g/L）

/型X27472688XX28172679X26922721

假設(shè)用頻率估計概率

(1)從樣本未廢棄的發(fā)酵液中隨機抽取一瓶，求其品質(zhì)高的概率；

(2)設(shè)事件。為“從樣本含/型，B型,C型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中各隨機抽取一瓶，這三瓶中至少有一

瓶品質(zhì)高”，求事件。發(fā)生的概率P(D);

(3)設(shè)事件E為“從樣本未廢棄的發(fā)酵液中不放回地隨機抽取三瓶，這三瓶中至少有一瓶品質(zhì)高”試比較事件

E發(fā)生的概率P(E)與(2)中事件。發(fā)生的概率P(D)的大小.(結(jié)論不要求證明)

13.新冠病毒在傳播過程中會發(fā)生變異，現(xiàn)在已有多種變異毒株，傳播能力和重癥率都各不相同.某地衛(wèi)

生部門統(tǒng)計了本地新冠確診病例中感染每種毒株的患者在總病例中的比例和各自的重癥率，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下

表所示.

病毒類型在確診病例中的比例重癥率

阿爾法(a)10%2.4%

貝爾特(0)15%3.8%

德爾塔3)25%4%

奧密克戎

50%2%

(。)

已知當(dāng)?shù)貙柗?、貝爾塔、德爾塔三種類型病例全部集中收治在甲醫(yī)院，奧密克戎病例全部單獨收治在

乙醫(yī)院.以頻率估計概率回答下列問題.

(1)某醫(yī)生從甲醫(yī)院新冠確診病例名單中任取1人，求其為重癥病例的概率；

(2)某醫(yī)生從乙醫(yī)院新冠確診病例名單中任取2人，已知2人中有重癥病例，求2人都是重癥病例的概率(結(jié)

果保留4位小數(shù)).

14.甲、乙兩個學(xué)校分別有n+1位同學(xué)和“位同學(xué)參加某項活動，假定所有同學(xué)成功的概率都是右所有

同學(xué)是否成功互不影響.記事件/="甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次“，事件5="甲成功次數(shù)等于乙成功

次數(shù)

(1)若n=3,求事件N發(fā)生的條件下，恰有5位同學(xué)成功的概率；

(2)證明:PQ4)=P(B).

15.雙淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進行，即勝者組與負者組.在第一輪比賽后，獲勝者編

入勝者組，失敗者編入負者組繼續(xù)比賽.之后的每一輪，在負者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類

似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負者組，只有在負者組中再次失敗后才會被淘汰出整個比賽.A、B、

C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場比賽為決賽.

(1)假設(shè)四人實力旗鼓相當(dāng)，即各比賽每人的勝率均為50%,求：

①隊伍A和D在決賽中過招的概率；

②D在一共輸了兩場比賽的情況下，成為亞軍的概率；

(2)若A的實力出類拔萃，即有/參加的比賽其勝率均為75%,其余三人實力旗鼓相當(dāng)，求D進入決賽且先

前與對手已有過招的概率.

16.某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽，按比賽規(guī)則，進入淘汰賽的兩支球隊如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負，則需

進行點球大戰(zhàn).點球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段，雙方各派5名球員輪流罰球，雙方各罰一球為一輪,球員每罰進一

球則為本方獲得1分,未罰進不得分，當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進也不能追上的時候，比

賽即宣告結(jié)束，剩下的球員無需出場罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣，則進入第二階段，雙方每輪各

派一名球員罰球,直到出現(xiàn)某一輪一方罰進而另一方未罰進的局面，則罰進的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊進入

點球大戰(zhàn)，由甲隊球員先罰球，甲隊每位球員罰進點球的概率均為今乙隊每位球員罰進點球的概率均為：.假設(shè)

每輪罰球中，兩隊進球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.

(1)求每一輪罰球中，甲、乙兩隊打成平局的概率；

(2)若在點球大戰(zhàn)的第一階段，甲隊前兩名球員均得分而乙隊前兩名球員均未得分，甲隊暫時以2:0領(lǐng)先，求甲

隊第5個球員需出場罰球的概率.

17.中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率

問題中.例如，甲乙兩人進行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為5且每場比賽結(jié)果相互獨立，則由對稱性

可知，在5場比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場的概率為去現(xiàn)甲乙兩人分別進行獨立重復(fù)試驗，每人拋擲一

枚質(zhì)地均勻的硬幣.

(1)若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；

(2)若甲拋擲(n+1)次，乙拋擲〃次，nGN*,求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率.

18.為豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校羽毛球社團舉行羽毛球團體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模

式，每隊有5名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且上場順序是隨機的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過

小組賽后，最終甲乙兩隊進入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊明星隊員M對乙隊的每名隊員的

勝率均為甲隊其余4名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為(注：比賽結(jié)果沒有平局)

⑴求甲隊明星隊員M在前四局比賽中不出場的前提下，甲乙兩隊比賽4局，甲隊最終獲勝的概率；

(2)求甲乙兩隊比賽3局，甲隊獲得最終勝利的概率；

(3)若已知甲乙兩隊比賽3局，甲隊獲得最終勝利，求甲隊明星隊員M上場的概率.

19.馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強化學(xué)習(xí)、自然語言

處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，X-2,

XtT，Xt,Xt+1,那么Xt+1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即p(Xt+il…，Xt_2，X-i，Xt)=

P(Xt+i|X)

現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可以贏得1元，每

一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%,且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束

賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預(yù)期的3元，賭徒停止賭博.記賭徒的

本金為力(力eN*,4<B),賭博過程如下圖的數(shù)軸所示.

0.50.5

A-lAA+1

II2

0B

0.50.5

當(dāng)賭徒手中有"元(OWnWB,n￡N)時，最終輸光的概率為P(n),請回答下列問題：

(1)請直接寫出P(0)與P(B)的數(shù)值.

(2)證明｛P(n)｝是一個等差數(shù)列，并寫出公差乩

(3)當(dāng)4=100時，分別計算B=200,B=1000時，PQ1)的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當(dāng)8時，PQ1)的

統(tǒng)計含義.

20.某校舉行“強基計劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評，要求以班級為單位參賽，最終高三一班(45人)和高三二班

(30人)進入決賽.決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個紙箱，甲箱中有4個選擇題和2個填空題，乙箱中有

3個選擇題和3個填空題，決賽由兩個環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩班級每位同學(xué)在甲或乙兩個紙箱中隨機抽

取兩題作答，作答后放回原箱.并分別統(tǒng)計兩班級學(xué)生測評成績的相關(guān)數(shù)據(jù)；環(huán)節(jié)二：由一班班長王剛和

二班班長李明進行比賽，并分別統(tǒng)計兩人的測評成績的相關(guān)數(shù)據(jù)，兩個環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計得

分，以累計得分的高低決定班級的名次.

(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，按照分層抽樣的方法從兩個班級抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計每位同學(xué)答對題目的數(shù)量，統(tǒng)計

數(shù)據(jù)為：一班抽取同學(xué)答對題目的平均數(shù)為1,方差為1；二班抽取同學(xué)答對題目的平均數(shù)為1.5,方差為

0.25,求這20人答對題目的均值與方差；

(2)環(huán)節(jié)二，王剛先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后李明再抽取題

目，已知李明從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求王剛從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率.

二、正態(tài)分布

21.抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系

成為研究抗體藥物的一個重要方面.某研究團隊收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對

這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值，抗體藥物攝入量為x(單位：mg),

體內(nèi)抗體數(shù)量為了(單位：AU/mL).

10101010

1=11=11=1i=l

29.2121634.4

九

12-

10-

8-

6-

4-

2-

62468101214161820222426*

(1)根據(jù)經(jīng)驗，我們選擇y=c/作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將y=c/兩邊取對

數(shù)，得Iny=Inc+如1久，可以看出Inx與Iny具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的回歸方程，

并預(yù)測抗體藥物攝入量為25mg時，體內(nèi)抗體數(shù)量y的值；

(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗統(tǒng)計得z服從正態(tài)分布N?(0.48,0.032),那這

種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為多少？

附：①對于一組數(shù)據(jù)%)(i=12…,10),其回歸直線徹+式的斜率和截距的最小二乘估計分別為8=

2著"但一而

a=v—pit；

>九岔一疝2,

4=1

②若隨機變量Z-NQ,/),則有P(〃—(T<Z<〃+<T)=0.6826,P(〃—2。<Z<〃+2<7)=0.9544,P(ji-

3<J<Z<〃+3<T)X0.9974；

③取e?2.7.

22.法國數(shù)學(xué)家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包.該面包店的面包師

聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000g,上下浮動不超過50g.這句話用數(shù)學(xué)語言來表達就是：每個面

包的質(zhì)量服從期望為1000g,標(biāo)準(zhǔn)差為50g的正態(tài)分布.

(1)已知如下結(jié)論：若X?N(U《2),從X的取值中隨機抽取人(卜6%*#22)個數(shù)據(jù)，記這4個數(shù)據(jù)的平均值

為匕則隨機變量丫?尺傘,")，利用該結(jié)論解決下面問題.

(i)假設(shè)面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為匕求P(Y<980)；

(ii)龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在(950,1050)上，并經(jīng)計算25

個面包質(zhì)量的平均值為978.72g.龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的

理由；

(2)假設(shè)有兩箱面包(面包除顏色外，其他都一樣)，已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包有2個；

第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包有3個.現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包.求取出

黑色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：①隨機變量4服從正態(tài)分布N(“,M),貝UP(〃一?！╓〃+0)=0.6827,P(/z-2CT<r]</J.+2(r)=

0.9545,P(/i—3cr<7j<jit+3CT)=0.9973；

②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生.

23.為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某學(xué)校團委組織了“青春向黨百年路，奮進學(xué)習(xí)二十大”知識競賽活動，

并從中抽取了200份試卷進行調(diào)查，這200份試卷的成績（卷面共100分）頻率分布直方圖如右圖所示.

（1）用樣本估計總體，求此次知識競賽的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

（2）可以認為這次競賽成績X近似地服從正態(tài)分布N（〃,標(biāo)）（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為M、b的

近似值），已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差5^7.36,如有84%的學(xué)生的競賽成績高于學(xué)校期望的平均分，則學(xué)校期望的

平均分約為多少？（結(jié)果取整數(shù)）

⑶從得分區(qū)間［80,90）和［90,100］的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再從這10份樣本中隨機

抽測3份試卷，若已知抽測的3份試卷來自于不同區(qū)間，求抽測3份試卷有2份來自區(qū)間［80,90）的概率.

參考數(shù)據(jù)：若X-N{/J,cr）,則P（JU-（T<X</z+cr）?0.68,P（/J-2<7<X<JU+2CT）~0.95,尸（〃一3cr<

XW〃+3b）a0.99.

24.隨著《2023年中國詩詞大會》在央視持續(xù)熱播，它將經(jīng)典古詩詞與新時代精神相結(jié)合，使古詩詞綻放

出新時代的光彩，由此，它極大地鼓舞了人們學(xué)習(xí)古詩詞的熱情，掀起了學(xué)習(xí)古詩詞的熱潮.某省某校為了

了解高二年級全部1000名學(xué)生學(xué)習(xí)古詩詞的情況，舉行了“古詩詞”測試，現(xiàn)隨機抽取100名學(xué)生，對其測

試成績（滿分：100分）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生測試成績的平均數(shù)(單位：分)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點值為代表)

(2)若該校高二學(xué)生“古詩詞”的測試成績X近似服從正態(tài)分布NQ,169),其中〃近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定“古

詩詞”的測試成績不低于87分的為“優(yōu)秀”，據(jù)此估計該校高二年級學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；(取整數(shù))

(3)現(xiàn)該校為迎接該省的2023年第三季度“中國詩詞大會”的選拔賽，在五一前夕舉行了一場校內(nèi)“詩詞大會”.

該“詩詞大會”共有三個環(huán)節(jié)，依次為“詩詞對抗賽”“畫中有詩”“飛花令車輪戰(zhàn)”，規(guī)則如下：三個環(huán)節(jié)均參與,

在前兩個環(huán)節(jié)中獲勝得1分，第三個環(huán)節(jié)中獲勝得4分，輸了不得分.若學(xué)生甲在三個環(huán)節(jié)中獲勝的概率依

次為也I，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否獲勝是相互獨立的.記學(xué)生甲在這次“詩詞大會”中的累計得分為隨

機變量求f的分布列和數(shù)學(xué)期E(f).

(參考數(shù)據(jù)：若X?N("),則P?—CTVXWN+CT)=0.6826,PQt—2。<XW4+2。)=0.9544,PQt-

3cr<X</z+3(r)=0,9974.

25.隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機抽

查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：

鳳梨數(shù)量(盒)[100,200：[200,3001[300,400：[400,500'[500,600

購物群數(shù)量(個)12m2032m

(1)求實數(shù)爪的值，并用組中值估計這100個購物群銷售風(fēng)梨總量的平均數(shù)(盒)；

(2)假設(shè)所有購物群銷售鳳梨的數(shù)量X服從正態(tài)分布NO，。?)，其中〃為(1)中的平均數(shù)，02=12100.若該

鳳梨基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售風(fēng)梨的數(shù)量在［266,596)(單位：盒)內(nèi)的群為“一級群”，銷

售數(shù)量小于266盒的購物群為“二級群”，銷售數(shù)量大于等于596盒的購物群為“優(yōu)質(zhì)群”.該鳳梨基地對每個

“優(yōu)質(zhì)群”獎勵1000元，每個“一級群”獎勵200元，“二級群”不獎勵，則該風(fēng)梨基地大約需要準(zhǔn)備多少資金？

(群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù))

附：若X服從正態(tài)分布X?N(〃,O2),則p(〃+0.683,P(〃-2CT<X<g+2<T)?0.954,

P(〃-3crVXV〃+3a)a0.997.

26.為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺組織全區(qū)教職工進行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí).第

一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負責(zé)人從平臺數(shù)據(jù)庫中隨機抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時間(滿時

長15小時)，將其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖

(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).

⑴求。的值；

(2)以樣本估計總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時間f近似服從正態(tài)分布N(“,02),其中A近似為樣本的平均數(shù)，經(jīng)計

算知。x2.39.若該地區(qū)有5000名教職工，試估計該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時間在(7.45,14.62]內(nèi)的人數(shù)；

(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時間在[7,9),[9,11)內(nèi)的教職工中隨機抽取5人，并從中隨機抽取3

人作進一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時間在[7,9)內(nèi)的教職工平均人數(shù).(四舍五入取整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量f服從正態(tài)分布N(〃《2),貝!]「(〃—。<+=0.6827,—2。<f<〃+

2。)?0.9545,P(/z-3cr<f</z+3<r)?0.9973.

27.某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關(guān)活動，并對每一關(guān)根據(jù)難度進行賦分，競猜活動共五關(guān)，規(guī)

定：上一關(guān)不通過則不進入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗,

且各關(guān)能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關(guān)活動.

(1)若甲第一關(guān)通過的概率為|,第二關(guān)通過的概率為,，求甲可以進入第三關(guān)的概率；

(2)已知該闖關(guān)活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前

400名發(fā)放獎勵.

①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分數(shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵,

請說明理由；

②丙得知他的分數(shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動平均分數(shù)為201分，351分以上共有57人”，請

結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?

附：若隨機變量Z?則—a<X<(J.+a)0.6827；P(〃—2a<X<fj.+2a)~0.9545；P(ji—

3a<X<{j.+3<T)~0.9973.

28.2022年，隨著最低工資標(biāo)準(zhǔn)提高，商品價格上漲，每個家庭的日常消費也隨著提高，某社會機構(gòu)隨機

調(diào)查了200個家庭的日常消費金額并進行了統(tǒng)計整理，得到數(shù)據(jù)如下表：

[3,4：[4,5：[5,6：[6,7：

消費金額(千元)[2,3：[7,8

人數(shù)406040302010

以頻率估計概率，如果家庭消費金額可視為服從正態(tài)分布N(〃,O2),出小分別為這200個家庭消費金額的平

均數(shù)萬及方差s2(同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代).

(1)求元和s2的值；

⑵試估計這200個家庭消費金額為［2.86,7.18］的概率(保留一位小數(shù))；

(3)依據(jù)上面的統(tǒng)計結(jié)果，現(xiàn)要在10個家庭中隨機抽取4個家庭進行更細致的消費調(diào)查，記消費金額為

［2.86,7.18］的家庭個數(shù)為X,求X的分布列及期望.

參考數(shù)據(jù)：V2^06=1.44；

若隨機變量f?NRM),貝ijp缶-0.6827,P(〃-2。<fW〃+2。)=0.9545,PQi-3(r<

f</z+3(r)=0,9973.

29.書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日

為世界讀書日.某研究機構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了100位年輕人，對這些人

每天的閱讀時間(單位：分鐘)進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)元(單位：分鐘)；(同一組數(shù)據(jù)用該組

數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示)

(2)若年輕人每天閱讀時間X近似地服從正態(tài)分布N(出100),其中〃近似為樣本平均數(shù)總求P(64<XW94)；

(3)為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組[50,60),

[60,70),[80,90)的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到每天閱讀時間位于[80,90)的人

數(shù)f的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附參考數(shù)據(jù)：若，則①P(〃-8<X</i+8)=0.6827；②P(〃-28<X<n+28)=0.9545；③P(〃-38<

X<fi+36)=0.9973.

30.為了了解學(xué)生的運動情況，某中學(xué)對高中三個年級的學(xué)生運動情況進行了分層抽樣調(diào)查.調(diào)查的樣本中

高一年級有70%的學(xué)生每周運動總時間超過5小時，高二年級有65%的學(xué)生每周運動總時間超過5小時，

高三年級有56%的學(xué)生每周運動總時間超過5小時，且三個年級的學(xué)生人數(shù)之比為9:6:5,用樣本的頻率

估計總體的概率.

(1)從該校三個年級中隨機抽取1名學(xué)生，估計該學(xué)生每周運動總時間超過5小時的概率；

(2)假設(shè)該校每名學(xué)生每周運動總時間為隨機變量X(單位：小時)，且X?N(5.542).現(xiàn)從這三個年級中隨機

抽取5名學(xué)生，設(shè)這5名學(xué)生中每周運動總時間為5至6小時的人數(shù)為匕求隨機變量丫的期望.

31.2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊伍，本次比

賽啟用了新的排球用球M/K4S4J200lV已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)f(單位：g)服從正態(tài)分布X?其

中“=270,行=5.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分

規(guī)則如下(比賽采取5局3勝制)：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以

3：2取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，I班

排球隊積26分，2班排球隊積22分.第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設(shè)每局比賽1班排球隊取勝的概

率為p(0<p<1).

(1)令貝的?N(0,l),且①(a)=Pg<a),求中(一2),并證明：①(一2)+①⑵=1；

⑵第10輪比賽中，記1班排球隊3：1取勝的概率為f(p),求出f(p)的最大值點po,并以Po作為P的值，解

決下列問題.

(i)在第10輪比賽中，1班排球隊所得積分為X,求X的分布列；

(ii)已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過后，無論最后

一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊積分最多)？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請說明理由.

參考數(shù)據(jù)：X?則PQ—。<X<n+a)-0.6827,P(〃-2。<XW4+2。)=0.9545,PQ-3。<

XW〃+3。)=0.9973.

32.2020年受疫情影響，我國企業(yè)曾一度停工停產(chǎn)，中央和地方政府紛紛出臺各項政策支持企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn),

以減輕企業(yè)負擔(dān).為了深入研究疫情對我國企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營的影響，幫扶困難職工，在甲、乙兩行業(yè)里隨機抽

取了200名工人進行月薪情況的問卷調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)他們的月薪在2000元到8000元之間，具體統(tǒng)計數(shù)

據(jù)見下表.

月薪/

[2000,3000)[3000,4000)[4000,5000)[5000,6000)[6000,7000)[7000,8000)

元

人數(shù)203644504010

將月薪不低于6000元的工人視為“I類收入群體”，低于6000元的工人視為“n類收入群體”，并將頻率視為

概率.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的2x2列聯(lián)表：

I類收入群體II類收入群體總計

甲行業(yè)60

乙行業(yè)20

總計

根據(jù)上述列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為“n類收入群體”與行業(yè)有關(guān).

附彳牛./-----n(ad_be}-----中九=Q+b+c+d

叫十?X(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)丹十,

k3.8416.63510.828

PN

0.0500.0100.001

Nk)

（2）經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)該地區(qū)工人的月薪X（單位：元）近似地服從正態(tài)分布N0,14002）,其中4近似為樣本的平均

數(shù)元（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值）.若X落在區(qū)間（〃-+2。）外的左側(cè)，則可認為該工人“生活困難”，政

府將聯(lián)系本人，咨詢月薪過低的原因，并提供幫助.

①已知工人王強參與了本次調(diào)查，其月薪為2500元，試判斷王強是否屬于“生活困難”的工人；

②某超市對調(diào)查的工人舉行了購物券贈送活動，贈送方式為：月薪低于〃的獲得兩次贈送，月薪不低于〃的

獲得一次贈送.每次贈送金額及對應(yīng)的概率如下：

贈送金額/元100200300

111

概率

236

求王強獲得的贈送總金額的數(shù)學(xué)期望.

33.某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護意識，舉辦了一次“環(huán)境保護知識競賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，預(yù)賽成

績排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽.已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機地抽

取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到如下頻率分布直方圖：

02040608010。學(xué)生的預(yù)賽成績(百分制)

(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2人，求

至少有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

(2)由頻率分布直方圖可認為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布N(〃R2),其中〃可近似為樣

本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)，且/=362,已知小明的預(yù)

賽成績?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計小明是否有資格參加復(fù)賽？

(3)復(fù)賽規(guī)則如下：①每人的復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量打，每一

題都需要“花”掉(即減去)一定分數(shù)來獲取答題資格，規(guī)定答第k題時“花”掉的分數(shù)為0.2k(k=l,2,

Q；③每答對一題加2分，答錯既不加分也不減分；④答完〃題后參賽學(xué)生的最終分數(shù)即為復(fù)賽成績，己

知參加復(fù)賽的學(xué)生甲答對每道題的概率均為0.8,且每題答對與否都相互獨立.若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)

賽成績，則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少？

附：若Z?N(〃42),貝一。<Z<"+<T)=0.6827,P(〃―217Vz<〃+2。)=0.9545,P(〃-3。<Z<

〃+3。)=0.9973；V362?19.

34.為了讓學(xué)生了解毒品的危害，加強禁毒教育，某校組織了全體學(xué)生參加禁毒知識競賽，現(xiàn)隨機抽取50

名學(xué)生的成績(滿分100分)進行分析，把他們的成績分成以下6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

(1)求圖中。的值并估計全校學(xué)生的平均成績〃.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)

(2)在(1)的條件下，若此次知識競賽得分X?N(〃,122),為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)禁毒知識的興趣，對參賽學(xué)生

制定如下獎勵方案：得分不超過57分的不予獎勵，得分超過57分但不超過81分的可獲得學(xué)校食堂消費券

5元，得分超過81分但不超過93分的可獲得學(xué)校食堂消費券10元，超過93分可獲得學(xué)校食堂消費券15

元.試估計全校1000名學(xué)生參加知識競賽共可獲得食堂消費券多少元.(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：P(fi-(T<X<ft+a)^0.6827,P(M-2<T<X</Z+2<T)?0.9545,P(〃-3。<XW〃+

3a)?0.9973.

35.一水果連鎖店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去30天蘋果的日銷售量(單位：kg),

得到如下頻率分布直方圖.

(1)求過去30天內(nèi)蘋果的日平均銷售量元和方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表)；

(2)若該店蘋果的日銷售量X近似服從正態(tài)分布N(4,M),其中4近似為樣本平均數(shù)禮接近似為樣本方差s2,

試估計360天中日銷售量超過79.9kg的天數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

(3)該水果店在店慶期間舉行“贏積分，送獎品”活動，規(guī)定：每位會員可以投擲〃次骰子，若第一次擲骰子

點數(shù)大于2,可以獲得100個積分，否則獲得50個積分，從第二次起若擲骰子點數(shù)大于2,則獲得上一次

積分的兩倍，否則獲得50個積分，直到投擲骰子結(jié)束.記會員甲第〃次獲得的積分為Yn,求數(shù)學(xué)期望E(〃).

參考數(shù)據(jù)：若X?貝I]P(4-(T<XWA(+G=0.6827,P(〃-2。<XW〃+2(T)=0.9545,V119?

10.9.

36.據(jù)相關(guān)機構(gòu)調(diào)查表明我國中小學(xué)生身體健康狀況不容忽視，多項身體指標(biāo)(如肺活量、柔韌度、力量、速

度、耐力等)自2000年起呈下降趨勢，并且下降趨勢明顯，在國家的積極干預(yù)下，這種狀況得到遏制，并

向好的方向發(fā)展，到2019年中小學(xué)生在肺活量、柔初度、力量、速度、而力等多項指標(biāo)出現(xiàn)好轉(zhuǎn)，但肥胖、近

視等問題依然嚴重，體育事業(yè)任重道遠.某初中學(xué)校為提高學(xué)生身體素質(zhì)，日常組織學(xué)生參加中短跑鍛煉，

學(xué)校在一次百米短跑測試中，抽取200名女生作為樣本，統(tǒng)計她們的成績(單位：秒)，整理得到如圖所示

的頻率分布直方圖(每組區(qū)間包含左端點，不包含右端點).

(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)；(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)

(2)由頻率分布直方圖，可以認為該校女生的短跑成績X?N(〃,O2),其中“近似為女生短跑平均成績無02近

似為樣本方差s2,經(jīng)計算得$2=5.79,若從該校女生中隨機抽取10人，記其中短跑成績在(11.34,20.98］內(nèi)

的人數(shù)為匕求P(YW8)(結(jié)果保留2個有效數(shù)字).

附參考數(shù)據(jù)：V579?2.41,隨機變量X服從正態(tài)分布N(〃,O2),貝Up(〃—cr<XW〃+0)=0.6827,P(〃—

2a<X<［i+2a)=0.9545,P(〃-3。<XW〃+3。)=0.9974,O.682710~0.0220,0.954510-

0.6277,0.997410?0.9743,0,68279?0.0322,0,95459?0.6576.

37.為調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的總體水平，某地區(qū)組織10000名學(xué)生(其中男生4000名，女生6000名)

參加數(shù)學(xué)建模能力競賽活動.

(1)若將成績在［70,85］的學(xué)生定義為“有潛力的學(xué)生”，經(jīng)統(tǒng)計，男生中有潛力的學(xué)生有2500名，女生中有潛

力的學(xué)生有3500名，完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為學(xué)生是否有潛力與性別有

關(guān)？

性別

是否有潛力合計

男生女生

有潛力

沒有潛力

合計

(2)經(jīng)統(tǒng)計，男生成績的均值為80,方差為49,女生成績的均值為75,方差為64.

(i)求全體參賽學(xué)生成績的均值〃及方差。2；

(ii)若參賽學(xué)生的成績X服從正態(tài)分布N(〃,板),試估計成績在［61,93］的學(xué)生人數(shù).

參考數(shù)據(jù)：

P(K2

0.10.050.010.0050.001

Nk)

k2.7063.8416.6357.87910.828

②若X?則P(〃—=0.6827,P(〃一2(rWXW〃+2。)=0.9545,P(ji-3a<X<

〃+3。)=0.9973.

n(ad—bc')2

參考公式：K27i=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

38.某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機會,

通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.

組別[30,40][40,50][50,60][60,70][70,80][80,90[90,100]

頻數(shù)