2024年人教版八年級上冊數(shù)學同步訓練：最短路徑（原卷版）

第05講最短路徑

學習目標

課程標準學習目標

1.掌握最短路徑的基本原理，即兩點之間線段最短，

①最短路徑的基本原理點到直線的距離最短。

②最短路徑的基本模型2.掌握最短路徑的幾種模型，能夠熟練的運用軸對稱，

垂直平分線的性質解決相應題目。

最短路徑

造橋選址

知識點01最短路徑的基本原理

1.最短路徑的基本原理:

號線最短

最短。

p

③垂直平分線上任意一點到線段兩端點的距離0如圖，兒W是垂直平分線，CA=.

知識點02最短路徑的基本類型1——直線上一點到同側兩點的距離之和最短

1.如圖，存在直線/以及直線外的點P和點0,直線/上存在一點使得的值最?。?/p>

方法點撥：作其中一點關于直線的對稱點，連接對稱點與另一點，線段與直線的

交點即為要找的點M。1

解：如圖，作點P關于直線/的對稱點加。連接P。，尸'。與直線/交于點跖則此時最小。

證明：與P關于直線/對稱

直線I是PP的________________

：.MPMP'

：.MP+MQ=+MQ=o

.?.兒0+河。此時有最小值，為的長度

題型考點：①基本作圖。②求值計算。

【即學即練1】

1.如圖，在正方形網(wǎng)格中有N兩點，在直線/上求一點尸使尸M+PN最短，則點P應選在（）

A./點B.B點C.C點D.D點、

【即學即練2】

2.如圖，在等邊△48C中，3c邊上的高4D=6,E是高/。上的一個動點，廠是邊的中點，在點￡運

動的過程中，E2+E尸存在最小值，則這個最小值是（）

知識點03最短路徑基本類型一一角內一點與角兩邊構成的三角形周長最短

1.如圖，已知/MON以及角內一點尸，角的兩邊。”與ON上存在點/與點8,使得△P/8的周長最小:

方法點撥：分別作點尸關于（W與ON的對稱點P與廣，連接PPLPP”與

OM、ON的交點/與8即為要找到的點。

解：如圖，分別作點尸關于。加?與ON的對稱點P與片，連接PP"。FP"與

OM、ON的分別交于點/與點8,連接尸/、PB以及AB,此時△P48的周長最小。

證明：與P關于0M對稱，尸與產(chǎn)關于ON對稱

河是尸P的,ON是尸夕的。

：.APAP,BPBP"

C△尸43=PA+AB+PB=+AB+=

：.APAB的周長最小。

題型考點：①基本作圖。②求值計算。

【即學即練1】

3.如圖，已知/O,點尸為其內一定點，分別在/O的兩邊上找點N、8,使△尸/3周長最小的是（）

【即學即練2】

4.如圖，已知的大小為a,尸是內部的一個定點，且。尸=5,點E、尸分別是。4、。8上的

動點，若尸周長的最小值等于5,則。=（

A.30°B.45°C.60°D.90°

知識點04最短路徑基本類型一一角內兩點與角兩邊構成的四邊形周長最短

1.如圖：已知以及角內兩點點尸與點Q,角的兩邊上分別存在M、N使得四邊形PQMN的周長最小:

方法點撥：分別作點關于較近直線的對稱點，連接兩個對稱點的線段與邊

CU與。2相交與點M與點N,此時點M與點N即為要找的點。

解:如圖，作點0關于04的對稱點。，點P關于02的對稱點C,連接

DC,OC與。/交于點與交于點N,連接加，MN,PN,PQo此時四邊

形尸。的周長最下。

證明：???。與。關于對稱，尸與C關于08對稱

D

：.OA是QD的_________,OB是PC的___

：.MDMQ,NPNCo

C四邊形PQMN=PQ+QM+MN+PN

=尸0+_______+MN+_________

=P0+_______oCB

四邊形PQMN的周長最小。

題型考點：①基本作圖。

【即學即練1】

5.已知：N/O8,點M■和點N,試在CM、03上分別找點P、0,使四邊形MAQ尸的周長最短.（尺規(guī)作

圖，不需寫作法，保留作圖痕跡）

知識點05最短路徑基本類型-——造橋選址問題

1.如圖：平行河岸兩側各有一村莊P、Q-現(xiàn)在河上修建一座垂直于河岸的橋,

使得村莊P到村莊Q的路程最短:

方法點撥：在其中一個村莊作垂直于河岸的直線，使其長度等于橋的長度，連接端點與另一村莊，直

線與另一村莊岸邊的交點即為選址地點。如下圖：

題型考點：①基本作圖。

【即學即練11

6.如圖，N和8兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋使從N到8的路徑NMN8最短的是（假

定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直）（）

題型精講

題型01最短路徑的作圖

【典例1】

小王準備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)4,3提供牛奶，要使a3兩小區(qū)到送奶站的距離之和最

小，則送奶站C的位置應該在（）

居民區(qū)A居民區(qū)4；

居民區(qū)B、以;、居民區(qū)B

街道---------街道——

A.B.：C

居民區(qū)A

I居民區(qū)B居民區(qū)A

\居民區(qū)B

街道？/

街道——'

C.A'D.C

【典例2】

如圖，河道/的同側有N兩個村莊,計劃鋪設管道將河水引至M,N兩村，下面四個方案中，管道總長

度最短的是（）

?N

M.

/N

：/Q1

1?

A.QB./

[N

c.Q\D.Q

【典例3】

如圖，直線A，/2表示一條河的兩岸，且/1〃/2現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使

得從村莊尸經(jīng)橋過河到村莊Q的路程最短，應該選擇路線（）

C

■

E%

-----------/2

A.路線：PF-FQPB.路線：PE-EQP

C.路線：PE-EF—FQPD.路線：PEfEF—FQ

【典例4】

將軍要檢閱一隊士兵，要求（如圖所示）；隊伍長為。，沿河。8排開（從點P到點。）；將軍從馬棚"

出發(fā)到達隊頭P,從P至。檢閱隊伍后再趕到校場M請問：在什么位置列隊（即選擇點P和。），可

以使得將軍走的總路程MP+PQ+QN最短？

【典例5】

如圖，山娃星期天從/處趕了幾只羊到草地/i放羊，然后趕羊到小河乙飲水，之后再回到8處的家，假設

山娃趕羊走的都是直路，請你為它設計一條最短的路線，標明放羊與飲水的位置.

草地

【典例6】

如圖：要求在％上找出M,N兩點.使四邊形PQW的周長最小，在圖上畫出"，N的位置.（不寫

畫法，保留作圖痕跡）

題型02最短路徑的計算

【典例1】

如圖，等邊△48C中，。為NC中點，點尸、。分別為/8、上的點，且AP=/0=4,QD=3,在8。上

有一動點E,則PE+QE的最小值為（）

【典例2】

如圖，CL?是△NBC的角平分線，△NBC的面積為12,2C長為6,點、E,尸分別是CD,NC上的動點，則

ZE+EF的最小值是（）

C.3D.2

【典例3】

如圖，四邊形N8CD中，ZBAD=a,ZB=ZD=90°,在8C、CD上分別找一點M、N,當周長

最小時，則NM4N的度數(shù)為（）

c

A.—aB.2a-180°C.180°-aD.a-90°

2

【典例4】

如圖，//。8=30°,點。是它內部一點，OD=m.點、E,尸分別是CM,上的兩個動點，則△￡>￡/周

【典例5】

如圖，直線加是△48C中8c邊的垂直平分線，點P是直線加上一動點，若AB=7,AC=6,BC=8,