杭州市重點中學2025屆學業(yè)水平考試數(shù)學試題模擬卷(十四)含解析

杭州市重點中學2025屆學業(yè)水平考試數(shù)學試題模擬卷(十四)考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．3．記個兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間，設函數(shù)，則不等式的解集為（）A．2階區(qū)間 B．3階區(qū)間 C．4階區(qū)間 D．5階區(qū)間4．已知向量，，當時，（）A． B． C． D．5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．復數(shù)的模為（）．A． B．1 C．2 D．7．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的右焦點為F，過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A，若|OA|=|OF|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．+18．某四棱錐的三視圖如圖所示，記為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）.A．，且 B．，且C．，且 D．，且9．已知實數(shù)，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．810．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．8411．已知集合，集合，則等于（）A． B．C． D．12．在復平面內(nèi)，復數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設f（x）＝etx（t＞0），過點P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點為Q，曲線C過點Q的切線交x軸于點R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．14．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______.15．若變量，滿足約束條件，則的最大值為__________．16．實數(shù)，滿足，如果目標函數(shù)的最小值為，則的最小值為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，點是以為直徑的圓上異于、的一點，直角梯形所在平面與圓所在平面垂直，且，.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離.18．（12分）若數(shù)列滿足：對于任意，均為數(shù)列中的項，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．（1）若數(shù)列的前項和，，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”？說明理由；（2）若公差為的等差數(shù)列為“數(shù)列”，求的取值范圍；（3）若數(shù)列為“數(shù)列”，，且對于任意，均有，求數(shù)列的通項公式．19．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，解關(guān)于x的不等式；（2）當時，若對任意實數(shù)，都成立，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）已知.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ），，，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知數(shù)列的前項和和通項滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項和.22．（10分）如圖，在三棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，側(cè)棱.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐外接球的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據(jù)復數(shù)運算，求得，再求其對應點即可判斷.【詳解】，故其對應點的坐標為.其位于第四象限.故選：D.本題考查復數(shù)的運算，以及復數(shù)對應點的坐標，屬綜合基礎題.2．D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點：平面向量數(shù)量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點，作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、數(shù)量積及平面幾何知識，又能考查學生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題，實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：①利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過向量的線性運算進行轉(zhuǎn)化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標運算，此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.3．D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當且時的導數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點值分別看作對應常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當且時，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變?yōu)?，由圖像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.故選：D本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對應自變量范圍，導數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題4．A【解析】

根據(jù)向量的坐標運算，求出，，即可求解.【詳解】，.故選:A.本題考查向量的坐標運算、誘導公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系，屬于中檔題.5．D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個三棱錐和一個三棱柱構(gòu)成，利用錐體和柱體的體積公式計算出體積并相加求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成，該多面體體積為.故選D.本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查柱體和錐體的體積公式，屬于基礎題.6．D【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解．【詳解】解：，復數(shù)的模為．故選：D．本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，屬于基礎題．7．B【解析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，可求出點，則，整理計算可得離心率.【詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.本題考查雙曲線離心率的求解，考查學生的計算能力，是中檔題.8．D【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，根據(jù)三視圖的長度，進一步求出個各棱長.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，如圖所示：所以：，，.故選：D..本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題.9．D【解析】

畫出可行域，計算出原點到可行域上的點的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選：D本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.10．B【解析】

畫出幾何體的直觀圖，計算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示：故.故選：.本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.11．B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.該題考查的是有關(guān)集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎題目.12．D【解析】

將復數(shù)化簡得,,即可得到對應的點為,即可得出結(jié)果.【詳解】，對應的點位于第四象限.故選:.本題考查復數(shù)的四則運算,考查共軛復數(shù)和復數(shù)與平面內(nèi)點的對應,難度容易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

計算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的導數(shù)f′（x）＝tetx，∴過Q的切線斜率k＝t，設R（r，0），則k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，導數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，當t＞1時，S′＞0，當0＜t＜1時，S′＜0，∴t＝1為極小值點，也為最小值點，∴△PRS的面積的最小值為．故答案為：．本題考查了利用導數(shù)求面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.14．【解析】

利用奇函數(shù)的定義得出，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可求得實數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，，整理得，解得.當時，真數(shù)，不合乎題意；當時，，解不等式，解得或，此時函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，合乎題意.綜上所述，.故答案為：.本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查了函數(shù)奇偶性的定義和對數(shù)運算性質(zhì)的應用，考查計算能力，屬于中等題.15．【解析】

根據(jù)約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題的求解，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定過時，取最大值，代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將化為，則最大時，直線在軸截距最大；由直線平移可知，當過時，在軸截距最大，由得：，.故答案為：.本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.16．【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的最小值為，確定出的值，進而確定出C點坐標，結(jié)合目標函數(shù)幾何意義，從而求得結(jié)果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi)，由得可知，直線的截距最大時，取得最小值，此時直線為，作出直線，交于A點，由圖象可知，目標函數(shù)在該點取得最小值，所以直線也過A點，由，得，代入，得，所以點C的坐標為．等價于點與原點連線的斜率，所以當點為點C時，取得最小值，最小值為，故答案為：.該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在解題的過程中，注意正確畫出約束條件對應的可行域，根據(jù)最值求出參數(shù)，結(jié)合分式型目標函數(shù)的意義求得最優(yōu)解，屬于中檔題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）取的中點，證明,則平面平面，則可證平面.（2）利用，是平面的高，容易求.，再求，則點到平面的距離可求.【詳解】解：（1）如圖：取的中點，連接、.在中，是的中點，是的中點，平面平面,故平面在直角梯形中，，且，∴四邊形是平行四邊形，，同理平面又,故平面平面，又平面平面.（2）是圓的直徑，點是圓上異于、的一點，又∵平面平面，平面平面平面，可得是三棱錐的高線.在直角梯形中，.設到平面的距離為，則，即由已知得，由余弦定理易知：，則解得，即點到平面的距離為故答案為：.考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法，是中檔題.18．（1）不是，見解析（2）（3）【解析】

（1）利用遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，進一步驗證時，是否為數(shù)列中的項，即可得答案；（2）由題意得，再對公差進行分類討論，即可得答案；（3）由題意得數(shù)列為等差數(shù)列，設數(shù)列的公差為，再根據(jù)不等式得到公差的值，即可得答案；【詳解】（1）當時，又，所以．所以當時，，而，所以時，不是數(shù)列中的項，故數(shù)列不是為“數(shù)列”（2）因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以．因為數(shù)列為“數(shù)列”所以任意，存在，使得，即有．①若，則只需，使得，從而得是數(shù)列中的項．②若，則．此時，當時，不為正整數(shù)，所以不符合題意．綜上，．（3）由題意，所以，又因為，且數(shù)列為“數(shù)列”，所以，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列．設數(shù)列的公差為，則有，由，得，整理得，①．②若，取正整數(shù)，則當時，，與①式對應任意恒成立相矛盾，因此．同樣根據(jù)②式可得，所以．又，所以．經(jīng)檢驗當時，①②兩式對應任意恒成立，所以數(shù)列的通項公式為．本題考查數(shù)列新定義題、等差數(shù)列的通項公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，難度較大.19．（1）（2）【解析】

（1）當時，利用含有一個絕對值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）對分成和兩類，利用零點分段法去絕對值，將表示為分段函數(shù)的形式，求得的最小值，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，由得由得解：，得∴當時，關(guān)于的不等式的解集為（2）①當時，，所以在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，所以，由題設得，解得.②當時，同理求得.綜上所述，的取值范圍為.本小題主要考查含有一個絕對值不等式的求法，考查利用零點分段法解含有兩個絕對值的不等式，屬于中檔題.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用零點分段討論法把函數(shù)改寫成分段函數(shù)的形式,分三種情況分別解不等式,然后取并集即可；（Ⅱ）利用絕對值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,結(jié)合題意,只需即可,解不等式即可求解.【詳解】（Ⅰ）當時，，，或，或，或所以不等式的解集為；（Ⅱ）因為，又（當時等號成立），依題意，，，有，則，解之得，故實數(shù)的取值范圍是.本題考查由存在性問題求參數(shù)的范圍、零點分段討論法解絕對值不等式、利用絕對值三角不等式和均值不等式求最值；考查運算求解能力、分類討論思想、邏輯推理能力；屬于中檔題.21．（1）；（2）【解析】

（1）當時，利用可得，故可利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項.（2）利用分組求和法可求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當時，，所以，當時，，①，②所以，即，又因為，故，所以，所以是首項，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由得：數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，，.本題考查數(shù)列的通項與求和，注意數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.22．（1）見解析；（2）.【解析】

（1）設中點為，連接、，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，利用勾股定理得出，由線面垂直的判定定理可證得平面，再利用面面垂直的判定