解析銀川一中高二年級走進高三期末考試模擬試卷（數學試題）

銀川一中2025屆高二年級走進高三期末考試模擬試卷數學試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的。1．集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的定義求出，結合交集與補集運算即可求解.【詳解】因為，所以，則，2．已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題【答案】B【分析】對于兩個命題而言，可分別取、，再結合命題及其否定的真假性相反即可得解.【詳解】對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，對于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，綜上，和都是真命題.3．下列圖中，相關性系數最大的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由點的分布特征可直接判斷【詳解】觀察4幅圖可知，A圖散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現明顯的正相關，值相比于其他3圖更接近1.4．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分類討論甲乙的位置，得到符合條件的情況，然后根據古典概型計算公式進行求解.【詳解】當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；基本事件總數顯然是，根據古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.5．記為數列的前項和，且，則數列的通項公式為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用退位法可求的通項公式．【詳解】當時，，解得．當時，，所以即，而，故，故，∴數列是以4為首項，為公比的等比數列，所以.6．已知函數，若有極小值，且極小值小于0，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】解法一：求導，分析和兩種情況，利用導數判斷單調性和極值，分析可得，構建函數解不等式即可；解法二：求導，可知有零點，可得，進而利用導數求的單調性和極值，分析可得，構建函數解不等式即可.【詳解】解法一：因為的定義域為，且，若，則對任意恒成立，可知在上單調遞增，無極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，即，構建，則，可知在內單調遞增，且，不等式等價于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因為的定義域為，且，若有極小值，則有零點，令，可得，可知與有交點，則，若，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則有極小值，無極大值，符合題意，由題意可得：，即，構建，因為則在內單調遞增，可知在內單調遞增，且，不等式等價于，解得，所以a的取值范圍為.7．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將每局的得分分別作為隨機變量，然后分析其和隨機變量即可.【詳解】設甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，從而甲在該輪獲勝的概率，所以.從而.記.如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，兩式相減即得，故.所以甲的總得分不小于2的概率為.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于將問題轉化為隨機變量問題，利用期望的可加性得到等量關系，從而避免繁瑣的列舉.8．已知關于的方程有4個不同的實數根，分別記為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】變形給定方程，構造函數，利用導數探討方程取得兩個不等根的的范圍，再借助一元二次方程求解即得.【詳解】顯然不是方程的根，則方程的根即為方程的根，令，得，設，求導得，由，得或，由，得，即函數在和上單調遞減，在上單調遞增，，作出的大致圖象，如圖，依題意，方程有兩個不相等的實數根，設為，，觀察圖象知，方程的每一個根，由得兩個不同的值，于是，且，由，解得，不妨設，則，由，得，所以的取值范圍為.【點睛】思路點睛：涉及給定函數零點個數求參數范圍問題，可以通過分離參數，等價轉化為直線與函數圖象交點個數，數形結合推理作答.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的地0分。9．為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（

）（若隨機變量Z服從正態(tài)分布，）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據正態(tài)分布的原則以及正態(tài)分布的對稱性即可解出.【詳解】依題可知，，所以，故，C正確，D錯誤；因為，所以，因為，所以，而，B正確，A錯誤，10．已知，則下列結論正確的是（

）A．B．當時，C．若的展開式中第7項的二項式系數最大，則等于或D．當時，【答案】ABD【分析】利用二項式定理中展開式的系數判斷A，B，利用二項式展開項系數的奇偶性結合分類討論判斷C，利用賦值法判斷D即可.【詳解】對A，，故A正確；對B，的系數，則，所以，故B正確；對C，若的展開式中第項的二項式系數最大，根據二項式系數的對稱性，當為偶數時，；當為奇數時，或，故C錯誤；對D，當時，，令，則，又因為，所以，故D正確．11．如圖，在以A，B，C，D，E，F為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．則下列說法正確的是（）A．B．平面C．與平面所成夾角的正弦值為D．平面與平面所成夾角的正弦值為【答案】BC【分析】B.結合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進而得證；D.作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結合二面角夾角余弦公式即可求解.【詳解】對于A，得A錯誤；對于C；得C錯誤。對于B.因為為的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；對于D.如圖所示，作交于，連接，因為四邊形為等腰梯形，，所以，結合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點，所以，又因為四邊形為等腰梯形，為中點，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點重合，，，因為，所以，所以互相垂直，以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標系，，，，，設平面的法向量為，平面的法向量為，則，即，令，得，即，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.12．已知函數，則（）A．B．當時，的極大值為，無極小值C．當時，的極小值為，無極大值D．當時，恒成立，的取值范圍為【答案】ACD【分析】A、求導即可；B、C求出函數的導數，根據導數的單調性和零點可求函數的極值；D、求出函數的二階導數，就、、分類討論后可得參數的取值范圍.【詳解】對于A項：對于B、C項：當時，，故，因為在上為增函數，故在上為增函數，而，故當時，，當時，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.對于D項：，設，則，當時，，故在上為增函數，故，即，所以在上為增函數，故.當時，當時，，故在上為減函數，故在上，即在上即為減函數，故在上，不合題意，舍.當，此時在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.【點睛】思路點睛：導數背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導數判斷函數單調性，有時還需要對導數進一步利用導數研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質來確定如何分類.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則.【答案】【分析】由復數四則運算法則直接運算即可求解.【詳解】因為，所以則14．已知向量滿足，且，則.【答案】【分析】由得，結合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.15．在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法．【答案】24【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結果，即可求解.【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有種選法；每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數字，則所有的可能結果為：，，，，所以選中的方格中，的4個數之和最大，為.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結果.16．設雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為．【答案】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點橫坐標相等，設在第一象限，將代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算過程。17．（本小題共10分）已知函數，求：(1)求函數的極值；(2)求在處的切線方程.【答案】（1）極大值0；極小值4（6分）；（2）【分析】（1）求出函數的導數，得到極值點，即可得出答案；（2）求導后，帶點求解即可?！驹斀狻浚?）因為函數的定義域為R，而，（1分）易知令，則，令，則，所以在或上單調遞增；在上單調遞減（2分）+00+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增由次是函數的極小值點，則；是函數的極大值點，則（2）由（1）知由題問知斜率為，又因為（2分）則設函數在處的切線方程為（1分）代入得整理得（3分）18．（本小題12分）在中，內角的對邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．我選擇：（）條件。注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)（5分）；(2)選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.（7分；不寫所選條件得5分）【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）選擇①，利用正弦定理得，結合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出，再代入式子得，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；【詳解】（1）由題意得，因為為鈍角，（1分）則，則（1分），則，解得，（2分）因為為鈍角，則.（1分）（2）選①，則，因為，則為銳角，則，此時，不合題意，舍棄；選②，因為為三角形內角，則，（1分）則代入得，解得，（2分）,（2分）則.（2分）選③，則有，解得，（1分）則由正弦定理得，即，解得，（2分）因為為三角形內角，則，（1分）則，（2分）則（1分）19．（本小題12分）已知等比數列的前n項和，其中λ為常數．(1)求λ的值；(2)設，求數列的前n項和．【答案】(1)（4分）(2)（8分）【分析】（1）由求出，根據通項公式求得，（2）先由第一問求出，這個新數列由等比數列、等差數列及常數數列組合而成，則進行分組求和.【詳解】（1），當時，（1分）；當時，（1分），（1分）．數列是等比數列，對也成立（檢驗不算分，但不寫扣1分），，即．（1分）（2）由（1）知：，，（2分）令，（1分）（2分）（1分）．（2分）20．（本小題12分）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？【答案】(1)（3分）(2)由甲參加第一階段比賽；【分析】（1）根據對立事件的求法和獨立事件的乘法公式即可得到答案；（2）首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計算出各自期望，再次作差比較大小即可.【詳解】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績不少于5分的概率.（3分）（2）若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，（不寫扣1分），，，，（共2分）（1分）記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，（不寫扣1分）同理（同上3分），（1分）因為，則，，（1分）則，應該由甲參加第一階段比賽.（1分）【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是計算出相關概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關系，最后得到結論.21．（本小題12分）某工廠進行生產線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間填寫如下列聯(lián)表：能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率，設為升級改造后抽取的n件產品的優(yōu)級品率.如果，則認為該工廠產品的優(yōu)級品率提高了，根據抽取的150件產品的數據，能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品率提高了？（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：【答案】(1)答案見詳解（6分）(2)答案見詳解（6分）【分析】（1）根據題中數據完善列聯(lián)表，計算，并與臨界值對比分析；（2）用頻率估計概率可得，根據題意計算，結合題意分析判斷.【詳解】（1）根據題意可得列聯(lián)表：（每空0.5分，共2分）優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間