專題09二次函數(shù)與一元二次方程不等式2024年高一數(shù)學(xué)初升高暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019必修一）

2024年高一數(shù)學(xué)初升高暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019必修一）專題09二次函數(shù)與一元二次方程、不等式考點一解不含參數(shù)的一元二次不等式考點二一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯考點三簡單分式不等式的解法考點四解含參數(shù)的一元二次不等式考點五實際問題中的一元二次不等式考點六一元二次不等式中的恒成立和有解問題一、一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．二、二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做二次函數(shù)的零點.三、一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集．四、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系對于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根注：（1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點的取值，是拋物線與軸的交點的橫坐標；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集.五、利用不等式解決實際問題的一般步驟(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；(2)由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)；(3)求解所列出的不等式(組)；(4)結(jié)合題目的實際意義確定答案．六、簡單的分式不等式的解法系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”七、一元二次不等式恒成立問題(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立(2)分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題.【常用結(jié)論】解一元二次不等式的一般步驟1.通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；2.計算對應(yīng)方程的判別式；3.求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；4.根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．【題型一解不含參數(shù)的一元二次不等式】策略方法解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟:(1)通過對不等式的變形,使不等式右側(cè)為0,二次項系數(shù)為正.(2)對不等式左側(cè)進行因式分解,若不易分解,則計算對應(yīng)方程的判別式.(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根.(4)根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)圖象.(5)根據(jù)圖象寫出不等式的解集.一、解答題1．（2324高一上·新疆·期末）解下列不等式；(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)或(2)(3)(4)【分析】利用一元二次不等式的解法解原不等式，即可得出諸不等式的解集.【詳解】（1）解：由可得，解得或，故原不等式的解集為或.（2）解：由可得，即，解得，故原不等式的解集為.（3）解：由可得，解得或，故原不等式的解集為.（4）解：由可得，，故原不等式的解集為.2．（2324高一上·北京·期中）解關(guān)于的不等式.(1);(2)(3).【答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】由公式解不含參數(shù)的一元二次不等式，分類討論解含參數(shù)的一元二次不等式.【詳解】（1）不等式，即，解得，所以不等式的解集為；（2）不等式，即，解得或，所以不等式的解集為；（3）不等式，當(dāng)時，解集為或，當(dāng)時，解集為或，當(dāng)時，解集為.【題型二一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯】策略方法已知以a,b,c為參數(shù)的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,解其他不等式的解集時,一般遵循(1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號.(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b,c用a表示出來并代入所要解的不等式.(3)約去a,將不等式化為具體的一元二次不等式求解.一、解答題1．（2324高一上·新疆·期末）解下列不等式；(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)或(2)(3)(4)【分析】利用一元二次不等式的解法解原不等式，即可得出諸不等式的解集.【詳解】（1）解：由可得，解得或，故原不等式的解集為或.（2）解：由可得，即，解得，故原不等式的解集為.（3）解：由可得，解得或，故原不等式的解集為.（4）解：由可得，，故原不等式的解集為.2．（2324高一上·北京·期中）解關(guān)于的不等式.(1);(2)(3).【答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】由公式解不含參數(shù)的一元二次不等式，分類討論解含參數(shù)的一元二次不等式.【詳解】（1）不等式，即，解得，所以不等式的解集為；（2）不等式，即，解得或，所以不等式的解集為；（3）不等式，當(dāng)時，解集為或，當(dāng)時，解集為或，當(dāng)時，解集為.【題型三簡單分式不等式的解法】一、填空題1．（2324高一上·上海寶山·期末）不等式的解集為.【答案】或.【分析】將其等價轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，再解得即可.【詳解】不等式等價于，解得或，所以不等式的解集為或.故答案為：或2．（2324高一上·福建福州·期中）不等式的解集為．【答案】或【分析】根據(jù)分式不等式的解法計算即可.【詳解】由，得，解得或，所以不等式的解集為或.故答案為：或.3．（2324高一上·吉林·階段練習(xí)）不等式的解集為.【答案】【分析】將分式不等式化為求解集.【詳解】由，所以不等式解集為.故答案為：4．（2324高一上·上?！て谥校┎坏仁降慕饧癁?【答案】【分析】分式不等式求解，移項通分變形，可由符號法則轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.【詳解】不等式可化為，即，則有①，或②，由①得，由②得，解得，故原不等式的解集為.故答案為：5．（2324高一上·山東聊城·期中）若關(guān)于x的不等式的解集是，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，且和是的兩根，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由的解集是，可得，且和是的兩根，則且，即且，解得，所以．故答案為：.【題型四解含參數(shù)的一元二次不等式】策略方法（1）含參數(shù)的一元二次不等式,若二次項系數(shù)不含參數(shù),且不等式對應(yīng)的方程能夠因式分解(或方程根可求),應(yīng)按不等式對應(yīng)方程根的大小分類討論.（2）當(dāng)二次項系數(shù)含參數(shù)且能因式分解時,先求解二次項系數(shù)為0的情況,此時不等式一般是化為一元一次不等式,比較簡單;當(dāng)二次項系數(shù)不為0時,先分解因式,然后再分二次項系數(shù)大于0和小于0兩種情況討論.一般地,有一種情況能判斷兩根的大小關(guān)系,比較簡單,而另一種情況,兩根的大小不確定,還需分三種情況討論,最后的結(jié)論一般會達到五種情況.（3）若含參數(shù)的一元二次不等式對應(yīng)的方程不能直接求根,則需要考慮一元二次方程對應(yīng)的判別式,這里需要對判別式Δ<0,Δ=0和Δ>0分類討論.當(dāng)Δ>0時,如果不能確定根的大小,還需要討論根的大小.若二次項系數(shù)含參數(shù),還需要討論參數(shù)的符號.一、單選題1．（2223高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，直接求解不等式即可.【詳解】由，得，解不等式，得，所以不等式的解集是.故選：A2．（2223高一上·新疆烏魯木齊·期末）不等式的解集不可能是（

）A． B． C． D．R【答案】D【分析】根據(jù)不等式特點對參數(shù)進行分類討論，當(dāng)時，不等式為一元一次不等式，直接求解即可；當(dāng)時，不等式為一元二次不等式，需結(jié)合一元二次不等式對應(yīng)的一元二次方程及二次函數(shù)即可求解.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時，原不等式為，解得；當(dāng)時，原不等式可化為，當(dāng)時，不等式對應(yīng)的二次函數(shù)為，開口向上，對應(yīng)方程根為和，又因為當(dāng)時，，所以不等式的解集為；當(dāng)時，不等式對應(yīng)的二次函數(shù)為，開口向下，對應(yīng)方程根為和，當(dāng)，即，不等式的解集為；當(dāng)，即，不等式的解集為；當(dāng)，即，不等式的解集為.綜上所述，不等式的解集不可能是.故選：D.二、解答題3．（2324高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）解關(guān)于的不等式：.【答案】答案見解析【分析】首先將不等式左側(cè)因式分解，再分、、三種情況討論，分別求出不等式的解集.【詳解】不等式，即，當(dāng)時，原不等式即，解得，即不等式的解集為；當(dāng)時，解得或，即不等式的解集為或；當(dāng)時，解得或，即不等式的解集為或；綜上可得：當(dāng)時不等式的解集為，當(dāng)時不等式的解集為或，當(dāng)時不等式的解集為或.4．（2223高一上·山東泰安·期末）已知關(guān)于x的不等式，其中．(1)若該不等式的解集為，求a的值；(2)解不等式不等式，其中．【答案】(1)(2)答案見詳解【分析】（1）根據(jù)不等式的解可知對應(yīng)方程的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解；（2）求出不等式對應(yīng)方程的根，討論兩個根的大小關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)圖象與性質(zhì)即可寫出不等式的解集.【詳解】（1）若不等式的解集為，則方程的兩根為1和2，所以，解得.（2）不等式對應(yīng)方程的兩根為和1，當(dāng)，即時，解得，當(dāng)，即時，解得，當(dāng)，即時，解得，綜上，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為.5．（2324高一上·安徽馬鞍山·期中）（1）解不等式；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）或；（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，利用分式不等式的解法，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合一元二次不等式的解法，分類討論，即可求解.【詳解】（1）不等式，可化為，即，即，解得或，所以不等式組的解集為或.（2）①當(dāng)時，原不等式化為，解集為；②當(dāng)時，原不等式化為，解集為；③當(dāng)時，原不等式化為；當(dāng)時，，原不等式的解集為空集；當(dāng)時，，原不等式的解集為；當(dāng)時，，原不等式的解集為.6．（2324高一上·北京·期中）（1）若命題“R，”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）求關(guān)于的不等式的解集．【答案】（1）或；（2）答案見解析【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象得出解得結(jié)果；（2）分成，，，，五種情況討論一元二次不等式的解集.【詳解】（1）∵R，為真命題，則函數(shù)與x軸有交點，∴，即，解得或．∴實數(shù)的取值范圍是或．（2）當(dāng)時，不等式等價于，即；當(dāng)時，原不等式化為，當(dāng)時，即時，解得或；當(dāng)時，即時，原不等式即為，解得；當(dāng)時，即時，解得或．當(dāng)時，原不等式化為，解得．綜上所述，當(dāng)時，不等式的解集為或；當(dāng)時，不等式的解集為R；當(dāng)時，不等式的解集為或；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.【題型五實際問題中的一元二次不等式】策略方法一元二次不等式解決實際應(yīng)用問題的步驟(1)理解題意,弄清量與量之間的關(guān)系.(2)設(shè)出起關(guān)鍵作用的未知數(shù),建立相應(yīng)的不等關(guān)系,把實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式(組).(3)解這個一元二次不等式(組),得到實際問題的解.一、單選題1．（2324高一上·全國·課后作業(yè)）某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞．現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入，則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，列出一元二次不等式，結(jié)合實際意義求出范圍即可.【詳解】依題意，，即，解得，因為，則，所以這批臺燈的銷售單價x的取值范圍是.故選：A2．（2324高一上·陜西·階段練習(xí)）某禮服租賃公司共有300套禮服供租賃，若每套禮服每天的租價為200元，則所有禮服均被租出；若將每套禮服每天的租價在200元的基礎(chǔ)上提高10x元（，），則被租出的禮服會減少10x套.若要使該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入超過6.24萬元，則該禮服租賃公司每套禮服每天的租價應(yīng)定為（

）A．220元 B．240元 C．250元 D．280元【答案】C【分析】根據(jù)題意列出收入表達式，則得到一元二次不等式，解出即可.【詳解】依題意，每天有套禮服被租出，該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入為元.因為要使該禮服租賃公司每天租賃6.24萬元，所以，即，解得.因為且，所以，即該禮服租賃公司每套禮服每天的租價應(yīng)定為250元.故選：C.3．（2324高一下·河南·開學(xué)考試）河南是華夏文明的主要發(fā)祥地之一，眾多的文物古跡和著名的黃河等自然風(fēng)光構(gòu)成了河南豐富的旅游資源，在旅游業(yè)蓬勃發(fā)展的帶動下，餐飲、酒店、工藝品等行業(yè)持續(xù)發(fā)展．某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價在200元的基礎(chǔ)上提高元（，），則被租出的客房會減少套．若要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過106600元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價應(yīng)為（

）A．250元 B．260元 C．270元 D．280元【答案】C【分析】根據(jù)題意列出不等式求解.【詳解】依題意，每天有間客房被租出，該連鎖酒店每天租賃客房的收入為．因為要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過106600元，所以，即，解得．因為且，所以，即該連鎖酒店每間客房每天的租價應(yīng)定為270元．故選：C．二、解答題4．（2324高一上·上?！て谥校┙鼛啄陙?，“盲盒文化”廣為流行，這種文化已經(jīng)在中國落地生根，并發(fā)展處具有中國特色的盲盒經(jīng)濟，某盲盒生產(chǎn)及銷售公司今年初用98萬購進一批盲盒生產(chǎn)線，每年可有50萬的總收入，已知生產(chǎn)此盲盒年（為正整數(shù)）所用的各種費用總計為萬元．(1)該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？(2)該公司幾年后年平均利潤最大，最大是多少？【答案】(1)第年(2)第年最大，為萬元【分析】（1）先求得利潤的表達式，由此列不等式來求得正確答案.（2）先求得平均利潤的表達式，然后利用基本不等式求得正確答案.【詳解】（1）設(shè)利潤為，則，由整理得，解得，由于，所以，所以第年首次盈利.（2）首先，由（1）得平均利潤萬元，當(dāng)且僅當(dāng)萬元時等號成立，第7年，平均利潤最大，為12萬元.5．（2324高一上·湖北襄陽·期中）中華人民共和國第14屆冬季運動會將于2024年2月17日至2月27日在內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市舉行，某公司為了競標配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少0.2萬件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元?(2)為了抓住此次契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到元.公司擬投入萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價.【答案】(1)40元；(2)至少應(yīng)達到10.2萬件，每件定價30元.【分析】（1）設(shè)每件定價為t元，由題設(shè)有，解一元二次不等式求范圍，即可確定最大值；（2）問題化為時，有解，利用基本不等式求右側(cè)最小值，并確定等號成立條件，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)每件定價為t元，依題意得，則，解得，所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元（2）依題意，時，不等式有解，等價于時，有解，因為（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以，此時該商品的每件定價為30元，當(dāng)該商品明年的銷售量至少應(yīng)達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元．【題型六一元二次不等式中的恒成立和有解問題】策略方法(1)不等式對任意實數(shù)x恒成立,就是不等式的解集為R.對于一元二次不等式ax2+bx+c>0,它的解集為R的條件為a一元二次不等式ax2+bx+c≥0,它的解集為R的條件為a(2)一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為的條件為a<(3)一元二次不等式ax2+bx+c>0在R上有解的條件為a>0或a提醒:注意題意中是否要求不等式是一元二次不等式,注意討論二次項系數(shù),結(jié)合二次函數(shù)圖象的開口方向和與x軸的交點情況討論,注意所列的關(guān)于判別式Δ的不等式是否取等號.一、單選題1．（2324高一上·云南昆明·期中）命題：R，是假命題，則實數(shù)的值可能是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】先由p是假命題，得到是真命題，求出b的范圍，對四個選項一一驗證.【詳解】由，，得，.由于命題p是假命題，可知是真命題，所以在時恒成立，則，解得.故選：CD.2．（2324高一上·北京東城·期中）已知不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先對的取值進行分類討論，在時，需結(jié)合二次函數(shù)的圖象分析，得到與之等價的不等式組，求解即得.【詳解】因不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則①當(dāng)時，不等式為，恒成立，符合題意；②當(dāng)時，不等式在R上恒成立等價于，解得：.綜