高二數(shù)學(xué)同步備課(人教A版2019選修第一冊(cè))1.4.1空間中點(diǎn)、線、面的向量表示(第1課時(shí))(分層作業(yè))(原卷版+解析)

1.4.1空間中點(diǎn)、線、面的向量表示（第1課時(shí)）（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則可能使的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在直三棱柱中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是(

)A． B． C． D．3．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）下列說(shuō)法不正確的是(

)．A．平面的一個(gè)法向量垂直于與平面共面的所有向量B．一個(gè)平面的所有法向量互相平行C．如果兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直D．如果，與平面共面，且，，那么就是平面的一個(gè)法向量4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，．平面的法向量為（

）A． B． C． D．5．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)空間三點(diǎn)，，的平面的一個(gè)法向量是（

）A． B． C． D．6．（2021·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期中（理））已知直線過(guò)點(diǎn)，平行于向量，平面經(jīng)過(guò)直線和點(diǎn)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有以下命題：①一個(gè)平面的單位法向量是唯一的②一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量平行，則這條直線和這個(gè)平面平行③若兩個(gè)平面的法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交④若一條直線的方向向量垂直于一個(gè)平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直其中真命題的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、多選題8．（2021·山東濟(jì)寧·高二期中）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是棱長(zhǎng)為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是（

）A．直線的一個(gè)方向向量為B．直線的一個(gè)方向向量為C．平面的一個(gè)法向量為D．平面的一個(gè)法向量為9．（2022·浙江溫州·高二期末）已知、是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面.下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則三、填空題10．（2022·全國(guó)·高二）已知平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量為，且平面，則______.11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若為平面的一個(gè)法向量，為平面的一個(gè)法向量，已知，則的值為_(kāi)_________．12．（2021·河北·張家口市第一中學(xué)高二期中）已知，，，則平面ABC的一個(gè)單位法向量是________．13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在四棱錐中，，，，則這個(gè)四棱錐的高等于___________.14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)、、，則平面的法向量可以是______．（寫出一個(gè)即可）15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面的一個(gè)法向量為，寫出一個(gè)以為起點(diǎn)，且平行于平面的單位向量的終點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.16．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）以下真命題共有___________個(gè).①一個(gè)平面的單位法向量是唯一的；②一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量垂直，則這條直線和這個(gè)平面平行；③若兩個(gè)平面的法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交.17．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）兩個(gè)平面垂直的充要條件是它們的法向量_______．18．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若、都是平面的法向量，則和的關(guān)系是______．四、解答題19．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）寫出經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與y軸垂直的平面的方程．20．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）寫出經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與x軸垂直的平面的方程．21．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平面內(nèi)有，，三點(diǎn)，求平面的法向量．22．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）分別寫出平面，平面，平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)．23．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，，求平面ABC的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，并在坐標(biāo)平面中作出該向量．24．（2022·廣東江門·高二期末）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(1)求平面的一個(gè)法向量；(2)求平面的一個(gè)法向量．【能力提升】一、單選題1．（2021·云南·巍山彝族回族自治縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)，是不重合的兩個(gè)平面，，的法向量分別為，，和是不重合的兩條直線，，的方向向量分別為，，那么的一個(gè)充分條件是（

）A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且2．（2022·安徽·合肥一中高二階段練習(xí)）如圖一副直角三角板，現(xiàn)將兩三角板拼成直二面角，得到四面體，則下列敘述正確的是（

）①平面的法向量與平面的法向量垂直；②異面直線與所成的角的余弦值為；③四面體有外接球且該球的半徑等于棱BD長(zhǎng)；④直線與平面所成的角為．A．①②④ B．③ C．③④ D．②③④3．（2022·全國(guó)·高二期末）下列四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）①若是空間的一個(gè)基底，則對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得；②若兩條不同直線l，m的方向向量分別是，，則l∥m；③若是空間的一個(gè)基底，且，則A，B，C，D四點(diǎn)共面；④若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別是，且，，則α∥β．A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)高二期中）已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與是共線向量 B．與向量方向相同的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是5．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）在四面體ABCD中，為等邊三角形，，二面角的大小為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在圓錐中，，是上的動(dòng)點(diǎn)，是的直徑，，是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，記二面角，的平面角分別為，，若，則的最大值是（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2021·遼寧營(yíng)口·高二期末）以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把和折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出如下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A．B．與平面BCD的法向量平行C．D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直8．（2021·湖北·襄陽(yáng)五中高二階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，已知為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別滿足，，其中，，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時(shí)，四棱錐的外接球的表面積是C．若直線與平面所成角的正弦值為，則D．存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得平面三、填空題9．（2021·天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)濱海學(xué)校高二階段練習(xí)）如圖，直三棱柱ABC一中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，，，D是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上的動(dòng)點(diǎn)，，DF交于點(diǎn)E，要使平面，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)___.10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）放置于空間直角坐標(biāo)系中的棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫出：（1）直線BC的一個(gè)方向向量___________；（2）點(diǎn)OD的一個(gè)方向向量___________；（3）平面BHD的一個(gè)法向量___________；（4）的重心坐標(biāo)___________.四、解答題11．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，且．(1)求證：直線平面；(2)若是正三角形為中點(diǎn)，能否在線段上找一點(diǎn)，使得平面？若存在，確定該點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由．12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，底面是等腰直角三角形，，，側(cè)棱，點(diǎn)D，E分別是和的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面AED的距離．13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于向量，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于向量，求與兩直線，都平行的平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)．14．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求下列平面的一個(gè)法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．15．（2020·海南·儋州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）點(diǎn)在棱上，且二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正弦值.1.4.1空間中點(diǎn)、線、面的向量表示（第1課時(shí)）（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則可能使的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，再逐個(gè)選項(xiàng)代入判斷即可.【詳解】要使成立，需使，將選項(xiàng)一一代入驗(yàn)證，只有D滿足.故選：D.2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在直三棱柱中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖像，根據(jù)直棱柱側(cè)棱垂直于底面即可求解．【詳解】如圖，∵、、均垂直于平面ABC，故選項(xiàng)D中可以作為平面ABC的法向量．故選：D．3．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）下列說(shuō)法不正確的是(

)．A．平面的一個(gè)法向量垂直于與平面共面的所有向量B．一個(gè)平面的所有法向量互相平行C．如果兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直D．如果，與平面共面，且，，那么就是平面的一個(gè)法向量【答案】D【分析】根據(jù)平面法向量的定義和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)平面法向量的定義可知，平面的法向量垂直于與平面共面的所有向量，故A正確；對(duì)于B，一個(gè)平面的所有法向量與平面都垂直，∴都互相平行，故B正確；對(duì)于C，如果兩個(gè)平面的法向量垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可以判斷這兩個(gè)平面也垂直，故C正確；對(duì)于D，如果與平面共面且，當(dāng)共線時(shí)，不一定是平面的一個(gè)法向量，故D錯(cuò)誤.故選：D.4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，．平面的法向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系寫出各向量，利用法向量的性質(zhì)可得解.【詳解】是正方形，且，，，，，，，，，又，，，平面的法向量為，則，得，，結(jié)合選項(xiàng)，可得，故選：C.5．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)空間三點(diǎn)，，的平面的一個(gè)法向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出平面的法向量為，利用垂直關(guān)系，布列方程組，即可得到結(jié)果.【詳解】，．設(shè)平面的法向量為．由題意知，，所以，解得，令，得平面的一個(gè)法向量是．故選：A6．（2021·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期中（理））已知直線過(guò)點(diǎn)，平行于向量，平面經(jīng)過(guò)直線和點(diǎn)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】由題意可得,設(shè)經(jīng)過(guò)直線和點(diǎn)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以經(jīng)過(guò)直線和點(diǎn)平面的法向量為.故選：A7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有以下命題：①一個(gè)平面的單位法向量是唯一的②一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量平行，則這條直線和這個(gè)平面平行③若兩個(gè)平面的法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交④若一條直線的方向向量垂直于一個(gè)平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直其中真命題的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)平面單位法向量的定義可判斷①，根據(jù)直線方向向量與平面法向量的關(guān)系判斷②，根據(jù)兩平面法向量關(guān)系判斷③，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理判斷④.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)平面的單位法向量方向不同，所以有2個(gè)，故①錯(cuò)誤；當(dāng)一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量平行時(shí)，則這條直線和這個(gè)平面垂直，故②錯(cuò)誤；因?yàn)閮蓚€(gè)平面的法向量平行時(shí)，平面平行，所以法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交，③正確；若一條直線的方向向量垂直于一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，則直線和平面垂直，故④錯(cuò)誤.故選：A二、多選題8．（2021·山東濟(jì)寧·高二期中）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是棱長(zhǎng)為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是（

）A．直線的一個(gè)方向向量為B．直線的一個(gè)方向向量為C．平面的一個(gè)法向量為D．平面的一個(gè)法向量為【答案】AC【分析】求出即可判斷的正誤，求出平面的法向量判斷的正誤，求出平面的法向量判斷的正誤.【詳解】由題意，,,,,,∵，∴向量為直線的一個(gè)方向向量，故正確,不正確；設(shè)平面的法向量為，則,由，得，令得，則正確;設(shè)平面的法向量為，則，由，得，令得，則不正確.故選：.9．（2022·浙江溫州·高二期末）已知、是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面.下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用線面平行的性質(zhì)定理判斷，對(duì)于B，利用線面平行的判定定理判斷，對(duì)于C，利用線面垂直的判定定理判斷即可，對(duì)于D，利用面面平行的判定方法判斷.【詳解】由線面平行的性質(zhì)定理可知，A正確；若，則或，即B錯(cuò)誤；設(shè)的法向量分別為，若，則，又，則，，所以，即C正確；若，則，又，則，即D正確.故選：ACD三、填空題10．（2022·全國(guó)·高二）已知平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量為，且平面，則______.【答案】【分析】根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫?，所以，則，解得.故答案為：11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若為平面的一個(gè)法向量，為平面的一個(gè)法向量，已知，則的值為_(kāi)_________．【答案】【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】根據(jù)題意，若∥，則∥，∴，解得，∴.故答案為：.12．（2021·河北·張家口市第一中學(xué)高二期中）已知，，，則平面ABC的一個(gè)單位法向量是________．【答案】【分析】由題設(shè)，求面ABC的一個(gè)法向量，則其單位法向量是.【詳解】由題設(shè)，，若是面ABC的一個(gè)法向量，則，令，則，故面ABC的一個(gè)單位法向量是.故答案為：13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在四棱錐中，，，，則這個(gè)四棱錐的高等于___________.【答案】2【分析】先求出平面的法向量，然后求出在方向上的投影的絕對(duì)值即可得答案【詳解】設(shè)平面的法向量，則，令，則，因?yàn)?，所以四棱錐的高為，故答案為：214．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)、、，則平面的法向量可以是______．（寫出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)平面的法向量為，則有，然后賦值即可得出答案.【詳解】解：，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，所以平面的法向量可以是.故答案為：（答案不唯一）.15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面的一個(gè)法向量為，寫出一個(gè)以為起點(diǎn)，且平行于平面的單位向量的終點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)終點(diǎn)坐標(biāo)為，寫出單位向量，由向量垂直和向量的模得方程組，取方程組的一個(gè)解即可（答案不唯一）．【詳解】設(shè)終點(diǎn)坐標(biāo)為，則單位向量為，則，可取，，，即終點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：（答案不唯一）16．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）以下真命題共有___________個(gè).①一個(gè)平面的單位法向量是唯一的；②一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量垂直，則這條直線和這個(gè)平面平行；③若兩個(gè)平面的法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交.【答案】1【分析】利用單位向量和平面法向量的定義否定命題①；利用直線與平面平行的判定定理否定命題②；利用兩個(gè)平面位置關(guān)系定義判斷命題③.【詳解】①一個(gè)平面的單位法向量有無(wú)窮多個(gè).判斷錯(cuò)誤；②一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量垂直，則這條直線和這個(gè)平面平行或這條直線在這個(gè)平面內(nèi).判斷錯(cuò)誤；③若兩個(gè)平面的法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交.判斷正確.綜上，正確命題共有1個(gè)故答案為：117．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）兩個(gè)平面垂直的充要條件是它們的法向量_______．【答案】垂直【分析】已知平面垂直及其法向量，利用面面、線面垂直的性質(zhì)判斷充分性，再根據(jù)面面垂直的判定判斷必要性.【詳解】如下圖，若為的法向量即且，：作且，，，由面面垂直的性質(zhì)知：，而，則，又為的法向量即，，則，綜上，，充分性成立.如下圖，若所在直線且：由為的法向量，則，而，則為的法向量，即，所以，必要性成立.綜上，兩個(gè)平面垂直的充要條件是它們的法向量垂直.故答案為：垂直18．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若、都是平面的法向量，則和的關(guān)系是______．【答案】【分析】根據(jù)平面的法向量的定義，可得答案.【詳解】由于平面的法向量都垂直于該平面，故、都是平面的法向量，則和的關(guān)系是平行關(guān)系，即，故答案為：四、解答題19．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）寫出經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與y軸垂直的平面的方程．【答案】【分析】由是所求平面的一個(gè)法向量，令是平面上的點(diǎn)，則在平面上，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求平面的方程.【詳解】由題設(shè)，所求平面的一個(gè)法向量為，若是所求平面上的點(diǎn)，則，所以，即所求平面方程為.20．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）寫出經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與x軸垂直的平面的方程．【答案】【分析】設(shè)為所求平面上的點(diǎn)，則且為該平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的垂直關(guān)系即可得該平面的方程．【詳解】由題設(shè)，所求平面與垂直且過(guò)，若為該平面上的點(diǎn)，則在該平面上，所以，可得所求平面的方程為.21．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平面內(nèi)有，，三點(diǎn)，求平面的法向量．【答案】（結(jié)果不唯一）【分析】設(shè)出法向量的坐標(biāo)，根據(jù)法向量與向量垂直，列出方程組，求解即可.【詳解】不妨設(shè)平面的法向量，又，故可得，即，不妨取，故可得，故平面的一個(gè)法向量為.又平面的法向量不唯一，只要與向量平行且非零的向量均可.故答案為：.（結(jié)果不唯一）22．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）分別寫出平面，平面，平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)．【答案】平面，平面，平面的一個(gè)法向量坐標(biāo)分別為、、.【分析】寫出各個(gè)平面中的兩個(gè)不平行的向量，設(shè)法向量坐標(biāo)，由空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求出法向量的坐標(biāo)．【詳解】由平面上存在不平行向量、，若是平面的一個(gè)法向量，則，易知：是平面的一個(gè)法向量.由平面上存在不平行向量、，若是平面的一個(gè)法向量，則，易知：是平面的一個(gè)法向量.由平面上存在不平行向量、，若是平面的一個(gè)法向量，則，易知：是平面的一個(gè)法向量.23．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，，求平面ABC的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，并在坐標(biāo)平面中作出該向量．【答案】法向量為，作圖見(jiàn)解析.【分析】由題設(shè)求、的坐標(biāo)，設(shè)為所求法向量，利用向量垂直的坐標(biāo)表示求法向量坐標(biāo)，進(jìn)而畫出該向量即可.【詳解】由題設(shè)，，，若是面ABC的一個(gè)法向量，所以，令，則.24．（2022·廣東江門·高二期末）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(1)求平面的一個(gè)法向量；(2)求平面的一個(gè)法向量．【答案】(1)(答案不唯一)(2)(答案不唯一)【分析】（1）由x軸垂直于平面，可得平面的一個(gè)法向量；（2）利用求解平面的法向量的方法進(jìn)行求解.(1)因?yàn)閤軸垂直于平面，所以是平面的一個(gè)法向量．(2)因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為3，，所以M，B，的坐標(biāo)分別為，，，因此，，設(shè)是平面的法向量，則，，所以，取，則，．于是是平面的一個(gè)法向量．【能力提升】一、單選題1．（2021·云南·巍山彝族回族自治縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)，是不重合的兩個(gè)平面，，的法向量分別為，，和是不重合的兩條直線，，的方向向量分別為，，那么的一個(gè)充分條件是（

）A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且【答案】C【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置關(guān)系及充分條件的定義即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，，且，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，且，則與相交或平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，且，則，故C正確；對(duì)于D，，，且，則與相交或平行，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2022·安徽·合肥一中高二階段練習(xí)）如圖一副直角三角板，現(xiàn)將兩三角板拼成直二面角，得到四面體，則下列敘述正確的是（

）①平面的法向量與平面的法向量垂直；②異面直線與所成的角的余弦值為；③四面體有外接球且該球的半徑等于棱BD長(zhǎng)；④直線與平面所成的角為．A．①②④ B．③ C．③④ D．②③④【答案】C【分析】對(duì)①：由平面與平面不垂直，即可判斷；對(duì)②：過(guò)點(diǎn)作和平行且相等，則四邊形為矩形，（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，解三角形即可得判斷；對(duì)③：設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，則，分別為直角三角形和直角三角形的外接圓的圓心，又平面，所以為四面體外接球球心，從而即可判斷；對(duì)④：由平面，可得為直線與平面所成的角，從而即可判斷.【詳解】解：對(duì)①：由題意，平面與平面不垂直，所以平面的法向量與平面的法向量不垂直，故①錯(cuò)誤；對(duì)②：設(shè)，則，，過(guò)點(diǎn)作和平行且相等，則由題意可得為矩形，（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，由題意，平面平面，且交線為，又，所以平面，所以，同理，因?yàn)?，所以在等腰三角形中，，所以異面直線與所成的角的余弦值為，故②錯(cuò)誤；對(duì)③：設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，則，分別為直角三角形和直角三角的外接圓的圓心，又易得平面，所以為四面體外接球球心，半徑為,因?yàn)?，所以四面體外接球半徑為，故③正確；對(duì)④：由平面，可得為在平面內(nèi)的射影，所以為直線與平面所成的角，故④正確.3．（2022·全國(guó)·高二期末）下列四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）①若是空間的一個(gè)基底，則對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得；②若兩條不同直線l，m的方向向量分別是，，則l∥m；③若是空間的一個(gè)基底，且，則A，B，C，D四點(diǎn)共面；④若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別是，且，，則α∥β．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①由空間向量基本定理判斷；②由方向向量的定義判斷；③由空間向量共面定理判斷；④由法向量的定義判斷.【詳解】①若是空間的一個(gè)基底，則對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得，由空間向量基本定理知，正確；②若兩條不同直線l，m的方向向量分別是，，則l∥m，由方向向量的定義知，正確；③若是空間的一個(gè)基底，且，則A，B，C，D四點(diǎn)共面，由空間向量共面定理知，正確；④若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別是，且，，則α∥β．由法向量的定義知，正確.故選：D4．（2022·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)高二期中）已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與是共線向量 B．與向量方向相同的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是【答案】C【分析】根據(jù)共線向量、單位向量、向量夾角、法向量等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，不存在實(shí)數(shù)，使，所以與不共線，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.向量方向相同的單位向量是，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以與夾角的余弦值是，C選項(xiàng)正確.，所以不是平面的法向量，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C5．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）在四面體ABCD中，為等邊三角形，，二面角的大小為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)關(guān)系寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),利用平面和平面的法向量,表示出二面角的余弦值,即可求得的取值范圍.【詳解】以B為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:因?yàn)闉榈冗吶切?，不妨設(shè),由于,所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)四點(diǎn)共面,不能構(gòu)成空間四邊形,所以則,,由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得設(shè)平面的法向量為則代入可得令,則,所以設(shè)平面的法向量為則,代入可得令,則,所以二面角的大小為則由圖可知,二面角為銳二面角所以因?yàn)樗约此怨蔬x:C【點(diǎn)睛】根據(jù)直線與平面夾角的特征及取值范圍,即可求解,對(duì)空間想象能力要求較高,屬于中檔題.6．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在圓錐中，，是上的動(dòng)點(diǎn)，是的直徑，，是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，記二面角，的平面角分別為，，若，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)底面圓的半徑為,,以所在直線為軸,以垂直于所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).利用法向量求得二面角與夾角的余弦值.結(jié)合即可求得的取值范圍,即可得的最大值.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為,,以所在直線為軸,以垂直于所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:則由可得,,是的兩個(gè)三等分點(diǎn)則所以設(shè)平面的法向量為則,代入可得化簡(jiǎn)可得令,解得所以平面的法向量為由圖可知,二面角的平面角為銳二面角,所以二面角的平面角滿足設(shè)二面角的法向量為則代入可得化簡(jiǎn)可得令,解得所以平面的法向量為由圖可知,二面角的平面角為銳二面角,所以二面角的平面角滿足由二面角的范圍可知結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知即化簡(jiǎn)可得,且所以所以的最大值是故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系在求二面角中的綜合應(yīng)用,根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求得平面的法向量,即可求解.本題含參數(shù)較多,化簡(jiǎn)較為復(fù)雜,屬于難題.二、多選題7．（2021·遼寧營(yíng)口·高二期末）以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把和折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出如下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A．B．與平面BCD的法向量平行C．D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直【答案】AB【分析】作圖，梳理出圖中包含的垂直關(guān)系，即、、、平面平面，從而推出平面ABD來(lái)判斷選項(xiàng)A；可通過(guò)平面來(lái)判斷選項(xiàng)B；可假設(shè)結(jié)論成立進(jìn)行推導(dǎo)條件，通過(guò)對(duì)比條件，來(lái)判定假設(shè)成不成立，從而判斷選項(xiàng)C；可判斷兩平面是否垂直，來(lái)判定其法向量是否垂直可判斷選項(xiàng)D.【詳解】如圖所示，由已知可得，為等腰三角形，且，翻折后可得、，平面平面，對(duì)于選項(xiàng)A，平面平面，平面平面，且，所以平面，而平面，故，該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，、且，故平面，所以與平面BCD的法向量平行，該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A可知，，假設(shè)成立，則平面，此時(shí)，該結(jié)論與矛盾，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，故平面與平面不垂直，則平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不互相垂直，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.8．（2021·湖北·襄陽(yáng)五中高二階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，已知為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別滿足，，其中，，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時(shí)，四棱錐的外接球的表面積是C．若直線與平面所成角的正弦值為，則D．存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得平面【答案】ABC【分析】根據(jù)錐體體積的求法、幾何體外接球表面積的求法、線面角、線面垂直等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，∴，面，又點(diǎn)在上，∴點(diǎn)到面的距離為定值，∴三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，則球心O在PM延長(zhǎng)線上，由OP=R得OM=，由得，解得，∴外接球的表面積為，故B正確；對(duì)于C，連接，過(guò)點(diǎn)作于，連接，∵平面，∴平面平面，平面平面，∴平面，∴為與平面所成角，∵，∴，，在由余弦定理有，在中由勾股定理有，∴，解得，故C正確．對(duì)于D，∵點(diǎn)在上，又在上，在上，∴平面即為平面，又易證平面，∴是平面的法向量，∴要使平面，須與共線，即須與共線，顯然不可能，∴不存在實(shí)數(shù)對(duì)使得平面，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題9．（2021·天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)濱海學(xué)校高二階段練習(xí)）如圖，直三棱柱ABC一中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，，，D是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上的動(dòng)點(diǎn)，，DF交于點(diǎn)E，要使平面，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)___.【答案】【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，由已知確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)并設(shè)，進(jìn)而得到、、的坐標(biāo)，根據(jù)線面垂直有求參數(shù)t，即可知線段的長(zhǎng).【詳解】以為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，，，，，，設(shè)，，∴，，，平面，∴，即，，解得線段的長(zhǎng)為故答案為：10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）放置于空間直角坐標(biāo)系中的棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫出：（1）直線BC的一個(gè)方向向量___________；（2）點(diǎn)OD的一個(gè)方向向量___________；（3）平面BHD的一個(gè)法向量___________；（4）的重心坐標(biāo)___________.【答案】

【分析】先求出正四面體中各邊的長(zhǎng)度，得到各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).對(duì)于（1）（2）：直接求出方向向量；對(duì)于（3）：根據(jù)法向量的定義列方程組，即可求得；對(duì)于（4）：利用重心坐標(biāo)公式直接求得.【詳解】由題意可得：,,..由圖示，可得：，，，，，，（1）直線BC的一個(gè)方向向量為，（2）點(diǎn)OD的一個(gè)方向向量為；（3）,.設(shè)為平面BHD的一個(gè)法向量，則，不妨設(shè)，則.故平面BHD的一個(gè)法向量為.（4）因?yàn)椋?，，，所以的重心坐?biāo)為.故答案為：（1）；（2）；（3）（4）.四、解答題11．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，且．(1)求證：直線平面；(2)若是正三角形為中點(diǎn)，能否在線段上找一點(diǎn)，使得平面？若存在，確定該點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)在直線上存在一點(diǎn)，且，使得平面．【分析】（1）利用線面平行判定定理去證明直線平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法保證平面，進(jìn)而求得點(diǎn)的位置．(1)在直三棱柱中，是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)

，而，四邊形是平行四邊形，平面平面，平面．(2)在直線上找一點(diǎn)，使得平面，證明如下：在直