高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第06講第一章集合與常用邏輯用語、不等式、復(fù)數(shù)章節(jié)題型大總結(jié)(題型精講)(原卷版+解析)

第06講第一章集合與常用邏輯用語、不等式、復(fù)數(shù)章節(jié)總結(jié)(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：典型例題講解 2題型一：集合的表示 2題型二：集合的基本關(guān)系 2題型三：集合的基本運算 3題型四：充分條件與必要條件 5題型五：“的”字結(jié)構(gòu)與“是”字結(jié)構(gòu)對比 5題型六：全稱量詞與存在量詞 6題型七：一元二次不等式 7題型八：一元二次不等式中的恒成立與有解問題 8題型九：基本不等式及其應(yīng)用 9題型十：復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用 10第二部分：新定義題 11第三部分：重點解題方法 12圖法解決集合運算問題 12第四部分：數(shù)學(xué)思想方法 13分類討論法 13數(shù)形結(jié)合法 14溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：典型例題講解題型一：集合的表示1．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（2023秋·廣東湛江·高一統(tǒng)考期末）對于任意兩個正整數(shù)m，n，定義某種運算“※”如下：當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或都為正奇數(shù)時，；當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，，則在此定義下，集合中的元素個數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．73．（2023秋·福建南平·高一統(tǒng)考期末）若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．4．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，若，則集合C中的元素有（

）個A．0 B．1 C．2 D．3（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，則集合的子集個數(shù)為________題型二：集合的基本關(guān)系1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)的值構(gòu)成的集合是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若集合，，則能使成立的所有a組成的集合為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若,則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．4．（2023·高三課時練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)m的取值范圍是______.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記關(guān)于x的不等式的解集為A，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍為___________.題型三：集合的基本運算1．（2023秋·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知集合則（

）A． B． C． D．2．（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合．若，則m的取值范圍為____________．3．（2023秋·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知集合，集合．(1)當(dāng)時，求；(2)當(dāng)時，若，求實數(shù)的取值范圍．4．（2023秋·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．5．（2023秋·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合.(1)若，求；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍.6．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏市八中?？奸_學(xué)考試）設(shè)全集，集合．(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．題型四：充分條件與必要條件1．（2023秋·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023秋·湖南長沙·高一長沙市明德中學(xué)校考期末）已知集合，．若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．4．（2023秋·遼寧本溪·高一?？计谀┮阎?，如果p是q的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型五：“的”字結(jié)構(gòu)與“是”字結(jié)構(gòu)對比1．（2023春·重慶江北·高一字水中學(xué)?？奸_學(xué)考試）“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·遼寧葫蘆島·高一?？计谀啊笔恰啊钡模?/p>

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）若，則p成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．4．（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）使，的否定為假命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）若“”是“不等式成立”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式成立的一個必要不充分條件是（

）A．或 B．或 C．或 D．或題型六：全稱量詞與存在量詞1．（2023春·陜西安康·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）命題“”的否定為（

）A． B．C． D．2．（2023秋·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）關(guān)于命題p:“”，下列判斷正確的是（

）A． B．該命題是存在量詞命題，且為真命題C． D．該命題是全稱量詞命題，且為假命題3．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）命題：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，4．（2023秋·青海西寧·高二統(tǒng)考期末）已知命題p：，，則為______．5．（2023秋·江蘇徐州·高一沛縣湖西中學(xué)?？计谀┟}“，”的否定是______．題型七：一元二次不等式1．（多選）（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）關(guān)于的不等式的解集可能是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_________.3．（2023秋·山東臨沂·高一校考期末）不等式的解集為，則__________.4．（2023春·湖南永州·高一永州市第四中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集為__．5．（2023春·寧夏銀川·高一校考開學(xué)考試）不等式的解集是，則不等式的解集為___________.6．（2023春·河南信陽·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的最小值為，方程有兩個實根和6.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求關(guān)于的不等式的解集.7．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀?1)若不等式的解集是，求a，b.(2)求不等式的解集.題型八：一元二次不等式中的恒成立與有解問題1．（2023秋·湖南婁底·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)的定義域為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集不為空集，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對任意恒成立，實數(shù)x的取值范圍是_____.4．（2023·全國·高三對口高考）關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為_________．5．（2023春·廣西南寧·高一校考開學(xué)考試）若，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，使成立，則實數(shù)的取值范圍是______________．7．（2023·高一課時練習(xí)）若存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是______.題型九：基本不等式及其應(yīng)用1．（多選）（2023秋·江蘇無錫·高一無錫市第一中學(xué)?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．已知，則函數(shù)B．若，則函數(shù)的最大值為C．若x，，，則的最大值為4D．若x，，，則xy的最小值為12．（多選）（2023春·廣東珠海·高三珠海市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若正數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．3．（多選）（2023秋·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）設(shè)正實數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為2 D．的最小值為84．（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)滿足，則的最小值為__________.5．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知，，則最小值為___________．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知，則取得最大值時的值為________．（2）已知，則的最大值為________．（3）函數(shù)的最小值為________．題型十：復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用1．（2023·全國·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．32．（2023秋·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）已知實數(shù)x，y滿足，則（

）A．2 B．4 C． D．83．（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．（2023·陜西銅川·?？家荒＃┮阎猧是虛數(shù)單位，若，則（

）A．1 B． C． D．35．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（

）A． B． C．2 D．36．（2023秋·天津南開·高三?？茧A段練習(xí)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則______.7．（2023秋·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z為__________．8．（2023春·天津濱海新·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則___________．第二部分：新定義題1．（2023秋·遼寧本溪·高一?？计谀┰O(shè)P和Q是兩個集合，定義集合且.如果，，那么=（

）A． B．C． D．2．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)A，B是兩個非空集合，定義：且，已知，，則（

）．A． B． C． D．3．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）歐拉恒等式（i為虛部單位，為自然對數(shù)的底數(shù)）被稱為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式，它是復(fù)分析中歐拉公式的特例：當(dāng)自變量時，，得．根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．4．（多選）（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”5．（多選）（2023秋·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？计谀┯蔁o理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中，可能成立的是（

）A．M沒有最大元素，N有一個最小元素B．M沒有最大元素，N也沒有最小元素C．M有一個最大元素，N有一個最小元素D．M有一個最大元素，N沒有最小元素第三部分：重點解題方法圖法解決集合運算問題1．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）集合，將集合分別用如下圖中的兩個圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個數(shù)恰好為2的是（

）A． B．C． D．2．（2023·河南洛陽·高一校考階段練習(xí)）移動支付、高鐵、網(wǎng)購與共享單車被稱為中國的新“四大發(fā)明”.某中學(xué)為了解本校學(xué)生中新“四大發(fā)明”的普及情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中使用過移動支付或共享單車的學(xué)生共90位，使用過移動支付的學(xué)生共有80位，使用過共享單車且使用過移動支付的學(xué)生共有60位，則該校使用共享單車的學(xué)生人數(shù)為（

）A．50 B．60 C．70 D．803．（2023·湖南張家界·高一張家界市民族中學(xué)校考階段練習(xí)）向某50名學(xué)生調(diào)查對A，B兩事件的態(tài)度，其中有30人贊成A，其余20人不贊成A；有33人贊成B，其余17人不贊成B；且對A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)比對A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)的三分之一多1人，則對A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為__________．4．（2023·河南鄭州·高一校考階段練習(xí)）中國健兒在東京奧運會上取得傲人佳績，球類比賽獲獎多多，其中乒乓球、羽毛球運動備受學(xué)生追捧．某校高一（1）班40名學(xué)生在乒乓球、羽毛球兩個興趣小組中，每人至少報名參加一個興趣小組，報名乒乓球興趣小組的人數(shù)比報名羽毛球興趣小組的人數(shù)3倍少4人，且兩興趣小組都報名的學(xué)生有8人，則只報名羽毛球興趣小組的學(xué)生有__人．5．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知全集，集合．(1)求；(2)如圖陰影部分所表示的集合可以是（把正確答案序號填到橫線處），并求圖中陰影部分表示的集合；．①

②

③

④第四部分：數(shù)學(xué)思想方法分類討論法1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．或 C． D．2．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，且，則實數(shù)的所有值構(gòu)成的集合是（

）A． B． C． D．3．（2023上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則_________.4．（2023·陜西安康·高一陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若集合中僅有一個整數(shù)元素，求．5．（2023山東日照·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為，求，的值；(2)若，求不等式的解集．6．（2023·云南楚雄·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè).(1)若，求的解集；(2)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)解關(guān)于x的不等式.數(shù)形結(jié)合法1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足：，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．22．（2023·山西晉中·高二榆次一中?？奸_學(xué)考試）已知z為復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則的最大值是__________．4．（2023·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí)）世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運算具有了幾何意義，例如，，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對應(yīng)的點到原點的距離.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），其對應(yīng)的點為，為曲線上的動點，則與之間的最小距離為_______.第06講第一章集合與常用邏輯用語、不等式、復(fù)數(shù)章節(jié)總結(jié)(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：典型例題講解 2題型一：集合的表示 2題型二：集合的基本關(guān)系 3題型三：集合的基本運算 5題型四：充分條件與必要條件 8題型五：“的”字結(jié)構(gòu)與“是”字結(jié)構(gòu)對比 9題型六：全稱量詞與存在量詞 11題型七：一元二次不等式 12題型八：一元二次不等式中的恒成立與有解問題 16題型九：基本不等式及其應(yīng)用 19題型十：復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用 23第二部分：新定義題 24第三部分：重點解題方法 27圖法解決集合運算問題 27第四部分：數(shù)學(xué)思想方法 30分類討論法 30數(shù)形結(jié)合法 33溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：典型例題講解題型一：集合的表示1．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，，所以.故選：B.2．（2023秋·廣東湛江·高一統(tǒng)考期末）對于任意兩個正整數(shù)m，n，定義某種運算“※”如下：當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或都為正奇數(shù)時，；當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，，則在此定義下，集合中的元素個數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【詳解】（1）m，n都是正偶數(shù)時：m從2，4，6任取一個有3種取法，而對應(yīng)的n有一種取法；∴有3種取法，即這種情況下集合M有3個元素；（2）m，n都為正奇數(shù)時：m從1，3，5，7任取一個有4種取法，而對應(yīng)的n有一種取法；∴有4種取法，即這種情況下集合M有4個元素；（3）當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時：當(dāng)m=8，n=1，和m=1，n=8，即這種情況下集合M有兩個元素；∴集合M的元素個數(shù)是3+4+2=9．故選：B．3．（2023秋·福建南平·高一統(tǒng)考期末）若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】集合，則則圖中陰影部分表示的集合是.故選：D.4．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，若，則集合C中的元素有（

）個A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】由可得，集合C為集合A，B的公共元素，需滿足，即，又，故或，解得或此時集合有2個元素.故選：C5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，則集合的子集個數(shù)為________【答案】16【詳解】解：，故A的子集個數(shù)為，故答案為：16題型二：集合的基本關(guān)系1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)的值構(gòu)成的集合是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得：或，即；①當(dāng)時，，滿足，符合題意；②當(dāng)時，，，或，解得：或；綜上所述：實數(shù)的值構(gòu)成的集合是.故選：.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若集合，，則能使成立的所有a組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，即，時成立；當(dāng)時，滿足，解得；綜上所述：.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若,則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)B時,由得,解得,滿足題意;當(dāng)B時,由得,解得:;綜上可得:時,實數(shù)的取值范圍為.故選:D.4．（2023·高三課時練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【詳解】由題意，集合，又因為，集合當(dāng)時，即，解得，此時符合題意；當(dāng)時，要使得，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍.故答案為：.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記關(guān)于x的不等式的解集為A，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】【詳解】解：原不等式可變形為，當(dāng)，即時，，滿足題意；當(dāng)，即時，，所以，解得，所以；當(dāng)，即時，，所以，解得.綜上可得，即；故答案為：題型三：集合的基本運算1．（2023秋·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知集合則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得，函數(shù)有意義滿足，即，解得：，所以，故選：D2．（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合．若，則m的取值范圍為____________．【答案】或．【詳解】由，得，解得：，則若，則，解得：，滿足，若，則或，解得：或，綜上，的取值范圍為：或．故答案為：或．3．（2023秋·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知集合，集合．(1)當(dāng)時，求；(2)當(dāng)時，若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)a＝1時,或，，，；（2）當(dāng)時，或，，，，解得.4．（2023秋·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）當(dāng)時，，解得，所以,，所以．（2）由得，又，所以對恒成立，當(dāng)時，．所以，于是實數(shù)a的取值范圍為．5．（2023秋·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合.(1)若，求；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）因為或，所以.又因為，所以，則；（2）因為，所以.因為且所以或，即實數(shù)m的取值范圍為或.6．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏市八中?？奸_學(xué)考試）設(shè)全集，集合．(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得且，解得，所以或，又當(dāng)時，，所以.（2）由得，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，則，解得，綜上實數(shù)的取值范圍為.題型四：充分條件與必要條件1．（2023秋·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由得或，因為可推出或，滿足充分性，或不能推出，不滿足必要性.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】，，可以推出，故充分性滿足；不能推出，故必要性不滿足；則是的充分不必要條件.故選：A.3．（2023秋·湖南長沙·高一長沙市明德中學(xué)?？计谀┮阎?，．若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，或，因為是的充分不必要條件，則，則或，解得或.故選：D.4．（2023秋·遼寧本溪·高一?？计谀┮阎?，，如果p是q的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由得，所以或，解得或，所以或，又，是的充分不必要條件，所以或所以，所以k的取值范圍是.故選：A.題型五：“的”字結(jié)構(gòu)與“是”字結(jié)構(gòu)對比1．（2023春·重慶江北·高一字水中學(xué)?？奸_學(xué)考試）“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：關(guān)于的不等式的解集為R，則，解得，所以“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充一個分條件“”.故選：B.2．（2023秋·遼寧葫蘆島·高一校考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】解：由，解得，由，解得，顯然，但是推不出，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B.3．（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）若，則p成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】p：，即且，解得或，所以p：或，對于A，是p的既不充分也不必要條件；對于B，即或，是p的必要不充分條件；對于C，即或，是p的充分不必要條件；對于D，是p的充分不必要條件；故選：B.4．（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）使，的否定為假命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題使，的否定為假命題，知，為真命題，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以是為真命題的充要條件，是為真命題的既不充分也不必要條件，是為真命題的既不充分也不必要條件，是為真命題的充分不必要條件.故選：D.5．（2023秋·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）若“”是“不等式成立”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由得，是不等式成立的充分不必要條件，滿足，且等號不能同時取得，即，解得，故選：C．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式成立的一個必要不充分條件是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【詳解】由或，顯然選項B是充要條件；由或，不一定能推出選項A，D，能推出選項C，選項C不能推出或，故選：C題型六：全稱量詞與存在量詞1．（2023春·陜西安康·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）命題“”的否定為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，則原命題的否定為.故選：D2．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考階段練習(xí)）關(guān)于命題p:“”，下列判斷正確的是（

）A． B．該命題是存在量詞命題，且為真命題C． D．該命題是全稱量詞命題，且為假命題【答案】C【詳解】，解得，所以命題“”為存在命題，且為假命題，故B，D錯誤；命題“”的否命題為：.故C正確.故選：C3．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）命題：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【詳解】命題：“，”是全稱量詞命題，它的否定是特稱量詞命題：，．故選：D.4．（2023秋·青海西寧·高二統(tǒng)考期末）已知命題p：，，則為______．【答案】，【詳解】為，.故答案為：，.5．（2023秋·江蘇徐州·高一沛縣湖西中學(xué)?？计谀┟}“，”的否定是______．【答案】，【詳解】由題意知命題“，”為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，即，，故答案為：，.題型七：一元二次不等式1．（多選）（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）關(guān)于的不等式的解集可能是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】解：當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，①若時，則，②若時，則，③若時，則，當(dāng)時，則，故或綜上，當(dāng)，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，故選：ACD．2．（2023秋·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_________.【答案】【詳解】由的解集為，可得，且方程的解為，所以，則，所以，即關(guān)于的不等式的解集為.故答案為：.3．（2023秋·山東臨沂·高一校考期末）不等式的解集為，則__________.【答案】【詳解】由題意知不等式的解集為，則是的兩實數(shù)解，且，故，故，故答案為：4．（2023春·湖南永州·高一永州市第四中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集為__．【答案】【詳解】由題意得，所以，故，即，，故解集為.故答案為：5．（2023春·寧夏銀川·高一?？奸_學(xué)考試）不等式的解集是，則不等式的解集為___________.【答案】【詳解】不等式的解為,一元二次方程的根為,,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得:,所以;不等式即不等式,整理,得，即解之得，不等式的解集是,故答案為：.6．（2023春·河南信陽·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的最小值為，方程有兩個實根和6.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)(2)答案見解析.【詳解】（1）解：因為方程有兩個實根和，所以，方程有兩個實根和，所以，①，②因為函數(shù)的最小值為，所以③，所以，由①②得，代入③解得，所以，，，所以，；（2）解：因為，即為所以，，即，所以，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.7．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀?1)若不等式的解集是，求a，b.(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）因為不等式的解集是，所以，且和1是方程的兩實數(shù)根，所以，，解得；（2）不等式可化為，令，解得，或，當(dāng)即時，不等式的解集為或，當(dāng)即時，不等式的解集為或，當(dāng)即時，不等式的解集為.綜上所述，時，不等式的解集為或；時，不等式的解集為或，時，不等式的解集為.題型八：一元二次不等式中的恒成立與有解問題1．（2023秋·湖南婁底·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)的定義域為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以不等式的解集為，當(dāng)時，恒成立，滿足題意；當(dāng)時，則有，解得：，綜上所述：的取值范圍是，故選：.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集不為空集，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①當(dāng)時，即，若時，原不等式為，解可得：，則不等式的解集為，不是空集；若時，原不等式為，無解，不符合題意；②當(dāng)時，即，若的解集是空集，則有，解得，則當(dāng)不等式的解集不為空集時，有或且，綜合可得：實數(shù)的取值范圍為；故選：C．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對任意恒成立，實數(shù)x的取值范圍是_____.【答案】【詳解】可轉(zhuǎn)化為.設(shè)，則是關(guān)于m的一次型函數(shù).要使恒成立，只需，解得.故答案為：4．（2023·全國·高三對口高考）關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為_________．【答案】【詳解】解：恒成立，當(dāng)時，恒成立，所以滿足題意.當(dāng)時,必須滿足且，則.綜合得．故答案為：5．（2023春·廣西南寧·高一?？奸_學(xué)考試）若，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【詳解】由，不等式恒成立，得在上恒成立，令，，任取，且，則，因為，所以，，，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，得，即實數(shù)的取值范圍為.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，使成立，則實數(shù)的取值范圍是______________．【答案】【詳解】由可得，，因為，所以，根據(jù)題意，即可，設(shè)，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，故答案為：7．（2023·高一課時練習(xí)）若存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】時，若，則不等式為，不等式成立，滿足題意，時，在在使得不等式成立，則，∴．綜上，．故答案為：．題型九：基本不等式及其應(yīng)用1．（多選）（2023秋·江蘇無錫·高一無錫市第一中學(xué)?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．已知，則函數(shù)B．若，則函數(shù)的最大值為C．若x，，，則的最大值為4D．若x，，，則xy的最小值為1【答案】AB【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)解得時取得等號，故A正確；因為，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)解得時取得等號，所以，所以，所以函數(shù)的最大值為，B正確；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，所以的最小值為4，C錯誤；因為，所以，解得，又因為x，，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號所以xy的最大值為1，D錯誤，故選:AB.2．（多選）（2023春·廣東珠海·高三珠海市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若正數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】A選項：根據(jù)基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A對；B選項：因為，所以，所以，，同理，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B對；C選項：因為，所以，所以，又因為，，所以，，，，，所以，故C對；D選項：，所以，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D錯誤；故選：ABC.3．（多選）（2023秋·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）設(shè)正實數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為2 D．的最小值為8【答案】CD【詳解】正實數(shù)a，b滿足，對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，A錯誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B錯誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確.故選：CD4．（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)滿足，則的最小值為__________.【答案】##【詳解】因為，所以，，所以，當(dāng)，即，即，時等號成立，所以的最小值是.故答案為：5．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知，，則最小值為___________．【答案】16【詳解】由，可知，，令，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時，兩個等號同時成立．則x=y=3時最小值為16.故答案為：16．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知，則取得最大值時的值為________．（2）已知，則的最大值為________．（3）函數(shù)的最小值為________．【答案】

1

##【詳解】解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．故答案為：.（2）因為，所以，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．故的最大值為1.故答案為：1.（3）.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：.題型十：復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用1．（2023·全國·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．3【答案】B【詳解】由得，所以，則，所以，故選:B．2．（2023秋·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）已知實數(shù)x，y滿足，則（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【詳解】由得，，解得，.故選：C.3．（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】因為，所以，所以，故在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，在第三象限.故選：C.4．（2023·陜西銅川·?？家荒＃┮阎猧是虛數(shù)單位，若，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【詳解】因為，所以．故選：C.5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義得，所以．故選：A.6．（2023秋·天津南開·高三?？茧A段練習(xí)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則______.【答案】##【詳解】∵，∴．故答案為：．7．（2023秋·天津南開·高三南開中學(xué)校考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z為__________．【答案】【詳解】因為，所以，故，故答案為：8．（2023春·天津濱海新·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則___________．【答案】2【詳解】由題意得，故，所以，故答案為：2第二部分：新定義題1．（2023秋·遼寧本溪·高一校考期末）設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合且.如果，，那么=（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題，，則.，則.則由題中所給定義有：.故選：A2．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)A，B是兩個非空集合，定義：且，已知，，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得：，則，而，于是得，依題意，.故選：C3．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）歐拉恒等式（i為虛部單位，為自然對數(shù)的底數(shù)）被稱為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式，它是復(fù)分析中歐拉公式的特例：當(dāng)自變量時，，得．根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，則虛部為．故選：C．4．（多選）（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”【答案】BCD【詳解】對于A，由得，故A錯誤；對于B，由得，故B正確；對于C，所有整數(shù)被4除所得的余數(shù)只有四種情況，即剛好分成共4類，故，故C正確.對于D，若整數(shù)屬于同一“類”，則，故，所以；反之，不妨設(shè)，則，若，則，即，所以整數(shù)屬于同一“類”；故整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”，即D正確.故選：BCD.5．（多選）（2023秋·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)校考期末）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中，可能成立的是（

）A．M沒有最大元素，N有一個最小元素B．M沒有最大元素，N也沒有最小元素C．M有一個最大元素，N有一個最小元素D．M有一個最大元素，N沒有最小元素【答案】ABD【詳解】令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中有一個最小元素，即選項A可能；令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中也沒有最小元素，即選項B可能；假設(shè)答案C可能，即集合M、N中存在兩個相鄰的有理數(shù)，顯然這是不可能的；令，，顯然集合M中有一個最大元素，集合N中沒有最小元素，即選項D可能.故選：ABD．第三部分：重點解題方法圖法解決集合運算問題1．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）集合，將集合分別用如下圖中的兩個圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個數(shù)恰好為2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，所以:A選項，陰影部分表示，不符合題意.B選項，陰影部分表示，符合題意.C選項，陰影部分表示，不符合題意.D選項，陰影部分表示，不符合題意.故選：B2．（2023·河南洛陽·高一?？茧A段練習(xí)）移動支付、高鐵、網(wǎng)購與共享單車被稱為中國的新“四大發(fā)明”.某中學(xué)為了解本校學(xué)生中新“四大發(fā)明”的普及情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中使用過移動支付或共享單車的學(xué)生共90位，使用過移動支付的學(xué)生共有80位，使用過共享單車且使用過移動支付的學(xué)生共有60位，則該校使用共享單車的學(xué)生人數(shù)為（

）A．50 B．60 C．70 D．80【答案】C【詳解】根據(jù)題意使用過移動支付、共享單車的人數(shù)用韋恩圖表示如下圖，使用過共享單車或移動支付的學(xué)生共有90位，使用過移動支付的學(xué)生共有80位，則可得：只使用過共享單車但沒使用過移動支付的學(xué)生有90-80=10人，又使用過共享單車且使用過移動支付的學(xué)生共有60位，即使用過共享單車的學(xué)生人數(shù)為10+60=70，故選:C.3．（2023·湖南張家界·高一張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）向某50名學(xué)生調(diào)查對A，B兩事件的態(tài)度，其中有30人贊成A，其余20人不贊成A；有33人贊成B，其余17人不贊成B；且對A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)比對A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)的三分之一多1人，則對A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為__________．【答案】21【詳解】記贊成A的學(xué)生組成集合A，贊成B的學(xué)生組成集合B，50名學(xué)生組成全集U，則集合A有30個元素，集合B有33個元素.設(shè)對A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則集合的元素個數(shù)為，如圖，由Venn圖可知，，即，解得，所以對A，B都贊成的學(xué)生有21人.故答案為：21.4．（2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）中國健兒在東京奧運會上取得傲人佳績，球類比賽獲獎多多，其中乒乓球、羽毛球運動備受學(xué)生追捧．某校高一（1）班40名學(xué)生在乒乓球、羽毛球兩個興趣小組中，每人至少報名參加一個興趣小組，報名乒乓球興趣小組的人數(shù)比報名羽毛球興趣小組的人數(shù)3倍少4人，且兩興趣小組都報名的學(xué)生有8人，則只報名羽毛球興趣小組的學(xué)生有__人．【答案】5【詳解】設(shè)報名乒乓球興趣小組的學(xué)生構(gòu)成集合A，其元素個數(shù)為x，報名羽毛球興趣小組的學(xué)生構(gòu)成集合B，元素個數(shù)為y，其關(guān)系如下：由題意可知:，解得，因此只報名羽毛球興趣小組的學(xué)生有人．故答案為：55．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知全集，集合．(1)求；(2)如圖陰影部分所表示的集合可以是（把正確答案序號填到橫線處），并求圖中陰影部分表示的集合；．①

②

③

④【答案】(1)(2)③;【詳解】（1）