高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)重難點(diǎn)突破05極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題(七大題型)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)突破05極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題目錄1、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對(duì)稱性。若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往。如下圖所示。圖1極值點(diǎn)不偏移圖2極值點(diǎn)偏移極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡稱極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡稱極值點(diǎn)右偏。2、對(duì)稱變換主要用來解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0.(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)，若證，則令.(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(4)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．【注意】若要證明的符號(hào)問題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效3、應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對(duì)數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.題型一：極值點(diǎn)偏移:加法型例1．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，證明：．例2．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，證明.例3．（2023·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)校考期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)①證明函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；②設(shè)①中函數(shù)的零點(diǎn)為，記（其中表示中的較小值），若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：.變式1．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)為其極小值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若存在，使得，求證：．變式2．（2023·湖北武漢·高二武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，a為實(shí)數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：變式3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的最大值；(2)若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)和，若，，求的最小值．變式4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、、，且，求的最大值．變式5．（2023·廣西玉林·高二廣西壯族自治區(qū)北流市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：變式6．（2023·安徽·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若為定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)令，設(shè)函數(shù)，且，求證：．變式7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)（）．(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），求證：．變式8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知方程有兩個(gè)不同的根、，求證：，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).變式10．（2023·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：.變式11．（2023·海南·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在，且，使得，求證：.題型二：極值點(diǎn)偏移:減法型例4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．(2)若，求證：．例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為、且，求證：.例6．（2023·四川成都·高二川大附中?？计谥校┮阎瘮?shù).（1）若在定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）設(shè)分別是的極大值和極小值，且，求的取值范圍.題型三：極值點(diǎn)偏移:乘積型例7．（2023·全國·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)，和有相同的最小值，求的值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：.(2)若函數(shù)，若存在使，證明：.例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求證：，；(2)若存在、，且當(dāng)時(shí)，使得成立，求證：.變式12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)證明：若，則；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．變式13．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，求證：．變式14．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若存在，，使，求證：．變式15．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.題型四：極值點(diǎn)偏移:商型例10．（2023·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.例11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.變式16．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，（ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．題型五：極值點(diǎn)偏移:平方型例13．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；例14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.例15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若存在，，使得，則．變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若，且，證明:.變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，，求證：.題型六：極值點(diǎn)偏移:混合型例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若存在，滿足，求證：．例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若f（1）=2，求a的值；(2)若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，證明：①；②.例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)為，，且，當(dāng)時(shí)，求證：不等式恒成立.變式19．（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測）已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，證明：且．變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）如果，且，求證：．變式21．（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）設(shè)，函數(shù)．（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：．變式22．（2023·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)討論f（x）的單調(diào)性；(2)若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若有不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，證明：.變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中a，b為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，現(xiàn)有如下三個(gè)命題：①；②；③；請(qǐng)從①②③中任選一個(gè)進(jìn)行證明．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）變式24．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性和最值；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求證：.變式25．（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù).(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根、，且，證明：.變式26．（2023·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中．(1)若，求的極值：(2)令函數(shù)，若存在，使得，證明：．變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若有不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，求證：.題型七：拐點(diǎn)偏移問題例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）若正實(shí)數(shù)滿足，求證：.例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若正實(shí)數(shù)、滿足，證明：．例21．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)（?。┤魧?duì)于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍;（ⅱ）設(shè)，且，求證:.變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若正實(shí)數(shù)，，滿足，求證：變式29．（2023·江蘇鹽城·江蘇省東臺(tái)中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)，．(1)若在處取得極值，求的值；(2)設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)滿足，求證：．變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若在處取得極值，求的值；(2)設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，求證：．變式31．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)實(shí)數(shù)，令，正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）若在處取得極值，求的值；（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)滿足，求證：.

重難點(diǎn)突破05極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題目錄1、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對(duì)稱性。若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往。如下圖所示。圖1極值點(diǎn)不偏移圖2極值點(diǎn)偏移極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡稱極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡稱極值點(diǎn)右偏。2、對(duì)稱變換主要用來解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0.(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)，若證，則令.(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(4)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．【注意】若要證明的符號(hào)問題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效3、應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對(duì)數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.題型一：極值點(diǎn)偏移:加法型例1．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，證明：．【解析】（1）由題可知的定義域?yàn)椋?令，則的兩根分別為，．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）原方程可化為，設(shè)，則，．令，得．∵在上，，在上，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，且當(dāng)，趨向于0時(shí)，趨向于，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于．則在和上分別有一個(gè)零點(diǎn)，，不妨設(shè)，∵，∴，設(shè)，則，．當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，而，∴當(dāng)時(shí)，，，即．∵，∴．∵在上單調(diào)遞減，∴，即．例2．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，證明.【解析】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則，令，解得，令，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2）證明：不妨設(shè)，由（1）知：必有.要證，即證，即證，又，即證.令，其中，則，令，則在時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以；接下來證明，令，則，又，即，所以，要證，即證，有，不等式兩邊取對(duì)數(shù)，即證，即證，即證，令，，則，令，其中，則，所以，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)單調(diào)遞增，可得，即，所以，綜上，.例3．（2023·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)校考期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)①證明函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；②設(shè)①中函數(shù)的零點(diǎn)為，記（其中表示中的較小值），若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：.【解析】（1）由已知，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令有，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）①的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，，且在區(qū)間內(nèi)的圖像連續(xù)不斷，∴根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，有在區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，，故，即；當(dāng)時(shí)，，故，即，∴可得，當(dāng)時(shí)，，由得單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，由得單調(diào)遞減：若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，則，∴要證，需證，又，而在內(nèi)遞減，故需證，又，即證，即下證：記，，由知：，記，則：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，而，所以，由，可知.∴，即單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，即，故，得證.變式1．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)為其極小值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若存在，使得，求證：．【解析】（1）的定義域?yàn)?，，依題意得，得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，，故，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，，故，在內(nèi)單調(diào)遞增，故在處取得極小值，符合題意.綜上所述：.（2）由（1）知，，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)，時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)，時(shí)，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞減，因?yàn)榇嬖冢沟?，所以，要證，只要證，因?yàn)?，所以，又在?nèi)單調(diào)遞減，所以只要證，又，所以只要證，設(shè)，則，令，則，因?yàn)椋?，在上為減函數(shù)，所以，即，所以在上為減函數(shù)，所以，即.綜上所述：.變式2．（2023·湖北武漢·高二武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，a為實(shí)數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，所以，得，?dāng)，，當(dāng)，，故函數(shù)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，得，所以，得，令，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故.

先證，需證.因?yàn)?，下面證明.設(shè),則,故在上為增函數(shù),故,所以,則,所以,即得，下面證明：令，當(dāng)時(shí)，所以成立,所以，所以.當(dāng)時(shí)，記,所以時(shí)，所以為減函數(shù)得,所以,即得.所以得證，綜上，.變式3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的最大值；(2)若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)和，若，，求的最小值．【解析】（1）因?yàn)椋渲?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，對(duì)任意的，，即，令，其中，則，，由可得，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，，故，所以，的最大值為.（2）由題意可知，，設(shè)，由可得，則，可得，，所以，，令，其中，所以，，令，其中，則，因?yàn)椋?，可得，由可得，所以，函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，又因?yàn)榍遥?，?dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，.變式4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、、，且，求的最大值．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且．①，，由，可得；由，可?所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此在處取得極大值，故當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；②，令，其中，則，由可得，由可得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故，由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此在處取得極小值，故當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，令得或，令，由②知，而，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因此，故，所以函數(shù)在和上各存在唯一的零點(diǎn)，分別為、，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在和處取得極小值，在處取得極大值，所以當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)．（2）因?yàn)楹瘮?shù)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、、，所以由（1）知，，，由，兩式相除得到．令，則，則，，得，，因此，所以，則．令，其中，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，即，故在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故的最大值為．變式5．（2023·廣西玉林·高二廣西壯族自治區(qū)北流市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：【解析】（1）的定義域?yàn)?，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即．變式6．（2023·安徽·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若為定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)令，設(shè)函數(shù)，且，求證：．【解析】（1）的定義域?yàn)?，由為定義域上的增函數(shù)可得恒成立.則由得，令，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；故,則有解得.故a的取值范圍為（2）由有有即即.令由可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；則，即，解得或(負(fù)值舍去)，故.變式7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)（）．(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），求證：．【解析】（1）由已知，的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，，恒成立，∴此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），則由（1）知，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（*）∵，∴，∴，又∵，∴，∴只需證明，即有.下面證明，設(shè)，，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，∴，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又∵，∴，即，∴由（*）知，，∴，即.又∵，，∴，原命題得證.變式8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：時(shí)，由（1）知至多有一個(gè)零點(diǎn).時(shí)，由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，即，故沒有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，即，又，由（1）知在上有一個(gè)零點(diǎn).又，由（1）知在有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為不妨設(shè)，則，且，令，則，由于（且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，又，所以，即，又，所以，又由于，且在上單調(diào)遞增，所以即.變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知方程有兩個(gè)不同的根、，求證：，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).【解析】（1）由，得.令，，則，令，則.所以，函數(shù)在上單增，故.①當(dāng)時(shí)，則，所以在上單增，，此時(shí)對(duì)恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，，故存在使得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）證明：由（1）中結(jié)論，取，有，即.不妨設(shè)，，則，整理得.于是，即.變式10．（2023·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，曲線在處的切線方程為，即；（2）令，可得，令，，設(shè)函數(shù)與相切于，由、、可得，，，，的大致圖象如下，當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，所以的取值范圍為，，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，要證，只要證，不妨設(shè)，由，則，構(gòu)造函數(shù)，，∵，∴，∴在是遞增，又，∴，∴，∴，又，∴，而，，在上遞減，∴，即，∴.變式11．（2023·海南·海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在，且，使得，求證：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，得或，在上，，在上，，在上，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，設(shè)，，

則，因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，，即.因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以，即.①設(shè)，，則.因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋裕?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以，即.②由①得，由②得，所以.題型二：極值點(diǎn)偏移:減法型例4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．(2)若，求證：．【解析】（1）定義域?yàn)椋?，令，解得：或，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；的極大值為，極小值為.（2）由（1）知：，，．令，，則；令，則；令，則，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，對(duì)任意恒成立．，，又，，在上單調(diào)遞增，，，即；令，，則；在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，對(duì)任意恒成立．，．又，，在上單調(diào)遞增，且，，；由得：，，.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為、且，求證：.【解析】（1）由可得，令，其中，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于直線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，，令可得，列表如下：減極小值增如下圖所示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（2）證明：，其中，所以，，由已知可得，上述兩個(gè)等式作差得，要證，即證，因?yàn)?，設(shè)函數(shù)的圖象交軸的正半軸于點(diǎn)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，，，設(shè)函數(shù)的圖象在處的切線交直線于點(diǎn)，函數(shù)的圖象在處的切線交直線于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，函?shù)的圖象在處的切線方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，對(duì)任意的，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由圖可知，則，所以，，因?yàn)?，可得，函?shù)在處的切線方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，因?yàn)椋?，，?gòu)造函數(shù)，其中，則，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，對(duì)任意的，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，可得，因此，，故原不等式成立.例6．（2023·四川成都·高二川大附中?？计谥校┮阎瘮?shù).（1）若在定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）設(shè)分別是的極大值和極小值，且，求的取值范圍.【解析】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減時(shí)，參數(shù)的取值范圍為，則可知函數(shù)在定義域上不單調(diào)時(shí)，的取值范圍為

；（2）易知，設(shè)的兩個(gè)根為，并表示出，則，令，則，再利用導(dǎo)數(shù)法求的取值范圍.

詳由已知，（1）①若在定義域上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，而，所以；②若在定義域上單調(diào)遞減，則，即在上恒成立，而，所以.因?yàn)樵诙x域上不單調(diào)，所以，即.（2）由（1）知，欲使在有極大值和極小值，必須.又，所以.令的兩根分別為，，即的兩根分別為，，于是.不妨設(shè)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以.令，于是，，由，得，又，所以.因?yàn)?，所以在上為減函數(shù)，所以.題型三：極值點(diǎn)偏移:乘積型例7．（2023·全國·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)，和有相同的最小值，求的值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．【解析】（1）問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，證明，進(jìn)而只需要證明只需要證明，也即是，從而令，構(gòu)造函數(shù)求出最值即可證出結(jié)論．【詳解】（1）由．所以．所以．令，則為上的增函數(shù)，且．所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．所以．又．所以．令，則所以為上的增函數(shù)．又．令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，而，因此函數(shù)與直線有唯一交點(diǎn)，故方程在上有唯一解，所以存在唯一，使得．即，故，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．所以．故而．（2）由題意有兩個(gè)零點(diǎn)．所以，即．所以等價(jià)于：有兩個(gè)零點(diǎn)，證明.不妨令．由．要證，只需要證明．即只需證明：．只需證明：，即．令．只需證明：．令．則，即在上為增函數(shù)．又．所以．綜上所述，原不等式成立．例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：.(2)若函數(shù)，若存在使，證明：.【解析】（1）令，，，令，解得：；令，解得：，∴在遞增，在遞減，則，∴恒成立，即.（2）∵，，∴，令，解得：；令，解得：；∴在遞增，在遞減.又∵，，，，且，.要證，即證.∵，∴，又∵，∴只證即可.令，，恒成立，∴在單調(diào)遞增.又∵，∴，∴，即，∴.例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求證：，；(2)若存在、，且當(dāng)時(shí)，使得成立，求證：.【解析】（1）證明：構(gòu)造函數(shù)，其中，則，因?yàn)?，則，，即當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，即.（2）證明：先證明對(duì)數(shù)平均不等式，其中，即證，令，即證，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，本題中，若，則，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，不合乎題意，所以，，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，則，即，所以，，因?yàn)?，則，所以，，所以，，所以，，所以，，由對(duì)數(shù)平均不等式可得，可得，所以，.變式12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)證明：若，則；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．【解析】（1）因?yàn)槎x域?yàn)椋缘葍r(jià)于．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故．因?yàn)?，所以，于是．?）不妨設(shè)，由（1）可知，也是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，，于是，由于在單調(diào)遞減，故等價(jià)于．而，故等價(jià)于．①設(shè)，則①式為．因?yàn)椋O(shè)，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，所以，從而，因此在單調(diào)遞增．又，故，故，于是．變式13．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，求證：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，所以，即，，設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以，若恒成立，則．所以時(shí)，恒成立，a的取值范圍為.（2）由題意知，，不妨設(shè)，由得，則，令，則，即：．要證，只需證，只需證，即證，即證（），令（），因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以成立，故．變式14．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若存在，，使，求證：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則總成立，故函數(shù)即在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故在上存在唯一極值點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)有且僅有一個(gè)．（2）由知，整理得，（*），不妨令，則，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有，即，那么，因此，（*）即轉(zhuǎn)化為，接下來證明，等價(jià)于證明，不妨令（），建構(gòu)新函數(shù)，，則在上單調(diào)遞減，所以，故即得證，由不等式的傳遞性知，即．變式15．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.【解析】（1）因?yàn)?，所?所以，又f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，所以，解得..（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），因?yàn)閒（x）在定義域上為增函數(shù)，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，時(shí)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意.當(dāng)時(shí)，在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件是，即，又，所以在（1，）上存在一個(gè)零點(diǎn)（）.當(dāng)時(shí)，，所以在（，+∞）上存在一個(gè)零點(diǎn)，綜上函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.不妨設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)由，所以，所以，所以，要證，只需證，只需證，由，只需證，只需證，只需證，令，只需證，令，，∴H（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴，即成立，所以成立.題型四：極值點(diǎn)偏移:商型例10．（2023·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.【解析】（1），是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，∵，∴時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減.（2）由題意得，，即，，設(shè)，，則由得，，且.不妨設(shè)，則即證，由及的單調(diào)性知，.令，，則，∵，∴，，∴，取，則，又，則，又，，且在單調(diào)遞減，∴，.下證：.（i）當(dāng)時(shí)，由得，；（ii）當(dāng)時(shí)，令，，則，記，，則，又在為減函數(shù)，∴，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞減，從而，在單調(diào)遞增，又，，∴，又，從而，由零點(diǎn)存在定理得，存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以，，又，，所以，，顯然，，所以，，即，取，則，又，則，結(jié)合，，以及在單調(diào)遞增，得到，從而.例11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】(1)的定義域?yàn)椋傻?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)?，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)椋?，即．因?yàn)椋?，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對(duì)稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識(shí)和技能.方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）因?yàn)?，故，即，故，設(shè)，則，不妨設(shè)，由（1）可知原命題等價(jià)于：已知，證明：.

證明如下：若，恒成立；若，即時(shí)，要證：，即證，而，即證，即證：，其中設(shè)，，則，因?yàn)?，故，故，所以，故在為增函?shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.變式16．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，（?。┣髮?shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【解析】（1）因?yàn)椋裕渲?①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，由得，由可得.所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）（i）方程可化為，即．令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)的值域?yàn)椋Y(jié)合題意，關(guān)于的方程（*）有兩個(gè)不等的實(shí)根．又因?yàn)椴皇欠匠蹋?）的實(shí)根，所以方程（*）可化為．令，其中，則．由可得或，由可得，所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，函數(shù)的極小值為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則.作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（ii）要證，只需證，即證．因?yàn)?，所以只需證．由（ⅰ）知，不妨設(shè)．因?yàn)?，所以，即，作差可得．所以只需證，即只需證．令，只需證．令，其中，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立．所以原不等式得證．題型五：極值點(diǎn)偏移:平方型例13．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；【解析】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?由得：，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，即是方程的兩不等實(shí)根，令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.所以0，即0.令，要證，只需證，解法1（對(duì)稱化構(gòu)造）：令，則，令，則，所以在上遞增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（對(duì)數(shù)均值不等式）：先證，令，只需證，只需證，令，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)椋?，所以，即，所?例14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以成立，等價(jià)于成立.令，則，令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值也是最大值.因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）有2個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)時(shí)，解得.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.且時(shí)，.所以，且.因?yàn)槭欠匠痰?個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即.將兩式相除得，令，則，，變形得，.又因?yàn)?，，因此要證，只需證.因?yàn)椋灾恍枳C，即證.因?yàn)?，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，成立，命題得證.例15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若存在，，使得，則．【解析】（1），，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，要使，則有，而，故，所以的取值范圍為．（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，設(shè)，所以，，①若，則，成立；②若，先證，此時(shí)，要證，即證，即，，令，，，所以在(1,2)上單調(diào)遞增，所以，即，，所以，因?yàn)?，，所以，即．變?7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若，且，證明:.【解析】（1）

當(dāng)時(shí)，，，所以單調(diào)遞增；，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；，所以單調(diào)遞增；（2）證明：，∴，即當(dāng)時(shí)，由（1）可知，此時(shí)是的極大值點(diǎn)，因此不妨令要證，即證：①當(dāng)時(shí)，成立；②當(dāng)時(shí)先證此時(shí)

要證，即證：，即，即即：①令，∴∴在區(qū)間上單調(diào)遞增∴，∴①式得證.∴∵，∴

∴

∴變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，，求證：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，且，所以切線的方程為，即為；（2）證明：由題意可得，若，則，所以在遞增，因此不存在，使得，所以；設(shè)，，則，令，，所以在遞減，又，所以在恒成立，從而在遞減，從而.①又由，可得，所以.②由①②可得.又因?yàn)?，所以，因此要證，只需證明，即證，③設(shè)，，則，所以在上為增函數(shù)，又因?yàn)椋?，即③式成?所以獲證.題型六：極值點(diǎn)偏移:混合型例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若存在，滿足，求證：．【解析】（1）.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)增，無極值；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以函數(shù)的極小值為，無極大值.（2）由題（1）可知，當(dāng)時(shí)才存在，滿足，不妨設(shè)，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即故，因?yàn)?，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，下面證明：；因?yàn)?，所以，所以，所以，得證.例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若f（1）=2，求a的值；(2)若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，證明：①；②.【解析】（1）由，化簡得：，兩邊平方，解得：.（2）不妨令，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故不能使得存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，為定值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)知識(shí)可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，兩個(gè)分段函數(shù)在處函數(shù)值相同，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不能使得存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，即分段函數(shù)在處函數(shù)值相等，要想存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，則有三種類型，第一種：，顯然，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，所以，即，由于，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，綜上：；第二種情況：，顯然滿足，接下來證明，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，所以，又，所以，又，所以，因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上：；第三種情況：，由第一種情況可知滿足，由第二種情況可知：，則，綜上：，證畢.②由①可知：當(dāng)時(shí)，由得：，整理得：，即；當(dāng)時(shí)，，整理得：，整理得：，因?yàn)?，所以，綜上：，證畢.例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)為，，且，當(dāng)時(shí)，求證：不等式恒成立.【解析】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，方程在有兩個(gè)不同根，即方程在有兩個(gè)不同根，即方程在有兩個(gè)不同根；令，則，則當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍為；（2）證明：欲證兩邊取對(duì)數(shù)等價(jià)于要證，由（1）可知，分別是方程的兩個(gè)根，即，所以原式等價(jià)于，因?yàn)椋?，所以原式等價(jià)于要證明.又由，作差得，，即.所以原式等價(jià)于，令，，則不等式在上恒成立.令，又，當(dāng)時(shí)，可見時(shí)，，所以在上單調(diào)增，又，,所以在恒成立，所以原不等式恒成立.變式19．（2023·陜西寶雞·校考模擬預(yù)測）已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，證明：且．【解析】（1）的定義域?yàn)?，又由得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的減區(qū)間為：，增區(qū)間為：，（2）證明：方法一：由存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，整理得方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根．由，知，令，則，當(dāng)時(shí)，減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，增函數(shù)．所以．因?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)?，問題等價(jià)于直線和有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．，且，所以，從而．令，則，解得，，而，下面證明時(shí)，，令，則，令，則，在為減函數(shù)，，在為減函數(shù)，，在為減函數(shù)，，即．方法二：由存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，整理得方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根．由，知，令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．所以．因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，即，得．因?yàn)閷?shí)數(shù)是的兩個(gè)根，所以，從而．令，則，變形整理，要證，則只需證，即只要證，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知，只需要證兩點(diǎn)連線的斜率要比兩點(diǎn)連線的斜率小即可．因?yàn)?，所以只要證，整理得．令，則，所以在上單調(diào)遞減，即，所以成立，故成立．變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）如果，且，求證：．【解析】（1）因?yàn)?，所以，令，解得，令，解得，即函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）可得函數(shù)在處取得最大值，，所以函數(shù)的圖象大致如下：．易知函數(shù)的值域?yàn)椋驗(yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的根，所以，即，，解得．即實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）證明：由，，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，，，則，所以在，上單調(diào)遞增，，也即對(duì)，恒成立．由，則，，所以，即，又因?yàn)?，，且在上單調(diào)遞減，所以，即證．即．變式21．（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）設(shè)，函數(shù)．（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則切線方程為，即．（2）①若時(shí)，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，∵，，∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；②若，有唯一零點(diǎn)；③若，令，得，在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上，的極大值為，由于無零點(diǎn)，須使，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．（3）證明：設(shè)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，設(shè)，∵，，∴，，∴，，∵，故，故，即，即，設(shè)上式轉(zhuǎn)化為（），設(shè)，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴．變式22．（2023·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)討論f（x）的單調(diào)性；(2)若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若有不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，證明：.【解析】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，令，解得即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)令，解得，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）若時(shí)，都有，即，恒成立.令，則，，令，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，所以，在單調(diào)遞減，所以=，所以（3）原式可整理為，令，原式為，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則為兩根，其中，不妨令，要證，即證，，只需證，令，，，令，則，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減.又，故，所以恒成立，即成立，所以，原式得證.變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中a，b為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，現(xiàn)有如下三個(gè)命題：①；②；③；請(qǐng)從①②③中任選一個(gè)進(jìn)行證明．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以此時(shí)不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，要，只需，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，則由得，所以，故實(shí)數(shù)b的取值范圍為．（2）當(dāng)時(shí)，，，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，若，則，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，則，設(shè)，因?yàn)?，，則，因?yàn)?，所以，，則，取對(duì)數(shù)得，令，，則，即①令，則，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，亦即，因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增，所以，則，整理得，所以，故①成立②令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，即，故②成立．③令，，則，令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，∴，則，兩邊約去后化簡整理得，即，故③成立．變式24．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性和最值；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求證：.【解析】（1），其中若，則在上恒成立，故在上為減函數(shù)，故無最值.若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，無最小值.（2）方程即為，故，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，所以所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根即為：有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.所以，所以，不妨設(shè)，，故，要證：即證，即證，即證，即證，設(shè)，則，故，所以在上為增函數(shù)，故，所以在上為增函數(shù)，所以，故成立.變式25．（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù).(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根、，且，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，不合乎題意，所以，，由可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，由可得，列表如下：增極大值減所以，函數(shù)的極大值為，如下圖所示：且當(dāng)時(shí)，，由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）證明：因?yàn)?，則，令，其中，則有，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根、，令，，則關(guān)于的方程也有兩個(gè)實(shí)根、，且，要證，即證，即證，即證，由已知，所以，，整理可得，不妨設(shè)，即證，即證，令，即證，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故原不等式成立.變式26．（2023·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中．(1)若，求的極值：(2)令函數(shù)，若存在，使得，證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）證明：，令，則上述函數(shù)變形為，對(duì)于，，則，即在上單調(diào)遞增，所以若存在，使得，則存在對(duì)應(yīng)的、，使得，對(duì)于，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的唯一極小值點(diǎn)，所以，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，又的單調(diào)性可知，即有成立，所以.變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若有不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，求證：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，令，即，解得：.令，解得：；令，解得：；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，都有，即，亦即對(duì)恒成立.令，只需..令，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單增，所以，所以當(dāng)時(shí)，.所以，所以在上單減，所以.所以.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）可化為：.令，上式即為.由（1）可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則為的兩根，其中.不妨設(shè)，要證，只需，即，只需證.令.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由零點(diǎn)存在定理可得：存在，使得.當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，單減；又，所以..因?yàn)椋?所以恒成立.所以.所以.所以即證.題型七：拐點(diǎn)偏移問題例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）若正實(shí)數(shù)滿足，求證：.【解析】（1），切點(diǎn)為.，.切線為：，即.（2）.令，，，，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，所以.即.得：，得到，