蘇教版選擇性必修第二冊6.3.2空間線面關(guān)系的判定-1課堂練習(xí)

【優(yōu)選】6.3.2空間線面關(guān)系的判定-1課堂練習(xí)

一.單項選擇

1.

n

已知二面角a—1—B的大小是3,m,n是異面直線，且m_La,n_LB,則m,n所成

的角為（）o

2nnnn

A.3B.2C?3D.6

2.

a

把矩形ABCD沿對角線BD折成二面角A-BD-C,若AB=1,AD=樞,AC=2,則平面ABD

與平面BCD的夾角為（）o

A.30°B.60°

C.120°D.90°

3.

設(shè)長方體的長.寬.高分別為2a.a.a,其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為

（）o

A.3na2B.6na2

C.12Jia2D.24JIa2

4.

32n

球的體積是3,則此球的表面積是（）o

A.12nB.16n

16n64n

C.3D.3

5.

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M,N分別是CD,CC1的中點,則異面直線AIM與

DN夾角的大小是（）?

nn

A.6B.4

nn

C.3D.2

6.

->3

平面a的一個法向量為'=(4,3,0),平面B的一個法向量為~=(0,-3,4),則平

面a與平面B夾角的余弦值為()o

99

A.25B.25

7

C.25D.以上都不對

7.

已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二測畫法畫出它的直觀圖ABCD,(如圖所示)，其中

AD'=2,BC'=4,AB'=1,則直角梯形DC邊的長度是()0

A.4B.2亞c.也D.2而

8.

在空間直角坐標(biāo)系中，已知P(一l,0,3),Q(2,4,3),則線段PQ的長度為()o

A.V10B.5

C.儂D.用

9.

已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC法向量的是()。

,出出4

(—，—，—)

A.(-1,1,1)B.333

,4出4

C.(1,-1,1)D.333

10.

若直線?的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120。，則直線?與平面a所成的角等于

()。

A.120°B.30°C.60°D.60°或30°

11.

如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為a的正方體ABCO-A'B'C'D

A'C的中點E與AB的中點F的距離為().()o

A.\i，2aB.2aC.aD.2a

12.

把三個半徑都是1的球放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使

它與下邊的三個都相切，則第四個球的最高點與桌面的距離為()0

A.2B.3c.3D.4

13.

若直線1的方向向量為a=(1,0,2),平面a的法向量為u=(-2,0,-4),則(

A.1/7aB.1±a

C.1caD.1與a斜交

14.

正四面體ABCD,CD在平面。內(nèi)，點E是線段AC的中點，在該四面體繞CD旋轉(zhuǎn)的過程

中，直線BE與平面a所成角不可能是(

nnn

A.0B.6c.3D.2

15.

已知空間向量a=(3,1,0),S=(x,-3,1),且al，，貝！jx=()0

A.TB.-1C.1D.3

16.

下列結(jié)論正確的個數(shù)為()o

A.梯形可以確定一個平面；

B.若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；

C.若1上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則1〃a

D.如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

17.

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA，底面ABC,PA=AC,則直線PC與平面ABC所成角的大小為

()o

P

A.30°B.45°

C.60°D.90。

18.

若異面直線11的方向向量與12的方向向量的夾角為150°,則11與12的夾角為

()o

A.30°B.150°

C.30°或150。D.以上均不對

參考答案與試題解析

I.【答案】C

【解析】

【分析】

m，n所成的角與二面角的平面角相等或互補(bǔ)，故可得異面直線所成的角.

【詳解】

n712n

因為二面角的大小為3,所以m,n對應(yīng)的法向量的夾角為3或3,所以異面直線所成的角

為3,故選C.

【點睛】

一般地，如果二面角的平面角為而兩個半平面的法向量的夾角為a,那么a+e=n

或者a=6,注意在利用向量求二面角的平面角時，要根據(jù)圖形判斷二面角的平面角是鈍

角還是銳角.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

<AE2+CF2+EF2-2AECF-COS6,

在平面圖形中，求出AE=CF=2,CE=2,EF=1,利用AC="

可求二面角A-BD-C的大小.

【詳解】

設(shè)二面角A-BD-C的大小為0

過A.C作BD的垂線，交點為E.F,

VAB=1,AD=J,

根據(jù)勾股定理BD=2,

.-.ZADB=30°（對邊是斜邊的一半）,

/.AE=CF=2,CE=2,EF=1

_______________________________________53J7

I2+22COSS—

.?.AC』AECF+EF-2-AE-CF-COS6=J22=2,

1

貝！Jcos。=2,

則e=60°

故答案為：B

【點睛】

（1）本題主要考查二面角的計算，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理計算能

力.（2）二面角的求法方法一：（幾何法）找f作（定義法.三垂線法.垂面法）f證（定

義）-指與求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出兩個平面的法向量m3；再代入

|m?n|

cosa=±一」_.

公式lmllnl（其中m,n分別是兩個平面的法向量，a是二面角的平面角.）求解.（注

意先通過觀察二面角的大小選擇“土”號）

3.【答案】B

【解析】

【分析】

由長方體的長.寬.高分別為2a.a.a,其頂點都在一個球面上，則長方體的對角線即

為球的直徑，即球的半徑R滿足（2R）2=6￡,代入球的表面積公式，S球=4nR2,即可得

到答案.

【詳解】

由于長方體的長.寬.高分別為2a.a.a,則長方體的體對角線為如」育=血分

又長方體的外接球的直徑2火等于長方體的體對角線，所以.=瓜,則S球=4冗#=

4n陶=6/

【點睛】

本題考查長方體的外接球直徑等于長方體的對角線長以及球的表面積的計算，屬中檔題

4.【答案】B

【解析】

【分析】

利用球的體積與表面積計算公式即可得出.

【詳解】

432K

設(shè)球的半徑為R,則由已知得，n解得R=2.故球的表面積S表=4n#=16口.故

選B.

【點睛】

本題考查了球的體積與表面積計算公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能

求出異面直線AxM與DN所成角的大小.

【詳解】

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體ABCD-ABCD中棱長為2,

貝!JAi(2,0,2),M(0,1,0),D(0,0,0),

N(0,2,1),

AiM=(-2,1,-2),DN=(o,2,1),

設(shè)異面直線AM與DN所成角為9,

今3

|A]M'DN|

則。05。=小便|,出1\1|=0,...8=90。.

.?.異面直線AM與DN所成角的大小為90°.

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，異面直線所成角等

基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量'與色的坐標(biāo)，分別算出％.6的模和5與叫的數(shù)量積，然后用向量的夾角公

式算出它們夾角的余弦值，再根據(jù)兩個平面所成角與它們法向量夾角之間的關(guān)系，可得

本題的夾角余弦之值.

【詳解】

..n=(4,3,0)n=(0,-3,4)

n222222

A|i1j4+3+O=5，-2?JO+(-3)+4=5

3今

ni?“2=4義0+3義(-3)+0X(-1)=-9

-1

ni-n2

3166-99

因此，向量'與叫的夾角9滿足cos8」nJ1曰=5、5〕25

又?.?向量％.以分別為平面a和平面B的法向量

今f

平面a與8夾角等于向量％.卜的夾角，故平面a與8夾角的余弦值等于25

故選：B.

【點睛】

本題給出兩個平面法向量的坐標(biāo)形式，求兩個平面夾角的余弦之值，著重考查了利用數(shù)

量積求兩向量的夾角和平面的法向量的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

由已知直角梯形ABCD中,AB1BC,AD=A'D'=2,BC=B9=4,AB=2AB=2,由此能求出

直角梯形DC邊的長度.

【詳解】

由直觀圖作出梯形ABCD是直角梯形，如圖：

按照斜二測畫法畫，可得出它的直觀圖ABCD,AD=2,B9=4,AB=1,

直角梯形ABCD中,AB1BC,AD=A'D'=2,BC=B'C=4,AB=2A'B'=2,

過D作DE_LBC,交BC于E,

貝I]DE=AB=2,EC=BC-AD=4-2=2,

二直角梯形DC邊的長度為歷％=2也，故選B.

【點睛】

本題主要考查斜二測畫法的基本原理與性質(zhì)，以及由直觀圖還原平面圖形，意在考查對

基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

先求出PQ的坐標(biāo)，再求線段PQ的長度.

【詳解】

由題得(3,4,0)，???IPQI=舊777?=5,所以線段國的長度為5.

故答案為：B

【點睛】

本題主要考查向量的坐標(biāo)運算和向量的模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平

和分析推理計算能力.

9.【答案】B

【解析】

【分析】

先計算出AB,AC,再設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),利用」AB,n±AC垂直即可得n.

【詳解】

AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),

「x+y=。一一

則［-x+z=0,取x=l,y=l,z=1,貝|jn=(l,l,l),與n共線的向量為1333),故選民

【點睛】

在空間向量中，我們常常利用向量來求線線角.線面角和二面角，后兩者需要計算平面

的法向量，一般地，我們需要設(shè)法向量為n=(x,y,z),通過平面內(nèi)的兩個不共線向量&。構(gòu)

|n-a=0

建方程組1莉=。，其一組解可為法向量；

10.【答案】B

【解析】

【分析】

因直線方向向量與平面的法向量的夾角為120。，所以線面角為30°.

【詳解】

設(shè)直線?與平面a所成的角為。，貝膽=120。-90。=30。，故選日

【點睛】

一般地,如果直線的方向向量a與平面的法向量n的夾角為。，直線與平面所成的角為巴

a-n

sina=IcosQI=

則lallnl.

11.【答案】B

【解析】

【分析】

由題意可得，A(a,0,a),C(0,a,0),A(a,0,0),B(a,a,0))因為點E,F分別是AC,AB的中點，得出點E,F

的坐標(biāo)，利用空間兩點間的距離公式，即可求解.

【詳解】

由題意可得，A(a,0,a),C(0,a,0),A(a,0,0),B(a,a,0),

aaaaa

,E(-------)F(-0——)

因為點E，F(xiàn)分別是AGAB的中點，所以2'2‘2'2’’2,

EF=(a--)2+(―0)2+(0+-)2=—a

所以J2222,故選B.

【點睛】

本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)和空間中兩點間的距離公式的應(yīng)用，其中解

答中根據(jù)空間直角坐標(biāo)系得到相應(yīng)點的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，

以及推理與運算能力.

12.【答案】C

【解析】

【分析】

先求四個球心連線是正三棱錐的高，而第四個球的最高點與桌面的距離即為高加上兩個

半徑，從而求出所求.

【詳解】

四個球心連線是正三棱錐.棱長均為2.

.,.ED=4,0D=3ED=3

U3

.\AO=J9=3

..?第四個球的最高點與桌面的距離為0A加上兩個半徑即3+2.

故選：c.

【點睛】

本題主要考查了由4個相同球外切時的球心連線構(gòu)成一個正四面體,頂點到底面的距離，

同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，以及計算能力，屬于中檔題.

13.【答案】B

【解析】

【分析】

由向量之間的數(shù)量關(guān)系得到結(jié)果

【詳解】

.?,直線?的方向向量為a=Q，0,2),平面a的法向量為u=(-2,0,-4)

?*,u=-2a,

??.a與:平行

貝Ijl-La

故選B

【點睛】

由向量的數(shù)乘即可判定向量的關(guān)系，較為簡單。

14.【答案】D

【解析】

【分析】

將問題抽象為如下幾何模型，平面a的垂線可視為圓錐的底面半徑EP,繞著圓錐的軸EF

旋轉(zhuǎn)，則可得到答案

【詳解】

考慮相對運動，讓四面體ABCD保持靜止，平面。繞著CD旋轉(zhuǎn)，故其垂線也繞著CD旋

轉(zhuǎn)，如下圖所示，取AD的中點F,連接EF,則EF〃CD則也可等價于平面a繞著EF旋轉(zhuǎn),

在ABEF中，易得!iH6如下圖示，將問題抽象為如下幾何模型，平面。的垂線

tmNBEFsZPEBs-t-ZBEF,

可視為圓錐的底面半徑EP,繞著圓錐的軸EF旋轉(zhuǎn)，顯然22則

-scosJs1

設(shè)BE與平面a所成的角為e,則可得

考慮四個選項，只有選D.

【點睛】

本題考查最小角定理的應(yīng)用，線面角的最大值即為BE與CD所成的角.，屬中檔題.

15.【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向量的數(shù)量積等于0,列出方程，即可求解.

【詳解】

由空間向量a=(3,l,0),b=(x,-3