陜西省咸陽市2024年高考模擬檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)（文科）試題【含答案解析】

咸陽市2024年高考模擬檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)（文科）試題注意事項(xiàng)：1.本試題共4頁，滿分150分，時(shí)間120分鐘.2.答卷前，務(wù)必將答題卡上密封線內(nèi)的各項(xiàng)目填寫清楚.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)模及除法運(yùn)算求得，再求出共軛復(fù)數(shù).【詳解】由，得，則，所以.故選：D2.已知全集為，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合中元素范圍，然后根據(jù)補(bǔ)集和交集的概念得答案.【詳解】，則或，所以.故選：C.3.數(shù)列中，，，則（）A.43 B.46 C.37 D.36【答案】C【解析】【分析】由遞推公式用累加法公式求出，再求即可.【詳解】法一：由題得，所以.法二：由題，，所以.故選：C.4.已知，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】分別求得為真時(shí)，，為真時(shí)，,可得結(jié)論.【詳解】為真時(shí)，可得，所以，為真時(shí)，，又所以，所以，所以為真時(shí)，,所以是的即不充分又不必要條件.故選：D.5.在中，分別為的內(nèi)角的對(duì)邊，為邊上一點(diǎn)，滿足，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知條件求出，由余弦定理求出，再由正弦定理求出，進(jìn)而求出，在中，由余弦定理即可求出詳解】由已知，，則，因?yàn)?，所以，又，，代入，解得，因?yàn)闉檫吷弦稽c(diǎn)，滿足，所以，由正弦定理，即，解得，所以，設(shè)，則在中，由余弦定理，得，解得，即.故選：A.6.隨機(jī)取實(shí)數(shù)，則關(guān)于的方程有兩個(gè)負(fù)根的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】考查幾何概率，求出關(guān)于的方程有兩個(gè)負(fù)根的p的取值范圍即可求所求概率.【詳解】方程有兩個(gè)負(fù)根，則，或，所以所求概率為.故選：C.7.已知各棱長(zhǎng)都為1的平行六面體中，棱、、兩兩的夾角均為，則異面直線與所成角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何法求出異面直線與所成角.【詳解】在平行六面體中，連接，，則四邊形是平行四邊形，，于是是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，由，棱兩兩的夾角均為，得都是正三角形，即，則，所以異面直線與所成角為.故選：C8.為了進(jìn)一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設(shè)了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”中，準(zhǔn)備修一條三角形健身步道，已知扇形的半徑，圓心角，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是半徑上的動(dòng)點(diǎn)，，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，在中利用正弦定理及三角形面積公式列出函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)最大值即得.【詳解】設(shè)，由，得，在中，由正弦定理得，即，則的面積，顯然，因此當(dāng)，即時(shí)，，所以面積的最大值為.故選：A9.某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為，從第二題開始，甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率為，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)，再借助單調(diào)性求出的最小值即可得解.【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，由，得，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，即，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，恒成立，于是，所以的最大值為.故選：A10.已知一個(gè)圓錐的三視圖如圖，該圓錐的內(nèi)切球也是棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球，則此正四面體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三視圖獲取圓錐的高、底面半徑和母線的長(zhǎng)，從而求出圓錐內(nèi)切球，再結(jié)合正四面體和正方體的關(guān)系即可探究正四面體棱長(zhǎng)和該內(nèi)切球半徑的關(guān)系，進(jìn)而即可求出正四面體的表面積.【詳解】由圓錐的三視圖如圖可知圓錐的高為，底面半徑為2，則母線長(zhǎng)，由圓錐結(jié)構(gòu)特征可知：圓錐的軸過其內(nèi)切球（半徑設(shè)為r）球心O，所以過圓錐的軸截圓錐及其內(nèi)切球得到的截面圖如下：由上可知，故有，即，，將棱長(zhǎng)為a的正四面體補(bǔ)形為正方體，如圖，則正方體的棱長(zhǎng)為，且該正四面體的外接球即為正方體的外接球，所以，即，所以正四面體的表面積為.故選：C.11.已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和4條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的零點(diǎn)及對(duì)稱性列式求解即得.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由在區(qū)間內(nèi)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，得，解得，由在區(qū)間內(nèi)有且僅有4條對(duì)稱軸，得，解得，所以的取值范圍是.故選：C12.已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別為、，左右頂點(diǎn)分別為、，為（為原點(diǎn)）中點(diǎn)，為雙曲線左支上一點(diǎn)，且，直線的斜率為，為的內(nèi)心，則下列說法正確的是（）A.的離心率為B.的漸近線方程為：C.平分D.【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)及雙曲線性質(zhì)可得且，即可判斷A、B；根據(jù)角平分線性質(zhì)只需判斷、是否相等判斷C；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，由三角形面積公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】由題設(shè)且，又，所以，而，故，由，則，故，所雙曲線的離心率為，故A正確；由上可得，故C的漸近線方程為，B錯(cuò)誤；由，則，故，而為的中點(diǎn)，則，，故，由角平分線性質(zhì)易知：平分，C正確；設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，，可得，由勾股定理可得，所以，，故D不正確.故選：C.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，為曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出圓的圓心和半徑，再利用圓的性質(zhì)求出最小值.【詳解】橢圓中，右焦點(diǎn)，圓的圓心，半徑，顯然橢圓與圓相離，由點(diǎn)在圓上，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)分別是線段與橢圓、圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：14.，滿足約束條件，則的最大值為______.【答案】5【解析】【分析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求出最大值.【詳解】約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，其中，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，的縱截距最大，最大，，所以的最大值為5.故答案為：515.已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時(shí)，，若關(guān)于的方程有兩解，則的值為______.【答案】49或【解析】【分析】由已知可得是以為周期的周期函數(shù)，結(jié)合已知可作出函數(shù)的圖象，關(guān)于的方程有兩解，可得與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可求的值.【詳解】由，可得，所以是以為周期的周期函數(shù)，又為偶函數(shù)，且，故可作出函數(shù)的圖象如圖所示：若關(guān)于的方程有兩解，則與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，則過點(diǎn),所以，解得，當(dāng)，則過點(diǎn),所以，解得，綜上所述：的值為或.故答案為：或.16.關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由，得，利用導(dǎo)數(shù)證明，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立，即可得解.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，由，得，而，令，則，所以，若，如圖作出函數(shù)的圖象，由函數(shù)圖象可知，方程有唯一實(shí)數(shù)根，即，由，得，即，當(dāng)時(shí)，，即，又，，所以，所以不成立，即當(dāng)時(shí)，不恒成立，綜上所述，最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）變形給定等式，利用等差數(shù)列求出通項(xiàng)即得.（2）利用（1）的結(jié)論，求出，按為奇數(shù)和偶數(shù)并結(jié)合并項(xiàng)求和法分別求和.【小問1詳解】數(shù)列中，，，顯然，則，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，所以數(shù)列通項(xiàng)公式.【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以.18.閱讀是人類獲取知識(shí)、啟智增慧、培養(yǎng)道德的重要途徑.1995年，聯(lián)合國(guó)教科文組織宣布4月23日為“世界讀書日”，致力于向全世界推廣閱讀、出版和對(duì)知識(shí)產(chǎn)權(quán)的保護(hù).某學(xué)校為了打造“書香校園”，使學(xué)生養(yǎng)成好的閱讀習(xí)慣，健康成長(zhǎng)，從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了200名學(xué)生一周的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，了解學(xué)生的課外閱讀情況，收集了他們閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值及200名學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)；（2）為進(jìn)一步了解這200名學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的情況，從課外閱讀時(shí)間在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了6人，選取其中兩人組成小組，現(xiàn)求其中兩名組員全在內(nèi)的概率.【答案】（1），小時(shí)；（2）.【解析】【分析】（1）利用給定的頻率分布直方圖，結(jié)合各小矩形面積和為1求出，再估計(jì)一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù).（2）求出指定的兩組內(nèi)各抽取的人數(shù)，利用列舉法、結(jié)合古典概率求解即得.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得：，解得，平均數(shù)（小時(shí)），所以，200名學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)為小時(shí).【小問2詳解】在這兩組采用分層抽樣的方法抽取6人，則從課外閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，記為，課外閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取1人，記為，于是有，共15種，且每種結(jié)果的發(fā)生是等可能的，而滿足兩名組員都在內(nèi)的情況有，共10種，所以兩名組員全在內(nèi)的概率為.19.已知平行四邊形中，，，且.若為邊上一點(diǎn)，滿足，若將三角形沿著折起，使得二面角為.（1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）在平行四邊形中結(jié)合余弦定理證明，在幾何體中，由二面角結(jié)合余弦定理證明，再利用線面垂直的判定推理即得.（2）在線段DE上取一點(diǎn)，使得，證明平面ABED，再利用錐體體積公式計(jì)算即得.【小問1詳解】在中，連接BE，，且，在中，，又，則，由余弦定理得：，解得，因?yàn)?，則，即，在折疊后的幾何體中，由，且平面CDE，則平面CDE，又平面CDE，則，由，及二面角為，得為二面角的平面角，即，在中，，由余弦定理得，于是，則，即，因?yàn)槠矫鍮CE，所以平面BCE.【小問2詳解】如圖，在線段DE上取一點(diǎn)，使得，連接CO，在中，，由余弦定理得，于是，則，即，由（1）知平面平面DCE，則，又，且平面ABED，則平面ABED，即四棱錐的高為OC，又，則，所以四棱錐的體積為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)極值；（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極大值，無極小值；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，并求出函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)探討極值即可得解.（2）變形給定不等式，證明并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即得.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，由，得，由，得，由，得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無極小值.【小問2詳解】函數(shù)，，，設(shè)，，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，因此，令，，求導(dǎo)得，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，因此函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.21.已知直線過定點(diǎn)，動(dòng)圓過點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，設(shè)動(dòng)圓圓心軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）點(diǎn)，，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，，恰好為平行四邊形的其中三個(gè)頂點(diǎn)，且該平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)在上，記平行四邊形的面積為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓的弦長(zhǎng)公式列式化簡(jiǎn)即得.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合給定條件，探討直線的斜率，表示出該直線方程，再與拋物線方程聯(lián)立，建立四邊形的面積的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.【小問1詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為過定點(diǎn)，依題意，，化簡(jiǎn)得，所以曲線的方程為.【小問2詳解】顯然點(diǎn)不在曲線上，設(shè)，直線PQ的斜率為，線段PQ的中點(diǎn)為，由平行四邊形PAQB對(duì)角線的交點(diǎn)在上，得線段PQ的中點(diǎn)在直線上，設(shè)，顯然，兩式相減得，又，即，設(shè)直線PQ的方程為，即，由消去x并整理得，，則，解得，則，又點(diǎn)到直線PQ的距離為，所以，，記，由，得，則，令，求導(dǎo)得，令，得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，即，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；②代數(shù)法，若題目條件和